立体几何证明题举例

第一篇：立体几何证明题举例

立体几何证明题举例

(2012·江苏)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，A1B1＝A1C1，D、E分别是棱BC、CC1上的点(点D不同于点C)，且AD⊥DE，F为B1C1的中点． 求证：(1)平面ADE⊥平面BCC1B1；

(2)直线A1F∥平面ADE.证明(1)因为ABC A1B1C1是直三棱柱，所以C C1⊥平面ABC.又AD⊂平面ABC，所以C C1⊥AD.又因为AD⊥DE，C C1，DE⊂平面BC C1 B1，C C1∩DE＝E，所以AD⊥平面BC C1 B1.又AD⊂平面ADE，所以平面ADE⊥平面BC C1 B1.(2)因为A1 B1＝A1 C1，F为B1 C1的中点，所以A1F⊥B1 C1.因为C C1⊥平面A1 B1 C1，且A1F⊂平面A1 B1 C1，所以C C1⊥A1F.又因为C C1，B1 C1⊂平面BC C1 B1，C C1∩B1 C1＝C1，所以A1F⊥平面BC C1 B1.由(1)知AD⊥平面BC C1 B1，所以A1F∥AD

.又AD⊂平面ADE，A1F⊄平面ADE，所以A1F∥平面ADE

【例1】如图，在平行四边形ABCD中，CD＝1，∠BCD＝60°，且BD⊥CD，正方形ADEF所在平面与平面ABCD垂直，G、H分别是DF、BE的中点．

(1)求证：BD⊥平面CDE；

(2)求证：GH∥平面CDE；

(3)求三棱锥D－CEF的体积．

[审题导引](1)先证BD⊥ED，BD⊥CD，可证BD⊥平面CDE；

(2)由GH∥CD可证GH∥平面CDE；

(3)变换顶点，求VC－DEF.[规范解答](1)证明 ∵四边形ADEF是正方形，∴ED⊥AD，又平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD＝AD.∴ED⊥平面ABCD，∴ED⊥BD.又BD⊥CD，且ED∩DC＝D，∴BD⊥平面CDE.(2)证明 ∵G是DF的中点，又易知H是FC的中点，∴在△FCD中，GH∥CD，又∵CD⊂平面CDE，GH⊄平面CDE，∴GH∥平面CDE.(3)设Rt△BCD中，BC边上的高为h，∵CD＝1，∠BCD＝60°，BD⊥CD，11∴BC＝2，BD3，∴2×2×h＝2×3，33∴h＝2C到平面DEF2，1133∴VD－CEF＝VC－DEF＝2×＝.3223

【例2】如图所示，已知在三棱锥A－BPC中，AP⊥PC，AC⊥BC，M为AB的中点，D为PB的中点，且△PMB为正三角形．

(1)求证：DM∥平面APC；

(2)求证：平面ABC⊥平面APC；

(3)若BC＝4，AB＝20，求三棱锥D－

BCM的体积．

[审题导引](1)只要证明MD∥AP即可，根据三角形中位线定理可证；

(2)证明AP⊥BC；

(3)根据锥体体积公式进行计算．

[规范解答](1)证明 由已知，得MD是△ABP的中位线，所以MD∥AP.又MD⊄平面APC，AP⊂平面APC，故MD∥平面APC.(2)证明 因为△PMB为正三角形，D为PB的中点，所以MD⊥PB.所以AP⊥PB.又AP⊥PC，PB∩PC＝P，所以AP⊥平面PBC.因为BC⊂平面PBC，所以AP⊥BC.又BC⊥AC，AC∩AP＝A，所以BC⊥平面APC.因为BC⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面APC.(3)由题意，可知MD⊥平面PBC，所以MD是三棱锥D－BCM的一条高，11所以VM－DBC＝S△BCD×MD＝221×53＝107.33

第二篇：立体几何证明题[范文]

11.如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=1，D是棱

2AA1的中点

(Ｉ)证明：平面BDC1⊥平面BDC

（Ⅱ）平面BDC1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比.2.如图5所示，在四棱锥PABCD中，AB平面PAD，AB//CD，PDAD，E是C A1 1D B

PB的中点，F是CD上的点且DF

PH为△PAD中AD边上的高.（1）证明：PH平面ABCD；

（2）若PH

1，AD1AB，2FC1，求三棱锥EBCF的体积；

（3）证明：EF平面PAB.3.如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABE分11AC11，D，别是棱BC，（点D 不同于点C），且ACC1上的点DDEF，为B1C1的中点．

求证：（1）平面ADE平面BCC1B1；

（2）直线A1F//平面ADE．

4.如图，四棱锥P—ABCD中，ABCD为矩形，△PAD为等腰直角三角形，∠APD=90°，面PAD⊥面ABCD，且AB=1，AD=2，E、F分别为PC和BD的中点．

（1）证明：EF∥面PAD；（2）证明：面PDC⊥面PAD；（3）求四棱锥P—ABCD的体积．

5.在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，MA平面ABCD，PD//MA，E、G、F分别为MB、PB、PC的中点，且ADPD2MA.（I）求证：平面EFG平面PDC；

（II）求三棱锥PMAB与四棱锥PABCD的体积之比.6.如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直。EF//AC，,CE=EF=1（Ⅰ）求证：AF//平面BDE；（Ⅱ）求证：CF⊥平面BDF;

7.如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，AB=2EF=2，EF∥AB,EF⊥FB,∠BFC=90°，BF=FC,H为BC的中点，(Ⅰ)求证：FH∥平面EDB;

（Ⅱ）求证：AC⊥平面EDB;（Ⅲ）求四面体B—DEF的体积；

8.如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，E、F分别是A1B、A1C的中点，点D在B1C1上，A1DB1C

。求证：（1）EF∥平面ABC；（2）平面A1FD平面BB1C1C.9.如图4,在边长为1的等边三角形ABC中,D,E分别是AB,AC边上的点,ADAE,F

是BC的中点,AF与DE交于点G,将ABF沿AF折起,得到如图5所示的三棱锥

ABCF,其中BC

(1)证明:DE//平面BCF;(2)证明:CF平面ABF;(3)当AD

图4

时,求三棱锥FDEG的体积VFDEG.3

10.如图,在四棱锥PABCD

中,AB//CD,ABAD,CD2AB,平面PAD底面

ABCD,PAAD,E和F分别是CD和PC的中点,求

证:

(1)PA底面ABCD;(2)BE//平

面PAD;(3)平面BEF平面PCD

（2013年山东卷）如图,四棱锥PABCD中,ABAC,ABPA,AB∥CD,AB2CD,E,F,G,M,N分别为

PB,AB,BC,PD,PC的中点

(Ⅰ)求证:CE∥平面PAD;(Ⅱ)求证:平面EFG平面EMN

11.

第三篇：高三立体几何证明题训练

高三数学 立体几何证明题训练

班级姓名

1、如图，在长方体

ABCDA1B1C1D1中，AA1ADa，AB2a，E、F分别为C1D1、A1D1的中点．（Ⅰ）求证：DE平面BCE；（Ⅱ）求证：AF//平面BDE．

D

1F

E

C1

A1

C

B

A

ABCDA1B1C1D1的底面是菱形，且AA1面ABCD

ADAA1，F为棱AA1的中点，1的中点，M为线段BD

（1）求证：MF//面ABCD；（2）求证：MF面BDD1B1；

2、如图，已知棱柱，DAB60，

DC

1B1

M

AF

C

A3、如图，四棱锥P—ABCD中，PA⊥底面ABCD，AC⊥CD，∠DAC=60°，AB=BC=AC，E是PD的中点，F为ED的中点。（I）求证：平面PAC⊥平面PCD；（II）求证：CF//平面BAE。

4、如图，ABCDA1B1C1D1是正四棱柱侧棱长为1，底面边长为2，E是棱BC的中点。

（2）求三棱锥D

D1BC//平面C1DE；

（1）求证：BD15、如图所示，四棱锥P-ABCD底面是直角梯形，BAABCD，E为PC的中点。PA＝AD＝AB＝1。

AD，CDAD,CD2AB,PA 底面

（1）证明：EB//平面PAD；（2）证明：BE平面PDC；（3）求三棱锥B-PDC的体积V。

6、如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，PB与底面所成的角为45，底面ABCD为直角梯形，∠

1ABC = ∠BAD = 90，PA = BC =AD．(Ⅰ)求证：平面PAC⊥平面PCD；

2(Ⅱ)在棱PD上是否存在一点E，使CE∥平面PAB ？若存在，请确定E点的位置；若不存在，请说明理由．

PB

C

D7、已知ABCD是矩形，AD4,AB2，E、F分别是线段AB、BC的中点，PA面ABCD.P

(1)证明：PF⊥FD；(2)在PA上找一点G，使得EG∥平面PFD.A E

B

F

D

ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直,AB,AF1,M的中点。(Ⅰ)求三棱锥ABDF的体积；(Ⅱ)求证:AM//平面BDE；

8、如图，已知正方形

9、如图，矩形

是线段EF

为CE上的点，且

ABCD

中，AD平面ABE，AEEBBC2，F的体积.BF平面ACE。Ⅰ）求证：AE平面BCE；

（Ⅱ）求证；

AE//平面BFD；（Ⅲ）求三棱锥CBGF

C

B10、如图，四棱锥P—ABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB⊥AD，CD⊥AD，CD=2AB，E为PC中点．

(I)求证：平面PDC平面PAD；(II)求证：BE//平面PAD．

11、如图，在五面体ABCDEF中，点O是矩形ABCD的对角线的交点，面CDE是等边三角形，棱EF∥BC且EF=BC．（1）证明FO//平面CDE；（2）设BC=CD，证明EO⊥平面CDF．

P

E

D

C

A

B

A

D

C12、如图，四棱锥P－ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，PA＝2，∠PDA=45°，点E、F分别为棱AB、PD的中点．（Ⅰ）求证：AF∥平面PCE；

（Ⅱ）求证：平面PCE⊥平面PCD；（Ⅲ）求三棱锥C－BEP的体积．

13、如图，在矩形ABCD中，沿对角线BD把△BCD折起，使C移到C′，且BC′⊥AC′

（Ⅰ）求证：平面AC′D

⊥平面ABC′；

（Ⅱ）若AB=2，BC=1，求三棱锥C′—ABD的体积。

14、如图,在四棱锥P

ABCD中,底面ABCD是边长为a的正方形,侧面PAD底面ABCD，且

PAPD

(Ⅰ)

AD，若E、F分别为PC、BD的中点。2

EF //平面PAD；(Ⅱ)求证:平面PDC平面PAD；

第四篇：高中数学立体几何常考证明题汇总

新课标立体几何常考证明题

1、已知四边形ABCD是空间四边形，E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点

（1）求证：EFGH是平行四边形

（2）若

BD=AC=2，EG=2。求异面直线AC、BD所成的角和EG、BD所成的角。

C D H证明：在ABD中，∵E,H分别是AB,AD的中点∴EH//BD,EH同理，FG//BD,FG

(2)90°30 °

考点：证平行（利用三角形中位线），异面直线所成的角 1BD 21BD∴EH//FG,EHFG∴四边形EFGH是平行四边形。

22、如图，已知空间四边形ABCD中，BCAC,ADBD，E是AB的中点。求证：（1）AB平面CDE;

（2）平面CDE平面ABC。E BCAC证明：（1）CEAB AEBE

同理，ADBDDEAB AEBEB C 又∵CEDEE∴AB平面CDE

（2）由（1）有AB平面CDE

又∵AB平面ABC，∴平面CDE平面ABC

考点：线面垂直，面面垂直的判定

D3、如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是AA1的中点，求证： AC1//平面BDE。

证明：连接AC交BD于O，连接EO，∵E为AA1的中点，O为AC的中点 ∴EO为三角形A1AC的中位线 ∴EO//AC1 又EO在平面BDE内，A1C在平面BDE外

∴AC1//平面BDE。考点：线面平行的判定

4、已知ABC中ACB90,SA面ABC,ADSC,求证：AD面SBC． 证明：∵ACB90°BCAC

又SA面ABCSABC

BC面SACBCAD



A

D

1B

C

D

C

S

A

C

B

又SCAD,SCBCCAD面SBC考点：线面垂直的判定

9、如图P是ABC所在平面外一点，PAPB,CB平面PAB，M是PC的中点，N是AB上的点，AN3NB（1）求证：MNAB；（2）当APB90，AB2BC4时，求MN的长。证明：（1）取PA的中点Q，连结MQ,NQ，∵M是PB的中点，M



P

∴MQ//BC，∵ CB平面PAB，∴MQ平面PAB∴QN是MN在平面PAB内的射影，取 AB的中点D，连结 PD，∵PAPB,∴C

A

PDAB，又AN3NB，∴BNND

N ∴QN//PD，∴QNAB，由三垂线定理得MNAB B

1

（2）∵APB90，PAPB,∴PDAB2，∴QN1，∵MQ平面PAB.∴MQNQ，且

MQBC

1，∴MN

2考点：三垂线定理

12、已知ABCD是矩形，PA平面ABCD，AB2，PAAD4，E为BC的中点．

（1）求证：DE平面PAE；（2）求直线DP与平面PAE所成的角． 证明：在ADE中，ADAEDE，AEDE ∵PA平面ABCD，DE平面ABCD，PADE

又PAAEA，DE平面PAE（2）DPE为DP与平面PAE所成的角

在Rt

PAD，PDRt

DCE中，DE在RtDEP中，PD2DE，DPE300 考点：线面垂直的判定,构造直角三角形

15、如图２，在三棱锥Ａ－BCD中，BC＝AC，AD＝BD，作BE⊥CD，Ｅ为垂足，作AH⊥BE于Ｈ．求证：AH⊥平面BCD．证明：取AB的中点Ｆ，连结CF，DF．∵ACBC，∴CFAB．

∵ADBD，∴DFAB．

又CFDFF，∴AB平面CDF．∵CD平面CDF，∴CDAB．又CDBE，BEABB，∴CD平面ABE，CDAH．

∵AHCD，AHBE，CDBEE，∴ AH平面BCD． 考点：线面垂直的判定

第五篇：高中数学立体几何常考证明题汇总 - 副本

立体几何常考证明题汇总答案

1、已知四边形ABCD是空间四边形，E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点（1）求证：EFGH是平行四边形

（2）若

BD=AC=2，EG=2。求异面直线AC、BD所成的角和EG、BD所成的角。考点：证平行（利用三角形中位线），异面直线所成的角

2、如图，已知空间四边形ABCD中，BCAC,ADBD，E是AB的中点。求证：（1）AB平面CDE;

（2）平面CDE平面ABC。证明：（1）

E

C

H D

BCAC

CEAB

AEBE

B

同理，ADBD

DEAB

AEBE

C

又∵CEDEE∴AB平面CDE（2）由（1）有AB平面CDE

又∵AB平面ABC，∴平面CDE平面ABC

B

考点：线面垂直，面面垂直的判定

3、如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是AA1的中点，A

D

D

1C

求证： AC1//平面BDE。

证明：连接AC交BD于O，连接EO，∵E为AA1的中点，O为AC的中点

C

D

S

∴EO为三角形A1AC的中位线 ∴EO//AC1 又EO在平面BDE内，AC1在平面BDE外 ∴AC1//平面BDE。考点：线面平行的判定

4、已知ABC中ACB90,SA面ABC,ADSC,求证：AD面SBC． 考点：线面垂直的判定

5、已知正方体ABCDA1B1C1D1，O是底ABCD对角线的交点.

A

C

B

D1A

1D

A

BBC1

面AB1D1．求证：(１)C1O∥面AB1D1；(2)AC1

C

考点：线面平行的判定（利用平行四边形），线面垂直的判定

6、正方体ABCDA'B'C'D'中，求证：（1）AC平面B'D'DB；（2）BD'平面ACB'.考点：线面垂直的判定

7、正方体ABCD—A1B1C1D1中．(1)求证：平面A1BD∥平面B1D1C；(2)若E、F分别是AA1，CC1的中点，求证：平面EB1D1∥平面FBD． 证明：(1)由B1B∥DD1，得四边形BB1D1D是平行四边形，∴B1D1∥BD，又BD 平面B1D1C，B1D1平面B1D1C，∴BD∥平面B1D1C． 同理A1D∥平面B1D1C．

而A1D∩BD＝D，∴平面A1BD∥平面B1CD．

A

(2)由BD∥B1D1，得BD∥平面EB1D1．取BB1中点G，∴AE∥B1G．

从而得B1E∥AG，同理GF∥AD．∴AG∥DF．∴B1E∥DF．∴DF∥平面EB1D1．∴平面EB1D1∥平面FBD．

考点：线面平行的判定（利用平行四边形）

8、四面体ABCD中，ACBD,E,F分别为AD,BC的中点，且EF

AC，2BDC90，求证：BD平面ACD

证明：取CD的中点G，连结EG,FG，∵E,F分别为AD,BC的中点，∴EG

1//AC 2

//1BD，又ACBD,∴FG1AC，∴在EFG中，EG2FG21AC2EF2 FG

222



∴EGFG，∴BDAC，又BDC90，即BDCD，ACCDC∴BD平面ACD

考点：线面垂直的判定,三角形中位线，构造直角三角形

9、如图P是ABC所在平面外一点，PAPB,CB平面PAB，M是PC的中点，N是AB上的点，AN3NB

P



（1）求证：MNAB；（2）当APB90，AB2BC4时，求MN的长。证明：（1）取PA的中点Q，连结MQ,NQ，∵M是PB的中点，M∴MQ//BC，∵ CB平面PAB，∴MQ平面PAB∴QN是MN在平面PAB内的射影，取 AB的中点D，连结 PD，∵PAPB,∴CAPDAB，又AN3NB，∴BNND

N ∴QN//PD，∴QNAB，由三垂线定理得MNAB B

1

（2）∵APB90，PAPB,∴PDAB2，∴QN1，∵MQ平面PAB.∴MQNQ，且

MQBC

1，∴MN

2考点：三垂线定理

10、如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F、G分别是AB、AD、C1D1的中点.求证：平面D1EF∥平面BDG.证明：∵E、F分别是AB、AD的中点，EF∥BD 又EF平面BDG，BD平面BDGEF∥平面BDG ∵D

1G

EB四边形D1GBE为平行四边形，D1E∥GB

又D1E平面BDG，GB平面BDGD1E∥平面BDG

EFD1EE，平面D1EF∥平面BDG

考点：线面平行的判定（利用三角形中位线）

11、如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是AA1的中点.（1）求证：AC1//平面BDE；（2）求证：平面A1AC平面BDE.证明：（1）设ACBDO，∵E、O分别是AA1、AC的中点，AC1∥EO

平面BDE，EO平面BDE，AC又AC∥平面BDE 1

1（2）∵AA1平面ABCD，BD平面ABCD，AA1BD 又BDAC，ACAA1A，BD平面A1AC，BD平面BDE，平面BDE平面A1AC

考点：线面平行的判定（利用三角形中位线），面面垂直的判定

12、已知ABCD是矩形，PA平面ABCD，AB2，PAAD4，E为BC的中点．

（1）求证：DE平面PAE；（2）求直线DP与平面PAE所成的角． 证明：在ADE中，ADAEDE，AEDE ∵PA平面ABCD，DE平面ABCD，PADE 又PAAEA，DE平面PAE（2）DPE为DP与平面PAE所成的角

在Rt

PAD，PDRt

DCE中，DE在RtDEP中，PD2DE，DPE30 考点：线面垂直的判定,构造直角三角形

13、如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是DAB60且边长为a的菱形，侧面PAD是等边三角形，且平面PAD垂直于底面ABCD．

（1）若G为AD的中点，求证：BG平面PAD；（2）求证：ADPB；

（3）求二面角ABCP的大小． 证明：（1）ABD为等边三角形且G为AD的中点，BGAD 又平面PAD平面ABCD，BG平面PAD

（2）PAD是等边三角形且G为AD的中点，ADPG 且ADBG，PGBGG，AD平面PBG，22

2PB平面PBG，ADPB

（3）由ADPB，AD∥BC，BCPB 又BGAD，AD∥BC，BGBC PBG为二面角ABCP的平面角

在RtPBG中，PGBG，PBG4

5考点：线面垂直的判定,构造直角三角形,面面垂直的性质定理，二面角的求法（定义法）

平面MBD．

14、如图1,在正方体ABCDA1B1C1D1中，M为CC1 的中点，AC交BD于点O，求证：AO

1证明：连结MO，A1M，∵DB⊥A1A，DB⊥AC，A1AACA，平面A1ACC1 ∴DB⊥AO∴DB⊥平面A1ACC1，而AO1．1

设正方体棱长为a，则AO1

3a，MO2a2． 2

4．在Rt△ACA1M211M中，9222

2OOM∵AO，∴AMOA1Ma．11

∵OM∩DB=O，∴ AO1⊥平面MBD．

考点：线面垂直的判定，运用勾股定理寻求线线垂直 15、如图２，在三棱锥Ａ－BCD中，BC＝AC，AD＝BD，作BE⊥CD，Ｅ为垂足，作AH⊥BE于Ｈ．求证：AH⊥平面BCD．证明：取AB的中点Ｆ，连结CF，DF．∵ACBC，∴CFAB．

∵ADBD，∴DFAB．

又CFDFF，∴AB平面CDF．∵CD平面CDF，∴CDAB．又CDBE，BEABB，∴CD平面ABE，CDAH．

∵AHCD，AHBE，CDBEE，∴ AH平面BCD．

考点：线面垂直的判定

A16、证明：在正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1C⊥平面BC1DC证明：连结AC

⊥AC∵BD∴ AC为A1C在平面AC上的射影

BDA1C



A1C平面BC1D

同理可证A1CBC1

考点：线面垂直的判定，三垂线定理

17、如图，过S引三条长度相等但不共面的线段SA、SB、SC，且∠ASB=∠ASC=60°，∠BSC=90°，求证：平面ABC⊥平面BSC．

证明∵SB=SA=SC，∠ASB=∠ASC=60°∴AB=SA=AC取BC的中点O，连AO、SO，则AO⊥BC，SO⊥BC，∴∠AOS为二面角的平面角，设SA=SB=SC=a，又∠BSC=90°，∴BC=a，SO=2a，11

AO2=AC2－OC2=a2－2a2=2a2，∴SA2=AO2+OS2，∴∠AOS=90°，从而平面ABC⊥

平面BSC．

考点：面面垂直的判定（证二面角是直二面角）