第一篇:必修2 立体几何证明题 详解
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必修2 证明题
一.解答题(共3小题)
1.(2006•北京)如图,在底面为平行四边形的四棱锥P﹣ABCD中,AB⊥AC,PA⊥平面ABCD,且PA=AB,点E是PD的中点.
(1)求证:PB∥平面AEC;
(2)求二面角E﹣AC﹣B的大小.
考点:三垂线定理;直线与平面平行的判定。
分析:(1)欲证PB∥平面AEC,根据直线与平面平行的判定
定理可知只需证PB与平面AEC内一直线平行即可,连BD
交AC于点O,连EO,则EO是△PDB的中位线则EO∥PB,满足条件;
(2)取AD的中点F,连EF,FO,根据定义可知∠EOF是
二面角E﹣AC﹣D的平面角,在△EOF中求出此角,而二面
角E﹣AC﹣B与二面角E﹣AC﹣D互补.
解答:解:(1)由PA⊥平面ABCD可得PAAC
又AB⊥AC,所以AC⊥平面PAB,所以AC⊥PB
连BD交AC于点O,连EO,则EO是△PDB的中位线,∴EO∥PB
∴PB∥平面AEC
(2)取AD的中点F,连EF,FO,则EF是△PAD的中位线,∴EF∥PA又PA⊥平面ABCD,∴EF⊥平面ABCD
同理FO是△ADC的中位线,∴FO∥AB,FO⊥AC由三垂线定理可知∠EOF是二面角E﹣AC﹣D的平面角.
又
FO=AB=PA=EF
∴∠EOF=45°而二面角E﹣AC﹣B与二面角E﹣AC﹣D互补,故所求二面角E﹣AC﹣B的大小为135°.
点评:本题主要考查了直线与平面平行的判定,以及二面角等有关知识,考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力,属于基础题.
2.如图,已知∠BAC在平面α内,P∉α,∠PAB=∠PAC,求证:点P在平面α上的射影在∠BAC的平分线上.
考点:三垂线定理。
专题:作图题;证明题。
分析:作PO⊥α,PE⊥AB,PF⊥AC,垂足分别为O,E,F,连接OE,OF,OA,证明Rt△AOE≌Rt△AOF,然后得到点P在平面α上的射影在∠BAC的平分线上.
解答:证明:作PO⊥α,PE⊥AB,PF⊥AC,垂足分别为O,E,F,连接OE,OF,OA,∵⇒Rt△PAE≌Rt△PAF⇒AE=AF,∵,又∵AB⊥PE,∴AB⊥平面PEO,∴AB⊥OE,同理AC⊥OF.
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必修2 证明题
在Rt△AOE和Rt△AOF,AE=AF,OA=OA,∴Rt△AOE≌Rt△AOF,∴∠EAO=∠FAO,即点P在平面α上的射影在∠BAC的平分线上.
点评:本题考查三垂线定理,考查学生逻辑思维能力,是基础题.
3.已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,AB=2,AA1=3.
(I)求证:A1C⊥BD;
(II)求直线A1C与侧面BB1C1C所成的角的正切值;
(III)求二面角B1﹣CD﹣B的正切值.
考点:三垂线定理;直线与平面所成的角;与二面角有关的立体几何综合题。
专题:计算题;证明题;综合题。
分析:(I)连AC,要证A1C⊥BD,只需证明AC⊥BD,说明AC是A1C在平面ABCD
上的射影即可;
(II)说明∠A1CB1就是直线A1C与侧面BB1C1C所成的角,解三角形A1CB1,求
直线A1C与侧面BB1C1C所成的角的正切值;
(III)找出∠B1CB为二面角B1﹣CD﹣B的平面角,通过角三角形求二面角B1﹣CD
﹣B的正切值.
解答:解:(I)连AC,在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,底面ABCD是正方形,所以AC⊥BD
又侧棱AA1⊥平面ABCD
∴AC是A1C在平面ABCD上的射影
∴A1C⊥BD(三垂线定理);(4分)
(II)在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,A1B1⊥平面BB1C1C,所以B1C是A1C在平面BB1C1C上的射影
∴∠A1CB1就是直线A1C与侧面BB1C1C所成的角,(6分)
在直角三角形A1CB1,A1B1⊥B1C,A1B1=2,∴;(9分)
(III)在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,CD⊥平面BB1C1C
∴CD⊥B1C,CD⊥BC
∴∠B1CB为二面角B1﹣CD﹣B的平面角,(11分)
∴
二面角B1﹣CD﹣B的正切值为.
点评:本题考查三垂线定理,直线与平面所成的角,二面角及其度量,考查学生空间想象能力,逻辑思维能力,是中档题.
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第二篇:立体几何证明题[范文]
11.如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱垂直底面,∠ACB=90°,AC=BC=1,D是棱
2AA1的中点
(I)证明:平面BDC1⊥平面BDC
(Ⅱ)平面BDC1分此棱柱为两部分,求这两部分体积的比.2.如图5所示,在四棱锥PABCD中,AB平面PAD,AB//CD,PDAD,E是C A1 1D B
PB的中点,F是CD上的点且DF
PH为△PAD中AD边上的高.(1)证明:PH平面ABCD;
(2)若PH
1,AD1AB,2FC1,求三棱锥EBCF的体积;
(3)证明:EF平面PAB.3.如图,在直三棱柱ABCA1B1C1中,ABE分11AC11,D,别是棱BC,(点D 不同于点C),且ACC1上的点DDEF,为B1C1的中点.
求证:(1)平面ADE平面BCC1B1;
(2)直线A1F//平面ADE.
4.如图,四棱锥P—ABCD中,ABCD为矩形,△PAD为等腰直角三角形,∠APD=90°,面PAD⊥面ABCD,且AB=1,AD=2,E、F分别为PC和BD的中点.
(1)证明:EF∥面PAD;(2)证明:面PDC⊥面PAD;(3)求四棱锥P—ABCD的体积.
5.在如图所示的几何体中,四边形ABCD是正方形,MA平面ABCD,PD//MA,E、G、F分别为MB、PB、PC的中点,且ADPD2MA.(I)求证:平面EFG平面PDC;
(II)求三棱锥PMAB与四棱锥PABCD的体积之比.6.如图,正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直。EF//AC,,CE=EF=1(Ⅰ)求证:AF//平面BDE;(Ⅱ)求证:CF⊥平面BDF;
7.如图,在多面体ABCDEF中,四边形ABCD是正方形,AB=2EF=2,EF∥AB,EF⊥FB,∠BFC=90°,BF=FC,H为BC的中点,(Ⅰ)求证:FH∥平面EDB;
(Ⅱ)求证:AC⊥平面EDB;(Ⅲ)求四面体B—DEF的体积;
8.如图,在直三棱柱ABCA1B1C1中,E、F分别是A1B、A1C的中点,点D在B1C1上,A1DB1C
。求证:(1)EF∥平面ABC;(2)平面A1FD平面BB1C1C.9.如图4,在边长为1的等边三角形ABC中,D,E分别是AB,AC边上的点,ADAE,F
是BC的中点,AF与DE交于点G,将ABF沿AF折起,得到如图5所示的三棱锥
ABCF,其中BC
(1)证明:DE//平面BCF;(2)证明:CF平面ABF;(3)当AD
图4
时,求三棱锥FDEG的体积VFDEG.3
10.如图,在四棱锥PABCD
中,AB//CD,ABAD,CD2AB,平面PAD底面
ABCD,PAAD,E和F分别是CD和PC的中点,求
证:
(1)PA底面ABCD;(2)BE//平
面PAD;(3)平面BEF平面PCD
(2013年山东卷)如图,四棱锥PABCD中,ABAC,ABPA,AB∥CD,AB2CD,E,F,G,M,N分别为
PB,AB,BC,PD,PC的中点
(Ⅰ)求证:CE∥平面PAD;(Ⅱ)求证:平面EFG平面EMN
11.
第三篇:立体几何证明题举例
立体几何证明题举例
(2012·江苏)如图,在直三棱柱ABCA1B1C1中,A1B1=A1C1,D、E分别是棱BC、CC1上的点(点D不同于点C),且AD⊥DE,F为B1C1的中点. 求证:(1)平面ADE⊥平面BCC1B1;
(2)直线A1F∥平面ADE.证明(1)因为ABC A1B1C1是直三棱柱,所以C C1⊥平面ABC.又AD⊂平面ABC,所以C C1⊥AD.又因为AD⊥DE,C C1,DE⊂平面BC C1 B1,C C1∩DE=E,所以AD⊥平面BC C1 B1.又AD⊂平面ADE,所以平面ADE⊥平面BC C1 B1.(2)因为A1 B1=A1 C1,F为B1 C1的中点,所以A1F⊥B1 C1.因为C C1⊥平面A1 B1 C1,且A1F⊂平面A1 B1 C1,所以C C1⊥A1F.又因为C C1,B1 C1⊂平面BC C1 B1,C C1∩B1 C1=C1,所以A1F⊥平面BC C1 B1.由(1)知AD⊥平面BC C1 B1,所以A1F∥AD
.又AD⊂平面ADE,A1F⊄平面ADE,所以A1F∥平面ADE
【例1】如图,在平行四边形ABCD中,CD=1,∠BCD=60°,且BD⊥CD,正方形ADEF所在平面与平面ABCD垂直,G、H分别是DF、BE的中点.
(1)求证:BD⊥平面CDE;
(2)求证:GH∥平面CDE;
(3)求三棱锥D-CEF的体积.
[审题导引](1)先证BD⊥ED,BD⊥CD,可证BD⊥平面CDE;
(2)由GH∥CD可证GH∥平面CDE;
(3)变换顶点,求VC-DEF.[规范解答](1)证明 ∵四边形ADEF是正方形,∴ED⊥AD,又平面ADEF⊥平面ABCD,平面ADEF∩平面ABCD=AD.∴ED⊥平面ABCD,∴ED⊥BD.又BD⊥CD,且ED∩DC=D,∴BD⊥平面CDE.(2)证明 ∵G是DF的中点,又易知H是FC的中点,∴在△FCD中,GH∥CD,又∵CD⊂平面CDE,GH⊄平面CDE,∴GH∥平面CDE.(3)设Rt△BCD中,BC边上的高为h,∵CD=1,∠BCD=60°,BD⊥CD,11∴BC=2,BD3,∴2×2×h=2×3,33∴h=2C到平面DEF2,1133∴VD-CEF=VC-DEF=2×=.3223
【例2】如图所示,已知在三棱锥A-BPC中,AP⊥PC,AC⊥BC,M为AB的中点,D为PB的中点,且△PMB为正三角形.
(1)求证:DM∥平面APC;
(2)求证:平面ABC⊥平面APC;
(3)若BC=4,AB=20,求三棱锥D-
BCM的体积.
[审题导引](1)只要证明MD∥AP即可,根据三角形中位线定理可证;
(2)证明AP⊥BC;
(3)根据锥体体积公式进行计算.
[规范解答](1)证明 由已知,得MD是△ABP的中位线,所以MD∥AP.又MD⊄平面APC,AP⊂平面APC,故MD∥平面APC.(2)证明 因为△PMB为正三角形,D为PB的中点,所以MD⊥PB.所以AP⊥PB.又AP⊥PC,PB∩PC=P,所以AP⊥平面PBC.因为BC⊂平面PBC,所以AP⊥BC.又BC⊥AC,AC∩AP=A,所以BC⊥平面APC.因为BC⊂平面ABC,所以平面ABC⊥平面APC.(3)由题意,可知MD⊥平面PBC,所以MD是三棱锥D-BCM的一条高,11所以VM-DBC=S△BCD×MD=221×53=107.33
第四篇:高三立体几何证明题训练
高三数学 立体几何证明题训练
班级姓名
1、如图,在长方体
ABCDA1B1C1D1中,AA1ADa,AB2a,E、F分别为C1D1、A1D1的中点.(Ⅰ)求证:DE平面BCE;(Ⅱ)求证:AF//平面BDE.
D
1F
E
C1
A1
C
B
A
ABCDA1B1C1D1的底面是菱形,且AA1面ABCD
ADAA1,F为棱AA1的中点,1的中点,M为线段BD
(1)求证:MF//面ABCD;(2)求证:MF面BDD1B1;
2、如图,已知棱柱,DAB60,
DC
1B1
M
AF
C
A3、如图,四棱锥P—ABCD中,PA⊥底面ABCD,AC⊥CD,∠DAC=60°,AB=BC=AC,E是PD的中点,F为ED的中点。(I)求证:平面PAC⊥平面PCD;(II)求证:CF//平面BAE。
4、如图,ABCDA1B1C1D1是正四棱柱侧棱长为1,底面边长为2,E是棱BC的中点。
(2)求三棱锥D
D1BC//平面C1DE;
(1)求证:BD15、如图所示,四棱锥P-ABCD底面是直角梯形,BAABCD,E为PC的中点。PA=AD=AB=1。
AD,CDAD,CD2AB,PA 底面
(1)证明:EB//平面PAD;(2)证明:BE平面PDC;(3)求三棱锥B-PDC的体积V。
6、如图,四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,PB与底面所成的角为45,底面ABCD为直角梯形,∠
1ABC = ∠BAD = 90,PA = BC =AD.(Ⅰ)求证:平面PAC⊥平面PCD;
2(Ⅱ)在棱PD上是否存在一点E,使CE∥平面PAB ?若存在,请确定E点的位置;若不存在,请说明理由.
PB
C
D7、已知ABCD是矩形,AD4,AB2,E、F分别是线段AB、BC的中点,PA面ABCD.P
(1)证明:PF⊥FD;(2)在PA上找一点G,使得EG∥平面PFD.A E
B
F
D
ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直,AB,AF1,M的中点。(Ⅰ)求三棱锥ABDF的体积;(Ⅱ)求证:AM//平面BDE;
8、如图,已知正方形
9、如图,矩形
是线段EF
为CE上的点,且
ABCD
中,AD平面ABE,AEEBBC2,F的体积.BF平面ACE。Ⅰ)求证:AE平面BCE;
(Ⅱ)求证;
AE//平面BFD;(Ⅲ)求三棱锥CBGF
C
B10、如图,四棱锥P—ABCD中,PA平面ABCD,底面ABCD是直角梯形,AB⊥AD,CD⊥AD,CD=2AB,E为PC中点.
(I)求证:平面PDC平面PAD;(II)求证:BE//平面PAD.
11、如图,在五面体ABCDEF中,点O是矩形ABCD的对角线的交点,面CDE是等边三角形,棱EF∥BC且EF=BC.(1)证明FO//平面CDE;(2)设BC=CD,证明EO⊥平面CDF.
P
E
D
C
A
B
A
D
C12、如图,四棱锥P-ABCD的底面是正方形,PA⊥底面ABCD,PA=2,∠PDA=45°,点E、F分别为棱AB、PD的中点.(Ⅰ)求证:AF∥平面PCE;
(Ⅱ)求证:平面PCE⊥平面PCD;(Ⅲ)求三棱锥C-BEP的体积.
13、如图,在矩形ABCD中,沿对角线BD把△BCD折起,使C移到C′,且BC′⊥AC′
(Ⅰ)求证:平面AC′D
⊥平面ABC′;
(Ⅱ)若AB=2,BC=1,求三棱锥C′—ABD的体积。
14、如图,在四棱锥P
ABCD中,底面ABCD是边长为a的正方形,侧面PAD底面ABCD,且
PAPD
(Ⅰ)
AD,若E、F分别为PC、BD的中点。2
EF //平面PAD;(Ⅱ)求证:平面PDC平面PAD;
第五篇:高中数学立体几何常考证明题汇总
新课标立体几何常考证明题
1、已知四边形ABCD是空间四边形,E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点
(1)求证:EFGH是平行四边形
(2)若
BD=AC=2,EG=2。求异面直线AC、BD所成的角和EG、BD所成的角。
C D H证明:在ABD中,∵E,H分别是AB,AD的中点∴EH//BD,EH同理,FG//BD,FG
(2)90°30 °
考点:证平行(利用三角形中位线),异面直线所成的角 1BD 21BD∴EH//FG,EHFG∴四边形EFGH是平行四边形。
22、如图,已知空间四边形ABCD中,BCAC,ADBD,E是AB的中点。求证:(1)AB平面CDE;
(2)平面CDE平面ABC。E BCAC证明:(1)CEAB AEBE
同理,ADBDDEAB AEBEB C 又∵CEDEE∴AB平面CDE
(2)由(1)有AB平面CDE
又∵AB平面ABC,∴平面CDE平面ABC
考点:线面垂直,面面垂直的判定
D3、如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,E是AA1的中点,求证: AC1//平面BDE。
证明:连接AC交BD于O,连接EO,∵E为AA1的中点,O为AC的中点 ∴EO为三角形A1AC的中位线 ∴EO//AC1 又EO在平面BDE内,A1C在平面BDE外
∴AC1//平面BDE。考点:线面平行的判定
4、已知ABC中ACB90,SA面ABC,ADSC,求证:AD面SBC. 证明:∵ACB90°BCAC
又SA面ABCSABC
BC面SACBCAD
A
D
1B
C
D
C
S
A
C
B
又SCAD,SCBCCAD面SBC考点:线面垂直的判定
9、如图P是ABC所在平面外一点,PAPB,CB平面PAB,M是PC的中点,N是AB上的点,AN3NB(1)求证:MNAB;(2)当APB90,AB2BC4时,求MN的长。证明:(1)取PA的中点Q,连结MQ,NQ,∵M是PB的中点,M
P
∴MQ//BC,∵ CB平面PAB,∴MQ平面PAB∴QN是MN在平面PAB内的射影,取 AB的中点D,连结 PD,∵PAPB,∴C
A
PDAB,又AN3NB,∴BNND
N ∴QN//PD,∴QNAB,由三垂线定理得MNAB B
1
(2)∵APB90,PAPB,∴PDAB2,∴QN1,∵MQ平面PAB.∴MQNQ,且
MQBC
1,∴MN
2考点:三垂线定理
12、已知ABCD是矩形,PA平面ABCD,AB2,PAAD4,E为BC的中点.
(1)求证:DE平面PAE;(2)求直线DP与平面PAE所成的角. 证明:在ADE中,ADAEDE,AEDE ∵PA平面ABCD,DE平面ABCD,PADE
又PAAEA,DE平面PAE(2)DPE为DP与平面PAE所成的角
在Rt
PAD,PDRt
DCE中,DE在RtDEP中,PD2DE,DPE300 考点:线面垂直的判定,构造直角三角形
15、如图2,在三棱锥A-BCD中,BC=AC,AD=BD,作BE⊥CD,E为垂足,作AH⊥BE于H.求证:AH⊥平面BCD.证明:取AB的中点F,连结CF,DF.∵ACBC,∴CFAB.
∵ADBD,∴DFAB.
又CFDFF,∴AB平面CDF.∵CD平面CDF,∴CDAB.又CDBE,BEABB,∴CD平面ABE,CDAH.
∵AHCD,AHBE,CDBEE,∴ AH平面BCD. 考点:线面垂直的判定