学生版 高中数学立体几何常考证明题汇总

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第一篇:学生版 高中数学立体几何常考证明题汇总

立体几何常考证明题汇总

1、已知四边形ABCD是空间四边形,E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点

(1)求证:EFGH是平行四边形

(2)若

BD=AC=2,EG=2。求异面直线AC、BD所成的角和EG、BD所成的角。

C D H考点:证平行(利用三角形中位线),异面直线所成的角

2、如图,已知空间四边形ABCD中,BCAC,ADBD,E是AB的中点。求证:(1)AB平面CDE;

(2)平面CDE平面ABC。

ABC E 考点:线面垂直,面面垂直的判定

3、如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,E是AA1的中点,求证: A1C//平面BDE。

考点:线面平行的判定

4、已知ABC中ACB90,SA面ABC,ADSC,求证:AD面SBC. B C D1 D B CD C

证明:

考点:线面垂直的判定

ASBC5、已知正方体ABCDA1B1C1D1,O是底ABCD对角线的交点.D

1求证:(1)C1O∥面AB1D1;(2)A1C面AB1D1.证明:

考点:线面平行的判定(利用平行四边形),线面垂直的判定

A

D

O

A1

C1

BCB6、正方体ABCDA'B'C'D'中,求证:(1)AC平面B'D'DB;(2)BD'平面ACB'.考点:线面垂直的判定

7、正方体ABCD—A1B1C1D1中.(1)求证:平面A1BD∥平面B1D1C;(2)若E、F分别是AA1,CC1的中点,求证:平面EB1D1∥平面FBD. 证明:.

考点:线面平行的判定(利用平行四边形)

8、四面体ABCD中,ACBD,E,F分别为AD,BC的中点,且EF

BDC90,求证:BD平面ACD

A

B

AC,考点:线面垂直的判定,三角形中位线,构造直角三角形

9、如图P是ABC所在平面外一点,PAPB,CB平面PAB,M是PC的中点,N是AB上的点,AN3NB(1)求证:MNAB;(2)当APB90,AB2BC4时,求MN的长。

考点:三垂线定理

C

N

P

M

A

B10、如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,E、F、G分别是AB、AD、C1D1的中点.求证:平面D1EF∥平面BDG.考点:线面平行的判定(利用三角形中位线)

11、如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,E是AA1的中点.(1)求证:A1C//平面BDE;(2)求证:平面A1AC平面BDE.考点:线面平行的判定(利用三角形中位线),面面垂直的判定

12、已知ABCD是矩形,PA平面ABCD,AB2,PAAD4,E为BC的中点.

(1)求证:DE平面PAE;(2)求直线DP与平面PAE所成的角.

考点:线面垂直的判定,构造直角三角形

13、如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD是DAB60且边长

为a的菱形,侧面PAD是等边三角形,且平面PAD垂直于底面ABCD.(1)若G为AD的中点,求证:BG平面PAD;(2)求证:ADPB;

(3)求二面角ABCP的大小.

考点:线面垂直的判定,构造直角三角形,面面垂直的性质定理,二面角的求法(定义法)

14、如图1,在正方体ABCDA1B1C1D1中,M为CC1 的中点,AC交BD于点O,求证:A1O平面MBD. 证

考点:线面垂直的判定,运用勾股定理寻求线线垂直

15、如图2,在三棱锥A-BCD中,BC=AC,AD=BD,作BE⊥CD,E为垂足,作AH⊥BE于H.求证:AH⊥平面BCD.证明:取AB的中点F,连结CF,DF.

考点:线面垂直的判定

16、证明:在正方体ABCD-A1B1C1D1中,A1C⊥平面BC1D

A

考点:线面垂直的判定

第二篇:高中数学立体几何常考证明题汇总

新课标立体几何常考证明题

1、已知四边形ABCD是空间四边形,E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点

(1)求证:EFGH是平行四边形

(2)若

BD=AC=2,EG=2。求异面直线AC、BD所成的角和EG、BD所成的角。

C D H证明:在ABD中,∵E,H分别是AB,AD的中点∴EH//BD,EH同理,FG//BD,FG

(2)90°30 °

考点:证平行(利用三角形中位线),异面直线所成的角 1BD 21BD∴EH//FG,EHFG∴四边形EFGH是平行四边形。

22、如图,已知空间四边形ABCD中,BCAC,ADBD,E是AB的中点。求证:(1)AB平面CDE;

(2)平面CDE平面ABC。E BCAC证明:(1)CEAB AEBE

同理,ADBDDEAB AEBEB C 又∵CEDEE∴AB平面CDE

(2)由(1)有AB平面CDE

又∵AB平面ABC,∴平面CDE平面ABC

考点:线面垂直,面面垂直的判定

D3、如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,E是AA1的中点,求证: AC1//平面BDE。

证明:连接AC交BD于O,连接EO,∵E为AA1的中点,O为AC的中点 ∴EO为三角形A1AC的中位线 ∴EO//AC1 又EO在平面BDE内,A1C在平面BDE外

∴AC1//平面BDE。考点:线面平行的判定

4、已知ABC中ACB90,SA面ABC,ADSC,求证:AD面SBC. 证明:∵ACB90°BCAC

又SA面ABCSABC

BC面SACBCAD

A

D

1B

C

D

C

S

A

C

B

又SCAD,SCBCCAD面SBC考点:线面垂直的判定

9、如图P是ABC所在平面外一点,PAPB,CB平面PAB,M是PC的中点,N是AB上的点,AN3NB(1)求证:MNAB;(2)当APB90,AB2BC4时,求MN的长。证明:(1)取PA的中点Q,连结MQ,NQ,∵M是PB的中点,M

P

∴MQ//BC,∵ CB平面PAB,∴MQ平面PAB∴QN是MN在平面PAB内的射影,取 AB的中点D,连结 PD,∵PAPB,∴C

A

PDAB,又AN3NB,∴BNND

N ∴QN//PD,∴QNAB,由三垂线定理得MNAB B

1

(2)∵APB90,PAPB,∴PDAB2,∴QN1,∵MQ平面PAB.∴MQNQ,且

MQBC

1,∴MN

2考点:三垂线定理

12、已知ABCD是矩形,PA平面ABCD,AB2,PAAD4,E为BC的中点.

(1)求证:DE平面PAE;(2)求直线DP与平面PAE所成的角. 证明:在ADE中,ADAEDE,AEDE ∵PA平面ABCD,DE平面ABCD,PADE

又PAAEA,DE平面PAE(2)DPE为DP与平面PAE所成的角

在Rt

PAD,PDRt

DCE中,DE在RtDEP中,PD2DE,DPE300 考点:线面垂直的判定,构造直角三角形

15、如图2,在三棱锥A-BCD中,BC=AC,AD=BD,作BE⊥CD,E为垂足,作AH⊥BE于H.求证:AH⊥平面BCD.证明:取AB的中点F,连结CF,DF.∵ACBC,∴CFAB.

∵ADBD,∴DFAB.

又CFDFF,∴AB平面CDF.∵CD平面CDF,∴CDAB.又CDBE,BEABB,∴CD平面ABE,CDAH.

∵AHCD,AHBE,CDBEE,∴ AH平面BCD. 考点:线面垂直的判定

第三篇:高中数学立体几何常考证明题汇总 - 副本

立体几何常考证明题汇总答案

1、已知四边形ABCD是空间四边形,E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点(1)求证:EFGH是平行四边形

(2)若

BD=AC=2,EG=2。求异面直线AC、BD所成的角和EG、BD所成的角。考点:证平行(利用三角形中位线),异面直线所成的角

2、如图,已知空间四边形ABCD中,BCAC,ADBD,E是AB的中点。求证:(1)AB平面CDE;

(2)平面CDE平面ABC。证明:(1)

E

C

H D

BCAC

CEAB

AEBE

B

同理,ADBD

DEAB

AEBE

C

又∵CEDEE∴AB平面CDE(2)由(1)有AB平面CDE

又∵AB平面ABC,∴平面CDE平面ABC

B

考点:线面垂直,面面垂直的判定

3、如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,E是AA1的中点,A

D

D

1C

求证: AC1//平面BDE。

证明:连接AC交BD于O,连接EO,∵E为AA1的中点,O为AC的中点

C

D

S

∴EO为三角形A1AC的中位线 ∴EO//AC1 又EO在平面BDE内,AC1在平面BDE外 ∴AC1//平面BDE。考点:线面平行的判定

4、已知ABC中ACB90,SA面ABC,ADSC,求证:AD面SBC. 考点:线面垂直的判定

5、已知正方体ABCDA1B1C1D1,O是底ABCD对角线的交点.

A

C

B

D1A

1D

A

BBC1

面AB1D1.求证:(1)C1O∥面AB1D1;(2)AC1

C

考点:线面平行的判定(利用平行四边形),线面垂直的判定

6、正方体ABCDA'B'C'D'中,求证:(1)AC平面B'D'DB;(2)BD'平面ACB'.考点:线面垂直的判定

7、正方体ABCD—A1B1C1D1中.(1)求证:平面A1BD∥平面B1D1C;(2)若E、F分别是AA1,CC1的中点,求证:平面EB1D1∥平面FBD. 证明:(1)由B1B∥DD1,得四边形BB1D1D是平行四边形,∴B1D1∥BD,又BD 平面B1D1C,B1D1平面B1D1C,∴BD∥平面B1D1C. 同理A1D∥平面B1D1C.

而A1D∩BD=D,∴平面A1BD∥平面B1CD.

A

(2)由BD∥B1D1,得BD∥平面EB1D1.取BB1中点G,∴AE∥B1G.

从而得B1E∥AG,同理GF∥AD.∴AG∥DF.∴B1E∥DF.∴DF∥平面EB1D1.∴平面EB1D1∥平面FBD.

考点:线面平行的判定(利用平行四边形)

8、四面体ABCD中,ACBD,E,F分别为AD,BC的中点,且EF

AC,2BDC90,求证:BD平面ACD

证明:取CD的中点G,连结EG,FG,∵E,F分别为AD,BC的中点,∴EG

1//AC 2

//1BD,又ACBD,∴FG1AC,∴在EFG中,EG2FG21AC2EF2 FG

222

∴EGFG,∴BDAC,又BDC90,即BDCD,ACCDC∴BD平面ACD

考点:线面垂直的判定,三角形中位线,构造直角三角形

9、如图P是ABC所在平面外一点,PAPB,CB平面PAB,M是PC的中点,N是AB上的点,AN3NB

P

(1)求证:MNAB;(2)当APB90,AB2BC4时,求MN的长。证明:(1)取PA的中点Q,连结MQ,NQ,∵M是PB的中点,M∴MQ//BC,∵ CB平面PAB,∴MQ平面PAB∴QN是MN在平面PAB内的射影,取 AB的中点D,连结 PD,∵PAPB,∴CAPDAB,又AN3NB,∴BNND

N ∴QN//PD,∴QNAB,由三垂线定理得MNAB B

1

(2)∵APB90,PAPB,∴PDAB2,∴QN1,∵MQ平面PAB.∴MQNQ,且

MQBC

1,∴MN

2考点:三垂线定理

10、如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,E、F、G分别是AB、AD、C1D1的中点.求证:平面D1EF∥平面BDG.证明:∵E、F分别是AB、AD的中点,EF∥BD 又EF平面BDG,BD平面BDGEF∥平面BDG ∵D

1G

EB四边形D1GBE为平行四边形,D1E∥GB

又D1E平面BDG,GB平面BDGD1E∥平面BDG

EFD1EE,平面D1EF∥平面BDG

考点:线面平行的判定(利用三角形中位线)

11、如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,E是AA1的中点.(1)求证:AC1//平面BDE;(2)求证:平面A1AC平面BDE.证明:(1)设ACBDO,∵E、O分别是AA1、AC的中点,AC1∥EO

平面BDE,EO平面BDE,AC又AC∥平面BDE 1

1(2)∵AA1平面ABCD,BD平面ABCD,AA1BD 又BDAC,ACAA1A,BD平面A1AC,BD平面BDE,平面BDE平面A1AC

考点:线面平行的判定(利用三角形中位线),面面垂直的判定

12、已知ABCD是矩形,PA平面ABCD,AB2,PAAD4,E为BC的中点.

(1)求证:DE平面PAE;(2)求直线DP与平面PAE所成的角. 证明:在ADE中,ADAEDE,AEDE ∵PA平面ABCD,DE平面ABCD,PADE 又PAAEA,DE平面PAE(2)DPE为DP与平面PAE所成的角

在Rt

PAD,PDRt

DCE中,DE在RtDEP中,PD2DE,DPE30 考点:线面垂直的判定,构造直角三角形

13、如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD是DAB60且边长为a的菱形,侧面PAD是等边三角形,且平面PAD垂直于底面ABCD.

(1)若G为AD的中点,求证:BG平面PAD;(2)求证:ADPB;

(3)求二面角ABCP的大小. 证明:(1)ABD为等边三角形且G为AD的中点,BGAD 又平面PAD平面ABCD,BG平面PAD

(2)PAD是等边三角形且G为AD的中点,ADPG 且ADBG,PGBGG,AD平面PBG,22

2PB平面PBG,ADPB

(3)由ADPB,AD∥BC,BCPB 又BGAD,AD∥BC,BGBC PBG为二面角ABCP的平面角

在RtPBG中,PGBG,PBG4

5考点:线面垂直的判定,构造直角三角形,面面垂直的性质定理,二面角的求法(定义法)

平面MBD.

14、如图1,在正方体ABCDA1B1C1D1中,M为CC1 的中点,AC交BD于点O,求证:AO

1证明:连结MO,A1M,∵DB⊥A1A,DB⊥AC,A1AACA,平面A1ACC1 ∴DB⊥AO∴DB⊥平面A1ACC1,而AO1.1

设正方体棱长为a,则AO1

3a,MO2a2. 2

4.在Rt△ACA1M211M中,9222

2OOM∵AO,∴AMOA1Ma.11

∵OM∩DB=O,∴ AO1⊥平面MBD.

考点:线面垂直的判定,运用勾股定理寻求线线垂直 15、如图2,在三棱锥A-BCD中,BC=AC,AD=BD,作BE⊥CD,E为垂足,作AH⊥BE于H.求证:AH⊥平面BCD.证明:取AB的中点F,连结CF,DF.∵ACBC,∴CFAB.

∵ADBD,∴DFAB.

又CFDFF,∴AB平面CDF.∵CD平面CDF,∴CDAB.又CDBE,BEABB,∴CD平面ABE,CDAH.

∵AHCD,AHBE,CDBEE,∴ AH平面BCD.

考点:线面垂直的判定

A16、证明:在正方体ABCD-A1B1C1D1中,A1C⊥平面BC1DC证明:连结AC

⊥AC∵BD∴ AC为A1C在平面AC上的射影

BDA1C

A1C平面BC1D

同理可证A1CBC1

考点:线面垂直的判定,三垂线定理

17、如图,过S引三条长度相等但不共面的线段SA、SB、SC,且∠ASB=∠ASC=60°,∠BSC=90°,求证:平面ABC⊥平面BSC.

证明∵SB=SA=SC,∠ASB=∠ASC=60°∴AB=SA=AC取BC的中点O,连AO、SO,则AO⊥BC,SO⊥BC,∴∠AOS为二面角的平面角,设SA=SB=SC=a,又∠BSC=90°,∴BC=a,SO=2a,11

AO2=AC2-OC2=a2-2a2=2a2,∴SA2=AO2+OS2,∴∠AOS=90°,从而平面ABC⊥

平面BSC.

考点:面面垂直的判定(证二面角是直二面角)

第四篇:(学生用)高中数学立体几何常考证明题汇总.

新课标立体几何常考证明题汇总

1、已知四边形 ABCD 是空间四边形, , , , E F G H 分别是边 , , , AB BC CD DA 的中点(1 求证:EFGH 是平行四边形

(2 若

BD=AC=2, EG=2。求异面直线 AC、BD 所成的角和 EG、BD 所成的角。

考点:证平行(利用三角形中位线 ,异面直线所成的角

2、如图,已知空间四边形 ABCD 中, , BC AC AD BD ==, E 是 AB 的中点。求证:(1 ⊥AB平面 CDE;(2平面 CDE ⊥平面 ABC。考点:线面垂直,面面垂直的判定

3、如图,在正方体 1111ABCD A BC D-中, E 是 1AA 的中点, 求证: 1//AC平面 BDE。考点:线面平行的判定 A D 1 C B D C H

D C E D B C N M P C B A

4、已知 ABC ∆中 90ACB ∠= , SA ⊥面 ABC , AD SC ⊥, 求证:AD ⊥面 SBC.考点:线面垂直的判定

5、已知正方体 1111ABCD A BC D-, O 是底 ABCD 对角线的交点.求证:(1 C1O ∥面 11AB D;(21 AC ⊥面 11AB D.考点:线面平行的判定(利用平行四边形 ,线面垂直的判定

6、正方体 ' ' ' ' ABCD A B C D-中,求证:(1 ' ' AC B D DB ⊥平面;(2 ' ' BD ACB ⊥平面.考点:线面垂直的判定

7、正方体 ABCD — A 1B 1C 1D 1中.(1求证:平面 A 1BD ∥平面 B 1D 1C;(2若 E、F 分别是 AA 1, CC 1的中点,求证:平面 EB 1D 1∥平面 FBD..考点:线面平行的判定(利用平行四边形

8、四面体 ABCD 中, , , AC BD E F =分别为 , AD BC 的中点,且 EF AC = , 90BDC ∠= ,求证:BD ⊥平面 ACD 考点:线面垂直的判定 , 三角形中位线,构造直角三角形

9、如图 P 是 ABC ∆所在平面外一点, , PA PB CB =⊥平面 PAB , M 是 PC 的中点, N 是 AB 上的点, 3AN NB =(1求证:MN AB ⊥;(2当 90APB ∠= , 24AB BC ==时,求 MN 的长。考点:三垂线定理 S C B

A D D B C 1 B A 1

C A

10、如图,在正方体 1111ABCD A BC D-中, E、F、G 分别是 AB、AD、11C D 的中点.求证:平面 1D EF ∥平面 BDG.考点:线面平行的判定(利用三角形中位线

11、如图,在正方体 1111ABCD A BC D-中, E 是 1AA 的中点.(1求证:1//AC平面

BDE;(2求证:平面 1A AC ⊥平面 BDE.考点:线面平行的判定(利用三角形中位线 ,面面垂直的判定

12、已知 ABCD 是矩形, PA ⊥平面 ABCD , 2AB =, 4PA AD ==, E 为 BC 的中点.(1求证:DE ⊥平面 PAE;(2求直线 DP 与平面 PAE 所成的角.考点:线面垂直的判定 , 构造直角三角形

13、如图, 在四棱锥 P ABCD-中, 底面 ABCD 是 0 60DAB ∠=且边长为 a 的菱形, 侧面 PAD 是等边三角形, 且平面 PAD 垂直于底面 ABCD.(1若 G 为 AD 的中点,求证:BG ⊥平面 PAD;(2求证:AD PB ⊥;(3求二面角 A BC P--的大小.考点:线面垂直的判定 , 构造直角三角形 , 面面垂直的性质定理,二面角的求法(定义法

14、如图 1, 在正方体 1111ABCD A BC D-中, M 为 1CC 的中点, AC 交 BD 于点 O ,求证:1 AO ⊥平面 MBD.考点:线面垂直的判定,运用勾股定理寻求线线垂直

15、如图2,在三棱锥 A-BCD 中, BC =AC , AD =BD , 作 BE ⊥ CD , E 为垂足,作 AH ⊥ BE 于 H.求证:AH ⊥平面 BCD.考点:线面垂直的判定

17、如图,过 S 引三条长度相等但不共面的线段 SA、SB、SC ,且∠ ASB=∠ ASC=60°,∠ BSC=90°,求证:平面 ABC ⊥平面 BSC.考点:面面垂直的判定(证二面角是直二面角

第五篇:高中数学立体几何常考证明题汇总1

2、如图,已知空间四边形ABCD中,BCAC,ADBD,E是AB的中点。求证:(1)AB平面CDE;

(2)平面CDE平面ABC。证明:(1)

E

BCAC

CEAB

AEBE

B

ADBD同理,DEAB

AEBE

又∵CEDEE∴AB平面CDE(2)由(1)有AB平面CDE

C

D

又∵AB平面ABC,∴平面CDE平面ABC 考点:线面垂直,面面垂直的判定

3、如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,E是AA1的中点,求证: AC1//平面BDE。

证明:连接AC交BD于O,连接EO,∵E为AA1的中点,O为AC的中点 ∴EO为三角形A1AC的中位线 ∴EO//AC1 又EO在平面BDE内,A1C在平面BDE外

∴AC1//平面BDE。考点:线面平行的判定

4、已知ABC中ACB90,SA面ABC,ADSC,求证:AD面SBC. 证明:∵ACB90°BCAC

又SA面ABCSABCBC面SACBCAD

A

D

1B

C

D

C

S

A

C

B

又SCAD,SCBCCAD面SBC考点:线面垂直的判定

5、已知正方体ABCDA1B1C1D1,O是底ABCD对角线的交点.DA

D

A

BBC

1面AB1D1.求证:(1)C1O∥面AB1D1;(2)AC1

证明:(1)连结A1C1,设

AC11B1D1O1,连结AO1

∵ ABCDA1B1C1D1是正方体A1ACC1是平行四边形

∴A1C1∥AC且 AC11AC又O1,O分别是AC11,AC的中点,∴O1C1∥AO且O1C1AO

C

AOC1O1是平行四边形

C1O∥AO1,AO1

面AB1D1,C1O面AB1D1∴C1O∥面AB1D1

(2)CC1面A1B1C1D1CC!1B1D又

∵AC11B1D1

同理可证

ACAD11,B1D1面A1C1C即A1CB 1D1,又

D1B1AD1D1

面AB1D1AC1

考点:线面平行的判定(利用平行四边形),线面垂直的判定

6、正方体ABCDA'B'C'D'中,求证:(1)AC平面B'D'DB;(2)BD'平面ACB'.考点:线面垂直的判定

7、正方体ABCD—A1B1C1D1中.(1)求证:平面A1BD∥平面B1D1C;(2)若E、F分别是AA1,CC1的中点,求证:平面EB1D1∥平面FBD. 证明:(1)由B1B∥DD1,得四边形BB1D1D是平行四边形,∴B1D1∥BD,又BD 平面B1D1C,B1D1平面B1D1C,∴BD∥平面B1D1C. 同理A1D∥平面B1D1C.

而A1D∩BD=D,∴平面A1BD∥平面B1CD.

A

(2)由BD∥B1D1,得BD∥平面EB1D1.取BB1中点G,∴AE∥B1G.

从而得B1E∥AG,同理GF∥AD.∴AG∥DF.∴B1E∥DF.∴DF∥平面EB1D1.∴平面EB1D1∥平面FBD.

考点:线面平行的判定(利用平行四边形)

8、四面体ABCD中,ACBD,E,F分别为AD,BC的中点,且EF

AC,2BDC90,求证:BD平面ACD

证明:取CD的中点G,连结EG,FG,∵E,F分别为AD,BC的中点,∴EG

1//AC 2

//1BD,又ACBD,∴FG1AC,∴在EFG中,EG2FG21AC2EF2 FG

222

∴EGFG,∴BDAC,又BDC90,即BDCD,ACCDC∴BD平面ACD

考点:线面垂直的判定,三角形中位线,构造直角三角形

考点:三垂线定理

10、如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,E、F、G分别是AB、AD、C1D1的中点.求证:平面D1EF∥平面BDG.证明:∵E、F分别是AB、AD的中点,EF∥BD 又EF平面BDG,BD平面BDGEF∥平面BDG ∵D

1G

EB四边形D1GBE为平行四边形,D1E∥GB

又D1E平面BDG,GB平面BDGD1E∥平面BDG

EFD1EE,平面D1EF∥平面BDG

考点:线面平行的判定(利用三角形中位线)

11、如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,E是AA1的中点.(1)求证:AC1//平面BDE;(2)求证:平面A1AC平面BDE.证明:(1)设ACBDO,∵E、O分别是AA1、AC的中点,A1C∥EO

平面BDE,EO平面BDE,A1C∥平面BDE 又AC

1(2)∵AA1平面ABCD,BD平面ABCD,AA1BD 又BDAC,ACAA1A,BD平面A1AC,BD平面BDE,平面BDE平面A1AC

考点:线面平行的判定(利用三角形中位线),面面垂直的判定

12、已知ABCD是矩形,PA平面ABCD,AB2,PAAD4,E为BC的中点.

(1)求证:DE平面PAE;(2)求直线DP与平面PAE所成的角. 证明:在ADE中,ADAEDE,AEDE ∵PA平面ABCD,DE平面ABCD,PADE

又PAAEA,DE平面PAE(2)DPE为DP与平面PAE所成的角

在Rt

PAD,PDRt

DCE中,DE在RtDEP中,PD2DE,DPE300 考点:线面垂直的判定,构造直角三角形

13、如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD是DAB600且边长为a的菱形,侧面PAD是等边三角形,且平面PAD垂直于底面ABCD.

(1)若G为AD的中点,求证:BG平面PAD;(2)求证:ADPB;证明:(1)ABD为等边三角形且G为AD的中点,BGAD 又平面PAD平面ABCD,BG平面PAD

(2)PAD是等边三角形且G为AD的中点,ADPG 且ADBG,PGBGG,AD平面PBG,PB平面PBG,ADPB

平面MBD.

14、如图1,在正方体ABCDA1B1C1D1中,M为CC1 的中点,AC交BD于点O,求证:AO

1证明:连结MO,A1M,∵DB⊥A1A,DB⊥AC,A1AACA,平面A1ACC1 ∴DB⊥A1O.∴DB⊥平面A1ACC1,而AO1

2设正方体棱长为a,则AO1

3a,MO2a2. 2

4.在Rt△ACA1M211M中,9222

2OOMMOA1M∵AO,∴Aa.11

∵OM∩DB=O,∴ A1O⊥平面MBD.

考点:线面垂直的判定,运用勾股定理寻求线线垂直 15、如图2,在三棱锥A-BCD中,BC=AC,AD=BD,作BE⊥CD,E为垂足,作AH⊥BE于H.求证:AH⊥平面BCD.证明:取AB的中点F,连结CF,DF.∵ACBC,∴CFAB.

∵ADBD,∴DFAB.

又CFDFF,∴AB平面CDF.∵CD平面CDF,∴CDAB.又CDBE,BEABB,∴CD平面ABE,CDAH.

∵AHCD,AHBE,CDBEE,∴ AH平面BCD. 考点:线面垂直的判定

16、证明:在正方体ABCD-A1B1C1D1中,A1C⊥平面BC1D

A

C

证明:连结AC

⊥AC∵BD∴ AC为A1C在平面AC上的射影

BDA1C

A1C平面BC1D

同理可证A1CBC1

考点:线面垂直的判定,三垂线定理

17、如图,过S引三条长度相等但不共面的线段SA、SB、SC,且∠ASB=∠ASC=60°,∠BSC=90°,求证:平面ABC⊥平面BSC.

证明∵SB=SA=SC,∠ASB=∠ASC=60°∴AB=SA=AC取BC的中点O,连AO、SO,则AO⊥BC,SO⊥BC,∴∠AOS为二面角的平面角,设SA=SB=SC=a,又∠BSC=90°,∴BC=2a,SO=2a,11

AO2=AC2-OC2=a2-2a2=2a2,∴SA2=AO2+OS2,∴∠AOS=90°,从而平面ABC⊥

平面BSC.

考点:面面垂直的判定(证二面角是直二面角)

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