学生版 高中数学立体几何常考证明题汇总

第一篇：学生版 高中数学立体几何常考证明题汇总

立体几何常考证明题汇总

1、已知四边形ABCD是空间四边形，E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点

（1）求证：EFGH是平行四边形

（2）若

BD=AC=2，EG=2。求异面直线AC、BD所成的角和EG、BD所成的角。

C D H考点：证平行（利用三角形中位线），异面直线所成的角

2、如图，已知空间四边形ABCD中，BCAC,ADBD，E是AB的中点。求证：（1）AB平面CDE;

（2）平面CDE平面ABC。

ABC E 考点：线面垂直，面面垂直的判定

3、如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是AA1的中点，求证： A1C//平面BDE。

考点：线面平行的判定



4、已知ABC中ACB90,SA面ABC,ADSC,求证：AD面SBC． B C D1 D B CD C

证明：

考点：线面垂直的判定

ASBC5、已知正方体ABCDA1B1C1D1，O是底ABCD对角线的交点.D

1求证：(１)C1O∥面AB1D1；(2)A1C面AB1D1．证明：

考点：线面平行的判定（利用平行四边形），线面垂直的判定

A

D

O

A1

C1

BCB6、正方体ABCDA'B'C'D'中，求证：（1）AC平面B'D'DB；（2）BD'平面ACB'.考点：线面垂直的判定

7、正方体ABCD—A1B1C1D1中．(1)求证：平面A1BD∥平面B1D1C；(2)若E、F分别是AA1，CC1的中点，求证：平面EB1D1∥平面FBD． 证明：．

考点：线面平行的判定（利用平行四边形）

8、四面体ABCD中，ACBD,E,F分别为AD,BC的中点，且EF

BDC90，求证：BD平面ACD



A

B

AC，考点：线面垂直的判定,三角形中位线，构造直角三角形

9、如图P是ABC所在平面外一点，PAPB,CB平面PAB，M是PC的中点，N是AB上的点，AN3NB（1）求证：MNAB；（2）当APB90，AB2BC4时，求MN的长。

考点：三垂线定理

C

N

P

M

A

B10、如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F、G分别是AB、AD、C1D1的中点.求证：平面D1EF∥平面BDG.考点：线面平行的判定（利用三角形中位线）

11、如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是AA1的中点.（1）求证：A1C//平面BDE；（2）求证：平面A1AC平面BDE.考点：线面平行的判定（利用三角形中位线），面面垂直的判定

12、已知ABCD是矩形，PA平面ABCD，AB2，PAAD4，E为BC的中点．

（1）求证：DE平面PAE；（2）求直线DP与平面PAE所成的角．

考点：线面垂直的判定,构造直角三角形

13、如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是DAB60且边长

为a的菱形，侧面PAD是等边三角形，且平面PAD垂直于底面ABCD．（1）若G为AD的中点，求证：BG平面PAD；（2）求证：ADPB；

（3）求二面角ABCP的大小．

考点：线面垂直的判定,构造直角三角形,面面垂直的性质定理，二面角的求法（定义法）

14、如图1,在正方体ABCDA1B1C1D1中，M为CC1 的中点，AC交BD于点O，求证：A1O平面MBD． 证

考点：线面垂直的判定，运用勾股定理寻求线线垂直

15、如图２，在三棱锥Ａ－BCD中，BC＝AC，AD＝BD，作BE⊥CD，Ｅ为垂足，作AH⊥BE于Ｈ．求证：AH⊥平面BCD．证明：取AB的中点Ｆ，连结CF，DF．

考点：线面垂直的判定

16、证明：在正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1C⊥平面BC1D

A

考点：线面垂直的判定

第二篇：高中数学立体几何常考证明题汇总

新课标立体几何常考证明题

1、已知四边形ABCD是空间四边形，E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点

（1）求证：EFGH是平行四边形

（2）若

BD=AC=2，EG=2。求异面直线AC、BD所成的角和EG、BD所成的角。

C D H证明：在ABD中，∵E,H分别是AB,AD的中点∴EH//BD,EH同理，FG//BD,FG

(2)90°30 °

考点：证平行（利用三角形中位线），异面直线所成的角 1BD 21BD∴EH//FG,EHFG∴四边形EFGH是平行四边形。

22、如图，已知空间四边形ABCD中，BCAC,ADBD，E是AB的中点。求证：（1）AB平面CDE;

（2）平面CDE平面ABC。E BCAC证明：（1）CEAB AEBE

同理，ADBDDEAB AEBEB C 又∵CEDEE∴AB平面CDE

（2）由（1）有AB平面CDE

又∵AB平面ABC，∴平面CDE平面ABC

考点：线面垂直，面面垂直的判定

D3、如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是AA1的中点，求证： AC1//平面BDE。

证明：连接AC交BD于O，连接EO，∵E为AA1的中点，O为AC的中点 ∴EO为三角形A1AC的中位线 ∴EO//AC1 又EO在平面BDE内，A1C在平面BDE外

∴AC1//平面BDE。考点：线面平行的判定

4、已知ABC中ACB90,SA面ABC,ADSC,求证：AD面SBC． 证明：∵ACB90°BCAC

又SA面ABCSABC

BC面SACBCAD



A

D

1B

C

D

C

S

A

C

B

又SCAD,SCBCCAD面SBC考点：线面垂直的判定

9、如图P是ABC所在平面外一点，PAPB,CB平面PAB，M是PC的中点，N是AB上的点，AN3NB（1）求证：MNAB；（2）当APB90，AB2BC4时，求MN的长。证明：（1）取PA的中点Q，连结MQ,NQ，∵M是PB的中点，M



P

∴MQ//BC，∵ CB平面PAB，∴MQ平面PAB∴QN是MN在平面PAB内的射影，取 AB的中点D，连结 PD，∵PAPB,∴C

A

PDAB，又AN3NB，∴BNND

N ∴QN//PD，∴QNAB，由三垂线定理得MNAB B

1

（2）∵APB90，PAPB,∴PDAB2，∴QN1，∵MQ平面PAB.∴MQNQ，且

MQBC

1，∴MN

2考点：三垂线定理

12、已知ABCD是矩形，PA平面ABCD，AB2，PAAD4，E为BC的中点．

（1）求证：DE平面PAE；（2）求直线DP与平面PAE所成的角． 证明：在ADE中，ADAEDE，AEDE ∵PA平面ABCD，DE平面ABCD，PADE

又PAAEA，DE平面PAE（2）DPE为DP与平面PAE所成的角

在Rt

PAD，PDRt

DCE中，DE在RtDEP中，PD2DE，DPE300 考点：线面垂直的判定,构造直角三角形

15、如图２，在三棱锥Ａ－BCD中，BC＝AC，AD＝BD，作BE⊥CD，Ｅ为垂足，作AH⊥BE于Ｈ．求证：AH⊥平面BCD．证明：取AB的中点Ｆ，连结CF，DF．∵ACBC，∴CFAB．

∵ADBD，∴DFAB．

又CFDFF，∴AB平面CDF．∵CD平面CDF，∴CDAB．又CDBE，BEABB，∴CD平面ABE，CDAH．

∵AHCD，AHBE，CDBEE，∴ AH平面BCD． 考点：线面垂直的判定

第三篇：高中数学立体几何常考证明题汇总 - 副本

立体几何常考证明题汇总答案

1、已知四边形ABCD是空间四边形，E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点（1）求证：EFGH是平行四边形

（2）若

BD=AC=2，EG=2。求异面直线AC、BD所成的角和EG、BD所成的角。考点：证平行（利用三角形中位线），异面直线所成的角

2、如图，已知空间四边形ABCD中，BCAC,ADBD，E是AB的中点。求证：（1）AB平面CDE;

（2）平面CDE平面ABC。证明：（1）

E

C

H D

BCAC

CEAB

AEBE

B

同理，ADBD

DEAB

AEBE

C

又∵CEDEE∴AB平面CDE（2）由（1）有AB平面CDE

又∵AB平面ABC，∴平面CDE平面ABC

B

考点：线面垂直，面面垂直的判定

3、如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是AA1的中点，A

D

D

1C

求证： AC1//平面BDE。

证明：连接AC交BD于O，连接EO，∵E为AA1的中点，O为AC的中点

C

D

S

∴EO为三角形A1AC的中位线 ∴EO//AC1 又EO在平面BDE内，AC1在平面BDE外 ∴AC1//平面BDE。考点：线面平行的判定

4、已知ABC中ACB90,SA面ABC,ADSC,求证：AD面SBC． 考点：线面垂直的判定

5、已知正方体ABCDA1B1C1D1，O是底ABCD对角线的交点.

A

C

B

D1A

1D

A

BBC1

面AB1D1．求证：(１)C1O∥面AB1D1；(2)AC1

C

考点：线面平行的判定（利用平行四边形），线面垂直的判定

6、正方体ABCDA'B'C'D'中，求证：（1）AC平面B'D'DB；（2）BD'平面ACB'.考点：线面垂直的判定

7、正方体ABCD—A1B1C1D1中．(1)求证：平面A1BD∥平面B1D1C；(2)若E、F分别是AA1，CC1的中点，求证：平面EB1D1∥平面FBD． 证明：(1)由B1B∥DD1，得四边形BB1D1D是平行四边形，∴B1D1∥BD，又BD 平面B1D1C，B1D1平面B1D1C，∴BD∥平面B1D1C． 同理A1D∥平面B1D1C．

而A1D∩BD＝D，∴平面A1BD∥平面B1CD．

A

(2)由BD∥B1D1，得BD∥平面EB1D1．取BB1中点G，∴AE∥B1G．

从而得B1E∥AG，同理GF∥AD．∴AG∥DF．∴B1E∥DF．∴DF∥平面EB1D1．∴平面EB1D1∥平面FBD．

考点：线面平行的判定（利用平行四边形）

8、四面体ABCD中，ACBD,E,F分别为AD,BC的中点，且EF

AC，2BDC90，求证：BD平面ACD

证明：取CD的中点G，连结EG,FG，∵E,F分别为AD,BC的中点，∴EG

1//AC 2

//1BD，又ACBD,∴FG1AC，∴在EFG中，EG2FG21AC2EF2 FG

222



∴EGFG，∴BDAC，又BDC90，即BDCD，ACCDC∴BD平面ACD

考点：线面垂直的判定,三角形中位线，构造直角三角形

9、如图P是ABC所在平面外一点，PAPB,CB平面PAB，M是PC的中点，N是AB上的点，AN3NB

P



（1）求证：MNAB；（2）当APB90，AB2BC4时，求MN的长。证明：（1）取PA的中点Q，连结MQ,NQ，∵M是PB的中点，M∴MQ//BC，∵ CB平面PAB，∴MQ平面PAB∴QN是MN在平面PAB内的射影，取 AB的中点D，连结 PD，∵PAPB,∴CAPDAB，又AN3NB，∴BNND

N ∴QN//PD，∴QNAB，由三垂线定理得MNAB B

1

（2）∵APB90，PAPB,∴PDAB2，∴QN1，∵MQ平面PAB.∴MQNQ，且

MQBC

1，∴MN

2考点：三垂线定理

10、如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F、G分别是AB、AD、C1D1的中点.求证：平面D1EF∥平面BDG.证明：∵E、F分别是AB、AD的中点，EF∥BD 又EF平面BDG，BD平面BDGEF∥平面BDG ∵D

1G

EB四边形D1GBE为平行四边形，D1E∥GB

又D1E平面BDG，GB平面BDGD1E∥平面BDG

EFD1EE，平面D1EF∥平面BDG

考点：线面平行的判定（利用三角形中位线）

11、如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是AA1的中点.（1）求证：AC1//平面BDE；（2）求证：平面A1AC平面BDE.证明：（1）设ACBDO，∵E、O分别是AA1、AC的中点，AC1∥EO

平面BDE，EO平面BDE，AC又AC∥平面BDE 1

1（2）∵AA1平面ABCD，BD平面ABCD，AA1BD 又BDAC，ACAA1A，BD平面A1AC，BD平面BDE，平面BDE平面A1AC

考点：线面平行的判定（利用三角形中位线），面面垂直的判定

12、已知ABCD是矩形，PA平面ABCD，AB2，PAAD4，E为BC的中点．

（1）求证：DE平面PAE；（2）求直线DP与平面PAE所成的角． 证明：在ADE中，ADAEDE，AEDE ∵PA平面ABCD，DE平面ABCD，PADE 又PAAEA，DE平面PAE（2）DPE为DP与平面PAE所成的角

在Rt

PAD，PDRt

DCE中，DE在RtDEP中，PD2DE，DPE30 考点：线面垂直的判定,构造直角三角形

13、如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是DAB60且边长为a的菱形，侧面PAD是等边三角形，且平面PAD垂直于底面ABCD．

（1）若G为AD的中点，求证：BG平面PAD；（2）求证：ADPB；

（3）求二面角ABCP的大小． 证明：（1）ABD为等边三角形且G为AD的中点，BGAD 又平面PAD平面ABCD，BG平面PAD

（2）PAD是等边三角形且G为AD的中点，ADPG 且ADBG，PGBGG，AD平面PBG，22

2PB平面PBG，ADPB

（3）由ADPB，AD∥BC，BCPB 又BGAD，AD∥BC，BGBC PBG为二面角ABCP的平面角

在RtPBG中，PGBG，PBG4

5考点：线面垂直的判定,构造直角三角形,面面垂直的性质定理，二面角的求法（定义法）

平面MBD．

14、如图1,在正方体ABCDA1B1C1D1中，M为CC1 的中点，AC交BD于点O，求证：AO

1证明：连结MO，A1M，∵DB⊥A1A，DB⊥AC，A1AACA，平面A1ACC1 ∴DB⊥AO∴DB⊥平面A1ACC1，而AO1．1

设正方体棱长为a，则AO1

3a，MO2a2． 2

4．在Rt△ACA1M211M中，9222

2OOM∵AO，∴AMOA1Ma．11

∵OM∩DB=O，∴ AO1⊥平面MBD．

考点：线面垂直的判定，运用勾股定理寻求线线垂直 15、如图２，在三棱锥Ａ－BCD中，BC＝AC，AD＝BD，作BE⊥CD，Ｅ为垂足，作AH⊥BE于Ｈ．求证：AH⊥平面BCD．证明：取AB的中点Ｆ，连结CF，DF．∵ACBC，∴CFAB．

∵ADBD，∴DFAB．

又CFDFF，∴AB平面CDF．∵CD平面CDF，∴CDAB．又CDBE，BEABB，∴CD平面ABE，CDAH．

∵AHCD，AHBE，CDBEE，∴ AH平面BCD．

考点：线面垂直的判定

A16、证明：在正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1C⊥平面BC1DC证明：连结AC

⊥AC∵BD∴ AC为A1C在平面AC上的射影

BDA1C



A1C平面BC1D

同理可证A1CBC1

考点：线面垂直的判定，三垂线定理

17、如图，过S引三条长度相等但不共面的线段SA、SB、SC，且∠ASB=∠ASC=60°，∠BSC=90°，求证：平面ABC⊥平面BSC．

证明∵SB=SA=SC，∠ASB=∠ASC=60°∴AB=SA=AC取BC的中点O，连AO、SO，则AO⊥BC，SO⊥BC，∴∠AOS为二面角的平面角，设SA=SB=SC=a，又∠BSC=90°，∴BC=a，SO=2a，11

AO2=AC2－OC2=a2－2a2=2a2，∴SA2=AO2+OS2，∴∠AOS=90°，从而平面ABC⊥

平面BSC．

考点：面面垂直的判定（证二面角是直二面角）

第四篇：(学生用)高中数学立体几何常考证明题汇总.

新课标立体几何常考证明题汇总

1、已知四边形 ABCD 是空间四边形, , , , E F G H 分别是边 , , , AB BC CD DA 的中点(1 求证:EFGH 是平行四边形

(2 若

BD=AC=2, EG=2。求异面直线 AC、BD 所成的角和 EG、BD 所成的角。

考点:证平行(利用三角形中位线 ,异面直线所成的角

2、如图,已知空间四边形 ABCD 中, , BC AC AD BD ==, E 是 AB 的中点。求证:(1 ⊥AB平面 CDE;(2平面 CDE ⊥平面 ABC。考点:线面垂直,面面垂直的判定

3、如图,在正方体 1111ABCD A BC D-中, E 是 1AA 的中点, 求证: 1//AC平面 BDE。考点:线面平行的判定 A D 1 C B D C H

D C E D B C N M P C B A

4、已知 ABC ∆中 90ACB ∠= , SA ⊥面 ABC , AD SC ⊥, 求证:AD ⊥面 SBC.考点:线面垂直的判定

5、已知正方体 1111ABCD A BC D-, O 是底 ABCD 对角线的交点.求证:(1 C1O ∥面 11AB D;(21 AC ⊥面 11AB D.考点:线面平行的判定(利用平行四边形 ,线面垂直的判定

6、正方体 ' ' ' ' ABCD A B C D-中,求证:(1 ' ' AC B D DB ⊥平面;(2 ' ' BD ACB ⊥平面.考点:线面垂直的判定

7、正方体 ABCD — A 1B 1C 1D 1中.(1求证:平面 A 1BD ∥平面 B 1D 1C;(2若 E、F 分别是 AA 1, CC 1的中点,求证:平面 EB 1D 1∥平面 FBD..考点:线面平行的判定(利用平行四边形

8、四面体 ABCD 中, , , AC BD E F =分别为 , AD BC 的中点，且 EF AC = , 90BDC ∠= ,求证:BD ⊥平面 ACD 考点:线面垂直的判定 , 三角形中位线,构造直角三角形

9、如图 P 是 ABC ∆所在平面外一点, , PA PB CB =⊥平面 PAB , M 是 PC 的中点, N 是 AB 上的点, 3AN NB =(1求证:MN AB ⊥;(2当 90APB ∠= , 24AB BC ==时,求 MN 的长。考点:三垂线定理 S C B

A D D B C 1 B A 1

C A

10、如图,在正方体 1111ABCD A BC D-中, E、F、G 分别是 AB、AD、11C D 的中点.求证:平面 1D EF ∥平面 BDG.考点:线面平行的判定(利用三角形中位线

11、如图,在正方体 1111ABCD A BC D-中, E 是 1AA 的中点.(1求证:1//AC平面

BDE;(2求证:平面 1A AC ⊥平面 BDE.考点:线面平行的判定(利用三角形中位线 ,面面垂直的判定

12、已知 ABCD 是矩形, PA ⊥平面 ABCD , 2AB =, 4PA AD ==, E 为 BC 的中点.(1求证:DE ⊥平面 PAE;(2求直线 DP 与平面 PAE 所成的角.考点:线面垂直的判定 , 构造直角三角形

13、如图, 在四棱锥 P ABCD-中, 底面 ABCD 是 0 60DAB ∠=且边长为 a 的菱形, 侧面 PAD 是等边三角形, 且平面 PAD 垂直于底面 ABCD.(1若 G 为 AD 的中点,求证:BG ⊥平面 PAD;(2求证:AD PB ⊥;(3求二面角 A BC P--的大小.考点:线面垂直的判定 , 构造直角三角形 , 面面垂直的性质定理,二面角的求法(定义法

14、如图 1, 在正方体 1111ABCD A BC D-中, M 为 1CC 的中点, AC 交 BD 于点 O ,求证:1 AO ⊥平面 MBD.考点:线面垂直的判定,运用勾股定理寻求线线垂直

15、如图2,在三棱锥 A-BCD 中, BC =AC , AD =BD , 作 BE ⊥ CD , E 为垂足,作 AH ⊥ BE 于 H.求证:AH ⊥平面 BCD.考点:线面垂直的判定

17、如图,过 S 引三条长度相等但不共面的线段 SA、SB、SC ,且∠ ASB=∠ ASC=60°,∠ BSC=90°,求证:平面 ABC ⊥平面 BSC.考点:面面垂直的判定(证二面角是直二面角

第五篇：高中数学立体几何常考证明题汇总1

2、如图，已知空间四边形ABCD中，BCAC,ADBD，E是AB的中点。求证：（1）AB平面CDE;

（2）平面CDE平面ABC。证明：（1）

E

BCAC

CEAB

AEBE

B

ADBD同理，DEAB

AEBE

又∵CEDEE∴AB平面CDE（2）由（1）有AB平面CDE

C

D

又∵AB平面ABC，∴平面CDE平面ABC 考点：线面垂直，面面垂直的判定

3、如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是AA1的中点，求证： AC1//平面BDE。

证明：连接AC交BD于O，连接EO，∵E为AA1的中点，O为AC的中点 ∴EO为三角形A1AC的中位线 ∴EO//AC1 又EO在平面BDE内，A1C在平面BDE外

∴AC1//平面BDE。考点：线面平行的判定

4、已知ABC中ACB90,SA面ABC,ADSC,求证：AD面SBC． 证明：∵ACB90°BCAC

又SA面ABCSABCBC面SACBCAD



A

D

1B

C

D

C

S

A

C

B

又SCAD,SCBCCAD面SBC考点：线面垂直的判定

5、已知正方体ABCDA1B1C1D1，O是底ABCD对角线的交点.DA

D

A

BBC

1面AB1D1．求证：(１)C1O∥面AB1D1；(2)AC1

证明：（1）连结A1C1，设

AC11B1D1O1，连结AO1

∵ ABCDA1B1C1D1是正方体A1ACC1是平行四边形

∴A1C1∥AC且 AC11AC又O1,O分别是AC11,AC的中点，∴O1C1∥AO且O1C1AO

C

AOC1O1是平行四边形

C1O∥AO1,AO1

面AB1D1，C1O面AB1D1∴C1O∥面AB1D1

（2）CC1面A1B1C1D1CC!1B1D又

∵AC11B1D1

同理可证

ACAD11，B1D1面A1C1C即A1CB 1D1，又

D1B1AD1D1

面AB1D1AC1

考点：线面平行的判定（利用平行四边形），线面垂直的判定

6、正方体ABCDA'B'C'D'中，求证：（1）AC平面B'D'DB；（2）BD'平面ACB'.考点：线面垂直的判定

7、正方体ABCD—A1B1C1D1中．(1)求证：平面A1BD∥平面B1D1C；(2)若E、F分别是AA1，CC1的中点，求证：平面EB1D1∥平面FBD． 证明：(1)由B1B∥DD1，得四边形BB1D1D是平行四边形，∴B1D1∥BD，又BD 平面B1D1C，B1D1平面B1D1C，∴BD∥平面B1D1C． 同理A1D∥平面B1D1C．

而A1D∩BD＝D，∴平面A1BD∥平面B1CD．

A

(2)由BD∥B1D1，得BD∥平面EB1D1．取BB1中点G，∴AE∥B1G．

从而得B1E∥AG，同理GF∥AD．∴AG∥DF．∴B1E∥DF．∴DF∥平面EB1D1．∴平面EB1D1∥平面FBD．

考点：线面平行的判定（利用平行四边形）

8、四面体ABCD中，ACBD,E,F分别为AD,BC的中点，且EF

AC，2BDC90，求证：BD平面ACD

证明：取CD的中点G，连结EG,FG，∵E,F分别为AD,BC的中点，∴EG

1//AC 2

//1BD，又ACBD,∴FG1AC，∴在EFG中，EG2FG21AC2EF2 FG

222



∴EGFG，∴BDAC，又BDC90，即BDCD，ACCDC∴BD平面ACD

考点：线面垂直的判定,三角形中位线，构造直角三角形

考点：三垂线定理

10、如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F、G分别是AB、AD、C1D1的中点.求证：平面D1EF∥平面BDG.证明：∵E、F分别是AB、AD的中点，EF∥BD 又EF平面BDG，BD平面BDGEF∥平面BDG ∵D

1G

EB四边形D1GBE为平行四边形，D1E∥GB

又D1E平面BDG，GB平面BDGD1E∥平面BDG

EFD1EE，平面D1EF∥平面BDG

考点：线面平行的判定（利用三角形中位线）

11、如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是AA1的中点.（1）求证：AC1//平面BDE；（2）求证：平面A1AC平面BDE.证明：（1）设ACBDO，∵E、O分别是AA1、AC的中点，A1C∥EO

平面BDE，EO平面BDE，A1C∥平面BDE 又AC

1（2）∵AA1平面ABCD，BD平面ABCD，AA1BD 又BDAC，ACAA1A，BD平面A1AC，BD平面BDE，平面BDE平面A1AC

考点：线面平行的判定（利用三角形中位线），面面垂直的判定

12、已知ABCD是矩形，PA平面ABCD，AB2，PAAD4，E为BC的中点．

（1）求证：DE平面PAE；（2）求直线DP与平面PAE所成的角． 证明：在ADE中，ADAEDE，AEDE ∵PA平面ABCD，DE平面ABCD，PADE

又PAAEA，DE平面PAE（2）DPE为DP与平面PAE所成的角

在Rt

PAD，PDRt

DCE中，DE在RtDEP中，PD2DE，DPE300 考点：线面垂直的判定,构造直角三角形

13、如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是DAB600且边长为a的菱形，侧面PAD是等边三角形，且平面PAD垂直于底面ABCD．

（1）若G为AD的中点，求证：BG平面PAD；（2）求证：ADPB；证明：（1）ABD为等边三角形且G为AD的中点，BGAD 又平面PAD平面ABCD，BG平面PAD

（2）PAD是等边三角形且G为AD的中点，ADPG 且ADBG，PGBGG，AD平面PBG，PB平面PBG，ADPB

平面MBD．

14、如图1,在正方体ABCDA1B1C1D1中，M为CC1 的中点，AC交BD于点O，求证：AO

1证明：连结MO，A1M，∵DB⊥A1A，DB⊥AC，A1AACA，平面A1ACC1 ∴DB⊥A1O．∴DB⊥平面A1ACC1，而AO1

2设正方体棱长为a，则AO1

3a，MO2a2． 2

4．在Rt△ACA1M211M中，9222

2OOMMOA1M∵AO，∴Aa．11

∵OM∩DB=O，∴ A1O⊥平面MBD．

考点：线面垂直的判定，运用勾股定理寻求线线垂直 15、如图２，在三棱锥Ａ－BCD中，BC＝AC，AD＝BD，作BE⊥CD，Ｅ为垂足，作AH⊥BE于Ｈ．求证：AH⊥平面BCD．证明：取AB的中点Ｆ，连结CF，DF．∵ACBC，∴CFAB．

∵ADBD，∴DFAB．

又CFDFF，∴AB平面CDF．∵CD平面CDF，∴CDAB．又CDBE，BEABB，∴CD平面ABE，CDAH．

∵AHCD，AHBE，CDBEE，∴ AH平面BCD． 考点：线面垂直的判定

16、证明：在正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1C⊥平面BC1D

A

C

证明：连结AC

⊥AC∵BD∴ AC为A1C在平面AC上的射影

BDA1C



A1C平面BC1D

同理可证A1CBC1

考点：线面垂直的判定，三垂线定理

17、如图，过S引三条长度相等但不共面的线段SA、SB、SC，且∠ASB=∠ASC=60°，∠BSC=90°，求证：平面ABC⊥平面BSC．

证明∵SB=SA=SC，∠ASB=∠ASC=60°∴AB=SA=AC取BC的中点O，连AO、SO，则AO⊥BC，SO⊥BC，∴∠AOS为二面角的平面角，设SA=SB=SC=a，又∠BSC=90°，∴BC=2a，SO=2a，11

AO2=AC2－OC2=a2－2a2=2a2，∴SA2=AO2+OS2，∴∠AOS=90°，从而平面ABC⊥

平面BSC．

考点：面面垂直的判定（证二面角是直二面角）