高三立体几何证明题训练

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第一篇:高三立体几何证明题训练

高三数学 立体几何证明题训练

班级姓名

1、如图,在长方体

ABCDA1B1C1D1中,AA1ADa,AB2a,E、F分别为C1D1、A1D1的中点.(Ⅰ)求证:DE平面BCE;(Ⅱ)求证:AF//平面BDE.

D

1F

E

C1

A1

C

B

A

ABCDA1B1C1D1的底面是菱形,且AA1面ABCD

ADAA1,F为棱AA1的中点,1的中点,M为线段BD

(1)求证:MF//面ABCD;(2)求证:MF面BDD1B1;

2、如图,已知棱柱,DAB60,

DC

1B1

M

AF

C

A3、如图,四棱锥P—ABCD中,PA⊥底面ABCD,AC⊥CD,∠DAC=60°,AB=BC=AC,E是PD的中点,F为ED的中点。(I)求证:平面PAC⊥平面PCD;(II)求证:CF//平面BAE。

4、如图,ABCDA1B1C1D1是正四棱柱侧棱长为1,底面边长为2,E是棱BC的中点。

(2)求三棱锥D

D1BC//平面C1DE;

(1)求证:BD15、如图所示,四棱锥P-ABCD底面是直角梯形,BAABCD,E为PC的中点。PA=AD=AB=1。

AD,CDAD,CD2AB,PA 底面

(1)证明:EB//平面PAD;(2)证明:BE平面PDC;(3)求三棱锥B-PDC的体积V。

6、如图,四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,PB与底面所成的角为45,底面ABCD为直角梯形,∠

1ABC = ∠BAD = 90,PA = BC =AD.(Ⅰ)求证:平面PAC⊥平面PCD;

2(Ⅱ)在棱PD上是否存在一点E,使CE∥平面PAB ?若存在,请确定E点的位置;若不存在,请说明理由.

PB

C

D7、已知ABCD是矩形,AD4,AB2,E、F分别是线段AB、BC的中点,PA面ABCD.P

(1)证明:PF⊥FD;(2)在PA上找一点G,使得EG∥平面PFD.A E

B

F

D

ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直,AB,AF1,M的中点。(Ⅰ)求三棱锥ABDF的体积;(Ⅱ)求证:AM//平面BDE;

8、如图,已知正方形

9、如图,矩形

是线段EF

为CE上的点,且

ABCD

中,AD平面ABE,AEEBBC2,F的体积.BF平面ACE。Ⅰ)求证:AE平面BCE;

(Ⅱ)求证;

AE//平面BFD;(Ⅲ)求三棱锥CBGF

C

B10、如图,四棱锥P—ABCD中,PA平面ABCD,底面ABCD是直角梯形,AB⊥AD,CD⊥AD,CD=2AB,E为PC中点.

(I)求证:平面PDC平面PAD;(II)求证:BE//平面PAD.

11、如图,在五面体ABCDEF中,点O是矩形ABCD的对角线的交点,面CDE是等边三角形,棱EF∥BC且EF=BC.(1)证明FO//平面CDE;(2)设BC=CD,证明EO⊥平面CDF.

P

E

D

C

A

B

A

D

C12、如图,四棱锥P-ABCD的底面是正方形,PA⊥底面ABCD,PA=2,∠PDA=45°,点E、F分别为棱AB、PD的中点.(Ⅰ)求证:AF∥平面PCE;

(Ⅱ)求证:平面PCE⊥平面PCD;(Ⅲ)求三棱锥C-BEP的体积.

13、如图,在矩形ABCD中,沿对角线BD把△BCD折起,使C移到C′,且BC′⊥AC′

(Ⅰ)求证:平面AC′D

⊥平面ABC′;

(Ⅱ)若AB=2,BC=1,求三棱锥C′—ABD的体积。

14、如图,在四棱锥P

ABCD中,底面ABCD是边长为a的正方形,侧面PAD底面ABCD,且

PAPD

(Ⅰ)

AD,若E、F分别为PC、BD的中点。2

EF //平面PAD;(Ⅱ)求证:平面PDC平面PAD;

第二篇:立体几何证明题[范文]

11.如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱垂直底面,∠ACB=90°,AC=BC=1,D是棱

2AA1的中点

(I)证明:平面BDC1⊥平面BDC

(Ⅱ)平面BDC1分此棱柱为两部分,求这两部分体积的比.2.如图5所示,在四棱锥PABCD中,AB平面PAD,AB//CD,PDAD,E是C A1 1D B

PB的中点,F是CD上的点且DF

PH为△PAD中AD边上的高.(1)证明:PH平面ABCD;

(2)若PH

1,AD1AB,2FC1,求三棱锥EBCF的体积;

(3)证明:EF平面PAB.3.如图,在直三棱柱ABCA1B1C1中,ABE分11AC11,D,别是棱BC,(点D 不同于点C),且ACC1上的点DDEF,为B1C1的中点.

求证:(1)平面ADE平面BCC1B1;

(2)直线A1F//平面ADE.

4.如图,四棱锥P—ABCD中,ABCD为矩形,△PAD为等腰直角三角形,∠APD=90°,面PAD⊥面ABCD,且AB=1,AD=2,E、F分别为PC和BD的中点.

(1)证明:EF∥面PAD;(2)证明:面PDC⊥面PAD;(3)求四棱锥P—ABCD的体积.

5.在如图所示的几何体中,四边形ABCD是正方形,MA平面ABCD,PD//MA,E、G、F分别为MB、PB、PC的中点,且ADPD2MA.(I)求证:平面EFG平面PDC;

(II)求三棱锥PMAB与四棱锥PABCD的体积之比.6.如图,正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直。EF//AC,,CE=EF=1(Ⅰ)求证:AF//平面BDE;(Ⅱ)求证:CF⊥平面BDF;

7.如图,在多面体ABCDEF中,四边形ABCD是正方形,AB=2EF=2,EF∥AB,EF⊥FB,∠BFC=90°,BF=FC,H为BC的中点,(Ⅰ)求证:FH∥平面EDB;

(Ⅱ)求证:AC⊥平面EDB;(Ⅲ)求四面体B—DEF的体积;

8.如图,在直三棱柱ABCA1B1C1中,E、F分别是A1B、A1C的中点,点D在B1C1上,A1DB1C

。求证:(1)EF∥平面ABC;(2)平面A1FD平面BB1C1C.9.如图4,在边长为1的等边三角形ABC中,D,E分别是AB,AC边上的点,ADAE,F

是BC的中点,AF与DE交于点G,将ABF沿AF折起,得到如图5所示的三棱锥

ABCF,其中BC

(1)证明:DE//平面BCF;(2)证明:CF平面ABF;(3)当AD

图4

时,求三棱锥FDEG的体积VFDEG.3

10.如图,在四棱锥PABCD

中,AB//CD,ABAD,CD2AB,平面PAD底面

ABCD,PAAD,E和F分别是CD和PC的中点,求

证:

(1)PA底面ABCD;(2)BE//平

面PAD;(3)平面BEF平面PCD

(2013年山东卷)如图,四棱锥PABCD中,ABAC,ABPA,AB∥CD,AB2CD,E,F,G,M,N分别为

PB,AB,BC,PD,PC的中点

(Ⅰ)求证:CE∥平面PAD;(Ⅱ)求证:平面EFG平面EMN

11.

第三篇:立体几何证明题举例

立体几何证明题举例

(2012·江苏)如图,在直三棱柱ABCA1B1C1中,A1B1=A1C1,D、E分别是棱BC、CC1上的点(点D不同于点C),且AD⊥DE,F为B1C1的中点. 求证:(1)平面ADE⊥平面BCC1B1;

(2)直线A1F∥平面ADE.证明(1)因为ABC A1B1C1是直三棱柱,所以C C1⊥平面ABC.又AD⊂平面ABC,所以C C1⊥AD.又因为AD⊥DE,C C1,DE⊂平面BC C1 B1,C C1∩DE=E,所以AD⊥平面BC C1 B1.又AD⊂平面ADE,所以平面ADE⊥平面BC C1 B1.(2)因为A1 B1=A1 C1,F为B1 C1的中点,所以A1F⊥B1 C1.因为C C1⊥平面A1 B1 C1,且A1F⊂平面A1 B1 C1,所以C C1⊥A1F.又因为C C1,B1 C1⊂平面BC C1 B1,C C1∩B1 C1=C1,所以A1F⊥平面BC C1 B1.由(1)知AD⊥平面BC C1 B1,所以A1F∥AD

.又AD⊂平面ADE,A1F⊄平面ADE,所以A1F∥平面ADE

【例1】如图,在平行四边形ABCD中,CD=1,∠BCD=60°,且BD⊥CD,正方形ADEF所在平面与平面ABCD垂直,G、H分别是DF、BE的中点.

(1)求证:BD⊥平面CDE;

(2)求证:GH∥平面CDE;

(3)求三棱锥D-CEF的体积.

[审题导引](1)先证BD⊥ED,BD⊥CD,可证BD⊥平面CDE;

(2)由GH∥CD可证GH∥平面CDE;

(3)变换顶点,求VC-DEF.[规范解答](1)证明 ∵四边形ADEF是正方形,∴ED⊥AD,又平面ADEF⊥平面ABCD,平面ADEF∩平面ABCD=AD.∴ED⊥平面ABCD,∴ED⊥BD.又BD⊥CD,且ED∩DC=D,∴BD⊥平面CDE.(2)证明 ∵G是DF的中点,又易知H是FC的中点,∴在△FCD中,GH∥CD,又∵CD⊂平面CDE,GH⊄平面CDE,∴GH∥平面CDE.(3)设Rt△BCD中,BC边上的高为h,∵CD=1,∠BCD=60°,BD⊥CD,11∴BC=2,BD3,∴2×2×h=2×3,33∴h=2C到平面DEF2,1133∴VD-CEF=VC-DEF=2×=.3223

【例2】如图所示,已知在三棱锥A-BPC中,AP⊥PC,AC⊥BC,M为AB的中点,D为PB的中点,且△PMB为正三角形.

(1)求证:DM∥平面APC;

(2)求证:平面ABC⊥平面APC;

(3)若BC=4,AB=20,求三棱锥D-

BCM的体积.

[审题导引](1)只要证明MD∥AP即可,根据三角形中位线定理可证;

(2)证明AP⊥BC;

(3)根据锥体体积公式进行计算.

[规范解答](1)证明 由已知,得MD是△ABP的中位线,所以MD∥AP.又MD⊄平面APC,AP⊂平面APC,故MD∥平面APC.(2)证明 因为△PMB为正三角形,D为PB的中点,所以MD⊥PB.所以AP⊥PB.又AP⊥PC,PB∩PC=P,所以AP⊥平面PBC.因为BC⊂平面PBC,所以AP⊥BC.又BC⊥AC,AC∩AP=A,所以BC⊥平面APC.因为BC⊂平面ABC,所以平面ABC⊥平面APC.(3)由题意,可知MD⊥平面PBC,所以MD是三棱锥D-BCM的一条高,11所以VM-DBC=S△BCD×MD=221×53=107.33

第四篇:高中数学立体几何常考证明题汇总

新课标立体几何常考证明题

1、已知四边形ABCD是空间四边形,E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点

(1)求证:EFGH是平行四边形

(2)若

BD=AC=2,EG=2。求异面直线AC、BD所成的角和EG、BD所成的角。

C D H证明:在ABD中,∵E,H分别是AB,AD的中点∴EH//BD,EH同理,FG//BD,FG

(2)90°30 °

考点:证平行(利用三角形中位线),异面直线所成的角 1BD 21BD∴EH//FG,EHFG∴四边形EFGH是平行四边形。

22、如图,已知空间四边形ABCD中,BCAC,ADBD,E是AB的中点。求证:(1)AB平面CDE;

(2)平面CDE平面ABC。E BCAC证明:(1)CEAB AEBE

同理,ADBDDEAB AEBEB C 又∵CEDEE∴AB平面CDE

(2)由(1)有AB平面CDE

又∵AB平面ABC,∴平面CDE平面ABC

考点:线面垂直,面面垂直的判定

D3、如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,E是AA1的中点,求证: AC1//平面BDE。

证明:连接AC交BD于O,连接EO,∵E为AA1的中点,O为AC的中点 ∴EO为三角形A1AC的中位线 ∴EO//AC1 又EO在平面BDE内,A1C在平面BDE外

∴AC1//平面BDE。考点:线面平行的判定

4、已知ABC中ACB90,SA面ABC,ADSC,求证:AD面SBC. 证明:∵ACB90°BCAC

又SA面ABCSABC

BC面SACBCAD

A

D

1B

C

D

C

S

A

C

B

又SCAD,SCBCCAD面SBC考点:线面垂直的判定

9、如图P是ABC所在平面外一点,PAPB,CB平面PAB,M是PC的中点,N是AB上的点,AN3NB(1)求证:MNAB;(2)当APB90,AB2BC4时,求MN的长。证明:(1)取PA的中点Q,连结MQ,NQ,∵M是PB的中点,M

P

∴MQ//BC,∵ CB平面PAB,∴MQ平面PAB∴QN是MN在平面PAB内的射影,取 AB的中点D,连结 PD,∵PAPB,∴C

A

PDAB,又AN3NB,∴BNND

N ∴QN//PD,∴QNAB,由三垂线定理得MNAB B

1

(2)∵APB90,PAPB,∴PDAB2,∴QN1,∵MQ平面PAB.∴MQNQ,且

MQBC

1,∴MN

2考点:三垂线定理

12、已知ABCD是矩形,PA平面ABCD,AB2,PAAD4,E为BC的中点.

(1)求证:DE平面PAE;(2)求直线DP与平面PAE所成的角. 证明:在ADE中,ADAEDE,AEDE ∵PA平面ABCD,DE平面ABCD,PADE

又PAAEA,DE平面PAE(2)DPE为DP与平面PAE所成的角

在Rt

PAD,PDRt

DCE中,DE在RtDEP中,PD2DE,DPE300 考点:线面垂直的判定,构造直角三角形

15、如图2,在三棱锥A-BCD中,BC=AC,AD=BD,作BE⊥CD,E为垂足,作AH⊥BE于H.求证:AH⊥平面BCD.证明:取AB的中点F,连结CF,DF.∵ACBC,∴CFAB.

∵ADBD,∴DFAB.

又CFDFF,∴AB平面CDF.∵CD平面CDF,∴CDAB.又CDBE,BEABB,∴CD平面ABE,CDAH.

∵AHCD,AHBE,CDBEE,∴ AH平面BCD. 考点:线面垂直的判定

第五篇:高中数学立体几何常考证明题汇总 - 副本

立体几何常考证明题汇总答案

1、已知四边形ABCD是空间四边形,E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点(1)求证:EFGH是平行四边形

(2)若

BD=AC=2,EG=2。求异面直线AC、BD所成的角和EG、BD所成的角。考点:证平行(利用三角形中位线),异面直线所成的角

2、如图,已知空间四边形ABCD中,BCAC,ADBD,E是AB的中点。求证:(1)AB平面CDE;

(2)平面CDE平面ABC。证明:(1)

E

C

H D

BCAC

CEAB

AEBE

B

同理,ADBD

DEAB

AEBE

C

又∵CEDEE∴AB平面CDE(2)由(1)有AB平面CDE

又∵AB平面ABC,∴平面CDE平面ABC

B

考点:线面垂直,面面垂直的判定

3、如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,E是AA1的中点,A

D

D

1C

求证: AC1//平面BDE。

证明:连接AC交BD于O,连接EO,∵E为AA1的中点,O为AC的中点

C

D

S

∴EO为三角形A1AC的中位线 ∴EO//AC1 又EO在平面BDE内,AC1在平面BDE外 ∴AC1//平面BDE。考点:线面平行的判定

4、已知ABC中ACB90,SA面ABC,ADSC,求证:AD面SBC. 考点:线面垂直的判定

5、已知正方体ABCDA1B1C1D1,O是底ABCD对角线的交点.

A

C

B

D1A

1D

A

BBC1

面AB1D1.求证:(1)C1O∥面AB1D1;(2)AC1

C

考点:线面平行的判定(利用平行四边形),线面垂直的判定

6、正方体ABCDA'B'C'D'中,求证:(1)AC平面B'D'DB;(2)BD'平面ACB'.考点:线面垂直的判定

7、正方体ABCD—A1B1C1D1中.(1)求证:平面A1BD∥平面B1D1C;(2)若E、F分别是AA1,CC1的中点,求证:平面EB1D1∥平面FBD. 证明:(1)由B1B∥DD1,得四边形BB1D1D是平行四边形,∴B1D1∥BD,又BD 平面B1D1C,B1D1平面B1D1C,∴BD∥平面B1D1C. 同理A1D∥平面B1D1C.

而A1D∩BD=D,∴平面A1BD∥平面B1CD.

A

(2)由BD∥B1D1,得BD∥平面EB1D1.取BB1中点G,∴AE∥B1G.

从而得B1E∥AG,同理GF∥AD.∴AG∥DF.∴B1E∥DF.∴DF∥平面EB1D1.∴平面EB1D1∥平面FBD.

考点:线面平行的判定(利用平行四边形)

8、四面体ABCD中,ACBD,E,F分别为AD,BC的中点,且EF

AC,2BDC90,求证:BD平面ACD

证明:取CD的中点G,连结EG,FG,∵E,F分别为AD,BC的中点,∴EG

1//AC 2

//1BD,又ACBD,∴FG1AC,∴在EFG中,EG2FG21AC2EF2 FG

222

∴EGFG,∴BDAC,又BDC90,即BDCD,ACCDC∴BD平面ACD

考点:线面垂直的判定,三角形中位线,构造直角三角形

9、如图P是ABC所在平面外一点,PAPB,CB平面PAB,M是PC的中点,N是AB上的点,AN3NB

P

(1)求证:MNAB;(2)当APB90,AB2BC4时,求MN的长。证明:(1)取PA的中点Q,连结MQ,NQ,∵M是PB的中点,M∴MQ//BC,∵ CB平面PAB,∴MQ平面PAB∴QN是MN在平面PAB内的射影,取 AB的中点D,连结 PD,∵PAPB,∴CAPDAB,又AN3NB,∴BNND

N ∴QN//PD,∴QNAB,由三垂线定理得MNAB B

1

(2)∵APB90,PAPB,∴PDAB2,∴QN1,∵MQ平面PAB.∴MQNQ,且

MQBC

1,∴MN

2考点:三垂线定理

10、如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,E、F、G分别是AB、AD、C1D1的中点.求证:平面D1EF∥平面BDG.证明:∵E、F分别是AB、AD的中点,EF∥BD 又EF平面BDG,BD平面BDGEF∥平面BDG ∵D

1G

EB四边形D1GBE为平行四边形,D1E∥GB

又D1E平面BDG,GB平面BDGD1E∥平面BDG

EFD1EE,平面D1EF∥平面BDG

考点:线面平行的判定(利用三角形中位线)

11、如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,E是AA1的中点.(1)求证:AC1//平面BDE;(2)求证:平面A1AC平面BDE.证明:(1)设ACBDO,∵E、O分别是AA1、AC的中点,AC1∥EO

平面BDE,EO平面BDE,AC又AC∥平面BDE 1

1(2)∵AA1平面ABCD,BD平面ABCD,AA1BD 又BDAC,ACAA1A,BD平面A1AC,BD平面BDE,平面BDE平面A1AC

考点:线面平行的判定(利用三角形中位线),面面垂直的判定

12、已知ABCD是矩形,PA平面ABCD,AB2,PAAD4,E为BC的中点.

(1)求证:DE平面PAE;(2)求直线DP与平面PAE所成的角. 证明:在ADE中,ADAEDE,AEDE ∵PA平面ABCD,DE平面ABCD,PADE 又PAAEA,DE平面PAE(2)DPE为DP与平面PAE所成的角

在Rt

PAD,PDRt

DCE中,DE在RtDEP中,PD2DE,DPE30 考点:线面垂直的判定,构造直角三角形

13、如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD是DAB60且边长为a的菱形,侧面PAD是等边三角形,且平面PAD垂直于底面ABCD.

(1)若G为AD的中点,求证:BG平面PAD;(2)求证:ADPB;

(3)求二面角ABCP的大小. 证明:(1)ABD为等边三角形且G为AD的中点,BGAD 又平面PAD平面ABCD,BG平面PAD

(2)PAD是等边三角形且G为AD的中点,ADPG 且ADBG,PGBGG,AD平面PBG,22

2PB平面PBG,ADPB

(3)由ADPB,AD∥BC,BCPB 又BGAD,AD∥BC,BGBC PBG为二面角ABCP的平面角

在RtPBG中,PGBG,PBG4

5考点:线面垂直的判定,构造直角三角形,面面垂直的性质定理,二面角的求法(定义法)

平面MBD.

14、如图1,在正方体ABCDA1B1C1D1中,M为CC1 的中点,AC交BD于点O,求证:AO

1证明:连结MO,A1M,∵DB⊥A1A,DB⊥AC,A1AACA,平面A1ACC1 ∴DB⊥AO∴DB⊥平面A1ACC1,而AO1.1

设正方体棱长为a,则AO1

3a,MO2a2. 2

4.在Rt△ACA1M211M中,9222

2OOM∵AO,∴AMOA1Ma.11

∵OM∩DB=O,∴ AO1⊥平面MBD.

考点:线面垂直的判定,运用勾股定理寻求线线垂直 15、如图2,在三棱锥A-BCD中,BC=AC,AD=BD,作BE⊥CD,E为垂足,作AH⊥BE于H.求证:AH⊥平面BCD.证明:取AB的中点F,连结CF,DF.∵ACBC,∴CFAB.

∵ADBD,∴DFAB.

又CFDFF,∴AB平面CDF.∵CD平面CDF,∴CDAB.又CDBE,BEABB,∴CD平面ABE,CDAH.

∵AHCD,AHBE,CDBEE,∴ AH平面BCD.

考点:线面垂直的判定

A16、证明:在正方体ABCD-A1B1C1D1中,A1C⊥平面BC1DC证明:连结AC

⊥AC∵BD∴ AC为A1C在平面AC上的射影

BDA1C

A1C平面BC1D

同理可证A1CBC1

考点:线面垂直的判定,三垂线定理

17、如图,过S引三条长度相等但不共面的线段SA、SB、SC,且∠ASB=∠ASC=60°,∠BSC=90°,求证:平面ABC⊥平面BSC.

证明∵SB=SA=SC,∠ASB=∠ASC=60°∴AB=SA=AC取BC的中点O,连AO、SO,则AO⊥BC,SO⊥BC,∴∠AOS为二面角的平面角,设SA=SB=SC=a,又∠BSC=90°,∴BC=a,SO=2a,11

AO2=AC2-OC2=a2-2a2=2a2,∴SA2=AO2+OS2,∴∠AOS=90°,从而平面ABC⊥

平面BSC.

考点:面面垂直的判定(证二面角是直二面角)

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