立体几何平行证明题常见模型及方法[定稿]

第一篇：立体几何平行证明题常见模型及方法[定稿]

立体几何平行证明题常见模型及方法证明空间线面平行需注意以下几点：

①由已知想性质，由求证想判定，即分析法与综合法相结合寻找证题思路。

②立体几何论证题的解答中，利用题设条件的性质适当添加辅助线（或面）是解题的常用方法之一。

③明确何时应用判定定理，何时应用性质定理，用定理时要先申明条件再由定理得出相应结论。

平行转化：线线平行线面平行面面平行；

类型一：线面平行证明（中位线法，构造平行四边形法，面面平行法）

（1）方法一：中位线法以锥体为载体

例1：如图，在底面为平行四边形的四棱锥PABCD中，点E是PD的中点.求证：PB∥平面AEC；

变式1：若点M是PC的中点，求证：PA||平面BDM；

变式2：若点M是PA 的中点，求证：PC||平面BDM。EAB变式3如图，在四棱锥SABCD中，底面ABCD是菱形，(2)以柱体为载体

例2在直三棱柱ABCA1B1C1,D 为BC的中点，求证：AC1||平面AB1D

变式1 在正方体ABCDA1BC11D1中，若E是CD的中点，求证：B1D||平面BC1E 变式2在正方体ABCDA1BC11D1中，若E是CD的中点，求证：B1D||平面BC1E 变式 3如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1=，AC=BC=2，∠C=90°，点D是A1C1的中点.求证：BC1//平面AB1D；

方法2：构造平行四边形法

例1如图，在四棱锥SABCD中，底面ABCD为正方形，E、F

分别为AB,SC的中点．证明○1EF∥平面SAD○2BF∥平面SDE S

变式1：若E、F分别为AD,SB的中点．证明EF∥平面SCD

变式2若E、F分别为SD,AB的中点．证明EF∥平面SCB

例2如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB//CD，AB=4, BC=CD=2,AA1=2,E、E1分别是棱AD、AA1的中点.设F是棱AB的中点,证明：直线EE1//平面FCC

1E1E

AD1

方法3：面面平行法（略）

举一反三

1如图，已知AB平面ACD，DE平面ACD，△ACD为等边三角形，ADDE2AB，F为CD的中点.(1)求证：AF//平面BCE；(2)求证：平面BCE平面CDE；

2如图是某直三棱柱(侧棱与底面垂直)被削去上底后的直观图与三视图中的侧(左)视图、俯视图，在直观图中，M是BD的中点，侧(左)视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，有关数据如图所示．

(1)求出该几何体的体积；

(2)若N是BC的中点，求证：AN∥平面CME；(3)求证：平面BDE⊥平面BCD.3直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是等腰梯形，AB∥DC，AB＝2AD＝2DC＝2，E为BD1的中点，F为AB中点．

(1)求证EF∥平面ADD1A1；（2）求几何体DD1AA1EF的体积。

第二篇：高中立体几何中线面平行的常见方法

高中立体几何证明平行的专题训练

立体几何中证明线面平行或面面平行都可转化为线线平行，而证明线线平行一般有以下的一些方法：

（1）通过“平移”。

（2）利用三角形中位线的性质。

（3）利用平行四边形的性质。

（4）利用对应线段成比例。

（5）利用面面平行，等等。

(1)通过“平移”再利用平行四边形的性质

1．如图，四棱锥P－ABCD的底面是平行四边形，点E、F分别为棱AB、PD的中点．求证：AF∥平面PCE；

分析：取PC的中点G，连EG.，FG，则易证AEGF是平行四边形

（第1题图）

2、如图，已知直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB＝1，BC＝2，CD＝1＋，过A作AE⊥CD，垂足为E，G、F分别为AD、CE的中点，现将△ADE沿AE折叠，使得DE⊥EC.（Ⅰ）求证：BC⊥面CDE；（Ⅱ）求证：FG∥面BCD；

分析：取DB的中点H，连GH,HC则易证FGHC

是平行四边形

3、已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，D, E, F分别为AA1, CC1, AB的中点，M为BE的中点, AC⊥BE.求证：

（Ⅰ）C1D⊥BC；（Ⅱ）C1D∥平面B1FM.B分析：连EA，易证C1EAD是平行四边形，于是MF//EA

A4、如图所示, 四棱锥PABCD底面是直角梯形, BAAD,CDAD,CD=2AB, E为PC的中点, 证明: EB//平面PAD;

分析:：取PD的中点F，连EF,AF则易证ABEF是

平行四边形

(2)利用三角形中位线的性质

5、如图，已知E、F、G、M分别是四面体的棱AD、CD、BD、BC的中点，求证：

AM∥平面EFG。

分析：连MD交GF于H，易证EH是△AMD的中位线

6、如图，ABCD是正方形，O是正方形的中心，E是PC的中点。求证： PA ∥平面BDE

7．如图，三棱柱ABC—A1B1C1中，D为AC的中点.求证：AB1//面BDC1；

分析：连B1C交BC1于点E，易证ED是

△B1AC的中位线

8、如图，平面ABEF平面ABCD，四边形ABEF与ABCD都是直角梯形，BADFAB900,BC

//

AD，BE

2//

AF，G,H分别为FA,FD的中点 2

（Ⅰ）证明：四边形BCHG是平行四边形；（Ⅱ）C,D,F,E四点是否共面？为什么？

（.3）

利用平行四边形的性质

9．正方体ABCD—A1B1C1D1中O为正方形ABCD的中心，M为BB1的中点，求证： D1O//平面A1BC1;

分析：连D1B1交A1C1于O1点，易证四边形OBB1O1 是平行四边形

10、在四棱锥P-ABCD中，AB∥CD，AB=

DC，E为PD中点.2求证：AE∥平面PBC；

分析：取PC的中点F，连EF则易证ABFE 是平行四边形

11、在如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，∠ ACB=90，ＥＡ⊥平面ＡＢＣＤ，EF∥ＡＢ，ＦＧ∥ＢＣ，ＥＧ∥ＡＣ.ＡＢ=２ＥＦ.（Ⅰ）若Ｍ是线段ＡＤ的中点，求证：ＧＭ∥平面ＡＢＦＥ;（Ⅱ）若ＡＣ＝ＢＣ=２ＡＥ,求二面角Ａ-ＢＦ-Ｃ的大小．

（I）证法一：

因为EF//AB，FG//BC，EG//AC，ACB90，所以EGF90,ABC∽EFG.由于AB=2EF，因此，BC=2FC，连接AF，由于FG//BC，FG

2BC 2

在ABCD中，M是线段AD的中点，则AM//BC，且AM

因此FG//AM且FG=AM，所以四边形AFGM为平行四边形，因此GM//FA。又FA平面ABFE，GM平面ABFE，所以GM//平面AB。

(4)利用对应线段成比例

12、如图：S是平行四边形ABCD平面外一点，M、N分别是SA、BD上的点，且求证：MN∥平面SDC

分析：过M作ME//AD，过N作NF//AD 利用相似比易证MNFE是平行四边形

AMBN

=，SMND13、如图正方形ABCD与ABEF交于AB，M，N分别为AC和BF上的点且AM=FN求证：MN∥平面BEC

分析：过M作MG//AB，过N作NH/AB 利用相似比易证MNHG是平行四边形

（6）利用面面平行



14、如图，三棱锥PABC中，PB底面ABC，BCA90，PB=BC=CA，E为PC的中点，M为AB的中点，点F在PA上，且AF2FP.（1）求证：BE平面PAC；（2）求证：CM//平面BEF；

分析: 取AF的中点N，连CN、MN，易证平面CMN//EFB

第三篇：立体几何证明题[范文]

11.如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=1，D是棱

2AA1的中点

(Ｉ)证明：平面BDC1⊥平面BDC

（Ⅱ）平面BDC1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比.2.如图5所示，在四棱锥PABCD中，AB平面PAD，AB//CD，PDAD，E是C A1 1D B

PB的中点，F是CD上的点且DF

PH为△PAD中AD边上的高.（1）证明：PH平面ABCD；

（2）若PH

1，AD1AB，2FC1，求三棱锥EBCF的体积；

（3）证明：EF平面PAB.3.如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABE分11AC11，D，别是棱BC，（点D 不同于点C），且ACC1上的点DDEF，为B1C1的中点．

求证：（1）平面ADE平面BCC1B1；

（2）直线A1F//平面ADE．

4.如图，四棱锥P—ABCD中，ABCD为矩形，△PAD为等腰直角三角形，∠APD=90°，面PAD⊥面ABCD，且AB=1，AD=2，E、F分别为PC和BD的中点．

（1）证明：EF∥面PAD；（2）证明：面PDC⊥面PAD；（3）求四棱锥P—ABCD的体积．

5.在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，MA平面ABCD，PD//MA，E、G、F分别为MB、PB、PC的中点，且ADPD2MA.（I）求证：平面EFG平面PDC；

（II）求三棱锥PMAB与四棱锥PABCD的体积之比.6.如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直。EF//AC，,CE=EF=1（Ⅰ）求证：AF//平面BDE；（Ⅱ）求证：CF⊥平面BDF;

7.如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，AB=2EF=2，EF∥AB,EF⊥FB,∠BFC=90°，BF=FC,H为BC的中点，(Ⅰ)求证：FH∥平面EDB;

（Ⅱ）求证：AC⊥平面EDB;（Ⅲ）求四面体B—DEF的体积；

8.如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，E、F分别是A1B、A1C的中点，点D在B1C1上，A1DB1C

。求证：（1）EF∥平面ABC；（2）平面A1FD平面BB1C1C.9.如图4,在边长为1的等边三角形ABC中,D,E分别是AB,AC边上的点,ADAE,F

是BC的中点,AF与DE交于点G,将ABF沿AF折起,得到如图5所示的三棱锥

ABCF,其中BC

(1)证明:DE//平面BCF;(2)证明:CF平面ABF;(3)当AD

图4

时,求三棱锥FDEG的体积VFDEG.3

10.如图,在四棱锥PABCD

中,AB//CD,ABAD,CD2AB,平面PAD底面

ABCD,PAAD,E和F分别是CD和PC的中点,求

证:

(1)PA底面ABCD;(2)BE//平

面PAD;(3)平面BEF平面PCD

（2013年山东卷）如图,四棱锥PABCD中,ABAC,ABPA,AB∥CD,AB2CD,E,F,G,M,N分别为

PB,AB,BC,PD,PC的中点

(Ⅰ)求证:CE∥平面PAD;(Ⅱ)求证:平面EFG平面EMN

11.

第四篇：立体几何常见证明方法

立体几何方法归纳小结

一、线线平行的证明方法

1、根据公理4，证明两直线都与第三条直线平行。

2、根据线面平行的性质定理，若直线a平行于平面A，过a的平面B与平面A相交于b，则 a//b。

3、根据线面垂直的性质定理，若直线a与直线b都与平面A垂直，则a//b。

4、根据面面平行的性质定理，若平面A//平面B，平面C与平面A和平面B的交线分别为直线 a与直线 b，则a//b。

5、由向量共线定理，若ABxCD，且AB、CD不共线，则向量AB所在的直线a与向量cd所在的直线b平行，即a//b。

二、线面平行的证明方法

1、根据线面平行的定义，证直线与平面没有公共点。

2、根据线面平行的判定定理，若平面 A内存在一条直线b与平面外的直线a平行，则a//A。(用相似三角形或平行四边形)

3、根据平面与平面平行的性质定理，若两平面平行，则一个平面内的任一直线与另一个平面平行。

4、向量法，向量c与平面A法向量垂直，且向量c所在直线c不在平面内，则c//A。

三、面面平行的证明方法

1、根据定义，若两平面没有公共点，则两平面平行。

2、根据两平面平行的判定定理，一个平面内有两相交直线与另一平面平行，则两平面平行。

或根据两平面平行的判定定理的推论，一平面内有两相交直线与另一平面内两相交直线平行，则两平面平行。

3、垂直同一直线的两平面平行。

4、平行同一平面的两平面平行。

5、向量法，证明两平面的法向量共线。

四、两直线垂直的证明方法

1、根据定义,证明两直线所成的角为90°

2、一直线垂直于两平行直线中的一条,也垂直于另一条.3、一直线垂直于一个平面,则它垂直于平面内的所有直线.4、根据三垂线定理及逆定理,若平面内的直线垂直于平面的一条斜线(或斜线在平面内的射影),则它垂直于斜线在平面内的射影(或平面的斜线).5、向量法.五、线面垂直的证明方法

1、根据定义,证明一直线与平面内的任一(所有)直线垂直,则直线垂直于平面.2、根据判定定理,一直线垂直于平面内的两相交直线,则直线垂直于平面.3、一直线垂直于两平行平面中的一个,也垂直于另一个.4、两平行直线中的一条垂直于一个平面,另一条也垂直于这个平面.5、根据两平面垂直的性质定理,两平面垂直,则一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面.6、向量法,证明平面的法向量与表示该直线的向量共线.六、面面垂直的证明方法

1、根据面面垂直的定义，两平面相交所成的二面角为直二面角，则两平面垂直。

2、根据面面垂直的判定定理，一平面经过另一平面的一条垂线，则两平面垂直。

3、一平面垂直于两平行平面中的一个，也垂直于另一个。

4、向量法，证明两平面的法向量垂直（即法向量的数量积为零）。

七、两异面直线所成角的求法

1、根据定义，平移其中一条和另一条相交，然后在三角形中求角。

2、利用中位线，将两异面直线平移至一特殊点（中位线的交点）然后在三角形中求角。

3、cos=cos1cos

24、向量法.八、直线与平面所成角的求法

1、根据定义，作出直线与平面所成角，然后在直角三角形中求角。

2、转化为距离(sin=h/l)

3、向量法，求出平面的法向量，然后求平面的斜线与法向量的夹角。（注意为正弦）

注：对两异面直线所成角和直线与平面所成角一定要注意角的范围。

九、二面角的求法

1、定义法，从二面角的棱上的某一点分别在两个半平面内作棱的垂线，求两条垂线所形成的角。

2、根据三垂线定理，先作出二面角的平面角，再在直角三角形中求角。

3、射影面积法，先作出一个半平面内的某个多边形，在另一个半平面内的射影多边形，然后由公式 cosθ=s'/s（其中θ为二面角的平面角，s'为射影多边形的面积，s为多边形的面积）求出二面角的平面角。

4、向量法，求出两个半平面的法向量，然后求两法向量的夹角。（一般要先根据已知判断二面角是锐角还是钝角,否则要判断指向，同内同外为补角）

5.公式法(异面直线上点距离公式和三类角公式)

十、点到平面的距离的求法

1、根据定义，直接求垂线段的长度。

2、向量法，利用公式|PAn|d=|n|（其中PA为平面的一条斜

线，向量n 为平面的一个法向量。

3、等体积法，主要用在四面体（三棱锥）中，根据四面体的体积等于1/3底面积×高，选取不同的底面积，求出其中一条高长。

十一、平面图形翻折问题的处理方法

1、先比较翻折前后的图形，弄清哪些量和位置关系在翻折过程中不变，哪些已发生变化，然后将不变的条件集中到立体图形中，将问题归结为一个条件与结论都已知的立体几何问题。

2、有关翻折问题的计算，必须抓住在翻折过程中点、线、面之间的位置关系、数量关系中，哪些是变的，哪些没变，尤其要抓住不变量。对计算几何体上两点之间的最短距离问题，要注意转变为平面图形求两点间的距离来计算。

十二、要注意的问题

1、对推理论证与计算相结合的题目的解题原则是一作、二证、三计算。(向量法可省略证角，但必须交代如何建系，右手系)。

2、正方体中，两个平行的正三角形截面把一条与它们垂直的体对角线三等分。

3、已知三条射线两两夹角，会求线面角和二面角(课堂笔记，只需会推导方法，不需强记公式)

4、适当时候，坐标法不方便时可以考虑基向量法，求向量

模易出错：r

a。

5、求异面直线间的距离，若公垂线找不到，除向量法外，可以考虑构造平行平面或平行线面，转化为点面距离求。

第五篇：立体几何常见证明方法