人教A版数学必修2立体几何测试题及详细答案

第一篇：人教A版数学必修2立体几何测试题及详细答案

高一数学必修二立体几何测试题

一 ：选择题（5分10题=50分）

1.下面四个条件中，能确定一个平面的条件是（）

A.空间任意三点B.空间两条直线C.空间两条平行直线D.一条直线和一个点2．l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是()．

A．l1l2，l2l3l1//l

3B．l1l2，l2//l3l1l3

D．l1，l2，l3共点l1，l2，l3共面

C．l2//l3//l3l1，l2，l3共面

3．已知m，n是两条不同的直线，,,是三个不同的平面，下列命题中正确的是：

A．若,，则∥B．若m,n，则m∥n C．若m∥，n∥，则m∥nD．若m∥，m∥，则∥ 4.在四面体PABC的四个面中，是直角三角形的面至多有（）

A.0 个B.1个C.3个D.4个 5,下列命题中错误的是()．．

A．如果平面平面，那么平面内一定存在直线平行于平面 B．如果平面α不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面 C．如果平面平面，平面平面，l，那么l平面 D．如果平面平面，那么平面内所有直线都垂直于平面



6.如图所示正方体AC1,下面结论错误的是（）A.BD//平面CB1D1B.AC1BD

C.AC1平面CB1D1 D.异面直线AD与CB1角为60

A.120B.150C.180D.240

8.把正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角后，下列命题正确的是（）









7.已知圆锥的全面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角是（）

A.ABBCB.ACBD C.CD平面ABC D.平面ABC平面ACD 9某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）

A

P

A.180B.200C.220D.240

左视图

A

10.如上图所示点P为三棱柱ABCA1B1C1侧棱AA1上一动点，若四棱锥PBCC1B1的体积为V,则三棱柱ABCA1B1C1的体积为（）

A.2VB.3VC.二．填空题（5分5题=25分）

4V3VD.3

211.如图所示正方形O'A'B'C'的边长为2cm，它是一个水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是______,面积是_________.12．已知m,l 是直线，,是平面，给出下列命题正确的是________________.(1)若l垂直于内的两条相交直线，则l(2)若l平行于，则l平行于内所有直线；(3)m,l,且lm,则；(4)若l,且l,则；(5)m,l,且//，则m//l.13.三棱锥P-ABC中，PA，PB，PC两两垂直，PA=1，PBPC个点到这四个点距离相等，则这个距离是 ___________.14.一正方体内接于一个球，经过球心作一个截面，则截面的可能图形为________(只填写序号)．

2，已知空间中有一

15．已知圆台的上下底面半径分别为2,6，且侧面面积等于两底面面积之和，则它的侧面积_______,体积_______ 三．解答题

16.某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图4所示,墩的上半部分是正四棱锥P－EFGH,下半部分是长方体ABCD－EFGH.图

5、图6分别是该标识墩的正(主)视图和俯视图.（1）请画出该安全标识墩的侧(左)视图;（2）求该安全标识墩的体积（3）证明:直线BD平面

PEG

17．如图，已知PA圆O所在的平面，AB是圆O的直径，AB2,C是圆O上的一点，且

ACBC,PC与圆O所在的平面成45角，E是PC中点，F为PB的中点.(1)求证：EF//面ABC;(2)求证：EF面PAC;(3)求三棱锥BPAC的体积

18如图，在三棱锥SABC中，平面SAB平面SBC，ABBC，ASAB，过A 作AFSB，垂足为F，点E，G分别是棱SA，SC的中点.求证：（1）平面EFG//平面ABC；（2）BCSA.19.如图1，在RtABC中，C90，D,E分别为AC,AB的中点，点

F图

1C

A

F为线段CD上的一点，将ADE沿DE折起到A1DE的位置，使A1FCD，如图2。（Ⅰ）求证：DE//平面ACB； 1（Ⅱ）求证：A1FBE；

图

220.如图3所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB90，AB2，BC

1，AA1（Ⅰ）证明：AC1

平面AB1C1；（Ⅱ）若D是棱CC1的中点，在棱AB上是否存在一点E，使DE∥平面AB1C1？证明你的结论．

21.已知△BCD中，∠BCD=90°，BC=CD=1，AB⊥平面BCD，∠ADB=60°，E、F分别是AC、AD上的动点，且

AEACAF

AD

(01).（Ⅰ）求证：不论λ为何值，总有平面BEF⊥平面ABC；（Ⅱ）当λ为何值时，平面BEF⊥平面ACD？(14分)

A

F

B

D

高一立体几何测试参考答案

一：1-5;CBBDD6-10;DCBDD

二:11._16cm_;82cm2____12._1,4____13.;14.①②③

215.母线长为5，侧面积为40，高为3，体积为52.16．(1)

解：(1)侧视图同正视图,如下图所示.（２）该安全标识墩的体积为：VVPEFGHVABCDEFGH

4026040220320003200064000cm2

3（３）如图,连结EG, HF及 BD，EG与HF相交于O,连结PO.由正四棱锥的性质可知,PO平面EFGH , HF平面EFGHPOHF又EGHF PO

EGO PO平面PEG EG平面PEG

HF平面PEG又 BD//HFBD平面PEG；

17.(1)证明：在PBC中，EF为中位线，所以EF//BC,EF平面ABC,BC平面ABC所以EF//平面ABC.(2)AB是圆O的直径，BCCA;

PA面ACB,BC面ACB,PABC;BCCAC,BC面PAC,又BC//EF, EF面PAC.(3)由第2问知BC面PAC,BC是三棱锥BPAC的高；ACBCPA2,1112VBPAC(SPAC)BC(22)2

3323

18．证：（1）

SABA，AFSB，SFBF，由题SEEA，EF//AB，EF平面

ABCAB平面ABC，EF//平面ABC，同理EG//平面ABC，两条相交直线，∴平面EFG//平面ABC，（2）

EF与EG为平面EFG内的平面SAB平面SBC于SB，AF平面SAB，AF平面SBC，AFBC，又ABBC且AB与AF为平面SAB内的两条相交直线，BCSA。

19．（1）因为D,E分别为AC,AB的中点，所以DE∥BC.又因为DE平面A1CB,所以DE∥平面A1CB.（2）由已知得AC⊥BC且DE∥BC,所以DE⊥AC.所以DE⊥A1D,DE⊥CD.所以DE⊥平面A1DC.而A1F 平面A1DC,所以DE⊥A1F.又因为A1F⊥CD,所以A1F⊥平面BCDE.所以A1F⊥BE

20证明：（Ⅰ）∵ACB90，∴BCAC．

∵三棱柱ABCA1B1C1为直三棱柱，∴BCCC1．

∵AC

CC1C，∴BC平面ACC1A1．

∵AC平面ACC1A1，∴BCAC1，1∵BC∥B1C1，∥则B1C1AC1．在RtABC中，AB2，BC

1，∴AC

∵AAACC1A1为正方形． 1∴ACAC1． ∵B1C11

平面AB1C1．

AC1C1，∴AC1

（Ⅱ）当点E为棱AB的中点时，DE//平面AB1C1．证明如下：

如图，取BB1的中点F，连EF、FD、DE，∵D、E、F分别为CC1、AB、BB1的中点，∴EF∥AB1∵AB1平面AB1C1，EF平面AB1C1，∴EF∥平面AB1C1．同理可证FD∥平面AB1C1． ∵EF

FDF，∴平面EFD∥平面AB1C1．∵DE平面EFD，∴DE∥平面AB1C1．

21.证明：（Ⅰ）∵AB⊥平面BCD，CD平面BCD∴AB⊥CD，∵CD⊥BC且AB∩BC=B，∴CD⊥平面ABC.3分

又AEAF(01),ACAD

∴不论λ为何值，恒有EF∥CD，∴EF⊥平面ABC，EF平面BEF,∴不论λ为何值恒有平面BEF⊥平面ABC.6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，BE⊥EF，又平面BEF⊥平面ACD，平面BEF平面ACD=EF

∴BE⊥平面ACD，∴BE⊥AC.9分 ∵BC=CD=1，∠BCD=90°，∠ADB=60°，∴BD

A

B

F

D

2,AB2tan606,11分

AC

ACAB2BC27,由AB=AE·AC 得AE6,AE6,13分

故当

时，平面BEF⊥平面ACD.14分 7

第二篇：2018数学必修2第三章测试题和答案

必修二第三章综合检测题

一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分，共60分,１．若直线过点（1,2），(４，2+)则此直线的倾斜角是（）

A．３０°

B.45°

C．60°

Ｄ.90°

2．若三点Ａ(3,1),B（-2,b)，Ｃ（8,1１)在同一直线上，则实数ｂ等于（）

A.2

Ｂ．3

C．9

D.－９

３．过点(1,2），且倾斜角为3０°的直线方程是（）

A．y＋2＝（x＋1)

B.y－2=(x-1）

C.ｘ-３y＋６－＝0

D.x－y＋2-＝０

4．直线3x－2ｙ＋5＝0与直线x+３ｙ+１0＝0的位置关系是（）

Ａ．相交

ﻩB．平行

C．重合Ｄ.异面

5.直线mx－y＋２ｍ+1＝０经过一定点，则该定点的坐标为（）

Ａ．（－2，1)

ﻩB.（2，1）

C.(1,－２)

ﻩD．(1,２）

6.已知ａb＜0，bc<0,则直线ａx＋by＋c=0通过（）

Ａ．第一、二、三象限

B．第一、二、四象限

C.第一、三、四象限

D．第二、三、四象限

7.点Ｐ(2,5)到直线y=－x的距离d等于（）

Ａ.0

ﻩB.C.ﻩＤ.8．与直线ｙ＝-2x+3平行，且与直线ｙ=3x＋4交于x轴上的同一点的直线方程是（）

A．y＝-2ｘ+4

ﻩB．ｙ=x＋４

C.ｙ=-2x－

ﻩD．ｙ=ｘ-

9．两条直线y=ax－2与ｙ=(a+2)x＋1互相垂直，则a等于（）

A.2

B.1

C．０

Ｄ.-1

10．已知等腰直角三角形ABC的斜边所在的直线是3x－y+2＝0，直角顶点是C(3,-２），则两条直角边AC，ＢＣ的方程是（）

A.3x-y+5=0，x+2y－７＝0

B.2x+y－4＝0,x-2y-7=0

C.2ｘ-y＋4＝0,2ｘ+y－7＝０

D．3x-2y-2＝0，2x－y＋2=０

1１．设点Ａ(2,-3),B(－3，－２），直线l过点Ｐ(1，1)且与线段AB相交,则ｌ的斜率k的取值范围是（）

A．k≥或k≤－4

B.-4≤k≤

Ｃ．-≤ｋ≤4

D.以上都不对

12．在坐标平面内，与点Ａ(１,2)距离为1，且与点Ｂ（3,1)距离为2的直线共有（）

Ａ．1条

Ｂ.2条

C.３条

D.4条

二、填空题（本大题共4个小题,每小题5分,共20分，把正确答案填在题中横线上)

13．已知点A（-１,2），B(－4,６)，则｜AB|等于＿__＿____．

14.平行直线ｌ1：x-ｙ＋1＝0与l２：３x－3y＋1＝0的距离等于___＿___＿.１5.若直线ｌ经过点P(2，3）且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形,则直线ｌ的方程为__＿＿____或___＿＿＿＿_．

１6.(2009·高考全国卷Ⅰ)若直线m被两平行线l１：x－ｙ＋1＝０与l２：ｘ－y＋3＝0所截得的线段的长为2，则m的倾斜角可以是①15°②30°③45°④60°⑤75°,其中正确答案的序号是__＿__＿__．(写出所有正确答案的序号)

三、解答题(本大题共6个大题,共7０分，解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)

17.(本小题满分1０分)求经过点A（－2，3）,B(４,－１）的直线的两点式方程,并把它化成点斜式，斜截式和截距式.18．

(１２分）

(1)当ａ为何值时,直线l1:y=－x+2a与直线l２:y＝（a2－2)x+2平行？

(2)当a为何值时，直线ｌ１：y＝(2a-1)x+３与直线ｌ2：y=４x－３垂直?

19．(本小题满分1２分)在△ABC中，已知点A(５，-2),B（7,3),且边ＡC的中点Ｍ在y轴上,边ＢC的中点N在x轴上，求：

（1)顶点Ｃ的坐标;

（２)直线MN的方程.20．（本小题满分１2分）过点Ｐ(３,0)作一直线,使它夹在两直线ｌ1:２ｘ－ｙ-2＝0和l2：x+ｙ+3＝0之间的线段AＢ恰被P点平分,求此直线方程.21．（本小题满分12分)已知△ABC的三个顶点Ａ（4,－6)，B(－4，0），C（-１,4），求

（1)AＣ边上的高BD所在直线方程;

(2）BC边的垂直平分线EF所在直线方程;

(3)ＡB边的中线的方程．

22．(本小题满分12分)当m为何值时,直线（2m２+ｍ－3）x＋(m2－m)ｙ＝4m－１。

(1)倾斜角为45°；

（2)在x轴上的截距为1。

详解答案

1[答案]

A

[解析]

斜率k=＝,∴倾斜角为30°.［解析]

由条件知kBC=ｋAC,∴=,∴b=-9.2［答案]

D

3[答案］

C

［解析]　由直线方程的点斜式得y-2=tan30°(x－１)，整理得x-3y＋6－=0。

4［答案］　A

［解析］

∵Ａ1B2－Ａ2B1＝3×３-1×(－2)＝１1≠０,∴这两条直线相交.5［答案］　Ａ

[解析］　直线变形为m(x＋２）-(y－1）=０,故无论m取何值,点(－2,1）都在此直线上，∴选A。

6[答案]　A

[解析］　∵ab<0，bc＜0，∴ａ,ｂ，c均不为零,在直线方程ax+by+ｃ=0中,令ｘ=0得，y=－>０，令y=０得x＝－,∵ab〈0，bc〈0,∴aｂ2c＞0,∴aｃ〉0,∴－〈0，∴直线通过第一、二、三象限，故选A．

7[答案]　B

［解析]　直线方程ｙ=－x化为一般式x+y＝０，则d＝。

８[答案］　C

[解析]

直线ｙ=－2ｘ＋3的斜率为-2,则所求直线斜率ｋ=-2，直线方程y=3x＋４中，令y=0,则ｘ＝－,即所求直线与x轴交点坐标为（-,0).故所求直线方程为y=-２(ｘ+),即y＝－2x-．

9［答案]　D

［解析］

∵两直线互相垂直，∴a·(a+2)＝-1，∴a２＋2ａ+1=0，∴ａ＝－1．

10[答案］

B

［解析]

∵两条直角边互相垂直,∴其斜率ｋ１,ｋ２应满足k1ｋ2=-1,排除A、C、D，故选B.11［答案]　A

［解析］

kＰA=－4，kＰB=，画图观察可知k≥或ｋ≤－4.１2[答案］

Ｂ

[解析]　由平面几何知,与A距离为1的点的轨迹是以A为圆心，以1为半径的⊙Ａ,与B距离为2的点的轨迹是半径为2的⊙B,显然⊙A和⊙B相交,符合条件的直线为它们的公切线有2条.13［答案］　5

［解析］　|AB|=＝５.１4［答案]

［解析]　直线l2的方程可化为ｘ-y+=0，则d＝=．

1５［答案］

x＋y－５＝0

x－y+1=0

[解析］　设直线ｌ的方程为+＝1,则解得ａ=５,b=5或a=－1，ｂ＝1,即直线ｌ的方程为+＝１或＋=1，即x＋y-5＝０或x－y+1=0.16[答案］　①⑤

[解析]　两平行线间的距离为

d==，由图知直线ｍ与ｌ１的夹角为3０°，l1的倾斜角为45°,所以直线ｍ的倾斜角等于30°＋４5°=7５°或45°-３0°=15°。

[点评]　本题考查直线的斜率、直线的倾斜角、两条平行线间的距离,考查数形结合的思想.是高考在直线知识命题中不多见的较为复杂的题目，但是只要基础扎实、方法灵活、思想深刻，这一问题还是不难解决的．所以在学习中知识是基础、方法是骨架、思想是灵魂,只有以思想方法统领知识才能在考试中以不变应万变.17[解析]　过AＢ两点的直线方程是=。

点斜式为：y＋1＝－（x－4)

斜截式为：y=－x+

截距式为：+=１。

18［解析］(1)直线ｌ1的斜率ｋ1=－1,直线l2的斜率k2=a２-2,因为ｌ1∥l2,所以a2－2＝－1且2a≠2,解得:ａ＝-1。所以当ａ＝-1时，直线l1:y＝-x+２a与直线l2:y=(a2－２）x＋２平行.（2)直线ｌ1的斜率k1=2ａ-1，l2的斜率k2=4,因为ｌ1⊥l2，所以k1k2＝－１，即4(2a－1）=-１，解得ａ＝．所以当a＝时,直线l1:y

=（2a-1)x＋3与直线l2：ｙ=４x-3垂直.１９[解析]（１)设C(x,y）,由ＡＣ的中点M在y轴上得，=0，解得x＝-5。

由BC中点N在x轴上，得=0，∴y＝-3,∴C(－5，－３)

（2)由A、C两点坐标得M（0,－)．

由B、Ｃ两点坐标得Ｎ(1,０）．

∴直线MN的方程为x+＝1。即５x－2ｙ－5=0.20[解析］

设点A的坐标为（x1,y1），因为点Ｐ是ＡB中点，则点B坐标为(6-x1,－ｙ1),因为点Ａ、B分别在直线l1和l2上,有

解得

由两点式求得直线方程为8ｘ-y－２4=０。

21[解析](1)直线AC的斜率ｋＡＣ＝=-２

即：7ｘ+ｙ＋3=0（－１≤x≤0)．

∴直线BD的斜率kBD=，∴直线BＤ的方程为y=(x+4）,即x－2y+４=0

（２)直线BC的斜率ｋBC==

∴ＥF的斜率kEＦ＝－

线段ＢC的中点坐标为（-,2）

∴EF的方程为ｙ-2=-(x＋)

即6x+8y－1=0。

(3)AB的中点M(0,－3），∴直线ＣM的方程为:＝，22[解析］（1）倾斜角为45°,则斜率为1.∴－＝１,解得ｍ=－1，m=１（舍去)

直线方程为２x－2y-5＝0符合题意,∴m=－1

（2)当y＝0时，x==1，解得m＝-,或ｍ＝2

当m＝-,m=２时都符合题意,∴m=－或2。

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第三篇：人教A版高中数学必修2空间立体几何知识点归纳

第一章空间几何体知识点归纳

围成的多面体叫做棱柱。

1：中心投影平行投影

（1）定义：几何体的正视图、侧视图和俯视图统称为几何体的三视图。（2）三视图中反应的长、宽、高的特点：“长对正”，“高平齐”，“宽相等”

2、空间几何体的直观图（表示空间图形的平面图）.观察者站在某一点观察几何体，画出的图形.3、斜二测画法的基本步骤：

①建立适当直角坐标系xOy（尽可能使更多的点在坐标轴上）

②建立斜坐标系xOy，使xOy=450（或1350），注意它们确定的平面表示水平平面；

③画对应图形，在已知图形平行于X轴的线段，在直观图中画成平行于X‘轴，且长度保持不变；在已知图形平行于Y轴的线段，在直观图中画成平行于Y轴，且长度变为原来的一半；

‘

''''''

S侧面rl ⑴圆柱侧面积；S侧面2rl⑵圆锥侧面积：

⑶圆台侧面积：S侧面(rR)l ⑷体积公式：

V柱体Sh；V锥体

⑸球的表面积和体积：

3V台体Sh；

hS上



S下



S球4R，V球

243

R.一般地，面积比等于相似比的平方，体积比等于相似比的立方。

3第二章 点、直线、平面之间的位置关系及其论证

Al,B

l

l 

A,B

公理1的作用：判断直线是否在平面内

若A，B，C不共线，则A，B，C确定平面

若Al，则点A和l确定平面

推论2：过两条相交直线有且只有一个平面

若mnA，则m,n确定平面

推论3：过两条平行直线有且只有一个平面

若mn，则m,n确定平面

n

公理2及其推论的作用：确定平面；判定多边形是否为平面图形的依据。

P,Pl且Pl

公理3作用：（2）证明点共线、线共点等。

4.ab,cbac 5

aa,bb且1与2方向相同1＝2 b

a'

22b'

'

aa,bb且1与2方向相反12＝180

方向相同则

∠1＝∠2

abA,a,b异面

方向相反则

∠1+∠2＝180°

6ab,（1）没有任何公共点的两条直线平行（2）有一个公共点的两条直线相交

（3）不同在任何一个平面内的两条直线叫异面直线

a

(2)

(1)

aa

a

A

9（即直线与平面无任何公共点）

⑴判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。（只需在平面内找一条直线和平面外的直线平行就可以）

a



ba//

a//b

证明两直线平行的主要方法是：

①三角形中位线定理：三角形中位线平行并等于底边的一半；②平行四边形的性质：平行四边形两组对边分别平行；

③线面平行的性质：如果一条直线平行于一个平面，经过这条直线的平面与这个平面相交，那么这条直线

和它们的交线平行；





aab

b

④平行线的传递性：ab,cbac

⑤面面平行的性质：如果一个平面与两个平行平面相交，那么它们的交线平行；

a



aab

b



线和它们的交线平行；（上面的③）

⑥垂直于同一平面的两直线平行；

a

ab

b

⑵直线与平面平行的性质：如果一条直线平行于一个平面，经过这条直线的平面与这个平面相交，那么这条直

10（即两平面无任何公共点）

（1）判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。a,b



abA

a,b

（2）两平面平行的性质：

性质Ⅰ：如果一个平面与两平行平面都相交，那么它们的交线平行；



aab

b

性质Ⅱ：平行于同一平面的两平面平行；







性质Ⅲ：夹在两平行平面间的平行线段相等；

A,C

ACBD

B,DABCD 

性质Ⅳ：两平面平行，一平面上的任一条直线与另一个平面平行；





a或a

aa

⑴定义：如果一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线，那么就说这条直线和这个平面垂直。

⑵判定：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。





ln

l

mnAm,n 

⑶性质Ⅰ：垂直于同一个平面的两条直线平行。

lm

a

ab

b

性质Ⅱ：垂直于同一直线的两平面平行12

l

 l

⑴定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。

l

⑵判定：一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面垂直。

 l

（只需在一个平面内找到另一个平面的垂线就可证明面面垂直）

⑶性质：两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。

证明两直线垂直和主要方法：

①利用勾股定理证明两相交直线垂直；

②利用等腰三角形三线合一证明两相交直线垂直； ③利用线面垂直的定义证明（特别是证明异面直线垂直）；

④利用三垂线定理证明两直线垂直（“三垂”指的是“线面垂”“线影垂”，“线斜垂”）

如图：POOA是PA在平面上的射影又直线a,且aOA即：线影垂直线斜垂直，反之也成立。



aPA



空间角及空间距离的计算

1.异面直线所成角：使异面直线平移

线中的一条上取一点，过该点作另一条直线线，图：直线a与b异面，b//b，直线a与直线b的夹角为两异 如



m

l

l

lm

后相交形成的夹角，通常在两异面直

平

行

直线 面a与b所成的角，异 面直线所成角取值范围是（0，90]

2.斜线与平面成成的角：斜线与它在平面上的射影成的角。如图：

PA是平面的一条斜线，A为斜足，O为垂足，OA叫斜线PA在平面上射影，PAO为线面角。3.二面角：从一条直线出发的两个半平面形成的图形，如图为二面角

l，二面角的大小指的是二面角的平面角的大小。

二面角的平面角分

如图：在二面角-l-中，O棱上一点，OA，OB，且OAl,OBl,则AOB为二面角

-l-的平面角。

别在两个半平面内且角的两边与二面角的棱垂直

用二面角的平面角的定义求二面角的大小的关键点是：

①

第四篇：必修2 立体几何证明题 详解

迎接新的挑战!

必修2 证明题

一．解答题（共3小题）

1．（2006•北京）如图，在底面为平行四边形的四棱锥P﹣ABCD中，AB⊥AC，PA⊥平面ABCD，且PA=AB，点E是PD的中点．

（1）求证：PB∥平面AEC；

（2）求二面角E﹣AC﹣B的大小．

考点：三垂线定理；直线与平面平行的判定。

分析：（1）欲证PB∥平面AEC，根据直线与平面平行的判定

定理可知只需证PB与平面AEC内一直线平行即可，连BD

交AC于点O，连EO，则EO是△PDB的中位线则EO∥PB，满足条件；

（2）取AD的中点F，连EF，FO，根据定义可知∠EOF是

二面角E﹣AC﹣D的平面角，在△EOF中求出此角，而二面

角E﹣AC﹣B与二面角E﹣AC﹣D互补．

解答：解：（1）由PA⊥平面ABCD可得PAAC

又AB⊥AC，所以AC⊥平面PAB，所以AC⊥PB

连BD交AC于点O，连EO，则EO是△PDB的中位线，∴EO∥PB

∴PB∥平面AEC

（2）取AD的中点F，连EF，FO，则EF是△PAD的中位线，∴EF∥PA又PA⊥平面ABCD，∴EF⊥平面ABCD

同理FO是△ADC的中位线，∴FO∥AB，FO⊥AC由三垂线定理可知∠EOF是二面角E﹣AC﹣D的平面角．

又

FO=AB=PA=EF

∴∠EOF=45°而二面角E﹣AC﹣B与二面角E﹣AC﹣D互补，故所求二面角E﹣AC﹣B的大小为135°．

点评：本题主要考查了直线与平面平行的判定，以及二面角等有关知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．

2．如图，已知∠BAC在平面α内，P∉α，∠PAB=∠PAC，求证：点P在平面α上的射影在∠BAC的平分线上．

考点：三垂线定理。

专题：作图题；证明题。

分析：作PO⊥α，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为O，E，F，连接OE，OF，OA，证明Rt△AOE≌Rt△AOF，然后得到点P在平面α上的射影在∠BAC的平分线上．

解答：证明：作PO⊥α，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为O，E，F，连接OE，OF，OA，∵⇒Rt△PAE≌Rt△PAF⇒AE=AF，∵，又∵AB⊥PE，∴AB⊥平面PEO，∴AB⊥OE，同理AC⊥OF．

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迎接新的挑战!

必修2 证明题

在Rt△AOE和Rt△AOF，AE=AF，OA=OA，∴Rt△AOE≌Rt△AOF，∴∠EAO=∠FAO，即点P在平面α上的射影在∠BAC的平分线上．

点评：本题考查三垂线定理，考查学生逻辑思维能力，是基础题．

3．已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=2，AA1=3．

（I）求证：A1C⊥BD；

（II）求直线A1C与侧面BB1C1C所成的角的正切值；

（III）求二面角B1﹣CD﹣B的正切值．

考点：三垂线定理；直线与平面所成的角；与二面角有关的立体几何综合题。

专题：计算题；证明题；综合题。

分析：（I）连AC，要证A1C⊥BD，只需证明AC⊥BD，说明AC是A1C在平面ABCD

上的射影即可；

（II）说明∠A1CB1就是直线A1C与侧面BB1C1C所成的角，解三角形A1CB1，求

直线A1C与侧面BB1C1C所成的角的正切值；

（III）找出∠B1CB为二面角B1﹣CD﹣B的平面角，通过角三角形求二面角B1﹣CD

﹣B的正切值．

解答：解：（I）连AC，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是正方形，所以AC⊥BD

又侧棱AA1⊥平面ABCD

∴AC是A1C在平面ABCD上的射影

∴A1C⊥BD（三垂线定理）；（4分）

（II）在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，A1B1⊥平面BB1C1C，所以B1C是A1C在平面BB1C1C上的射影

∴∠A1CB1就是直线A1C与侧面BB1C1C所成的角，（6分）

在直角三角形A1CB1，A1B1⊥B1C，A1B1=2，∴；（9分）

（III）在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，CD⊥平面BB1C1C

∴CD⊥B1C，CD⊥BC

∴∠B1CB为二面角B1﹣CD﹣B的平面角，（11分）

∴

二面角B1﹣CD﹣B的正切值为．

点评：本题考查三垂线定理，直线与平面所成的角，二面角及其度量，考查学生空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．

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第五篇：人教新课标高中英语必修一知识点详细归纳总结

人教版新课标高中英语必修一知识点归纳总结（按单元分）

新课标必修1 Unit1 Friendship 重点词组：

be good to 对….友好 add up 合计 another time 改时间

get sth done 使…被做 calm down 镇定下来 have got to 不得不 walk the dog 遛狗 make a list of 列出 hide away 躲藏；隐藏 be concerned about 关心；挂念 share sth with sb 和某人分享某物

go through 经历；仔细检查 set down 放下；记下 a series of 一系列；一套 be crazy about 对…着迷 on purpose 故意 in order to/ so as to 为了

face to face 面对面地 get along with 与…相处 pack up 收拾，打理行装

according to 按照；根据…所说 have trouble with sb/sth 同某人闹意见；做…有困难 communicate with sb 和…交际 throw away the friendship 放弃/终止友谊 try out 试验；试用 join in 参加（活动）far and wide 到处 look to sth 注意，留心某事 fall in love 相爱

ignorant of 无知的

cheat sb(out)of sth 骗取某人某物 have the/a habit of doing sth 有做…的习惯

句子归纳：

1.I wonder if… 我想知道是否….2.It’s because… 这是因为….此从句中because不能用since或as 代替

3.What do you think a good friend should be like? 你认为一个好朋友应该是什么样的呢？ 4.While walking the dog, you were careless and it got loose and was hit by a car.=While you were walking the dog, …在遛狗时，你不小心让狗挣脱了绳子，结果狗被车撞了。（当while, when, before, after 等引导的时间状语从句中的主语与主句的主语一致时，可将从句中的主语和be动词省去。）

5.Do you want a friend whom you could tell everything to, like your deepest feelings and thoughts? 你想有一位无话不谈、能推心置腹的朋友吗？

6.I haven’t been able to be outdoors for so long that I’ve grown so crazy about everything to do with nature.我已经

很久不能去户外，所以我变得对自然界的所有东西都很感兴趣。

7.I can well remember that there was a time when a deep blue sky, the song of birds, moonlight and flowers could never have kept me spellbound.我记得非常清楚，曾有一段时间，湛蓝的天空、鸟儿的歌唱、月光和鲜花，从未使我心醉神迷过。

8.It was the first time in a year and a half that I’d seen the night face to face.这是我一年半以来第一次目睹夜晚。

9.I would be grateful if you could give me some advice.如果您给我提些建议，我会非常感谢的。grateful if… 委婉客气提出请求）

10.It’s a good habit for you to keep a diary.记日记对你来说是个好习惯。11.She found it difficult to settle and… 12.This series of readers is very interesting.13.A friend in need is a friend indeed.14.People are told that their actions should be as gentle as the wind that blows from the sea.新课标必修1 Unit2 重点词组：

in…ways 在…方面 such as 例如 believe it or not 信不信由你 come up with 提出 come up to a place 参观某地 ever before 从前 even if/ though 即使 at the end of 在…末期 be based on 在...基础上 close to 距离…近change…into 把…变成 in the early days 在早期 take…with…随身携带 the same…as 与…相同的 at present 目前 be absent from 缺席 be present at 在席；出席 carry out a rule 执行规则 be a native of 是…人 at sb’s request 应某人的要求 have a command of掌握 make a request 请求 request that …(should)+v原形 in one direction 朝一个方向 give commands 命令 be different from 与…不同 i n the 1600’s = in the 1600s as a rule 通常；照例 be native to 是…的土产动物/植物 as we know 正如我们所知

I would be（an international language 一门国际语言 an international organization 一个国际组织 play a role/ part(in)在…中担任角色；在…中起作用;扮演一个角色；参与 play an important role/ part 在…中起重要作用 because of 因为；由于 come up(vi)走进；上来；发生；被讨论 make(good/ full)use of（好好/充分）利用

from one place to another 从一处到另一处 present sth to sb / present sb with sth 句子归纳：

1.However, they may not be able to understand everything.（然而，他们可能不是什么都懂。）

2.This is because Britain ruled India from 1765 to 1947.(这是因为英国于1765年到1947年统治过印度。)3.All languages change when cultures communicate with one another.(当不同文化互相沟通时，所有的语言都会发生变化。)4.What the British call “petrol” the Americans call “gas”.(美国人把被英国人称作“petrol”的东西称作“gas”。此处what引导宾语从句)5.Actually, it was based more on German than present day English.(实际上，当时的英语更多地是以德语为基础的，而现代英语不是。)6.…those who reported the news were expected to speak excellent English.7.The US is a large country in which many different dialects are spoken.(in which= where, 其引导定语从句。美国是一个大国，国内说着许许多多的方言。)8.…there is more than one kind of English in the world.(more than one+单数可数名词，作主语时，谓语用单数)

9.It is not easy for a Chinese person to speak English as well as a native English speaker.(对于一个中国人来说把英语说得跟以英语为母语的人一样好是不容易的。)句型：It is + adj/n+ for sb to do sth 对于某人来说做某事是… 扩充：It is + adj+ of /for sb to do sth

当句式中形容词修饰to do sth 时用for;若形容词修饰sb，则用of.eg: It’s kind of you to help me carry the box.附：

1.either…or…和neither…nor…连接两个名词作主语，谓语动词采取就近原则。2.be different in 强调在某方面的不同

be different from 强调在各方面的不同 3.in the end 最后，最终 后无of 结构 三个表示最后最终的用法：

⑴finally: 按照顺序的最后，常与first, secondly 等连用 ⑵at last: 经过长时间等待直到最后

⑶in the end: 经过长期曲折斗争努力，终于… 如：战争等

4.与人交谈，常会有听不清楚或听不懂的情形，遇到这种情况该如何开口呢？ ⑴Pardon? ⑵I beg your pardon? I don’t understand./ Sorry, I can’t follow you.对不起，我没听懂，请再说一遍好吗？

⑶Could you say that again, please? / Could you repeat that, please? 请再说一遍好吗？ ⑷Could you speak more slowly, please? 请你说得慢一点好吗？ 5.include ─ including;included identity ─ identify actually ─ actual(adj);

apidly ─ rapid(v)

government(n)─ govern(v)wide(adj)─ widen(v);

broad(adj)─ broaden(v)foreign ─ foreigner;solve(v)─ solution(n)

6.petrol------gas;lift------elevator;flat------apartment film------movie;sweets----candy;post------mail

新课标必修1 Unit3 Travel Journal 重点词组：

one-way fare 单程票 round-trip fare 往返票 graduate from 从…毕业

care about 忧虑，关心 care for喜欢，照顾 care to do愿意/同意做某事give in(vt)上交 give in(to)投降；屈服；让步 give up 放弃

give up doing/sth as usual 像往常一样 at midnight 午夜 at an altitude of 在…海拔上 attitude to/ toward(s)对…态度 change one’s mind 改变主意 to my mind = in my opinion make camp 野营，宿营 make up one’s mind to do 决心干某事 put up one’s tents 搭起帐篷 sth be familiar to sb某事为某人所熟悉

dream of/ about doing sth 梦想做某事 go for long bike rides 做长途自行车旅行 persuade sb to do sth= persuade sb into doing sth 说服某人做某事 persuade sb not to do sth= persuade sb out of doing sth 说服某人不做某事 determine to do sth(动作)/ be determined to do sth（心理）决心干某事 get sb interested in 使某人对..感兴趣 insist on(one’s)sth/ doing sth 一定要；坚持要 the best way of doing sth/ the best way to do sth 干某事的最好办法 sb be familiar with sth某人熟悉某事

can’t wait/ can hardly wait to do sth 迫不及待想干某事

for one thing… for another（用来引出某事的理由）一则… 二则… take one’s breath away 使某人大吃一惊 句子归纳：

1.It was my sister who first had the idea to cycle along the Mekong River.强调句基本句型：it is/ was….that….其中指人时可用who(主)，whom(宾)。

2.Although she didn’t know the best way of getting to places, she insisted that we(should)find the source of the river.insist that….(should)+ v原形 坚持要；坚持要求

insist that….陈述语气 坚持说；坚持认为

3.Have you ever seen snowmen ride bicycles?(metaphor)4.To climb the mountain road was hard work but to go down the hills was great fun.5.Good luck on your journey.6.The lake shone like glass in the moonlight.(simile)新课标必修1 Unit4 Earthquakes 重点词组句子归纳总结 重点词组：

have time to do 有时间做某事 happen to do 碰巧做某事 shake hands with sb 握手 burst into tears/ laughter in ruins 成为废墟 cut across 穿过、横穿 blow away 吹走、刮走 fall down 倒塌

rescue workers 救援人员 be pleased to do 乐意做某事 make/ give a speech 发表演说 judging….from 根据……来判断 tens of thousands of 成千上万 dig out 挖掘

burst out crying/laughing突然哭/笑起来 think little of 对……评价低

be proud of / take pride in 以……而自豪 invite sb to do sth 邀请某人做某事 invite sb for/ to sth think highly of 对……评价高 one-third 1/3 two-thirds 2/3 seventy-five percent 75% agree with sb give out 发出（气味等）；分发；耗尽 a great/ large number of =a great many/good 大量的 be trapped in/ under 陷入……/ 陷在……下面 the high school speaking competition 高中演讲比赛

have sb do sth= make sb do sth= let sb do sth 让某人做某事

come to an end(vi)= put/ bring sth to an end = put/ bring an end to sth 结束某事 agree to sth give off 发出（气味等）give back 归还

give away 赠送；泄露 agree on sth 达成一致意见 agree to do sth

right away= right now= at once= immediately 立刻 as you know 正如你所知道的

be known as 作为……而知名as is known to all 众所周知 be known for 因……而出名 as could be expected 正如可以预料到的 it is useless doing sth 干某事是无用的 happen= take place= come about= break out 偶发 有计划 偶发 战争等爆发 句子归纳：

1.It is always calm before a storm.2.Now, imagine there has been a big earthquake.此句为There be 句型 3.Mice ran out of the fields looking for places to hide.现在分词表伴随 4.It seemed that the world was at an end.5.Water, food and electricity were hard to get.句型：主语+ be + adj + to do 其中to do 用主动形式表示被动含义 6.All hope was not lost.all 与not 连用 表示部分否定 7.It’s never too late to learn.活到老，学到老。附：分词用法 之 作定语

falling leaves 正在落的叶子 boiling water 正在沸腾的水 fallen leaves 已经落在地上的叶子 boiled water 开水 新课标必修1 Unit5 Nelson Mandela 重点词组句子归纳总结 重点词组：

lose heart 丧失勇气 worry about 担心 lose one’s heart to sb/sth 爱上，喜欢上 be worried about 担心（状态）in trouble 处于不幸中 be sentenced to 被判处 be out of work = lose one’s job 失业 be equal to 相等的，平等的 be proud of / take pride in 以……而自豪 invite sb to do sth 邀请某人做某事 invite sb for/ to sth think highly of 对……评价高 one-third 1/3 two-thirds 2/3 seventy-five percent 75% agree with sb

give out 发出（气味等）；分发；耗尽 as a matter of fact = in fact = actually 事实上

blow up 充气 爆炸 beg for 乞讨 set up 建立，创立；设置，竖起 send up 发射，使上涨 set about 着手做某事(set about doing sth)go up 上升，增长；被兴建 set off 出发，动身 set up 设立，建立；设置，竖起 set out 陈列，摆出；开始（set out to do sth）stop sb(from)doing sth be active in = take an active part in 积极参与，在……活跃 keep sb from doing sth阻止某人做某事 die for 为……而死 die from 死于（外因）prevent sb(from)doing sth die of 死于（内因 如：饥饿，寒冷，疾病等）be proud of / take pride in 以……而自豪 invite sb to do sth 邀请某人做某事 invite sb for/ to sth agree with sb think highly of 对…评价高one-third 1/3

two-thirds 2/3 seventy-five percent 75% give out 发出（气味等）；分发；耗尽 put sb in prison= throw sb into prison= send sb to prison 把……投入监狱 advise sb to do sth 建议某人做某事 advice 不可数 a piece of advice advise doing sth fight for 为争取……而斗争 advise sb on sth fight against 为反对……而斗争 advise that(should)+ v原

fight with 同……并肩作战/ 同……斗争 have problems/ difficulty/ trouble with sth work out 算出 have a go= have a try break the law 违反法律

have problems/ difficulty/ trouble(in)doing sth be willing to do sth 乐于做某事 realize one’s dream of 实现…… 的梦想 answer violence with violence 以暴制暴 come to power 当权，上台 social activities 社会活动

equal(adj)---equally(adv)---equality(n)violence(n)------violent(adj)cruelty(n)---cruel(adj)---cruelly(adv)educated(adj)------education(n)willing----unwilling 不愿意的 active----inactive 不活跃的 句子归纳：

1.Only then did we decide to answer violence with violence.only 放在句首且后接状语时（作状语：副词；介词短语；状语从句），要使用部分倒装------才用一般疑问句语序。Only yesterday did his father tell him the truth.Only when his father came back did he go to bed.（从句无需倒装，主句要倒装）

2.He strongly believed in the three principles: nationalism;people’s rights;people’s livelihood.他主张三民主义：民主、民权、民生。3.I felt bad the first time I talked to the group.the first time 用法相当于连词用法，用来引导从句 链接：It’s the first time that 现在完成时 It was the first time that 过去完成时

4.He taught us during the lunch breaks and the evenings when we should have been asleep.（should have done 本应做而未做）

needn’t have done 本不应做而做了 can’t have done 过去不可能做过

新课标必修1 Unit6 重点词组：

in…ways 在…方面 such as 例如 believe it or not 信不信由你 come up with 提出 come up to a place 参观某地 ever before 从前 even if/ though 即使 at the end of 在…末期 be based on 在...基础上 close to 距离…近change…into 把…变成 in the early days 在早期 take…with…随身携带 the same…as 与…相同的 at present 目前

be absent from 缺席 be present at 在席；出席 carry out a rule 执行规则 be a native of 是…人 at sb’s request 应某人的要求 have a command of掌握 make a request 请求 request that …(should)+v原形 in one direction 朝一个方向 give commands 命令 be different from 与…不同 i n the 1600’s = in the 1600s

as a rule 通常；照例 be native to 是…的土产动物/植物 as we know 正如我们所知 an international language 一门国际语言 an international organization 一个国际组织 play a role/ part(in)在…中担任角色；在…中起作用;扮演一个角色；参与 play an important role/ part 在…中起重要作用 because of 因为；由于 come up(vi)走进；上来；发生；被讨论 make(good/ full)use of（好好/充分）利用

from one place to another 从一处到另一处 present sth to sb / present sb with sth 句子归纳：

1.However, they may not be able to understand everything.（然而，他们可能不是什么都懂。）

2.This is because Britain ruled India from 1765 to 1947.(这是因为英国于1765年到1947年统治过印度。)3.All languages change when cultures communicate with one another.(当不同文化互相沟通时，所有的语言都会发生变化。)4.What the British call “petrol” the Americans call “gas”.(美国人把被英国人称作“petrol”的东西称作“gas”。此处what引导宾语从句)5.Actually, it was based more on German than present day English.(实际上，当时的英语更多地是以德语为基础的，而现代英语不是。)6.…those who reported the news were expected to speak excellent English.7.The US is a large country in which many different dialects are spoken.(in which= where, 其引导定语从句。美国是一个大国，国内说着许许多多的方言。)8.…there is more than one kind of English in the world.(more than one+单数可数名词，作主语时，谓语用单数)

9.It is not easy for a Chinese person to speak English as well as a native English speaker.(对于一个中国人来说把英语说得跟以英语为母语的人一样好是不容易的。)句型：It is + adj/n+ for sb to do sth 对于某人来说做某事是… 扩充：It is + adj+ of /for sb to do sth 当句式中形容词修饰to do sth 时用for;若形容词修饰sb，则用of.eg: It’s kind of you to help me carry the box.附：

1.either…or…和neither…nor…连接两个名词作主语，谓语动词采取就近原则。2.be different in 强调在某方面的不同

be different from 强调在各方面的不同 3.in the end 最后，最终 后无of 结构 三个表示最后最终的用法：

⑴finally: 按照顺序的最后，常与first, secondly 等连用 ⑵at last: 经过长时间等待直到最后

⑶in the end: 经过长期曲折斗争努力，终于… 如：战争等

4.与人交谈，常会有听不清楚或听不懂的情形，遇到这种情况该如何开口呢？ ⑴Pardon? ⑵I beg your pardon? I don’t understand./ Sorry, I can’t follow you.对不起，我没听懂，请再说一遍好吗？

⑶Could you say that again, please? / Could you repeat that, please? 请再说一遍好吗？ ⑷Could you speak more slowly, please? 请你说得慢一点好吗？ 5.include ─ including;included identity ─ identify actually ─ actual(adj);

apidly ─ rapid(v)

government(n)─ govern(v)wide(adj)─ widen(v);

broad(adj)─ broaden(v)foreign ─ foreigner;solve(v)─ solution(n)

6.petrol------gas;lift------elevator;flat------apartment film------movie;sweets----candy;post------mail