空间立体几何中有关垂直问题的证明 学案

第一篇：空间立体几何中有关垂直问题的证明 学案

空间立体几何中有关垂直问题的证明 学案

学习目标： 1学会运用所学知识解决垂直的证明问题；

2培养学生空间想象能力、逻辑推理能力；

3培养学生用向量的代数推理能力解决立几何中探索性问题的意

识。

重点： 能够运用所学知识证明垂直问题

难点： 垂直关系的相互转化

一、教学过程

探究1 请你总结证明线线垂直的方法？线面垂直的方法？面面垂直的方法？

探究2请你用表示线线垂直、线面垂直及面面垂直的关系

二、方法指导

例

1、如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，AB2，M是CC1的中点，O是底面ABCD的中心，点P在A1B1上，设直线BM与OP所成的角大小为（1）若P是A1B1的中点，求

的大小（2）若P是A1B1上的任意点，求的大小

例

2、如图，在四棱锥

和CD侧棱底面，中，底面是是直角梯形，垂直于，.的中点，且（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）在侧面内找一点，使平面；

练习：在正方体ABCDA1B1

C1D1中，M为CC1的中点，AC交BD于点O，A1O平面MBD求证：

探究：在上述正方体中，当M在CC1上运动时，若要求A1O1面MBD,O1在面ABCD内,则点O1在AC上吗？点M的位置和点O1的位置是否有联系？如果有AO1和CM的长度有什么关系？

第二篇：立体几何垂直证明范文

立体几何专题----垂直证明

学习内容：线面垂直面面垂直

立体几何中证明线面垂直或面面垂直都可转化为 线线垂直，而证明线线垂直一般有以下的一些方法：（1）通过“平移”。（2）利用等腰三角形底边上的中线的性质。（3）利用勾股定理。（4）利用三角形全等或三角行相似。(5)利用直径所对的圆周角是直角，等等。

试题探究

一、通过“平移”,根据若a//b,且b平面,则a平面

1．在四棱锥P-ABCD中，△PBC为正三角形，AB⊥平面PBC，AB∥CD，AB=

12DC，E为PD中点.求证：AE⊥平面PDC.、2．如图，四棱锥P－ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，∠PDA=45°，点E为棱AB的中点． 求证：平面PCE⊥平面PCD；

3.如图所示, 四棱锥PABCD底面是直角梯形

BAAD,CDAD,CD2AB,PA底面ABCD,E为PC的中点, PA＝AD。

证明: BE平面PDC;

二、利用等腰三角形底边上的中线的性质

4、在三棱锥PABC中，ACBC2，ACB90，APBPAB，PCAC．

（Ⅰ）求证：PCAB；

P

（Ⅱ）求二面角BAPC的大小；A

B

C5、如图，在三棱锥PABC中，⊿PAB是等边三角形，∠PAC=∠PBC=90 º 证明：AB⊥PC

三、利用勾股定理

PACD,PA1,PD

6、如图，四棱锥PABCD的底面是边长为1的正方形，求证:PA平面ABCD；

_A _D

_B_C7、如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，CACBCDBD2,ABAD

（1）求证：AO平面BCD；

（2）求异面直线AB与CD所成角的大小；B

E

四、利用三角形全等或三角行相似

8、正方体ABCD—A1B1C1D1中O为正方形ABCD的中心，M为BB1的中点，求证：D1O⊥平面MAC.9、如图，已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，过点B作B1C的垂线交侧棱CC1于点E，交B1C于点F，求证：A1C⊥平面BDE；

五、利用直径所对的圆周角是直角

10、如图，AB是圆O的直径，C是圆周上一点，PA⊥平面ABC.（1）求证：平面PAC⊥平面PBC；

（2）若D也是圆周上一点，且与C分居直径AB的两侧，试写出图中所有互相垂直的各对平面.P

A11、如图，在圆锥PO中，已知PO，⊙O的直径AB2,C是狐AB的中点，D为AC的中点．证明：平面POD

平面PAC;

第三篇：立体几何证明问题

证明问题

例1.如图，E、F分别是长方体边形

.-的棱A、C的中点，求证：四边形是平行四

例2.如图所示，ABCD为正方形，SA⊥平面ABCD，过点A且垂直于SC的平面分别交SB、SC、SD与E、F、G.求证：AE⊥SB.例3.如图，长方体∠求证：

=90°.⊥

PQ

-中，P、Q、R分别为棱、、BC上的点，PQ//AB，连结，例4.已知有公共边AB的两个全等的矩形ABCD和ABEF不同在一个平面内，P、Q分别是对角线AE、BD上的点，且AP=DQ，如图所示.求证：PQ//平面

CBE.例5.如图直角三角形ABC平面外一点S，且SA=SB=SC，且点D为斜边AC的中点.（1）求证：SD⊥平面ABC.（2）若AB=AC，求证BD⊥平面

SAC.例6.如图，在正方体

-中，M、N、E、F分别是棱、、、的中点.求证：平面AMN//平面

EFDB.例7.如图（1）、（2），矩形ABCD中，已知AB=2AD，E为AB的中点，将ΔAED沿DE折起，使AB=AC.求证：平面ADE⊥平面

BCDE.

第四篇：立体几何中平行与垂直的证明

立体几何中平行与垂直的证明

姓名

2.掌握正确的判定和证明平行与垂直的方法.D

1【学习目标】1.通过学习更进一步掌握空间中线面的位置关系;

例1．已知正方体ABCD—A1B1C1D1，O是底ABCD对角线的交点．

求证：（1）C1O//平面AB1D1；（2）A1C⊥平面AB1D1．【反思与小结】1.证明线面平行的方法：2.证明线面垂直的方法：

AD

C1

BC【变式一】如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中,ADAA11,AB1，点E在棱AB上移动。求证：D1E⊥A1D；

【反思与小结】1．证明线线垂直的方法：

1． 谈谈对“点E在棱AB上移动”转化的动态思考 2． 比较正方体、正四棱柱、长方体

【变式二A】如图平面ABCD⊥平面ABEF，ABCD是正方形，ABEF是矩

形，且AF

D

1A

E

B

C

C

AD2,G是EF的中点，2（1）求证平面AGC⊥平面BGC；（2）求空间四边形AGBC的体积。

反思与小结1．证明面面垂直的方法：2．如果把【变式二A】的图复原有什么新的认识？ 【变式二B】.如图，在直三棱柱(侧棱与底面垂直的三棱柱)ABCA1B1C1中，AB8，AC6，BC

（Ⅰ）求证：

10，D是BC边的中点.ABA1C；（Ⅱ）求证：AC1∥ 面AB1D；

【反思与小结】和前面证明线线垂直、线面平行比较有什么新的认识？ 【变式三】如图组合体中，三棱柱ABCA1B1C1的侧面ABB1A1 是圆柱的轴截面，C是圆柱底面圆周上不与A、B重合一个点.（Ⅰ）求证：无论点C如何运动，平面A1BC平面A1AC；

（Ⅱ）当点C是弧AB的中点时，求四棱锥A1BCC1B1与圆柱的体积比．

【反思与小结】

1．观察两个图之间的变化联系，写出感受。

2．和【变式一】进行比较，谈谈你把握动态问题的新体会

【变式四】如图，四边形ABCD

为矩形，AD⊥平面ABE，AE＝EB＝BC＝2，F 为CE上的点，且BF⊥平面ACE．

（1）求证：AE⊥BE；

（2）设M在线段AB上，且满足AM＝2MB，试在线段CE上确定一点N，使得MN∥平面DAE.【反思与小结】1．和前面两个动态问题比较，解答本题的思路和方法有什么不同？ _P【变式五】如图5所示，在三棱锥PABC中，PA平面ABC，ABBCCA3，M为AB的中点，四点P、A、M、C都在球O的球面上。

（1）证明：平面PAB平面PCM；（2）证明：线段PC的中点为球O的球心；

【反思与小结】1．探讨球与正方体、长方体等与球体之间的关系。

2．结合前面几组图形的分割变化规律，说明正方体、正四棱

柱、长方体、直三棱柱、四棱锥、三棱锥的变化联系。

3．总结立几中证明“平行与垂直”的思路和方法

课后练习

1．如图所示，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AB=BB1，AC1⊥平面A1BD，D为AC的中点。（I）求证：B1C//平面A1BD；

（II）求证：B1C1⊥平面ABB1A

（III）设E是CC1上一点，试确定E的位置，使平面A1BD⊥平面BDE，并说明理由。

2.如图，已知AB平面ACD，DE平面ACD，三角形ACD

为等边三角形，ADDE2AB，F为CD的中点

（1）求证：AF//平面BCE；

（2）求证：平面BCE平面CDE；

P1． 如图，四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ABAD，ACCD，ABC60，PAABBC，E是PC的中点．（1）求证：CDAE；

A

D（2）求证：PD面ABE．

2． 如图，四棱锥P—ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=AB，底面ABCD为直角梯形，∠ABC=∠BAD=90°，PA=BC=_A_M_B_C1AD.2B

（I）求证：平面PAC⊥平面PCD；

（II）在棱PD上是否存在一点E，使CE∥平面PAB？若

存在，请确定E点的位置；若不存在，请说明理由.5.如图，在四棱锥SABCD中，SAAB

2，SBSD底面ABCD是菱形，且ABC60，E为CD的中点．

（1）证明：CD平面SAE；

（2）侧棱SB上是否存在点F，使得CF//平面SAE？并证明你的结论． D【课后记】1．设计思路（1）两课时； C（2）认识棱柱与棱锥之间的内在联系；

（3）掌握探寻几何证明的思路和方法；

（4）强调书写的规范性

2．实际效果：

（1）用时两节半课；

（2）平行掌握的比较好，但垂直问题需要继续加强。尤其是面面垂直问题转化为线面垂直后便不知所措。

第五篇：高中立体几何证明垂直的专题训练

高中立体几何证明垂直的专题训练

深圳龙岗区东升学校—— 罗虎胜

立体几何中证明线面垂直或面面垂直都可转化为 线线垂直，而证明线线垂直一般有以下的一些方法：（1）通过“平移”。

（2）利用等腰三角形底边上的中线的性质。（3）利用勾股定理。

（4）利用三角形全等或三角行相似。(5)利用直径所对的圆周角是直角，等等。

(1)通过“平移”,根据若a//b,且b平面,则a平面

1．在四棱锥P-ABCD中，△PBC为正三角形，AB⊥平面PBC，AB∥CD，AB=

DC，2E为PD中点.求证：AE⊥平面PDC.分析：取PC的中点F，易证AE//BF，易证

BF⊥平面PDC

2．如图，四棱锥P－ABCDABCD，∠PDA=45°，点E为棱AB的中点． 求证：平面PCE⊥平面PCD；

分析：取PC的中点G，易证EG//AF，又易证AF于是EG⊥平面PCD,则平面PCE⊥平面PCD

（第2题图）

3、如图所示，在四棱锥PAB中，AB平面,PAB//CD,PDAD,E是PB的中点，F是CD上的点，且

DF

AB,PH为PAD中AD边上的高。

2（1）证明：PH平面ABCD；

（2）若PH1，ADFC1，求三棱锥EBCF的体积；（3）证明：EF平面PAB.分析：要证EF平面PAB，只要把FE平移到DG，也即是取AP的中点G，易证EF//GD, 易证DG⊥平面PAB

4.如图所示, 四棱锥PABCD底面是直角梯形

BAAD,CDAD,CD2AB,PA底面ABCD,E为PC的中点, PA＝AD。证明: BE平面PDC;

分析：取PD的中点F，易证AF//BE, 易证AF⊥平面PDC

（2）利用等腰三角形底边上的中线的性质

5、在三棱锥PABC中，ACBC2，ACB90，PCAC．APBPAB，（Ⅰ）求证：PCAB；

（Ⅱ）求二面角BAPC的大小；

P

A

C

B6、如图，在三棱锥PABC中，⊿PAB是等边三角形，∠PAC=∠PBC=90 º 证明：AB⊥PC

因为PAB是等边三角形，PACPBC90, 所以RtPBCRtPAC,可得ACBC。如图，取AB中点D，连结PD,CD, 则PDAB,CDAB, 所以AB平面PDC, 所以ABPC。

（3）利用勾股定理

7、如图，四棱锥PABCD的底面是边长为

1的正方形，PACD,PA1,PD求证:PA平面ABCD；

_ B

_ A

_D

_C8、如图1，在直角梯形ABCD中，AB//CD，ABAD，且ABAD

CD1．

2现以AD为一边向形外作正方形ADEF，然后沿边AD将正方形ADEF翻折，使平面

ADEF与平面ABCD垂直，M为ED的中点，如图2．（1）求证：AM∥平面BEC；

（2）求证：BC平面BDE；

E

M

E

C

F

MC

B

A9、如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，CACBCDBD2,ABAD（1）求证：AO平面BCD；

（2）求异面直线AB与CD所成角的大小；

（1）证明：连结OCBODO,ABAD,AOBD.B

E

BODO,BCCD,

COBD.在AOC中，由已知可得AO1,CO 而AC2,AO2CO2AC2,AOC90o,即AOOC.BDOCO, AO平面BCD,BCCD，侧面SAB为等边三角形，10、如图，四棱锥SABCD中，ABBC

ABBC2,CDSD1．

（Ⅰ）证明：SD平面SAB;

（Ⅱ）求AB与平面SBC所成角的大小．

解法一：

（I）取AB中点E，连结DE，则四边形

BCDE为

矩形，DE=CB=2，连结SE，则SEAB,SE又SD=1，故EDSESD，所以DSE为直角。

由ABDE,ABSE,DESEE，得AB平面SDE，所以ABSD。SD与两条相交直线AB、SE都垂直。

所以SD平面SAB。

（4）利用三角形全等或三角行相似

11．正方体ABCD—A1B1C1D1中O为正方形ABCD的中心，M为BB1的中点，求证：D1O⊥平面MAC.分析：法一：取AB的中点E，连A1E,OE,易证△ABM≌A1AE, 于是AM⊥A1E,又∵OE⊥平面ABB1A1∴OE⊥AM, ∴AM⊥平面OEA1D1∴AM⊥D1O

法二：连OM,易证△D1DO∽OBM,于是D1O⊥OM

12．如图，正三棱柱ABC—A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1中点.求证：AB1⊥平面A1BD；

分析： 取BC的中点E，连AE,B1E,易证△DCB≌△EBB1，从而BD⊥EB113、.如图，已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，过点B作B1C的垂线交侧棱CC1于点E，交B1C于点F，求证：A1C⊥平面BDE；

（5）利用直径所对的圆周角是直角

AB是圆O的直径，C是圆周上一点，PA⊥平面ABC.）求证：平面PAC⊥平面PBC；

（2）若D也是圆周上一点，且与C分居直径AB的两侧，试写出图中所有互

相垂直的各对平面.P

A15、如图，在圆锥PO中，已知POO的直径AB2,C是狐AB的中点，D为

AC的中点．证明：平面POD平面PAC;

16、如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD．以BD的中点O为球心、BD为直径的球面交PD于点M．

求证：平面ABM⊥平面PCD； ．

证：依题设，Ｍ在以ＢＤ为直径的球面上，则ＢＭ⊥ＰＤ.因为ＰＡ⊥平面ＡＢＣＤ，则ＰＡ⊥ＡＢ，又ＡＢ⊥ＡＤ，所以ＡＢ⊥平面ＰＡＤ，则ＡＢ⊥ＰＤ，因此有ＰＤ⊥平面ＡＢＭ，所以平面ＡＢＭ⊥平面ＰＣＤ.B