空间中的平行关系教案（五篇范例）

第一篇：空间中的平行关系教案

课题：空间中的平行关系

授课人:杜仙梅

教学目标：1．掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理,灵活运用线面平行的判定定理和性质定理实现“线线”“线面”平行的转化。

2．掌握两个平面平行的判定定理及性质定理，灵活运用面面平行的判定定理和性质定理实现“线面”“面面”平行的转化．

教学重点、难点：线面平行的判定定理和性质定理的证明及运用；两个平面平行的判定和性质及其灵活运用．

教学方法：探究、引导、讲练相结合 教学过程： 基础知识梳理

1．直线与平面平行的判定与性质(1)判定定理：

平面外一条直线与_______________平行，则该直线与此平面平行．（此平面内的一条直线）(2)性质定理：

一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线

．（平行）2．平面与平面平行的判定与性质(1)判定定理：

一个平面内的 与另一个平面平行，则这两个平面平行．（两条相交直线）(2)性质定理：

如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线

．（平行）思考：能否由线线平行得到面面平行？

【思考·提示】 可以．只要一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，这两个平面就平行． 三基能力强化

1．两条直线a、b满足a∥b，b⊂α，则a与平面α的关系是(C)A．a∥α

B．a与α相交 C．a与α不相交

D．a⊂α

2．正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是DD1的中点，则BD1与平面ACE的位置关系为_____．(平行)课堂互动讲练 考点一

直线与平面平行的判定：

判定直线与平面平行，主要有三种方法：(1)利用定义(常用反证法)．

(2)利用判定定理：关键是找平面内与已知直线平行的直线．可先直观判断平面内是否已有，若没有，则需作出该直线，常考虑三角形的中位线、平行四边形的对边或过已知直线作一平面找其交线．(3)利用面面平行的性质定理：当两平面平行时，其中一个平面内的任一直线平行于另一平面．

特别提醒：线面平行关系没有传递性，即平行线中的一条平行于一平面，另一条不一定平行于该平面． 例1正方形ABCD与正方形ABEF所在平面相交于AB，在AE、BD上各有一点P、Q，且AP＝DQ.求证：PQ∥平面BCE.【证明】 法一：如图所示，作PM∥AB交BE于M，作QN∥AB交BC于N，连结MN、PQ.正方形ABCD和正方形ABEF有公共边AB，∴AE＝BD.又∵AP＝DQ，∴PE＝QB.又∵PM∥AB∥QN，PM＝PE，QN＝QB，∴ABAEDCBD

∴PM∥QN，即四边形PMNQ为平行四边形，又MN⊂平面BCE，PQ⊄平面BCE，∴PQ∥平面BCE.法二：如图所示，连结AQ，并延长交BC于K，连结EK.∵AE＝BD，AP＝DQ，∴PE＝BQ，∴AP＝DQ.① PEBQ 又∵AD∥BK，DQAQ ∴＝.② BQQK APAQ由①②得＝，PEQK ∴PQ∥EK.EK⊂面BEC，又PQ⊄平面BEC，∴PQ∥平面BEC.法三：如图所示，作PH∥EB交

AHAPAB于H，连结HQ，则＝，HBPE

∵AE＝BD，AP＝DQ，∴PE＝BQ，AHAPDQ ∴HB＝PE＝BQ，∴HQ∥AD，即HQ∥BC.又PH∩HQ＝H，BC∩EB＝B，∴平面PHQ∥平面BCE，而PQ⊂平面PHQ，∴PQ∥平面BCE.【点评】 法

一、法二均是依据线面平行的判定定理在平面BCE内寻找一条直线l，证得它与PQ平行． 特别注意直线l的寻找往往是通过过直线PQ的平面与平面BCE相交的交线来确定． 法三是利用面面平行的性质，即若平面α∥β，l⊂α，则l∥β.考点二

平面与平面平行的判定

(1)利用定义(常用反证法)．

(2)利用判定定理：转化为判定一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面．客观题中，也可直接利用一个平面内的两条相交线分别平行于另一个平面内的两条相交线来证明两平面平行．

α∥β

⇒α∥γ.(3)利用面面平行的传递性：γ∥β  α⊥l⇒α∥β.(4)利用线面垂直的性质： β⊥l例2如图所示，正三棱柱ABC－A1B1C1各棱长为4，E、F、G、H分别是AB、AC、A1C1、A1B1的中点，求证：平面A1EF∥平面BCGH.【思路点拨】 本题证面面平行，可证明平面A1EF内的两条相交直线分别与平面BCGH平行，然后根据面面平行的判定定理即可证明． 2

【证明】 △ABC中，E、F分别为AB、AC的中点，∴EF∥BC.又∵EF⊄平面BCGH，BC⊂平面BCGH，∴EF∥平面BCGH.又∵G、F分别为A1C1，AC的中点，∴四边形A1FCG为平行四边形． ∴A1F∥GC.又∵A1F⊄平面BCGH，CG⊂平面BCGH，∴A1F∥平面BCGH.又∵A1F∩EF＝F，∴平面A1EF∥平面BCGH.【点评】 利用面面平行的判定定理证明两个平面平行是常用的方法，即若a⊂α，b⊂α，a∥β，b∥β，a∩b＝O，则α∥β.考点三

直线与平面平行的性质

利用线面平行的性质，可以实现由线面平行到线线平行的转化．在平时的解题过程中，若遇到线面平行这一条件，就需在图中找(或作)过已知直线与已知平面相交的平面．这样就可以由性质定理实现平行转化．

例3如图，已知四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH.求证：AP∥GH.【思路点拨】 要证AP∥GH，只需证PA∥面BDM.【证明】

如图，连结AC，设AC交BD于O，连结MO.∵四边形ABCD是平行四边形，∴O是AC的中点．

又∵M是PC的中点，∴MO∥PA.又∵MO⊂平面BDM，PA⊄平面BDM，∴PA∥平面BDM.又经过PA与点G的平面交平面BDM于GH，∴AP∥GH.【点评】 利用线面平行的性质定理证明线线平行，关键是找出过已知直线的平面与已知平面的交线．

考点四

平面与平面平行的性质

平面与平面平行的判定与性质，同直线与平面平行的判定与性质一样，体现了转化与化归的思想．三种平行关系如图．

应用性质过程的转化实施，关键是作辅助平面，通过作辅助平面得到交线，就可把面面平行化为线面平行并进而化为线线平行，注意作平面时要有确定平面的依据．

例(解题示范)(本题满分12分)如图，直线AC、DF被三个平行平面α、β、γ所截．(1)是否一定有AD∥BE∥CF?(2)若

AB

＝λ，DE

＝μ，试判断λ与μ的大小关系．

BCEF【思路点拨】 本题是开放性题目，是近年来高考热点，利用面面平行的性质证明BG∥CH，从而可得λ=μ.【解】(1)平面α∥平面β，平面α与β没有公共点，但不一定总有AD∥BE.同理不总有BE∥CF，∴不一定有AD∥BE∥CF

4分

(2)过A点作DF的平行线，交β，γ于G，H两点，AH∥DF.过两条平行线AH，DF的平面交平面α，β，γ于AD，GE，HF.根据两平面平行的性质定理，有AD∥GE∥HF，6分

AG∥DE⇒AGED为平行四边形，AD∥GE∴AG＝DE，同理GH＝EF.又过AC，AH两相交直线的平面与平面β，γ的交线为BG，CH.9分 根据两平面平行的性质定理，有BG∥CH，ABAG 在△ACH中，＝，BCGH 而AG＝DE，GH＝EF，ABDE∴＝，BCEF 即λ＝μ.12分

【误区警示】(1)小题易出错，其原因是把AC、DF习惯地认为是相交直线． 规律方法总结

1．对线面平行，面面平行的认识一般按照“定义—判定定理—性质定理—应用”的顺序．其中定义中的条件和结论是相互充要的，它既可以作为判定线面平行和面面平行的方法，又可以作为线面平行和面面平行的性质来应用

2．在解决线面、面面平行的判定时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而在应用性质定理时，其顺序恰好相反，但也要注意，转化的方向总是由题目的具体条件而定，决不可过于“模式化”．

3．在应用有关定理、定义等解决问题时，应当注意规范性训练，即从定理、定义的每个条件开始，培养一种规范、严密的逻辑推理习惯，切不可只求目标，不顾过程，或言不达意,出现推理“断层”的错误． 课后作业

1．已知直线a、b和平面α、β，则在下列命题中，真命题为（）A．若a∥β，α∥β，则a∥α B．若α∥β，a⊂α，则a∥β

C．若α∥β，a⊂α，b⊂β，则a∥b D．若a∥β，b∥α，α∥β，则a∥b 答案：B 2．(教材习题改编)a，b，c为三条不重合的直线，α，β，γ为三个不重合的平面，现给出六个命题：

a∥ca∥γ

①⇒a∥b ②⇒a∥b b∥cb∥γ α∥cα∥γ③⇒α∥β ④⇒α∥β

β∥cβ∥γ

α∥ca∥γ ⑤⇒a∥α ⑥⇒a∥α a∥cα∥γ

其中正确的命题是（）A．①②③

B．①④⑤

C．①④

D．①④

答案：C 3．过三棱柱ABC－A1B1C1任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线共有________条．（6）3．互动探究：正三棱柱ABC－A1B1C1各棱长为4，若D是BC上一点，且A1B∥平面AC1D，D1是B1C1的中点，求证：平面A1BD1∥平面AC1D.证明：如图所示，连结A1C交AC1于点E，∵四边形A1ACC1是平行四边形，∴E是A1C的中点，连结ED，∵A1B∥平面AC1D，平面A1BC∩平面AC1D=ED，∴ A1B∥ED，∵E是A1C的中点，∴D是BC的中点，又∵D1是B1C1的中点，∴BD1∥C1D，A1D1∥AD，又A1D1∩BD1=D1，∴平面A1BD1∥平面AC1D.4．高考检阅：(本题满分12分)如图，已知平面α∥平面β∥平面γ，且β位于α与γ之间，点A、D∈α，C、F∈γ，AC∩β=B，DF∩β=E.ABDE(1)求证：＝； BCEF

(2)设AF交β于M，AD

与CF不平行，α与β间的距 离为h′，α与γ之间的距离h′ 为h，当的值是多少时，h △BEM的面积最大？ 解：(1)证明：如图，连结BM、EM、BE.∵β∥γ，平面ACF∩β＝BM，平面ACF∩γ＝CF，ABAM ∴BM∥CF，∴＝.BCMFAMDE 5 同理＝，MFEFABDE∴＝.4分 BCEF

(2)由(1)知BM∥CF，∴BMABh′CF＝AC＝h，同理MEh－h′AD＝h，∴BM·ME＝CF·AD·h′h′h(1－h).6分 又S1△BEM＝BM·MEsin∠BME.据题意 知，AD2与CF异面，AD、CF是常量，只是平面β在α，γ之间平移，AD、CF所成的角也是定值，∴sin∠BME是常量，令h′h＝x，只要考查函数y＝x(1－x)的最值即可.9分 显然当x＝12时，即1－x＝x＝12时，y＝x(1－x)有最大值． 故当h′h＝12时，即平面β在α，γ两平面的正中间时，△BEM的面积最大.12分 6

第二篇：空间点线面的位置关系教案

空间点线面的位置关系

（一）教学目标：

1.知识与技能

（1）理解空间直线、平面位置关系的定义；（2）了解作为推理依据的公理和定理。

（3）会根据定理和公理进行简单的线面关系的推理和证明，并能够进行简单的体积或面积运算

2.过程与方法

（1）通过对空间事物的观察，经历由具体到抽象的思维过程（2）通过对空间图形的描述和理解，体验由图形归纳性质的过程 3.情感、态度与价值观

（1）由图形归纳性质的过程中，培养学生从具体到抽象的思维能力（2）又实际空间物体联想空间线面关系，使学生感受到数学在实际生活中的应用。

（二）教学重点和难点：

1、教学重点：空间中线面平行和垂直关系的性质和判定；

2、教学难点：线面平行和垂直关系判定和性质定理的应用。

（三）教学过程：

【复习引入】

提问：空间中直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系有几种?

如何来证明线线，线面，面面的平行和垂直？

【新课讲授】

根据空间具体事物，能够抽象地画出它的直观图形，并通过定理和公理进行推理证明是立体几何的基本问题之一．如何正确理解空间直线、平面的位置关系，能够通过定理和公理判断和推理证明平行和垂直关系是解决这个基本问题的途径。

1、高考数学（文科）考试说明的了解

2、针对性训练及讲解：

题组一：（空间点线面位置关系的判断）（1）、已知两条不同直线l1和l2及平面a,则直线l1//l2的一个充分条件是 A、l1//a且l2//a B.l1⊥a且l2⊥a C.l1//a且l2a D.l//a且la

12（2）、已知,是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，给出下列命题： ①若m,m，则；

②若m,n,m//，n//,则//； ③如果m,n,m,n是异面直线，那么n与相交； ④若m,n//m,且n,n其中正确的命题是

简单点拨：题组一主要是对线面、面面位置关系的判断以及根据平行或垂直有关的定理和公理进行判断，要求学生对性质和定理要熟悉。题组二：（线面、面面位置关系的推理证明和体积运算）（1）、如图，已知ABCDA1B1C1D1是底面为正方形的 长方体，AD1A点P是AD1上的动点． 160，AD14，BCPA1AD，则n//且n//

① 试求四棱锥PA1B1C1D1体积的最大值； ② 试判断不论点P在AD1上的任何位置，是否都有平面B1PA1垂直于平面并证明你的结论

B1D1AA1D1？

C1（2）、已知三棱柱ABC—A1B1C1的三视图如图所示，其中主视图AA1B1B和 左视图B1BCC1均为矩形，在俯视图△A1B1C1中，A1C1=3，A1B1=5,cosA13.5① 在三棱柱ABC—A1B1C1中，若D是底边AB的中点，求证：AC1∥平面CDB1.② 在三棱柱ABC—A1B1C1中，求证：

BC⊥AC1；

③ 若三棱柱的高为5,求三视图中左 视图的面积.B1俯视图A1B主视图CC1ACB左视图BDB1C1A1C1B1B1C1A1CA点拨讲解：要进行平行或垂直的证明，首要是应用什么定理或性质，然后根据定理的内容对题目进行分析，找出合适的条件。

3、课后练习： P67 1、4、12

教学札记：空间点线面的位置关系的判断和证明，关键在于学生能够了解关于线面或面面平行、垂直的判定和性质定理，并能够灵活应用。

第三篇：我们的故事--平行空间

我们的故事——平行空间

本故事纯属虚构，如有雷同纯属巧合两个人的相遇，是没有任何征兆，没有任何情节，也许就在某一时刻，某一地点，两个主人公甜蜜邂逅。5、4、3、2、1 第一场（场景）：校外的小道，以一棵树为中点。男女主人公擦肩而过，彼此回眸，相视，点头，微笑。

女：你也是这个学校的学生吗？（女孩仔细的打量男孩）男：嗯，我是财管本科的，你呢？ 女：财管本科！学校什么时候有本科了？ 男：学校今年刚升本的啊！你不会不知道吧！女：哦！那。。今天是几号？ 男：12月12日 女：哪一年? 男：2011年啊！你。女：怎么了？

男：你讲话好奇怪。。你还没告诉我你是哪个专业的？

女：我是英语专业的 就这样，我和伊在校外的小道相遇，虽然有时候觉得她讲话很奇怪，但从她的对话中我发现，这个女生心地善良，笑起来很甜。男：我到宿舍了，你呢？ 女（喃喃自语）：12号楼，那我应该是八号。男：你在说什么呢？

女：哦！没什么，你住12号楼啊！男：对啊！财管的都住这。

女：哦，我住八号楼。

男：哦，那你就在旁边这栋。。那就快回去吧！很高兴认识你，我叫袁曦。女：嗯，我也是，我叫小伊，那。我回去了，拜拜！

我看着她离去的背影，隐约的感觉到，这个女孩是上天给我恩赐，所以我下定决心要把追到手，在接下来的一个月里，我几乎每天都能遇到她，其实是我故意在等她。而且一来二去我们两走的越来越近，于是我决定向她告白。

这天我约她到西湖。（此处加些打酱油）男：伊，我喜欢你，我们交往吧！女：。。。男：你怎么不说话，你不喜欢我吗。

女：在回答你之前，你能回答我一个问题吗？ 男：什么问题？

女：如果生活在不同世界，不同时空的两个人，因为某个原因在一个时空相遇，相恋，相爱，但结果是不可能的，换成你，你会怎么办。

男：这明摆着不可能嘛！两个不在同一时空的人，怎么可能相爱，就算是这样，我也不可能去爱上一个比我大或比我小的女生。女：你。。男：怎么了，我是实话实说啊，两个人。。女：你别说了，我要回去了。

男：你怎么了？你还没回答我啊！就这样，女孩消失了。。一个月后（教室）

男走进教室，到他的同学旁：哎，怎么样了，有消息吗？ 友：你确定是叫小伊？是不是你弄错了。男：怎么可能，她说她是英语专业的。

友：我托人找了整个文产系，就是没有这个人。男：她就住在8号楼，403 友：你有没搞错，403死过人，根本就没人住。男：哪有，你也见过的好不好。

友：见过，什么时候。

男：那天我和她在操场散步啊，我还跟你打招呼呢！

友：神经病，你那天一个人在操场上边走边傻笑，哪来的女生，你是不是鬼上身了！同学1：鬼上身！哎，我认识一个神婆，你去看看吧。（同学1给了他一张名片）男：神经病！我睡觉去。男来到一张桌子前，上面写着：每个时空都存在着与之平行的多个时空，在某个特定的时刻，可以进行空间跳跃，跳到另一个时空里，可以是过去，也可以是未来，但现实世界的历史结果是不能被改变的。。

男：这什么跟什么啊！是谁乱写的。。不管了，睡觉！男孩很快进入梦乡，朦胧中来到了一间教室。女：真的有平行空间一说，你们相信我。。

同学2：平行空间！开什么玩笑，你来个空间跳跃试试。同学3：就是，就是，你证明给我们看呀！

同学2：证明啊！（女孩沉默不语）不能了吧，我看是你没睡醒吧！同学3：就是，别理她。

男看了一会，才发现是伊：伊，我终于找到你了。女：你怎么来了。。同学4：你在跟谁说话。女：哎呀，你跟我来。同学4：小伊，你去哪？

两人来到天台，女放开男的手走开，男跟上。男：你最近去哪了，我一直在找你。女：我没有去哪，你回去吧，别来找我了。男：为什么。。女没有回答

男：为什么。（男惊醒）

友：你干嘛呢，什么为什么的，做梦了？

男心想：不对啊！那种感觉好真实，可是又好像不是现实世界，跟现在的不一样。男孩看到了那一张名片，决定试试。场景：神婆处

门童：你是来求神婆的？ 男：是的。门童：你跟我来吧！

男：麻烦了。

走一段路，场景要布置下

门童：神婆就在里面，你进去吧！男进门

神婆：做吧，你是求神呢？还是求己？ 男：求己！

神婆：为情而来的吧！男：是。

神婆拿出一个木盆，在上面撒米，挑了几个含在嘴里：你所找的人不是人，你还是放弃吧！回去吧。

男：为什么，她怎么会不是人呢？

神婆：她跟你不是同一时空的人，只是用了特定的方法进行时空平移。男：时空平移，你说的是什么跟什么啊？

神婆：她已经死了，只是另一个时空的她还活着，然后在某个时刻她回到现实世界与你相遇。男：这不可能，我们还一起牵手，散步呢，你骗我，你骗我。

神婆：我不会骗你的，这是她留给你的信和书。男看信。袁熙，原谅我没有答应你，其实我很想和你在一起，但我不能，我们不是同一时空的人，我们注定不能在一起。我的生命是有限的，无法等到与你重逢的那一天，所以，我不想让你为我伤心难过，忘了我吧，就当这是一场梦，相信会有比我更好的女孩来爱你的。。男孩看完信痛哭，他拿着伊留给她的书，不能言语。

神婆：5年前，她来找我，问了关于与你相遇的事情。她希望能再见你一次，但是，她患有先天性心脏病，在那年冬天她在医院病逝了。男：因为我，都是因为我。

神婆：这一切都是命，孩子啊！想开点吧。

男：不！不能就这样结束，一定有办法的，她可以到未来，那我就可以回到过去。神婆：没那么简单的，就算你回去，结果还是一样，你改变不了什么。

男：不管什么结果，只要能在见她一面就行。神婆你帮帮我，我知道你有办法的。神婆：你确定，到时候可能连你也回不来了。男：我不管什么后果，就算死我也愿意。

神婆：你和她一样的固执，好吧！我帮你，但你必须按我说的去办。1：找到你们第一次见面的地方，有什么标志性建筑。

2：到了那个时空，要做好标记，回来的路就在那里。

3：你只有一天的时间，时间一到就必须回来，否则就回不来。4：在那个时空，别人看不见你，只有她可以。5：不要改变那个时空的事情，后果会很严重的。男：好啦！我明白。我明白！

第四篇：空间几何——平行与垂直证明

三、“平行关系”常见证明方法

（一）直线与直线平行的证明

1)利用某些平面图形的特性：如平行四边形的对边互相平行

2)利用三角形中位线性质

3)利用空间平行线的传递性（即公理4）：

平行于同一条直线的两条直线互相平行。

4)利用直线与平面平行的性质定理： a∥ca∥bb∥c

如果一条直线与一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。

a∥

aβ a a∥

b

α b b

5)利用平面与平面平行的性质定理：

如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行．//aa//b



b

6)利用直线与平面垂直的性质定理：

垂直于同一个平面的两条直线互相平行。

baa∥

b7)利用平面内直线与直线垂直的性质：

8)利用定义：在同一个平面内且两条直线没有公共点

（二）直线与平面平行的证明

1)利用直线与平面平行的判定定理：

平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。

ab

a∥

b

a∥b

2)利用平面与平面平行的性质推论：

两个平面互相平行，则其中一个平面内的任一直线平行于另一个平面。

a

∥

a∥

a

β

3)利用定义：直线在平面外，且直线与平面没有公共点

（二）平面与平面平行的证明

常见证明方法：

1)利用平面与平面平行的判定定理：

一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。

a⊂b⊂a∩bPa//b//

//

b

2)利用某些空间几何体的特性：如正方体的上下底面互相平行等 3)利用定义：两个平面没有公共点

三、“垂直关系”常见证明方法

（一）直线与直线垂直的证明

1)利用某些平面图形的特性：如直角三角形的两条直角边互相垂直等。2)看夹角：两条共（异）面直线的夹角为90°，则两直线互相垂直。3)利用直线与平面垂直的性质：

如果一条直线与一个平面垂直，则这条直线垂直于此平面内的所有直线。

a

b

ba

b

a

4)利用平面与平面垂直的性质推论：

如果两个平面互相垂直，在这两个平面内分别作垂直于交线的直线，则这两条直线互相垂直。

l

abalbl

a

b

5)利用常用结论：

① 如果两条直线互相平行，且其中一条直线垂直于第三条直线，则另

一条直线也垂直于第三条直线。

a∥b

ac

b

c

② 如果有一条直线垂直于一个平面，另一条直线平行于此平面，那么

这两条直线互相垂直。

a

b∥

ab

b

（二）直线与平面垂直的证明

1)利用某些空间几何体的特性：如长方体侧棱垂直于底面等

2)看直线与平面所成的角：如果直线与平面所成的角是直角，则这条直线垂

直于此平面。

3)利用直线与平面垂直的判定定理：

ababAlalb



l

l

b

A

a

4)利用平面与平面垂直的性质定理：

两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。

l

aal





a

l

5)利用常用结论：

①

a∥bb

a

② 两个平面平行，一直线垂直于其中一个平面，则该直线也垂直于另一

个平面。

∥

a



a

（三）平面与平面垂直的证明

1)利用某些空间几何体的特性：如长方体侧面垂直于底面等

2)看二面角：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角（即平面角

是直角的二面角），就说这连个平面互相垂直。3)利用平面与平面垂直的判定定理

一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。

aa







a



第五篇：空间点线面之间的位置关系教案

空间点、直线、平面之间的位置关系

考情分析

1．本讲以考查点、线、面的位置关系为主，同时考查逻辑推理能力与空间想象能力．

2．有时考查应用公理、定理证明点共线、线共点、线共面的问题． 3．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题．

基础知识

1．平面的基本性质

(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内．

(2)公理2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面．

(3)公理3：如果两个平面(不重合的两个平面)有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线． 推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面． 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面． 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面． 2．直线与直线的位置关系(1)位置关系的分类

(2)异面直线所成的角

①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角或直角叫做异面直线a，b所成的角(或夹角)． ②范围：.3．直线与平面的位置关系有平行、相交、在平面内三种情况． 4．平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况．

5．平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行．

6．等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．

注意事项

1异面直线的判定方法：

(1)判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过该点的直线是异面直线．

(2)反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面．

2.(1)公理1的作用：①检验平面；②判断直线在平面内；③由直线在平面内判断直线上的点在平面内．

(2)公理2的作用：公理2及其推论给出了确定一个平面或判断“直线共面”的方法．

(3)公理3的作用：①判定两平面相交；②作两平面相交的交线；③证明多点共线． 题型一平面的基本性质 【例1】正方体ABCDA1B1C1D1中，P、Q、R分别是AB、AD、B1C1的中点，那么，正方体的过P、Q、R的截面图形是（）．

A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 解析

如图所示，作RG∥PQ交C1D1于G，连接QP并延长与CB交于M，连接MR交BB1于E，连接PE、RE为截面的部分外形．

同理连PQ并延长交CD于N，连接NG交DD1于F，连接QF，FG.∴截面为六边形PQFGRE.答案 D

【变式1】 下列如图所示是正方体和正四面体，P、Q、R、S分别是所在棱的中点，则四个点共面的图形是________．

解析

在④图中，可证Q点所在棱与面PRS平行，因此，P、Q、R、S四点不共面．可证①中四边形PQRS为梯形；③中可证四边形PQRS为平行四边形；②中如图所示取A1A与BC的中点为M、N可证明PMQNRS为平面图形，且PMQNRS为正六边形．

答案 ①②③

题型二 异面直线

【例2】4．已知异面直线a，b分别在平面α，β内，且α∩β＝c，那么直线c一定()

A．与a，b都相交

B．只能与a，b中的一条相交 C．至少与a，b中的一条相交 D．与a，b都平行

解析：若c与a、b都不相交，则c与a、b都平行．根据公理4，则a∥b.与a、b异面矛盾．

答案：C

【训练2】 在下图中，G、H、M、N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH、MN是异面直线的图形有________(填上所有正确答案的序号)．

解析 如题干图(1)中，直线GH∥MN；

图(2)中，G、H、N三点共面，但M∉面GHN，因此直线GH与MN异面； 图(3)中，连接MG，GM∥HN，因此GH与MN共面； 图(4)中，G、M、N共面，但H∉面GMN，∴GH与MN异面．所以图(2)、(4)中GH与MN异面． 答案(2)(4)

题型三 异面直线所成的角

【例3】如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，将△ABD沿对角线BD折起到△A′BD的位置，使点A′在平面BCD内的射影点O恰好落在BC边上，则异面直线A′B与CD所成角的大小为________．

解析：如题图所示，由A′O⊥平面ABCD，可得平面A′BC⊥平面ABCD，又由DC⊥BC可得DC⊥平面A′BC，DC⊥A′B，即得异面直线A′B与CD所成角的大小为90°.【变式3】 A是△BCD平面外的一点，E，F分别是BC，AD的中点．(1)求证：直线EF与BD是异面直线；

(2)若AC⊥BD，AC＝BD，求EF与BD所成的角．(1)证明 假设EF与BD不是异面直线，则EF与BD共面，从而DF与BE共面，即AD与BC共面，所以A、B、C、D在同一平面内，这与A是△BCD平面外的一点相矛盾．故直线EF与BD是异面直线．(2)解

如图，取CD的中点G，连接EG、FG，则EG∥BD，所以相交直线EF与EG所成的角，即为异面直线EF与BD所成的角．

在Rt△EGF中，由EG＝FG＝AC，求得∠FEG＝45°，即异面直线EF与BD所成的角为45°.题型四 点共线、点共面、线共点的证明 【例4】►正方体

ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是AB和AA1的中点．求证：(1)E、C、D1、F四点共面；(2)CE、D1F、DA三线共点．

证明(1)如图，连接EF，CD1，A1B.∵E、F分别是AB、AA1的中点，∴EF∥BA1.又A1B∥D1C，∴EF∥CD1，∴E、C、D1、F四点共面．(2)∵EF∥CD1，EF＜CD1，∴CE与D1F必相交，设交点为P，则由P∈CE，CE⊂平面ABCD，得P∈平面ABCD.同理P∈平面ADD1A1.又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，∴P∈直线DA，∴CE、D1F、DA三线共点．

【变式4】 如图所示，已知空间四边形ABCD中，E、H分别是边AB、AD的中点，F、G分别是边BC、CD上的点，且＝＝，求证：三条直线EF、GH、AC交于一点

证明 ∵E、H分别为边AB、AD的中点，∴EH綉BD，而＝＝，∴＝，且FG∥BD.∴四边形EFGH为梯形，从而两腰EF、GH必相交于一点P.∵P∈直线EF，EF⊂平面ABC，∴P∈平面ABC.同理，P∈平面ADC.∴P在平面ABC和平面ADC的交线AC上，故EF、GH、AC三直线交于一点．

【例5】l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是（）

A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3 B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3

C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面

D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面

解析 在空间中，垂直于同一直线的两条直线不一定平行，故A错；两平行线中的一条垂直于第三条直线，则另一条也垂直于第三条直线，B正确；相互平行的三条直

线不一定共面，如三棱柱的三条侧棱，故C错；共点的三条直线不一定共面，如三棱锥的三条侧棱，故D错． 答案 B

巩固提高

1．设A、B、C、D是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确的是

（）A．若AC与BD共面，则AD与BC共面

B．若AC与BD是异面直线，则AD与BC是异面直线 C．若AB＝AC，DB＝DC，则AD＝BC D．若AB＝AC，DB＝DC，则AD⊥BC

解析：A中，若AC与BD共面，则A、B、C、D四点共面，则AD与BC共面；

B中，若AC与BD是异面直线，则A、B、C、D四点不共面，则AD与BC是异面直线；

C中，若AB＝AC，DB＝DC，AD不一定等于BC； D中，若AB＝AC，DB＝DC，可以证明AD⊥BC.答案：C

2．已知a、b、c、d是空间四条直线，如果a⊥c，b⊥c，a⊥d，b⊥d，那么()

A．a∥b且c∥d

B．a、b、c、d中任意两条可能都不平行 C．a∥b或c∥d

D．a、b、c、d中至多有一对直线互相平行 解析：若a与b不平行，则存在平面β，使得a⊂β且b⊂β，由a⊥c，b⊥c，知c⊥β，同理d⊥β，所以c∥d.若a∥b，则c与d可能平行，也可能不平行．结合各选项知选C.答案：C

3．对两条不相交的空间直线a与b，必存在平面α，使得（）A．a⊂α，b⊂α

B．a⊂α，b∥α

C．a⊥α，b⊥α D．a⊂α，b⊥α 解析：不相交的直线a，b的位置有两种：平行或异面．当a，b异面时，不存在平面α满足A、C；又只有当a⊥b时，D才可能成立．

答案：B

4．已知空间中有三条线段AB、BC和CD，且∠ABC＝∠BCD，那么直线AB与CD的位置关系是()

A．AB∥CD

B． AB与CD异面 C．AB与CD相交

D．AB∥CD或AB与CD异面或AB与CD相交

解：若三条线段共面，如果AB、BC、CD构成等腰三角形，则直线AB与CD相交，否则直线AB与CD平行；若不共面，则直线AB与CD是异面直线，故选D.答案：D

5．a，b，c是空间中的三条直线，下面给出三个命题： ①若a∥b，b∥c，则a∥c；

②若a与b相交，b与c相交，则a与c相交； ③若a，b与c成等角，则a∥b.上述命题中正确的命题是________(只填序号)

解析：由基本性知①正确；当a与b相交，b与c相交时，a与c可以相交、平行，也可以异面，故②不正确；当a，b与c成等角时，a与b可以相交、平行，也可以异面，故③不正确．

答案：① 答案：90°