§2.4用向量讨论垂直与平行

第一篇：§2.4用向量讨论垂直与平行

一、学习目标

1、理解用向量方法解决立体几何问题的思想；

2、掌握用向量方法解决立体几何中的垂直与平行问题

二、学习重、难点

1、重点: 用向量方法解决立体几何中的垂直与平行问题；

2、难点：怎样用向量方法解决立体几何中的垂直与平行问题。

三、提炼精要，理清脉络

（一）温故

1、复习必修2回答问题：

①线线平行判定方法：

②线面平行判定方法：

③面面平行判定方法：

④线线垂直判定方法：

⑤线面垂直判定方法 ：

⑥面面垂直判定方法：

2、怎样证明两个空间向量平行和垂直？

（二）知新

阅读课本P40—41，回答问题：



3、若两条直线l1、l2的方向向量分别为a1、a2，怎样用向量的方法证明两条直线垂直

和平行？



4、若两个平面

1、2的法向量向量分别为n1、n2，怎样用向量的方法证明两个平面

垂直和平行？



5、若直线l1的方向向量分别为a1，平面1的法向量向量分别为n1，怎样用向量的方法

证明直线和平面垂直和平行？

四、典例探究，深化理解

例

1、（P40）用向量证明线面垂直判定定理

若一条直线垂直于平面内的两条相交直线，则该直线与此平面垂直。

例

2、（P40）用向量证明面面平行判定定理

pc

a

若一个平面内两条相交直线都平行另一个平面，则这两个平面平行。

例

3、(P41)用向量证明三垂线定理

若平面内的一条直线垂直于平面外的一条直线在该平面上的投影，则这两条直线垂直。

思考与交流：

1、用向量证明三垂线定理的逆定理（P42 A组1）

2、借助向量知识证明面面垂直判定定理

练习：P4112

3总结归纳：

1、用向量方法解决立体几何的垂直与平行问题的本质是什么？

2、注意将常规方法与向量法相结合3、建立恰当的空间直角坐标系，求出直线的方向向量和平面的法向量坐标

作业：P42 A组23B组

五、题型分析

（一）线线垂直或平行问题：

1、在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC900，CB1，CA

2，AA1中点，求证：AMBA

1CB1，点M是CC1的M

C

（二）线面垂直或平行问题：

如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，CE⊥AC,EF∥

CE=EF=1.（Ⅰ）求证：AF∥平面BDE；（Ⅱ）求证：CF⊥平面BDE；

A

（三）面面垂直或平行问题：

1、P57A组132、金太阳导学案P27例

3的探究拓展u,v

六、练习



1、若两条直线l1、l2的方向向量分别为a11,0,1、a22,0,2，则两条直线l1、l

2的位置关系（）

A平行B相交C垂直D不能确定



2、若两平面

1、2的法向量分别为n11,0,2、n21,0,2，则两平面

1、2的位置关系（）

A平行B相交C垂直D不能确定

1

3、若直线l的方向向量为a2,1,m，平面的法向量为n1，2，且l，则

2

m_______

4、在长方体ABCDA1B1C1D1中，DA=3，DC=4，DD12，AP2PA1，C1S2SC，R、Q分别是AB、D1C1中点，求证：PQRS

R

S C

A

5．如图，E,F,G,H分别为正方体AC1A1B1,A1D1,B1C1,D1C1的中点，求证：（1）E,F,D,B四点共面；（2）平面AEF//平面BDHG．

FA

1E

B1

D1H

G

C1

DA

B

C

七、小结：

设两不同直线，则

的方向向量分别为a,b，两不同平面

，的法向量分别为u,v，

①线线平行：l//ma//bab,R



②线线垂直：lmabab0；



③线面平行：在平面外，l//auau0；



④线面垂直：la//uau,R；



⑤面面平行：//u//vuv,R；



⑥面面垂直：uvuv0.八、作业P42A组4P56A组101112

第二篇：《用向量讨论垂直与平行》说课稿

作为一名默默奉献的教育工作者，可能需要进行说课稿编写工作，编写说课稿助于积累教学经验，不断提高教学质量。那么优秀的说课稿是什么样的呢？下面是小编为大家收集的《用向量讨论垂直与平行》说课稿，仅供参考，大家一起来看看吧。

一、教材分析

1.在教材中的地位与作用

本章内容《空间向量与立体几何》是在学习了立体几何的基本理论（必修2）和空间向量知识（必修4）的基础上提出的，本章的前三节已经将平面向量中的相关知识推广到了空间，为本节的学习和研究奠定了基础.本节主要是利用向量工具研究空间中的线线、线面、面面的位置关系，是立体几何的重要方向，是向量工具应用的重要方面，更是向量法解决立体几何问题的重要课题，是本章的核心内容.2.教学目标分析

根据《新课程标准》的理念，基于对教材的理解和分析，考虑到学生已有的认知结构及心理特征，制定如下三维教学目标：

（1）知识与技能目标

能用向量语言表述空间中线线、线面、面面的垂直与平行的位置关系；

掌握平面的法向量的求法.（2）过程与方法目标

结合已有的立体几何知识，运用向量方法，解决立体几何中垂直与平行的问题.（3）情感态度与价值观目标

体验科学探索的曲折过程，感受在探索问题的过程中的挫折感和成就感，培养合作意识和创新精神，激发学习兴趣.

3.教学重难点分析

根据以上教学目标，教学重难点确定如下：

教学重点：能用向量方法判断垂直与平行的位置关系；会求平面的法向量.教学难点：结合已有的立体几何知识，运用向量方法，用向量语言证明垂直与平行的问题.二、学情分析

学生已经学习了立体几何中线线、线面、面面的.位置关系，具备有关知识储备，对坐标法解决几何问题也有了初步的认识.但是利用向量工具解决空间中垂直与平行的问题还没有系统的学习过，需要老师循序渐进的引导.三、教法学法分析

1．教学：启发引导、数形结合、案例分析、构建模型.2.学法：观察分析、自主探究、合作交流、讨论归纳.四、教学过程展示

本节课主要分五个环节来完成：复习引入、自主探究、知识运用、课堂小结及布置作业.

(一)复习引入

给出三个问题，让学生思考：什么是直线的方向向量？什么是平面的法向量？如何利用向量知识判断直线与平面间的平行或垂直问题？

设计意图:1.个问题是引导学生复习已有的知识，为本节课的学习起到铺垫作用；2.个问题是引导学生思考与本节课有关的问题.(二)自主探究

观察图形，并用向量语言表述以下位置关系：

设计意图：1.本节课本给出的三个例题都是证明题，起点相对较高，考虑到学生的认知结构及心理特征，先给出两个例题（非证明题）作为铺垫.2.引导学生用向量方法思考问题，让学生体会利用向量判断垂直与平行的方法，突破重点.3.由例1体会到判断线面位置关系时，平面法向量的重要性.如何求平面的法向量？引出例2.总结：求平面法向量的基本步骤.

设计意图：1.掌握平面法向量的求法.至此突破重点.2.本题用到的理论依据是线面垂直的判定定理，这个定理用向量方法如何证明？引出例3.例3.（线面垂直判定定理）若一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线，则该直线与此平面垂直.设计意图：让学生从理论上学会用向量方法证明几何问题，从另一个侧面体现了利用向量方法研究垂直与平行的重要性，至此突破难点.【方法归纳】：用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”

（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（化为向量问题）

（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系等问题；（进行向量运算）

（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义.（回到图形问题）

设计意图：由例3归纳解题步骤，帮助学生梳理解题思路，构建知识体系.学生练习：完成课本41页练习：1.2.3.(以上三道题目考察的知识点依次是：线线位置关系，线面位置关系，面面位置关系)

设计意图：学生自己检验是否掌握了所学知识，并对所学方法加深理解.（四）课堂小结(讨论归纳)

(1)用向量表示线线、线面、面面垂直与平行的关系；

(2)求法向量的步骤；

(3)用向量方法解决立体几何问题的步骤.设计意图：引导学生对本节知识进行回顾，同时检验学生对本节知识的掌握程度，有利于教师更好的根据学生的情况进行针对性的辅导.（五）布置作业(反馈提升)

1.课本42页第2、3题；2.学有余力的同学完成课本41页的思考交流

(第2、3题考察的知识点依次是：线线位置关系，面面位置关系；思考交流是对“面面垂直的判定定理”的证明)

设计意图：分层布置作业，尽可能适应不同层次学生的需要.通过完成作业，学生可以巩固所学知识，反馈学习效果，同时也起到了复习的作用.在做作业的同时，可以加深对知识的理解，提升思维能力.五、教学反思

（1）以属性结合的思想方法贯穿于整节课，有助于学生更好的理解；

（2）根据学生已有的知识水平合理设计本节课的例题，体现了以学定教，以学生为主体，合作探究的新课程理念；

（3）题目梯度设置合理，有效学生突破重难点；

（4）在知识的巩固练习部分还有待加强，更好的提升学生思维水平和能力。

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第三篇：9-5用向量方法证明平行与垂直

2012-2013学第一学期数学理科一轮复习导学案编号：9-5班级：姓名：学习小组：组内评价：教师评价：

例2．（线线垂直）

如图所示，已知直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°.BC＝1，AA1＝，M是例5．（面面平行）

如图所示：正方体AC1中，M，N，E，F分别是棱A1B1，A1D1，B1C1，C1D1的中点．求证：平CC1的中点．求证：AB1⊥A1M.例3．（线面平行）

在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是C1C、B1C1的中点．求证：MN∥平面A1BD.例4．（线面垂直）

在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为棱AB和BC的中点，试在棱B1B上找一点M，使得D1M⊥平面EFB1.第三页

面AMN∥平面EFDB.例6。（面面垂直）

如图，底面ABCD是正方形，SA底面ABCD，且SAAB平面ABCD.第四页E是SC中点.求证：

平面BDEy，2012-2013学第一学期数学理科一轮复习导学案编号：9-5班级：姓名：学习小组：组内评价：教师评价：

8．平面α的一个法向量为v1＝(1,2,1)，平面β的一个法向量v2＝－(2,4,2)，则平面α与平面β()A．平行

B．垂直C．相交

D．不能确定

9．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点，则()A．面AED∥面A1FD1B．面AED⊥面A1FD1 C．面AED与面A1FD相交但不垂直D．以上都不对

10．已知l∥α，且l的方向向量为(2，m,1)，平面α的法向量为

11，2，2，则m＝________.11．如右上图所示，已知矩形ABCD，AB＝1，BC＝a，PA⊥平面ABCD，若在BC上只有一个点Q满足PQ⊥QD，则a的值等于________．

9.如下图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点． 证明：(1)AE⊥CD；(2)PD⊥平面ABE.第三页

10.已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E、F、G分别是BB1、DD1、DC的中点，求证：(1)平面ADE∥平面B1C1F；(2)平面ADE⊥平面A1D1G；

(3)在AE上求一点M，使得A1M⊥平面DAE.11.如图所示,PD⊥平面ABCD,且四边形ABCD为正方形,AB=2,E是PB的中点,cos〈DP,AE〉=33

.(1)建立适当的空间坐标系,写出点E的坐标；(2)在平面PAD内求一点F,使EF

⊥平面

PCB

.第四页

第四篇：用向量方法证明空间中的平行与垂直

用向量方法证明空间中的平行与垂直

1.已知直线a的方向向量为a，平面α的法向量为n，下列结论成立的是(C)

A．若a∥n，则a∥αB．若a·n＝0，则a⊥α

C．若a∥n，则a⊥αD．若a·n＝0，则a∥α

解析：由方向向量和平面法向量的定义可知应选C.对于选项D，直线a⊂平面α也满足a·n＝0.2.已知α，β是两个不重合的平面，其法向量分别为n1，n2，给出下列结论：

①若n1∥n2，则α∥β；②若n1∥n2，则α⊥β；

③若n1·n2＝0，则α⊥β；④若n1·n2＝0，则α∥β.其中正确的是(A)

A．①③B．①④

C．②③D．②④

→平行的一个向量的坐 3.(原创)已知A(3，－2,1)，B(4，－5,3)，则与向量AB

标是(C)

1A．(3，1,1)B．(－1，－3,2)

13C．(－2，2，－1)D．(2，－3，－ 2)

→＝(1，－3,2)＝－2(－131)，解析：AB22

13→所以与向量AB平行的一个向量的坐标是(－2，2，－1)，故选C.4.设l1的方向向量为a＝(1,2，－2)，l2的方向向量为b＝(－2,3，m)，若l1⊥l2，则m等于 2.5.设平面α的法向量为(1,2，－2)，平面β的法向量为(－2，－4，k)，若α∥β，则k＝ 4.解析：因为α∥β，所以(－2，－4，k)＝λ(1,2，－ 2)，所以－2＝λ，k＝－2λ，所以k＝4.→＝(1,5，－2)，BC→＝(3,1，z)．若AB→⊥BC→，BP→＝(x－1，y，－3)，6.已知AB

4015且BP⊥平面ABC，则实数x＝ 7，y＝ －7，z＝ 4.→·→＝x－1＋5y＋6＝0解析：由已知BPAB

→·→＝3x－1＋y－3z＝0BPBC

4015解得x＝7，y＝－7z＝4.→·→＝3＋5－2z＝0ABBC，7.(原创)若a＝(2,1，－3)，b＝(－1,5，3)，则以a，b为邻边的平行四边形的面积为 58.解析：因为a·b＝(2,1，－3)·(－1,5，3)＝0，所以a⊥b，又|a|＝22，|b|29，所以以a，b为邻边的平行四边形的面积为

|a|·|b|＝22×29＝258.8.如图，平面PAC⊥平面ABC，△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，E，F，O分别为PA，PB，AC的中点，AC＝16，PA＝PC＝10.设G是OC的中点，证明：FG∥平面BOE

.证明：如图，连接OP，因为PA＝PC，AB＝BC，所以PO⊥AC，BO⊥AC，又平面PAC⊥平面ABC，所以可以以点O为坐标原点，分别以OB，OC，OP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系O-xyz

.则O(0,0,0)，A(0，－8,0)，B(8,0,0)，C(0,8,0)，P(0,0,6)，E(0，－4,3)，F(4, 0,3)．由题意，得G(0,4,0)．

→＝(8,0,0)，OE→＝(0，－4,3)，因为OB

设平面BOE的一个法向量为n＝(x，y，z)，→n·OB＝0x＝0则，即，→＝0－4y＋3z＝0OEn·

取y＝3，则z＝4，所以n＝(0,3,4)．

→＝(－4,4，－3)，得n·→＝0.由FGFG

又直线FG不在平面BOE内，所以FG∥平面BOE

.9.如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA

＝AD＝2，E，F，H分别是线段PA，PD，AB的中点．

(1)求证：PB∥平面EFH；

(2)求证：PD⊥平面AHF

.证明：建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，所以A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，E(0,0,1)，F(0,1,1)，H(1，0,0)．

→＝(2,0，－2)，EH→＝(1,0，－1)，(1)因为PB

→＝2EH→，所以PB

因为PB⊄平面EFH，且EH⊂平面EFH，所以PB∥平面EFH.→＝(0,2，－2)，AH→＝(1,0,0)，AF→＝(0,1,1)，(2)因为PD

→·→＝0×0＋2×1＋(－2)×1＝0，所以PDAF

→·→＝0×1＋2×0＋(－2)×0＝0，PDAH

所以PD⊥AF，PD⊥AH，又因为AF∩AH＝A，所以PD⊥平面AHF.

第五篇：3.2.1用向量方法证明平行与垂直关系

§3.2.1用向量方法证明平行与垂直

1、直线的方向向量

直线的方向向量是指和这条直线或的向量，一条直线的方向向量有个。2.平面的法向量

直线l，取直线l的a,则向量a叫做平面的。

3、空间中平行关系的向量表示（1）线线平行与垂直

设直线l,m的方向向量分别为a=(a1,b1,c1),b=(a2,b2,c2)，且a2,b2,c2≠0，则

l//mlm（2）设直线设直线l的方向向量为的法向量。

题型二 利用向量方法证平行关系

【例2】在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是B1D1的中点，求证：B1C//平面ODC

1【练习2】如图，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE//CF,∠BCF=∠CEF=90º, AD=3,EF=2,求证：AE//平面DCF.D

A a=(a1,b1,c1)，平面若的法向量为u=(a2,b2,c2),则l//。l（3）面面平行

设平面， 的法向量分别为u=(a1,b1,c1),F

题型三 用向量方法证垂直关系

【例3】在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E,F分

别是棱AB，BC的中点，试在棱BB1上找一点M，v=(a2,b2,c2),则//

使得D1M⊥平面EFB1.；



题型一 求平面的法向量 【例

经过三点A(1,2,3),B(2,0,-1),C(3,-2,0)，试求平面的一个法向量。

【练习1】在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E,F分别为BB1,CD的中点，求证：AE是平面A1D1F

【练习3】在正三棱柱ABC-A1B1C1中，B1C⊥A1B,求证：AC1 ⊥A1B.1】已知平面

课时作业

一、选择题

1、已知A(3,5,2),B(-1,2,1)，把AB按向量a=(2,1,1)平移后所得的向量是 A.(-4,-3,0)B.(-4,-3,-1)C.(-2,-1,0)D.(-2,-2,0)2.平面的一个法向量为（1，2，0），平面的一个法向量为（2，－1，0），则平面与的位置关系是

A.平行 B.相交但不垂直C.垂直 D.不能确定 3.从点A(2,-1,7)沿向量a=(8,9,-12)的方向取线段长AB=34,则B点坐标为

A.（－9，－7，7）B.（18，17，－17）C.（9，7，－7）D.（－14，－19，31）

4、已知a=（2，4，5）b=（3，x,y）分别是直线l1,l2的方向向量，若l1//l2，则 A.x=6,y=15B.x=3,y=C.x=3,y=15D.x=6,y=

1521

52B

C9、△ABC是一个正三角形，EC⊥平面ABC,BD//CE,且CE=CA=2BD,M是EA的中点，求证：平面DEA⊥平面ECA.10、在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC,E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F(1)证明：PA//平面EDB;(2)证明：PB⊥平面EFD.5、若直线l的方向向量为a=(1,0，2,)，平面的法向量为u=(-2,0,-4),则

A.l//B.l ⊥C.lD.l与斜交

二、填空题

6、已知A(0,2,3),B(－2,1,6),C(1,-1，5),若|a|=3,且a ⊥AB, a ⊥AC,则向量a的坐标为

7、已知平面经过点O（0，0，0），且e=(1,1,1)是的法向量，M(x,y,z)是平面内任意一点，则x,y,z满足的关系式是。

三、解答题

8、如图，已知P是正方形ABCD平面外一点，M,N分别是PA,BD上的点，且PM:MA=BN:ND=5:8,求证：直线MN//平面PBC

0-

E

A

B