《平面向量基本定理》教学设计（共五篇）

第一篇：《平面向量基本定理》教学设计

《平面向量基本定理》教学设计

一、内容和内容解析 内容：平面向量基本定理。

内容解析：向量不仅是沟通代数与几何的桥梁，还是解决许多实际问题的重要工具。从问题中抽象出向量模型，再通过向量的代数运算获得问题的解决方案或结果，是利用向量解决问题的基本特征。（平面向量的概念、向量的运算、平面向量基本定理、平面向量的坐标表示是平面向量的主要内容。）平面向量基本定理是向量进行坐标表示，进而将向量的运算（向量的加、减法，向量的数乘、向量的数量积等）转化为坐标的数量运算的重要基础，同时，它还是用基本要素（基底、元）表达和研究事物（向量空间、具有某种性质的对象的集合）的典型范例，对于人们掌握认识事物的方法，提高研究事物的水平，有着难以替代的重要作用。

二、目标和目标解析

1．理解平面向量的基底的意义与作用，利用平面向量的几何表示，正确地将平面上的向量用基底表示出来。

2．通过不同向量用同一基底表示的探究过程，得出并证明平面向量基本定理。

3．通过平面向量基本定理，认识平面向量的“二维”性，并由此进一步体会“某一方向上的向量的一维性”，培养“维数”的基本观念。

4．平面向量基本定理建立了平面上的向量集合与二元有序数组的集合之间的对应关系（这种对应关系建立了非数对象与数（或数组）之间的一种映射），通过这种对应关系，我们可以将向量的运算转化为数的运算，由此达到简化向量的运算，这是数学的一种基本方法。

5．体会用基本要素（元）表示事物，或将事物分解成基本要素（元），由此达到将对事物的研究转化为对基本要素（元）的研究，通过对基本要素的内在联系的研究达到理解并把握事物的思想方法（例如全等）。

三、教学问题诊断分析

1．如何处理共线向量定理与平面向量定理之间的同异点及联系是教学平面向量基本定理时的关键问题，也是理解不同维数的“向量空间”，体会高维空间向低维空间转化的重要机会与途径。因此，教学时应该从共线向量定理的意义与作用入手，探求平面向量用相同向量（基底）统一表示的方法。

2．利用向量加法的平行四边形法则，将平面上任一向量用两个不平行的确定向量（即基底）表示出来是教学中应该关注的另一个关键问题。教学时，让学生听教师讲解是一种处理方法，如果能结合力的分解，启发学生联想到用平行四边形的加法法则进行向量分解，可能会有更大的收获。当然，在进行这个关键问题的教学时，可能会涉及平行投影等知识与方法，可根据不同的学生对象进行取舍。

四、学生学习行为分析

1．学生对向量加、减法及数乘等运算的意义与作用认识不够，容易将向量的运算与数的运算混淆。

2．对于向量的加法、数乘等运算停留在几何直观的理解上，缺乏从代数运算的角度理解向量运算特征的感受，容易将平面向量基本定理的作用仅仅理解为形式上的变换。

3．如果不加启发与引导，学生是不会从“基底”、“元”、“维数”这些角度去理解平面向量基本定理的深刻内涵，也难以认识这个定理在今后用向量方法解决问题中的重要作用。

五、教学支持条件分析

1．学生的认知基础：对平面向量与数量的“同异点及联系”有一个基本认识，会用有向线段表示向量，掌握了向量的加法运算与数乘运算。

2．教学设备：能反映向量加法与数乘运算的计算机软件或图形计算器，尽可能准备实物投影设备。

六、教学过程设计 问题1：

任意找一首用简谱谱写的歌曲，你能找到用阿拉伯数字“8”表示的音符吗？为什么？

意图：关注依附于平面向量基本定理上的重要数学思想，让学生明白任何一首曲子都可以用1~7这七个阿拉伯数字作为音符来谱写，为用基底表示向量作铺垫，并由此感受用“元”表达事物的思想。提出这个与数学知识联系不紧密的问题让学生思考的另一个目的，是将将要学习的知识与思想寓于学生感兴趣的问题中，从而激发他们的学习欲望与热情。

师生活动：教师给出一些用简谱谱写的歌曲，提出问题让学生思考，归纳总结出如下结论：任何一首用简谱谱写的曲子都找不出用阿拉伯数字“8”表示的音符，但都可以用1~7这七个阿拉伯数字作为音符谱写出来。

问题2：

两个三角形的三条边对应相等，那么这两个三角形之间有什么关系？你是如何得出这个关系的？你能从这个问题中得到一个怎样的结论？

意图：由此，使学生形成三角形的三条边是三角形这个数学对象的三个类似于向量的“基底”的元认知，明确有关三角形（忽略了位置）的问题均可以转化为关于三角形的三条边的问题。希望能将问题1中“事物元分解”的观点迁移到数学对象的认识中来，并由此引出向量的分解与基底表示的探讨。

师生活动：让学生思考讨论，教师帮助学生总结出结论：“如果只考虑形状大小，任何三角形都可由它的边来确定，因此我们可以说边是构成三角形的要素（元），而三角形是三元对象”。任何数学对象都有确定它的基本要素（元），可以通过探究如何用这些要素表示数学对象，达到理解并把握这些数学对象的目的。

问题3：

取一个与数轴方向相同的向量记为a，那么与数轴平行的所有向量与向量a有什么关系？

意图：回顾共线向量定理，体会共线向量的“基底”及用基底表示共线向量的方法，明确平行向量形成“一维空间”，形成对“一元数学对象”的认识，并为探究平面向量基本定理作铺垫。

师生活动：引导学生回顾共线向量定理，教师重新解析共线向量定理的意义与作用。

问题4：

取一个与数轴不平行的向量记为b，那么向量b可以表示怎样的向量？ 意图：明确任意一个方向上的全体向量均构成“一维向量空间”，为探究选取两个不同方向的向量作平面向量的基底作准备。

师生活动：学生思考问题4与问题3的同异点与联系，教师解析这个问题的意义与作用。

问题5：

对平滑的斜坡上受重力下滑的物体，你能将引起下滑的重力分解成哪几个力？

意图：由重力可以分解为下滑方向的力与垂直斜坡向里的力的和，体会向量的分解，向探究任意向量的分解（即基底表示）过渡。

师生活动：学生说，教师引导并表述结论。

问题6：

取一个与向量a和b都不平行的向量c，那么向量c可以用向量a和b表示出来吗？

意图：得出平面向量基本定理的内容。

师生活动：教师引导，学生独立探究，教师在学生的探究所获得的结论的基础上，总结出平面向量基本定理。

问题7：

利用平面向量基本定理，你能解决下面问题吗？

如图在中, , 与相交于, 求证:.解析：设向量的终点共线，故有，则，同时，由三个

。所以，从而

所以。

意图：这个问题是一个相当简单的问题，用相似三角形之间的比例关系就可以解决。这里的目的，是以这个熟悉而且简单的问题，让学生感受平面向量基本定理的重要作用，体会向量的应用，加深对平面向量基本定理的认识。

师生活动：教师启发引导学生思考，给出解决这一问题的严谨过程，给学生一个利用向量解决问题的示范。

教师引导学生总结上述解决问题的方法的步骤，一方面使学生明确这一方法与平面几何方法的差异：由于数量及其运算的引进，使得我们的算法更容易表达和操作了；另一方面为今后学习算法留下案例，引导学生从算法的角度思考并解决问题。

此处要再配一些题目，训练学生以学会用基底表示非基底向量。

问题8：

如果一个问题中没有向量（结合问题7中的平面几何问题考虑），但可以考虑用向量来解决它，你会按怎样的步骤来实现？

意图：加深对平面向量基本定理的理解，将向量方法总结为一个算法。师生活动：学生先思考，让学生发表意见，教师总结出向量方法的算法步骤。

问题9：

你能结合问题

1、问题2与平面向量基本定理，谈谈你的认识吗？ 意图：进行本节课的小结。

师生活动：学生先谈，教师给出总结：

世界上具有某种共同属性的事物总有决定它的基本要素，如果我们能找出这些要素并用它来表示这一类事物，那么我们就能通过研究这些基本要素来研究这一类事物，这是一种基本方法。平面向量基本定理为我们建立了一个示范，它告诉我们，今后利用向量研究问题，我们关注更多的是基底是什么，如何将有关向量用基底表示出来。当向量用基底表示后，一个向量与其它向量的区别就在于基底前的系数的区别，这使问题中的各种关系在转化为向量间的关系后，又进一步地转化为有序数组之间的关系，从而可以利用数量的运算来研究问题，使问题的解决更容易，更彻底。

七、评价设计：

1．如图所示，D、E、F分别是的重心，请将有什么关系？ 的边BC、CA、AB的中点，G是表示出来，并探究、、之间、、用、2．请用向量的方法，探究三角形内部的其它一些特殊点的性质

第二篇：平面向量基本定理(教学设计)

平面向量基本定理

教学设计

平面向量基本定理教学设计

一、教材分析

本节课是在学习了共线向量基本定理的前提下，进一步研究平面内任一向量的表示，为今后平面向量的坐标运算打下坚实的基础。所以，本节在本章中起到承上启下的作用。

平面向量基本定理揭示了平面向量之间的基本关系，是向量解决问题的理论基础。平面向量基本定理提供了一种重要的数学思想—转化思想。

二、教学目标

知识与技能: 理解平面向量基本定理，学会利用平面向量基本定理解决问题，掌握基向量表示平面上的任一向量.过程与方法：通过学习习近平面向量基本定理，让学生体验数学的转化思想，培养学生发现问题的能力.情感态度与价值观：通过学习习近平面向量基本定理，培养学生敢于实践的创新精神，在解决问题中培养学生的应用意识。

教学重点：平面向量基本定理的应用； 教学难点：平面向量基本定理的理解.三、教学教法

1.学情分析: 学生已经学习了向量的基本知识，并且对向量的物理背景有了初步的了解.2.教学方法：采用“问题导学—讨论探究—展示演练”的教学方法，完成教学目标.3.教学手段：有效使用多媒体和视频辅助教学，直观形象.四、学法指导

1.导学：设置问题情境，激发学生学习的求知欲，引发思考.2.探究：引导学生合作探究，解决问题，注重知识的形成过程.3.应用：在解决问题中培养学生的应用意识与学以致用的能力.五、教学过程

针对以上情况，结合我校“学本课堂”模式，我设计了如下教学过程，分为六个环节。第一环节：问题导学 自主学习

首先是课前预习，预习学案分为问题导学、典例精析、巩固拓展三大部分。通过预习学案，可以帮助学生完成课前预习。设计意图：通过预习学案让学生预习新知识，发现问题，使学习更具针对性，培养学生的自学与探索能力.第二环节：创设情境 导入课题

进入新课，引入课题采用问题情境的办法。通过导弹的飞行方向和力的分解两个实例，将问题类比，引入本节问题-向量的分解。为了帮助学生理解，提供了两段直观的视频，直观形象。设计意图：借助实际与物理问题设置情境，引发学生思考与想象，将问题类比，引入本节课题。

第三环节：分组讨论 合作探究

提出问题，进入探究阶段。采用分组讨论，合作探究的方法，先让学生回顾知识-向量加法的平行四边形法则。进入小组讨论，共同讨论两个问题。

问题1：向量a与向量e1，e2共起点，向量a是同一平面内任一向量，e1与e2不共线，探究向量a与e1，e2之间的关系.问题2：向量e1与e2是同一平面内不共线的两个向量，向量a是同一平面内任一向量，探究向量a与e1，e2之间的关系.设计意图：各小组成员讨论交流，合作学习，共同探讨问题，寻求结果，展示结果.第四环节：成果展示 归纳总结

小组讨论完毕，由几个小组展示研究成果。结合小组展示成果，借助多媒体展示，由师生共同探究向量的分解。展示过程中，要重点强调平移共起点，借助平行四边形法则解说分解过程，加深学生的直观映像，完成向量的分解。通过向量的分解，由学生小组讨论，共同归纳本节的核心知识—平面向量基本定理。在定理中重点补充强调以下几点说明：（1）基底e1,e2不共线，零向量不能做基底；（2）定理中向量a是任一向量，实数1，2唯一；（3）1e1e2叫做向量a关于基底e1,e2的分解式.第五环节：问题解决 巩固训练

引入定理后，应用定理解决学案例题与练习。例题1重在考查基底的概念，引导学生思考向量作为基底的条件，将问题转化为两个向量的共线问题。讲解完例题1之后，通过一个练习，巩固所学。通过两个问题，让学生认识理解基底的概念，把握基底的本质，突出重点——平面向量基本定理的应用。在例题2中继续强化对基底概念的理解，采用分组讨论，合作探究的教学方法，共同探讨解法，并由小组板演解题过程，最后强调解题步骤；此后，给出例2的一个变式题，让学生进一步深刻理解基底，体会基底的重要作用。解决本节难点——平面向量基本定理的理解，通过例题3对平面向量基本定理综合应用，解决三点共线问题。采用先启发引导后学生探究的方法，解决学生的困惑。例题讲解完毕后，对本题结论适当拓展，得到“当t11，点P是AB的中点，OP=（OAOB）”的重要结论。通过探究22本题，可以使学生深化对平面向量基本定理的理解，培养学生综合运用知识的能力.为了加强对定理的应用，在学案中设计了几个巩固练习，在课堂上当场完成，并及时纠错，巩固本节所学。

第六环节：拓展演练 反馈检测

为了攻克难点，检测效果，最后设计了几道课后习题进行拓展延伸，培养学生的综合能力。通过这些设计，可以增强教学的针对性，提高教学效果。在本节尾声，让学生回顾本节主要内容，完成小结，并在小结中强调转化的数学思想及方法。最后是布置课后作业及时间分配与板书设计。

六、评价感悟

本节教学设计在“学本课堂”的教学模式下，采用“问题导学—讨论探究—展示演练”的教学方法，引导学生自主学习，发现问题，小组讨论，合作探究，解决问题。在教学过程中，学生处于主体地位，教师充分发挥学生的积极性，力求打造高效课堂。

以平面向量基本定理为主题，从预习知识到探究定理，学生始终参与学习，参与探究，主观性与积极性得到了充分发挥，学习与探求知识的能力得到了极大的提升；应用定理解决问题，培养了学生的应用意识；通过学习定理，让学生体会了转化思想，提高了学习的综合能力。

第三篇：平面向量基本定理(教学设计)

平面向量基本定理

教学设计

教材分析：

分析基本定理在教材中的作用，让学生有目标性地学习． 教学目标：

1．通过作图法理解并掌握平面向量基本定理的内容及含义．

2．深刻理解向量的基底表示的意义及作用，会将平面内的任意一个向量用一组基底表示． 2．理解平面上两个向量的夹角的概念及范围，掌握平面内两个向量的位置关系． 3．会用平面向量基本定理解决向量相互表示的问题． 教学重难点：

重点：平面向量基本定理的内容，向量基底的意义及应用； 难点：平面向量基本定理的应用．

教学方法：CAI课件、图形模拟法、形成性归纳与总结． 课时安排：1课时． 教学过程： Ⅰ 新课导入

【回顾】：向量数乘运算．（重点回顾几何意义及作图方法）【图片】：

幻灯片1

（展示生活中许多结构与矢量的联系）

【引入】：物理中力的合成与分解．

幻灯片2

（展示物理学中力的合成与分解）

【问题】：力是物理学中的矢量，矢量也就是数学中的向量，那么平面内的任一向量a能否都可以表示成1e12e2的形式呢？

Ⅱ 新课讲授

一、知识点精讲 1．作图分析

幻灯片3 幻灯片4 2．形成结论

幻灯片5 幻灯片6 3．练习

幻灯片7 Ⅲ 课时小结

本节课学习了平面向量的基本定理，注意基本定理的应用与向量的互相表示，这是重点，也是难点，同时还是以后学习向量坐标运算以及空间向量的基础． Ⅳ 课后作业

（两个例题，巩固练习）

（归纳整理向量夹角的定义）

（动态展示向量的合成与分解）

（学生训练）

（归纳整理平面向量基本定理的内容）

T3． 课本P102-Ⅴ 教学反思

第四篇：平面向量基本定理教案

§2.3.1平面向量基本定理教学设计

教学目的：

（1）了解平面向量基本定理；

（2）理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，初步掌握应用向量解决实际问题的重要思想方法；（3）能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达.教学重点：平面向量基本定理.教学难点：平面向量基本定理的理解与应用.授课类型：新授课 教学过程：

一、复习引入：

1．实数与向量的积：实数λ与向量a的积是一个向量，记作：λa

（1）|λa|=|λ||a|；

（2）λ>0时λa与a方向相同；λ<0时λa与a方向相反；λ=0时λa=0

2．运算定律

结合律：λ(μa)=(λμ)a ；

分配律：(λ+μ)a=λa+μa，λ(a+b)=λa+λb

3.向量共线定理 向量b与非零向量a共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b=λa.二、讲解新课：

1．提出问题：由平行四边形想到：

（1）是不是每一个向量都可以分解成两个不共线向量？且分解是唯一？（2）对于平面上两个不共线向量e1，e2是不是平面上的所有向量都可以用它们来表示？

2．设e1，e2是不共线向量，a是平面内任一向量，e1 a

MC

N B e2

O OA=e1，OM=λ

1e2； OB=e2，ON=λe2

21OC=a=OM+ON=λ

e1+λe2，2平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对

于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2使a=λ1e1+λ2e2.探究：

(1)我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；(2)基底不惟一，关键是不共线；

(3)由定理可将任一向量a在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解；

(4)基底给定时，分解形式惟一.λ1，λ2是被a，e1，e2唯一确定的数量

3、两个非零向量的夹角：

 如图所示，已知两个非零向量a,b，在平面上任取一点O，作OAaO ,Bb，则AOB0叫做向量a与b的夹角，ba BAO θbθ bAOB aa【说明】（1）研究两个非零向量的夹角时，必须先将这两个向量的起点移至同一个点；但是当两个向量的终点重合时，表示向量的这两条线段所成的0,范围内的角也等于这两个向量之间的夹角。（2）只有非零向量之间才存在夹角；

（3）如果∠AOB=0°a与b同向；

（4）如果∠AOB=90°，我们就说向量a与b垂直，记作：ab；

（5）如果∠AOB=180°a与b反向。

三、讲解范例：

例1 已知向量e1，e2 求作向量2.5e1+3e2.作法：见教材

四、课堂练习：

1.设e1、e2是同一平面内的两个向量，则有()A.e1、e2一定平行

e2e1B.e1、e2的模相等

C.同一平面内的任一向量a都有a =λe1+μe2(λ、μ∈R)D.若e1、e2不共线，则同一平面内的任一向量a都有a =λe1+ue2(λ、u∈R)2.已知矢量a = e1-2e2，b =2e1+e2，其中e1、e2不共线，则a+b与c =6e1-2e2的关系

A.不共线 B.共线 C.相等 D.无法确定

3.已知向量e1、e2不共线，实数x、y满足(3x-4y)e1+(2x-3y)e2=6e1+3e2，则x-y的值等于()A.3 B.-3 C.0 D.2

五、小结：平面向量基本定理，其实质在于：同一平面内任一向量都可以表示为两个不共线向量的线性组合．

六、课后作业：课本：101页1,2 板书设计：略

第五篇：《平面向量基本定理》教案

一、教学目标：

1.知识与技能：

了解平面向量基本定理及其意义, 理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示；能够在具体问题中适当地选取基底,使其他向量都能够用基底来表示。

2.过程与方法：

让学生经历平面向量基本定理的探索与发现的形成过程,体会由特殊到一般和数形结合的数学思想，初步掌握应用平面向量基本定理分解向量的方法，培养学生分析问题与解决问题的能力。

3.情感、态度和价值观

通过对平面向量基本定理的学习,激发学生的学习兴趣,调动学习积极性,增强学生向量的应用意识,并培养学生合作交流的意识及积极探索勇于发现的学习品质.二、教学重点：平面向量基本定理.三、教学难点：平面向量基本定理的理解与应用.四、教学方法：探究发现、讲练结合五、授课类型：新授课

六、教 具：电子白板、黑板和课件

七、教学过程：

（一）情境引课，板书课题

由导弹的发射情境，引出物理中矢量的分解，进而探究我们数学中的向量是不是也可以沿两个不同方向的向量进行分解呢？

（二）复习铺路，渐进新课

在共线向量定理的复习中，自然地、渐进地融入到平面向量基本定理的师生互动合作的探究与发现中去，感受着从特殊到一般、分类讨论和数形结合的数学思想碰撞的火花，体验着学习的快乐。

（三）归纳总结，形成定理

让学生在发现学习的过程中归纳总结出平面向量基本定理，并给出基底的定义。

（四）反思定理，解读要点

反思平面向量基本定理的实质即向量分解，思考基底的不共线、不惟一和非零性及实数对的存在性和唯一性。

（五）跟踪练习，反馈测试

及时跟踪练习，反馈测试定理的理解程度。

（六）讲练结合，巩固理解

即讲即练定理的应用，讲练结合，进一步巩固理解平面向量基本定理。

（七）夹角概念，顺势得出

不共线向量的不同方向的位置关系怎么表示，夹角概念顺势得出。然后数形结合，讲清本质：夹角共起点。再结合例题巩固加深。

（八）课堂小结，画龙点睛

回顾本节的学习过程，小结学习要点及数学思想方法，老师的“教 ”与学生的“学”浑然一体，一气呵成。

（九）作业布置，回味思考。

布置课后作业，检验教学效果。回味思考，更加理解定理的实质。

七、板书设计：

1.平面向量基本定理：如果

是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数，使

.2.基底：

(1)不共线向量

叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；

(2)基底：不共线，不唯一，非零

(3)基底给定，分解形式唯一，实数对

存在且唯一；

(4)基底不同，分解形式不唯一，实数对

可同可异。

例1 例2

3.夹角

：

（1）两向量共起点；

（2）夹角范围：

例3

4.小结

5.作业