《平面向量》单元教学设计范文

第一篇：《平面向量》单元教学设计范文

《平面向量》单元教学设计

武都区两水中学 王斌

向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，有深刻的几何背景，是解决几何问题的有力工具。向量概念引入后，全等和平行（平移）、相似、垂直、勾股定理就可转化为向量的加（减）法、数乘向量、数量积运算，从而把图形的基本性质转化为向量的运算体系。

向量是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景。在本章中，学生将了解向量丰富的实际背景，理解平面向量及其运算的意义，能用向量语言和方法表述和解决数学和物理中的一些问题，发展运算能力和解决实际问题的能力。

一、单元教学目标

本章主要包括平面向量的实际背景及基本概念、平面向量的线性运算、平面向量的基本定理及坐标表示、平面向量的数量积、平面向量应用五部分内容。通过本章学习，应引导学生：

1．通过力和力的分析等实例，知道向量的实际背景，会运用平面向量和向量相等的含义，会向量的几何表示。

2．通过实例，会算向量加、减法的运算，并会求其几何意义。

3．通过实例，熟练运用向量数乘的运算，并解释其几何意义，以及两个向量共线的含义。

4．能说出向量的线性运算性质及其几何意义。5．知道平面向量的基本定理及其意义。6．掌握平面向量的正交分解及其坐标表示。7．会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算。8．解释用坐标表示的平面向量共线的条件。

9．通过物理中“功”等实例，说明平面向量数量积的含义及其物理意义。10．体会平面向量的数量积与向量投影的关系。

11．识记数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算。

12．能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。13．经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题的过程，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具，发展运算能力和解决实际问题的能力。

二、学习者特征分析

向量是近代数学中重要的和基本的概念之一，它是沟通代数几何与三角的一种工具。向量对学生来说是比较新的内容，学生对它的学习可以说是充满了探求的欲望，应当说能够使大部分学生在此章节的学习中体会到学习的成功乐趣。学生在学习本单元内容之前，已熟知了实数的运算体系，具备了物理知识.这都为学习向量准备好各方面条件.三、单元教材分析

本章共安排了5个小节及2个选学内容，大约需要12个课时，具体分配如下 2．1平面向量的实际背景及基本概念 2课时 2．2 向量的线性运算 2课时

2．3平面向量的基本定理及坐标表示 2课时 2．4平面向量的数量积 2课时 2．5平面向量应用举例 2课时

小结 2课时

本章知识结构如下：

1．第一节包括向量的物理背景与概念、向量的几何表示、相等向量与共线向量。教科书首先从位移、力等物理量出发，抽象出既有大小、又有方向的量——向量，并说明向量与数量的区别。然后介绍了向量的几何表示、有向线向量的长度（模）、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等基本概念。

2．第二节有向量加法运算及其几何意义、向量减法运算及其几何意义、向量数乘运算及其几何意义等内容。

教科书先讲了向量的加法、加法的几何意义、加法运算律；再用相反向量与向量的加法定义向量的减法，把向量的减法与加法统一起来，并给出向量减法的几何意义；然后通过向量的加法引入了实数与向量的积的定义，给出了实数与向量的积的运算律；最后介绍了两个向量共线的条件和向量线性运算的运算法则。

3．第三节包括平面向量基本定理、平面向量的正交分解及坐标表示、平面向量的坐标运算、平面向量共线的坐标表示。

平面向量基本定理是平面向量正交分解及坐标表示的基础。教科书首先通过一个具体的例子给出平面向量基本定理，同时介绍了基底、夹角、两个向量垂直的概念；然后在平面向量基本定理的基础上，给出了平面向量的正交分解及坐标表示，向量加、减、数乘的坐标运算和向量坐标的概念，最后给出平面向量共线的坐标表示。坐标表示使平面中的向量与它的坐标建立起了一一对应的关系，这为通过“数”的运算处理“形”的问题搭起了桥梁。

4．第四节包括平面向量数量积的物理背景及其含义、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角。

教科书从学生熟知的功的概念出发，引出了平面向量数量积的概念及其几何意义，接着介绍了向量数量积的性质、运算律及坐标表示。向量数量积把向量的长度和三角函数联系了起来，这样为解决有关的几何问题提供了方便，特别能有效地解决线段的垂直问题。

5．第五节包括平面几何中的向量方法、向量在物理中的应用举例。由于向量来源于物理，并且兼具“数”和“形”的特点，所以它在物理和几何中具有广泛的应用。本节通过几个具体的例子说明了它的应用。

6．为了拓展学生的知识面，使学生了解向量及向量符号的由来，向量的运算（运算律）与几何图形形式的关系，本章安排了两个“阅读与思考”：向量几向量符号的由来，向量的运算（运算律）与图形性质。

四、教学中要注意的几个问题

1．突出向量的物理背景与几何背景

教科书特别注意从丰富的物理背景和几何背景中引入向量概念。在引言中通过日常生活中确定“位置”中的位移概念，说明学习向量知识的意义；在2.1节，通过物理学中的重力、浮力、弹力、速度、加速度等作为实际背景素材，说明它们都是既有大小又有方向的量，由此引出向量的概念；引出向量概念后，教科书又利用有向线段给出了向量的几何背景，并定义了向量的模、单位向量等概念。这样的安排，可以使学生认识到向量在刻画现实问题、物理问题以及数学问题中的作用，使学生建立起理解和运用向量概念的背景支持。

教科书借助几何直观，并通过与数的运算的类比引入向量运算，以加强向量的几何背景。

2．强调向量作为解决现实问题和数学问题的工具作用。

为了强调向量作为刻画力、速度、位移等现实中常见现象的有力的数学工具作用，本章特别注意联系实际。特别是在概念引入中加强与实际的联系。另外，向量也是解决数学问题的好工具，例如，和（差）角的三角函数公式、线段的定比分点公式、平面两点间距离公式、平移公式及正弦定理、余弦定理等都可以用向量为工具进行推导；向量作为沟通代数、几何与三角函数的桥梁，是一个很好的数形结合工具，教科书通过“平面几何中的向量方法”进行了介绍，并在第三章用向量方法来推导两角差的余弦公式。这些处理也都是为了体现向量作为基本的、重要的数学工具的地位。

3．强调向量法的基本思想，明确向量运算及运算律的核心地位。

向量具有明确的几何背景，向量的运算及运算律具有明显的几何意义，因此涉及长度、夹角的几何问题可以通过向量及其运算得到解决。另外，向量及其运算（运算律）与几何图形的性质紧密相联，向量的运算（包括运算律）可以用图形直观表示，图形的一些性质也可以用向量的运算（运算律）来表示。这样，建立了向量运算（包括运算律）与几何图形之间的关系后，可以使图形的研究推进到有效能算的水平，向量运算（运算律）把向量与几何、代数有机地联系在一起。

几何中的向量方法与解析几何的思想具有一致性，不同的只是用“向量和向量运算”来代替解析几何中的“数和数的运算”。这就是把点、线、面等几何要素直接归结为向量，对这些向量借助于它们之间的运算进行讨论，然后把这些计算结果翻译成关于点、线、面的相应结果。如果把解析几何的方法简单地表述为

[形到数]——[数的运算]——[数到形]，则向量方法可简单地表述为

[形到向量]——[向量的运算]——[向量和数到形]。

教科书特别强调了向量法的上述基本思想，并根据上述基本思想明确提出了用向量法解决几何问题的“三步曲”。为了使学生体会向量运算及运算律的重要性，教科书注意引导学生在解决具体问题时及时进行归纳，同时还明确使用了“因为有了运算，向量的力量无限；如果没有运算，向量只是示意方向的路标”的提示语。

4．通过与数及其运算的类比，向量法与坐标法的类比，建立相关知识的联系，突出思想性。

向量及其运算与数及其运算既有区别又有联系，在研究的思想方法上可以进行类比。这种类比可以打开学生讨论向量问题的思路，同时还能使向量的学习找到合适的思维固着点。为此，教科书在向量概念的引入，向量的线性运算，向量的数量积运算等内容的展开上，都注意与数及其运算（加、减、乘）进行类比。

5．引导学生用数学模型的观点看待向量内容

在向量概念的教学中，要利用学生的生活经验、其他学科的相关知识，创设丰富的情景，例如物理中的力、速度、加速度，力的合成与分解，物体受力做功等，通过这些实例是学生了解向量的物理背景、几何背景，引导学生认识向量作为描述现实问题的数学模型的作用。同时还要通过解决一些实际问题或几何问题，使学生学会用向量这一数学模型处理问题的基本方法。

6．加强向量与相关知识的联系性，使学生明确研究向量的基本思路

向量既是代数的对象，又是几何的对象。作为代数对象，向量可以运算，而且正是因为有了运算，向量的威力才得到充分的发挥；作为几何对象，向量可以刻画几何元素（点、线、面），利用向量的方向可以与三角函数发生联系，通过向量运算还可以描述几何元素之 4 间的关系（例如直线的垂直、平行等），另外，利用向量的长度可以刻画长度、面积、体积等几何度量问题。教学中，教师应当充分关注到向量的这些特点，引导学生在代数、几何和三角函数的联系中学习本章知识。

五、教学评价

对本单元的教学我主要通过以下几种方式进行：

1、通过与学生的问答交流，发现其思维过程，在鼓励的基础上，纠正偏差，并对其进行定性的评价。

2、在学生讨论、交流、协作时，教师通过观察，就个别或整体参与活动的态度和表现做出评价，以此来调动学生参与活动的积极性。

3、通过练习来检验学生学习的效果，并在讲评中，肯定优点，指出不足。

4、通过作业，反馈信息，再次对本节课做出评价，以便查漏补缺。

第二篇：平面向量概念教学设计

篇一：平面向量概念教案

平面向量概念教案

一．课题：平面向量概念

二、教学目标

1、使学生了解向量的物理实际背景，理解平面向量的一些基本概念，能正确进行平面向量的几何表示。

2、让学生经历类比方法学习向量及其几何表示的过程，体验对比理解向量基本概念的简易性，从而养成科学的学习方法。

3、通过本节的学习，让学生感受向量的概念方法源于现实世界，从而激发学生学习数学的热情，培养学生学习数学的兴趣

三．教学类型：新知课

四、教学重点、难点

1、重点：向量及其几何表示，相等向量、平行向量的概念。

2、难点：向量的概念及对平行向量的理解。

五、教学过程

（一）、问题引入

1、在物理中，位移与距离是同一个概念吗？为什么？

2、在物理中，我们学到位移是既有大小、又有方向的量，你还能举出一些这样的量吗？

3、在物理中，像这种既有大小、又有方向的量叫做矢量。

在数学中，我们把这种既有大小、又有方向的量叫做向量。而把那些只有大小，没有方向的量叫数量。

（二）讲授新课

1、向量的概念

练习1 对于下列各量：

①质量② 速度③位移④力⑤加速度⑥路程⑦密度⑧功⑨体积⑩温度

其中，是向量的有：②③④⑤

2、向量的几何表示

请表示一个竖直向下、大小为5n的力，和一个水平向左、大小为8n的力（1厘米表示1n）。思考一下物理学科中是如何表示力这一向量的？

（1）有向线段及有向线段的三要素

（2）向量的模

（4）零向量，记作＿＿＿＿；

（5）单位向量

练习2 边长为6的等边△abc中，＝＿＿，与 相等的还有哪些？ 总结向量的表示方法： 1）、用有向线段表示。2）、用字母表示。

3、相等向量与共线向量

（1）相等向量的定义

（2）共线向量的定义

六．教具：黑板

七．作业

八．教学后记

篇二：平面向量的实际背景及基本概念教学设计

平面向量的实际背景及基本概念教学设计 本节课的内容是数学必修4，第二章《平面向量》的引言和第一节平面向量的实际背景及基本概念两部分，所需课时为1课时。

一 教材分析

向量是近代数学最重要和最基本的数学概念之一，它是沟通代数、几何与三角函数的桥梁，对更新和完善中学数学知识结构起着重要的作用。向量集数与形于一身，有着极其丰富的实际背景，在现实生活中随处可见的位移、速度、力等既有大小又有方向的量是它的物理背景，有向线段是它的几何背景。向量就是从这些实际对象中抽象概括出来的数学概念，经过研究，建立起完整的知识体系之后，向量又作为数学模型，广泛地应用于解决数学、物理学科及实际生活中的问题，因此它在整个高中数学的地位是不言而喻的。

本课是“平面向量”的起始课，具有“统领全局”的作用。本节概念课，重要的不是向量的形式化定义及几个相关概念，而是能让学生去体会认识与研究数学新对象的方法和基本思路，进而提高提出问题，解决问题的能

二 学情分析

在学生的已有经验中，与本课内容相关的有：数的抽象过程、实数的绝对值（线段的长度）、数的相等、单位长度、0和1的特殊性、线段的平行与共线等。

三 目标定位

根据以上的分析，本节课的教学目标定位： 1）、知识目标

⑪ 通过对位移、速度、力等实例的分析，形成平面向量的概念；

⑫ 学会平面向量的表示方法，理解向量集形与数于一身的基本特征；

⑬ 理解零向量、单位向量、相等向量、平行向量的含义。2）、能力目标培养用联系的观点，类比的方法研究向量；获得研究数学新问题的基本思路，学会概念思维； 3）、情感目标使学生自然的、水到渠成的实现“概念的形成”；让学生积极参与到概念本质特征的概括活动中，享受寓教于乐。

重点：向量概念、向量的几何表示、以及相等向量概念；

难点：让学生感受向量、平行或共线向量等概念形成过程；

四、教学过程概述： 4.1 向量概念的形成

4.1.1 让学生感受引入概念的必要性

引子：章节 引言

意图：向量概念不是凭空产生的。用这一简单直观的问题让学生感受“既有大小又有方向的量”的客观存在，自然引出学习内容，学生会有亲切感，有助于激发学习兴趣。

问题1 你能否再举出一些既有大小又有方向的量？

意图：激活学生的已有相关经验。

进一步直观演示，加深印象。

追问：生活中有没有只有大小没有方向的量?请举例。

类比数的概念获得向量概念的定义（板书）。4.1.2 向量的表示方法

问题2 数学中，定义概念后，通常要用符号表示它。怎样把你举例中的向量表示出来呢

意图：让学生先练习力的表示，让错误呈现，激发认知冲突，最后自觉接受用带有箭头的线段（有向线段）来表示向量。（教师引导学生进一步完善）几何表示法： 记作a b |a b|为ab的长度(又称模)。

字母表示法：a、b、c??或a、b、c 4.1.3 单位向量、零向量的概念：

问题3用有向线段表示向量，学生演板，提出问题，大家画得线段长度长短不一怎么回事？如何解决这问题？由单位长度引入单位向量

意图：这样过渡学生不会感觉新的概念是从天而降，而是进一步学习的需要

归纳小结：单位向量——长度等于1个单位长度并与a同向的向量叫做a方向上的单位向量． 让演板学生回到座位之后利用这个情境提出问题，他位移的大小是什么？ 归纳小结：零向量——长度（模）为0的向量，记作0 提问：你们认为零向量和单位向量特殊吗？它们的特殊性体现在哪？类比实数集合中的0和1.4.2 相等向量、平行(共线)向量概念的形成

设计活动：传花游戏，游戏中将呈现通过学生之间传递花朵所产生的位移向量，让他们从大小和方向两个方面展开思考，教师适时介入，强化本质特征、规范概念表达，与学生一起完成概念的定义。

意图：通过游戏调动学生的兴趣和积极性，让学生通过亲身经历去体会相等向量与平行向量的本质特征。归纳：

1、从“方向”角度看，有方向相同或相反的非零向量就是平行向量。

记作：a ∥b ∥ c 任一组平行向量都可移到同一条直线上，所以平行向量也叫共线向量。

2、从“长度”角度看，有模相等的向量，︱a︱ =︱ b︱

3、既关注方向有又关注长度有相等向量：记作：a = b a 规定： 0 与任一向量都平行或（共线）。

教师通过动画演示深化上述两个概念

问题4 由相等向量的概念知道，向量完全有它的方向和大小确定。由此，你能说说数学中的向量与物理中的矢量的异同吗？另外，向量的平行、共线与线段的平行、共线有什么区别与联系？

意图：让学生注意把向量概念与物理背景、几何背景明确区分，真正抓住向量的本质特征，完成“数学化”的过程。4.3 课堂练习：

概念辨析

两个长度相等的向量一定相等．

相等向量的起点必定相同．

平行向量就是共线向量．

若 ab 与 cd 共线，则 a、b、c、d 四点必在同一条直线上．

向量 a 与 b平行，则向量 a 与 b 的方向相同或相反．

教材例题

3、教材第79页，b组第一题(选择此题，可以进一步理解位移概念，又能为后一步的学习做好铺垫)4.4 课堂小结（引导学生小结）

问题5 欣赏一首关于向量的诗，布置任务能否用拟人的方式把你对向量的认识做个概述呢？

结束语：略

板书设计

5.5明确零向量的意义和作用，不过分纠缠于细节。

首先，规定零向量与任何向量平行是完善概念系统的需要。其次，就像数零的作用在于运算一样，零向量的作用在于运算及其表达的几何意义。因此孤立地讨论零向量与任何向量平行没有多少意义，也不必耗费过多时间。总之，作为现代数学重要标志之一的向量引入中学数学以后，给中学数学带来了无限生机。这节“概念课”，概念的理解无疑是重点，也是难点。概念的教学应在概念的发生发展过程中揭示它的本来面目。要让学生参与概念本质特征的概括活动过程，这也是培养学生创新精神和实践能力的必由之路！

三、教学诊断分析

本节是平面向量的第一堂课，属于“概念课”，概念的理解无疑是重点，也是难点。为了帮助学生建立向量的概念，与数、形的相关概念类比与联系是值得重视的。在学生的已有经验中，与本课内容相关的有：数的抽象过程、实数的绝对值（线段的长度）、数的相等、单位长度、0和1的特殊性、线段的平行与共线等。具体教学中，要设计一个能让学生开展概括活动的过程，引导他们经历从具体事例中领悟向量概念的本质特征，类比数的概念获得向量概念的定义及表示，类比数的集合认识向量的集合，类比直线的基本关系认识向量的基本关系。使学生从中体会到认识一个数学概念的基本思路，而不是停留在某个具体的概念学习上。这也是本堂课的核心目标。由于数学概念的高度抽象性，学生往往要费很多周折才能理解，教师应从学生的认知水平出发，针对学生的理解困难来展开教学，保证学生参与概念本质特征的概括活动，确保学生有自己想明白的机会和时间，这是至关重要的。

本课的教学，我们力求使学生理了解向量概念的背景和形成过程，了解为什么要引入这个概念，怎样定义这个概念，怎样入手研究一个新的问题。因此，在教学中教师应注意从宏观上为学生勾勒研究框架和总体思路，使学生能“抬头看路”，知道往哪里走，这是起始课的重要任务；微观上，引导学生通过类比，有序地给出向量的定义、讨论向量的表示、定义特殊向量、研究特殊向量的关系。在引导学生展开对向量及其相关概念的学习过程中，应强调“让学生参与到定义概念的活动中来”，不轻易打断学生的思维和活动，恰如其分地“以问题引导学习”，在质疑——反思的过程中深化概念的理解，使概念的理解成为学生自己主动思维的结果。

本课中出现的特殊向量——零向量，很多教师都会在“零向量与任意向量平行上”花太多时间，原因是“这是考试中的一个陷阱”。这其实是对零向量的意义和作用理解不到位的表现：首先，规定零向量与任何向量平行是完善概念系统的需要；其次，就像数零的作用在于运算一样，零向量的作用在于运算及其表达的几何意义。因此孤立地讨论零向量与任何向量平行没有多少意义，也不必耗费过多时间。

四、本课教学特点及预期效果分析

在学生建立向量的概念之初，与数、形的相关概念类比与联系是值得重视的。在学生的已有经验中，与本课内容相关的有：数的抽象过程、实数的绝对值（线段的长度）、数的相等、单位长度、0和1的特殊性、线段的平行与共线等。因此在具体教学中，我设计了一个能让学生开展概括活动的过程，引导他们经历从具体事例中领悟向量概念的本质特征，类比数的概念获得向量概念的定义及表示，类比数的集合认识向量的集合，类比直线的基本关系认识向量的基本关系。使学生从中体会到认识一个数学概念的基本思路，而不是停留在某个具体的概念学习上。

在向量的几何表示中，我让学生大胆探索，而不是“全包全揽”，教师引导，学生补充改进，最终明确向量几何表示的正确方法。整个过程全体同学热情参与，自我教育，互帮互学，课堂气氛生动活泼。

当同学们能将向量正确的几何表示时，我又适时地提出问题：大家画出的线段长短不一，怎么解决？由此自然过渡到单位长度上，使得单位向量的引入也就顺理成章了。

为了帮助学生学习相等向量、平行（共线）向量的概念，本课设计了“传花游戏”，通过学生之间传递花朵所产生的位移向量，让学生积极参与，仔细观察，自己概括出概念的本质特征，将课堂气氛推向一个新的高潮。在结束本课之前，为了让同学对向量加深印象，我让学生先欣赏一首关于向量的诗歌，再让学生在课外动笔写出自己对向量的感受。

本节课是从现实世界的常见实例出发，以学生自主探究的教学方式为主。在课堂上，创建了一个以全班学生共同参与的向量游戏平台，让学生在轻松愉悦的课堂环境中，共同参与，共同讨论，共同分析，让学生自然地、水到渠成的完成本节内容的学习。

第三篇：第二章平面向量教学设计

第二章平面向量教学设计

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新课标人教版

必修4第二章平面向量

内容：《平面向量》

课型：新授课

第二部分

教学设计

2.1平面向量的概念及其线性运算

授课人：苏仕剑

【学习目标】、理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示；

2、掌握向量加、减法的运算，并理解其几何意义；

3、掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线的含义；

4、了解向量线性运算的性质及其几何意义。

【学习要点】

、向量概念

________________________________________________________叫零向量，记作；长度为______的向量叫做单位向量；方向___________________的向量叫做平行向量。

规定：与______向量平行；长度_______且方向_______的向量叫做相等向量；平行向量也叫______向量。

2、向量加法

求两个向量和的运算，叫做向量的加法，向量加法有___________法则与______________法则。

3、向量减法

向量加上的相反向量叫做与的差，记作_________________________，求两个向量差的运算，叫做向量的减法。

4、实数与向量的积

实数与向量的积是一个_______，记作________，其模及方向与____的值密切相关。

5、两向量共线的充要条件

向量与非零向量共线的充要条件是有且只有一个实数，使得__________。

【典型例题】

例1

在四边形ABcD中，等于

（）

A、B、c、D、例2

若平行四边形ABcD的对角线Ac和BD相交于o，且，则、表示向量为

（）

A、+

B、—

c、—+

D、——

例3

设、是两个不共线的向量，则向量

与向量共线的充要条件是

（）

A、0

B、，c、1

D、2

例4

下列命题中：

（1）=，=则=

（2）||=||是=的必要不充分条件

（3）=的充要条件是

（4）

=

（

）的充要条件是=

其中真命题的有__________________。

例5

如图5-1-1，以向量

，为边作平行四边形AoBD，又，用、表示、和。

图5-1-1

【课堂练习】

、（）

A、B、c、D、2、“两向量相等”是“两向量共线”的（）

A、充分不必要条件

B、必要不充分条件

c、充要条件

D、既不充分也不必要条件

3、已知四边形ABcD是菱形，点P在对角线Ac上（不包括端点A、c），则等于

（）

A、B、c、D、4、若||=1，||=2，=且，则向量与的夹角为（）

A、300

B、600

c、1200

D、1500

【课堂反思】

2.2平面向量的坐标运算

授课人：陈银辉

【学习目标】、知识与技能：了解平面向量的基本定理及其意义、掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；理解用坐标表示的平面向量共线的条件。

2、能力目标：会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算；

3、情感目标：通过对平面向量的基本定理来理解坐标，实现从图形到坐标的转换过程，锻炼学生的转化能力。

【学习过程】

、平面向量基本定理

如果、是同一平面内的两个 的向量，那么对这一平面内的任一向量，有且只有一对实数、使，其中不共线的向量、叫做表示这一平面内所有向量的一组。

2、平面向量的正交分解及坐标表示

把一个向量分解为两个互相 的向量，叫做把向量正交分解。在平面直角坐标系内，分别取与轴、轴正方向相同的两个

向量、作为基底，对任一向量，有且只有一对实数、使得，则实数对（，）叫做向量的直角坐标，记作=，其中、分别叫做在轴、轴上的坐标，叫做向量的 表示。相等向量其坐标

，坐标相同的向量是

向量。

3、平面向量的坐标运算

（1）若=，=，则

=

（2）若A，B，则

（3）若=（，），则

4、平面向量共线的坐标表示

若=，=，则//的充要条件是

5、若，其中，则有：。

【典型例题】

例1

设、分别为与轴、轴正方向相同的两个单位向量，若则向量的坐标是（）

A、（2，3）

B、（3，2）

c、（—2，—3）

D、（—3，—2）

例2

已知向量，且//则等于

A、B、—

c、D、—

分析

同共线向量的充要条件易得答案。

例3

若已知、是平面上的一组基底，则下列各组向量中不能作为基底的一组是

A、与—

B、3与2

c、+与—

D、与2

例4

已知当实数取何值时，+2与2—4平行？

【课堂练习】、已知=（1，2），=（—2，3）若

且

则____________,_________________。

2、已知点A（，1）、B（0，0）、c（，0），设∠BAc的平分线AE与Bc相交于E，那么有其中等于

A、2

B、c、—3

D、3、平面直角坐标系中，o为坐标原点，已知两点c满足，其中、且+则点c的轨迹方程为

A、B、c、D、4、已知A（—2，4）、B（3，—1）、c求点m、N的坐标及向量的坐标。

【课堂反思】

2.3平面向量的数量积及其运算

授课人：曾俊杰

【学习目标】

．知识与技能：

A若点3，—4）且，（—

（1）理解向量数量积的定义与性质；

（2）理解一个向量在另一个向量上的投影的定义；

（3）掌握向量数量积的运算律；

（4）理解两个向量的夹角定义；

2．过程与方法：

（1）能用投影的定义求一个向量在另一个向量上的投影；

（2）能区别数乘向量与向量的数量积；

（3）掌握两向量垂直、平行和反向时的数量积；

3．情感、态度与价值观：

（1）培养学生用数形结合的思想理解向量的数量积及它的几何意义；

（2）使学生体会周围事物周期变化的奥秘，从而激发学生学习数学的兴趣；

（3）培养数形结合的数学思想；

【学习过程】、请写出平面向量的坐标运算公式：

（1）若=，=，则

=

（2）若A，B，则

（3）若=（，），则

2、平面向量共线的坐标表示

若=，=，则//的充要条件是

3、两个非零向量夹角的概念 已知非零向量与，作＝，＝，则_________________________叫与的夹角.4、我们知道，如果一个物体在力F（与水平方向成θ角）的作用下产生位移s，那么力F所做的功w=

5、数量积的概念：

（1）两个非零向量、，过o作=，=，则∠AoB叫做向量与的夹角，显然，夹角

（2）若与的夹角为90，则称与垂直，记作⊥

（3）、是两个非零向量，它们的夹角为，则

叫做与的数量积（或内积），记作•。

即•=||•||•cos

规定•=0，显然，数量积的公式与物理学中力所做功的运算密切相关。

特别提醒：

（1）

（０≤θ≤π）.并规定与任何向量的数量积为0

（2）

两个向量的数量积的性质：

设、为两个非零向量，)





=0

2)

当与同向时，=||||；当与反向时，=||||

特别的 =||2或.3)

cos= ；

4)

|

|≤||||

6、“投影”的概念：如图

定义：_____

_______叫做向量b在a方向上的投影

特别提醒：

投影也是一个数量，不是向量；当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为0；当=0时投影为|b|；当=180时投影为|b|

3、平面向量数量积的运算律

交换律：=______

数乘结合律：=_________=__________

分配律：=_____________

【典型例题】

例1边长为的正三角形ABc中，设，则

=

例2已知△ABc中，，ABc的面积，且||=3，||=5，则与的夹角为

例3

已知=（1，2），=（6，—8）则在上的投影为

【课堂练习】、已知、均为单位向量，它们的夹角为那么=

2、已知单位向量与的夹角为，且，求及与的夹角。

3、若，且向量与垂直，则一定有

A、B、c、D、且

4、设是任意的非零平面向量，且它们相互不共线，下列命题

①

②

③

不与垂直

④

其中正确的有（）

A、①②

B、②③

c、③④

D、②④

5、已知平面上三点A、B、c满足，则

的值等于____

______

【课后反思】

2.4平面向量的应用

授课人：刘晓聪

【学习目标】

一、知识与技能

.经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题的过程，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具，发展运算能力

2.运用向量的有关知识对物理中的问题进行相关分析和计算，并在这个过程中培养学生探究问题和解决问题的能力

二、过程与方法

.通过例题，研究利用向量知识解决物理中有关“速度的合成与分解”等问题

2.通过本节课的学习，让学生体会应用向量知识处理平面几何问题、力学问题与其它一些实际问题是一种行之有效的工具；和同学一起总结方法，巩固强化.[:学科网]

三、情感、态度与价值观

.以学生为主体，通过问题和情境的设置，充分调动和激发学生的学习兴趣，培养学生解决实际问题的能力.2.通过本节的学习，使同学们对用向量研究几何以及其它学科有了一个初步的认识；提高学生迁移知识的能力、运算能力和解决实际问题的能力.【学习过程】

请认真思考后，回答下列问题：

、判断：

（1）若四点共线，则向量（）

（2）若向量，则四点共线（）

（3）若，则向量

（）

（4）只要向量满足，就有

（）

2、提问：

（1）两个非零向量平行的充要条件是什么？（你能写出几种表达形式）

（2）两个非零向量垂直的充要条件是什么？（你能写出几种表达形式）

【典型例题】

例1

已知⊿ABc中，∠BAc＝60o，AB＝4，Ac＝3，求Bc长．

变式

已知⊿ABc中，∠BAc＝60o，AB＝4，Ac＝3，点D在线段Bc

上，且BD=2Dc求AD长．

例２

如图，已知Rt⊿oAB中，∠AoB＝90o，oA＝3，oB＝2，m在oB上，且om=1，N在oA上，且oN=1，P为Am与BN的交点，求∠mPN．

【课堂练习】

⊿ABc中，AD，BE是中线，AD，BE相交于点G

（1）求证：AG=2GD

（2）若F为AB中点，求证G、F、c三点共线．

第四篇：平面向量基本定理(教学设计)

平面向量基本定理

教学设计

平面向量基本定理教学设计

一、教材分析

本节课是在学习了共线向量基本定理的前提下，进一步研究平面内任一向量的表示，为今后平面向量的坐标运算打下坚实的基础。所以，本节在本章中起到承上启下的作用。

平面向量基本定理揭示了平面向量之间的基本关系，是向量解决问题的理论基础。平面向量基本定理提供了一种重要的数学思想—转化思想。

二、教学目标

知识与技能: 理解平面向量基本定理，学会利用平面向量基本定理解决问题，掌握基向量表示平面上的任一向量.过程与方法：通过学习习近平面向量基本定理，让学生体验数学的转化思想，培养学生发现问题的能力.情感态度与价值观：通过学习习近平面向量基本定理，培养学生敢于实践的创新精神，在解决问题中培养学生的应用意识。

教学重点：平面向量基本定理的应用； 教学难点：平面向量基本定理的理解.三、教学教法

1.学情分析: 学生已经学习了向量的基本知识，并且对向量的物理背景有了初步的了解.2.教学方法：采用“问题导学—讨论探究—展示演练”的教学方法，完成教学目标.3.教学手段：有效使用多媒体和视频辅助教学，直观形象.四、学法指导

1.导学：设置问题情境，激发学生学习的求知欲，引发思考.2.探究：引导学生合作探究，解决问题，注重知识的形成过程.3.应用：在解决问题中培养学生的应用意识与学以致用的能力.五、教学过程

针对以上情况，结合我校“学本课堂”模式，我设计了如下教学过程，分为六个环节。第一环节：问题导学 自主学习

首先是课前预习，预习学案分为问题导学、典例精析、巩固拓展三大部分。通过预习学案，可以帮助学生完成课前预习。设计意图：通过预习学案让学生预习新知识，发现问题，使学习更具针对性，培养学生的自学与探索能力.第二环节：创设情境 导入课题

进入新课，引入课题采用问题情境的办法。通过导弹的飞行方向和力的分解两个实例，将问题类比，引入本节问题-向量的分解。为了帮助学生理解，提供了两段直观的视频，直观形象。设计意图：借助实际与物理问题设置情境，引发学生思考与想象，将问题类比，引入本节课题。

第三环节：分组讨论 合作探究

提出问题，进入探究阶段。采用分组讨论，合作探究的方法，先让学生回顾知识-向量加法的平行四边形法则。进入小组讨论，共同讨论两个问题。

问题1：向量a与向量e1，e2共起点，向量a是同一平面内任一向量，e1与e2不共线，探究向量a与e1，e2之间的关系.问题2：向量e1与e2是同一平面内不共线的两个向量，向量a是同一平面内任一向量，探究向量a与e1，e2之间的关系.设计意图：各小组成员讨论交流，合作学习，共同探讨问题，寻求结果，展示结果.第四环节：成果展示 归纳总结

小组讨论完毕，由几个小组展示研究成果。结合小组展示成果，借助多媒体展示，由师生共同探究向量的分解。展示过程中，要重点强调平移共起点，借助平行四边形法则解说分解过程，加深学生的直观映像，完成向量的分解。通过向量的分解，由学生小组讨论，共同归纳本节的核心知识—平面向量基本定理。在定理中重点补充强调以下几点说明：（1）基底e1,e2不共线，零向量不能做基底；（2）定理中向量a是任一向量，实数1，2唯一；（3）1e1e2叫做向量a关于基底e1,e2的分解式.第五环节：问题解决 巩固训练

引入定理后，应用定理解决学案例题与练习。例题1重在考查基底的概念，引导学生思考向量作为基底的条件，将问题转化为两个向量的共线问题。讲解完例题1之后，通过一个练习，巩固所学。通过两个问题，让学生认识理解基底的概念，把握基底的本质，突出重点——平面向量基本定理的应用。在例题2中继续强化对基底概念的理解，采用分组讨论，合作探究的教学方法，共同探讨解法，并由小组板演解题过程，最后强调解题步骤；此后，给出例2的一个变式题，让学生进一步深刻理解基底，体会基底的重要作用。解决本节难点——平面向量基本定理的理解，通过例题3对平面向量基本定理综合应用，解决三点共线问题。采用先启发引导后学生探究的方法，解决学生的困惑。例题讲解完毕后，对本题结论适当拓展，得到“当t11，点P是AB的中点，OP=（OAOB）”的重要结论。通过探究22本题，可以使学生深化对平面向量基本定理的理解，培养学生综合运用知识的能力.为了加强对定理的应用，在学案中设计了几个巩固练习，在课堂上当场完成，并及时纠错，巩固本节所学。

第六环节：拓展演练 反馈检测

为了攻克难点，检测效果，最后设计了几道课后习题进行拓展延伸，培养学生的综合能力。通过这些设计，可以增强教学的针对性，提高教学效果。在本节尾声，让学生回顾本节主要内容，完成小结，并在小结中强调转化的数学思想及方法。最后是布置课后作业及时间分配与板书设计。

六、评价感悟

本节教学设计在“学本课堂”的教学模式下，采用“问题导学—讨论探究—展示演练”的教学方法，引导学生自主学习，发现问题，小组讨论，合作探究，解决问题。在教学过程中，学生处于主体地位，教师充分发挥学生的积极性，力求打造高效课堂。

以平面向量基本定理为主题，从预习知识到探究定理，学生始终参与学习，参与探究，主观性与积极性得到了充分发挥，学习与探求知识的能力得到了极大的提升；应用定理解决问题，培养了学生的应用意识；通过学习定理，让学生体会了转化思想，提高了学习的综合能力。

第五篇：第二单元 数列、三角函数、平面向量教学设计2

沧源民族中学高三年级数学复习教学设计第六周2011年3月19日星期六

第二单元数列、三角函数、平面向量

第一讲三角函数（6课时）

主备教师肖平聪

一、教学内容及其解析

1、三角函数式的化简与求值：两角和的正弦、余弦、正切；二倍角的正弦、余弦、正切；诱导公式的运用。

2、三角函数的图象与性质：正弦函数、余弦函数、正切函数图象及其性质。

3、三角形中的三角函数问题：正弦定理、余弦定理以及三角形面积公式的运用。

二、目标及其解析

1、能灵活运用三角函数的有关公式，对三角函数进行变形与化简。

2、理解和掌握三角函数的图像及性质。

3、能用正弦定理、余弦定理解三角形问题。

三、问题诊断分析：

高考中，三角函数主要考查学生的运算能力、灵活运用能力，在客观题中，突出考察基本公式所涉及的运算、三角函数的图像基本性质，尤其是对角的范围及角之间的特殊联系较为注重。解答题中以中等难度题为主，涉及解三角形、向量及简单运算。三角函数部分，公式较多，易混淆，在运用过程中，要观察三角函数中函数名称的差异、角的差异、关系式的差异，确定三角函数变形化简方向。

四 教学过程设计

1、三角函数式的化简与求值

问题1两角和的正弦、余弦、正切的公式？

问题2二倍角的正弦、余弦、正切的公式呢？

问题3三角函数的诱导公式呢？

例题（见高考调研二轮重点讲练p30）

变式训练（见高考调研二轮重点讲练p30）

2、三角函数的图象与性质

问题1三角函数的正弦函数、余弦函数、正切函数图象怎么画？

问题2三角函数的正弦函数、余弦函数、正切函数的性质有哪些？

例题（见高考调研二轮重点讲练p31-33）

变式训练（见高考调研二轮重点讲练p31-33）

3、三角形中的三角函数问题

问题1正弦定理、余弦定理是什么？

问题2三角形面积公式怎么用？

例题（见高考调研二轮重点讲练p33）

变式训练（见高考调研二轮重点讲练p33）

五、目标检测：（见二轮复习用书p34）

六、配餐作业：（见二轮复习用书p34-36）热点集训作业和2011届先知专题卷专题.