《平面向量加法运算及其几何意义 》教学设计

第一篇：《平面向量加法运算及其几何意义 》教学设计

《平面向量加法运算及其几何意义 》教学设计

〖教学目标〗

（1）知识与技能：理解掌握向量加法运算，能够运用向量加法三角形法则和平行四边形法则求任意两个向量的和向量；初步尝试用向量方法解决几何问题及实际问题；

（2）过程与方法：经历概念的形式过程，提高数学建设模能力；通过自主探究活动，体验数学发现和创造的过程，提高概括、分析归纳，数学表达等基本数学思维能力；（3）情态与价值：通过师生互动，生生互动的教学活动，形成学生的体验性认识，体会成功的愉悦，提高学习数学的兴趣。形成锲而不舍的钻研精神和合作交流的科学态度。

〖教学重点、难点〗

教学重点：理解向量加法的意义，掌握向量加法三角形法则和平行四边形法则； 教学难点：向量加法概念的形成过程；

〖教学方法与教学手段〗 教学方法：启发探究式教学 教学手段：多媒体辅助教学

〖教学过程〗

一、设置情境、尝试探求 1．设置问题情境

今年夏天，我国某些地区洪灾泛滥，某城外有一条东西流向的大河，河两岸高筑堤坝，河宽4km, 水深10km，当时河水流速为4km/h, 有一天，三名巡防队员在巡逻中发现正对岸堤坝有一处决口，情急之下，三人跳上船以8km/h 的速度直向决口处驶去，同学们想一想，如果船不改变方向，他们能否准确、及时到达出事地点？

2、学生自主探究与研讨 学生会直观猜测：不能及时准确及时到达（有了猜测就有探式的欲望）

V船

V

教师引导学生：能否运用你所学的知识进行说明；

V水

学生得出：船的实际速度应是船行驶速度和水的速度的合成。如图

教师小结：速度是一个看矢量，矢量的合成与数量相加不同，要同时考虑方向。提问，根据已有知识你还能举出一些有关矢量合成的例子吗？

3、师生共同探究

学生举例：（1）位移的合成（2）力的合成；（1）如图：某对象从A点经B点到C点，两次位移点的位移 结果相同。

，的结果，与A点直接到C

（2）如图：表示橡皮条在两个力F1、F2的作用下，沿GE的方向伸长了EO，与力F的作用结果相同。

教师：两个既有大小又有方向的量的合成运算，物理上叫做矢量的合成，在数学上叫做向量的加法。

二、形成概念，归纳方法。

向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法

1、提问：对于平面上任意两个向量，如何定义它们的加法？ 同学们任意作出两个向量试一试。

2、学生自主探究 学生可能答案：

（1）共起点的两个向量相加，用平行四边形法则；

（2）首尾相接的两个向量相加，模仿位移的合成，作出和向量；（3）任意两个向量相加，先平移到共点，再作出和向量；（4）共线的两个向量相加（同向或反向）

3、交流、研讨、辩析 投影同学们的研究成果，引导学生对几种作图方法进行辩析，它们有什么共同和不同之处？如何理解“任意”？和向量的方向和大小有何变化？能否对作图过程进行语言表达。

4、归纳总结

在师生、生生的互动交流中，形成以下共识：

一、向量加法的定义

1、三角形法则：

已知非零向量a、ｂ.在平面内任取一点和，记作a＋ｂ，即 a＋ｂ，作

=a，=ｂ，则向量

叫做a与ｂ的 a

a＋ｂ ｂ

ｂ

a

位移合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型

2平行四边形法则

以同一点O为起点的两个已知向量a、ｂ，为邻边作平行四边形OACB，则以O为起点的对角线就是与的和。

力的合成可以看作向量加法平行四边形法则的物理模型。对于零向量与任一向量我们规定：

提问：你能从向量加法的几何意义，说明规定的合理性吗？

思考：当在数轴表示两个共线向量时，它们的加法与数的加法有什么关系？ a a

ｂ ｂ

a+b

a+b

探究：|+|与||+||的大小关系：

当向量与不共线时，|+|<||+||； 一般的有：|+|≤||+|| 思考：、处于什么位置时，（1）|+|=||+||（2）|+|=||-||（或|+b|=||-||）

三、实践探索 形成能力

1、探究：数的加法满足交换侓和结合侓，即对任意a、b a+b=b+a(a+b)+c= a+(b+c)任意向量、的加法是否也满足交换侓和结合侓？（1）让学生通过画图探索验证：+=+（2）提问：你能否验证：

有

(+)+=+(+)

小结：向量的加法满足交换律：+=+ 向量的加法满足结合律：(+)+=+(+)

2、练习P93 3、4题

3、例2：长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输，如图2.2-12所示，一艘船从长江南岸A点出发，以5km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2km/h。

（1）试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度（保留两个有效数字）；（2）求船实际航行的速度的大小与方向（用与江水速度间的夹角表示，精确到度）（引导学生正确理解题意，把问题化归为向量的加法运算。注意规范学生的解题格式。）

4、巩固作业

（1）P103习题2。2：第２，３，4（1）（2）（3）题（2）选做题：在△ABC中，求证：

四、归纳小结：内化知识

通过本节课的学习，同学们谈谈自己体会最深刻的是什么？

1、向量加法的几何意义； ２、交换律和结合律；

３、注意：|+| ≤ || + ||，当且仅当方向相同时取等号.

第二篇：《2.2.1向量加法运算及其几何意义》教学设计说明

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第三篇：《向量的加法运算及其几何意义》教案

2.2.1向量加法运算及其几何意义

知识目标：

1、掌握向量的加法运算，并理解其几何意义；

2、会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的 和，培养数形结合解决问题的能力；

3、通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比，使学生掌握向

量加法运算的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算，渗透类比的数学方法； 教学重点与难点: 教学重点：会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个

向量的和向量.教学难点：理解向量加法的定义.教学过程

一、复习引入

问题1：向量的定义以及相等向量的定义是什么？

1、什么叫向量？

2、长度为零的向量叫做。零向量的方向具有 性。

3、长度等于一个单位的向量叫做。

4、方向相同或相反的非零向量叫做，也叫。

5、长度相等且方向相同的向量叫做。

强调：向量是既有大小又有方向的量.长度相等、方向相同的向量相等.因此，我们研究的向量是与起点无关的自由向量，即任何向量

可以在不改变它的方向和大小的前提下，移到任何位置 问题2：数能进行运算,向量是否也能进行运算呢？

二、探究新知 活动一

元旦假期将到，某人计划外出去三亚旅游，从重庆（记作A）到昆明（记作B），再从B到三亚（记作C），这两次的位移和可以用哪个向量表示？ 形成概念： 1． 向量加法的定义

求两个向量和的运算，叫做向量的加法。2． 向量加法的法则(1)向量加法的三角形法则

如图3,已知非零向量a、b,在平面内任取一点A,作AB=a,BC=b,则向量AC叫做a与b的和,记作a+b,即a+b=AB+BC=AC.这种求向量和的方法叫做向量加法的三角形法则(2)向量加法的平行四边形法则

如图4,以同一点O为起点的两个已知向量a、b为邻边作平行四边形,则以O为起点的对角线OC就是a与b的和.把这种求向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则.问题4： 对于零向量与任一向量的加法,结果又是怎样的呢？ 对于零向量与任意向量a，我们规定：a+0=0+a=a.总结: 三角形法则:

图4

①要特别注意“首尾相接”,即第二个向量要以第一个向量的终点为起点,则由第一个向量的起点指向第二个向量的终点的向量即为和向量.②适用于任何两个非零向量求和；

②位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型.平行四边形法则: ①适用于两个不共线向量求和，且两向量要共起点； ②力的合成可以看作向量加法平行四边形法则的物理模型.三、应用举例

例1 如图5，已知向量a、b，求作向量a+b

作法1（三角形法则）：

作法2（平行四边形法则）：

a 图5

b

探究合作: ||a|-|b||,|a+b|,|a|,|b|存在着怎样的关系？（1）当向量a与b不共线时，|a+b| |a|+|b|；（2）当a与b同向时，则a+b、a、b（填同向或反向），且|a+b| |a|+|b|；当a与b反向时，若|a|>|b|，则a+b的方向与a相同，且|a+b| |a|-|b|；若|a|<|b|，则a+b的方向与b相同，且|a+b| |b|-|a|.结论：一般地：

四、练习巩固： 教材84页1、2题

五、小结 1.向量加法的定义 2.向量加法的两种法则：(1)三角形法则：首尾相接

(2)平行四边形法则：作平移,共起点,四边形,连对角

六、作业：

高考调研课时作业十七

ab|ab||a||b|

第四篇：2.2 向量加法运算及其几何意义 教学设计 (北师大必修4)

2.2.1向量加法运算及其几何意义

一．教学内容和内容分析

本节课是《普通高中课程标准实验教科书数学》人教A版必修4第二章《平面向量》第二节《平面向量的线性运算》的第一课时，内容是向量加法运算及其几何意义。

向量是数学中重要和基本的数学概念之一，是沟通代数与几何的桥梁。向量的加法运算是通过类比数的加法，以位移的合成、力的合力两个物理模型为背景引入的，主要内容是向量加法的三角形法则和平行四边形法则。教科书从几何角度具体给出了通过两个法则作两个向量和的方法，介绍了向量加法满足的运算率，最后举例说明生活中有向量，生活中用向量。向量加法运算是学生对向量运算体系所进行的第一次探索和尝试，学好本节课将为后面学习向量的其他知识奠定基础，为用“数”的运算解决“形”的问题提供工具和方法。

因此，本节的教学重点是掌握用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作出两个向量的和以及向量加法的运算率。

二． 教学目标和目标分析（一)教学目标

1.掌握用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作出两个向量的和以及向量加法的运算律。

2.理解向量加法及其几何意义。

3.通过类比、观察、归纳等方法提高发现问题、分析问题、解决问题的能力。

（二）教学目标分析

1.用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作出两个向量的和向量时，体会在平面内任取一点O的依据，它体现了向量起点的任意性，用平行四边形法则作图时强调向量的起点放在一起，而用三角形法则作图则要求首尾相连。

2.通过对向量的大小、方向的探究，加深理解向量加法及其几何意义。

3.从位移的合成、力的合成总结出向量加法法则；从向量的大小与方向探究出向量加法性质；从实数加法的运算律类比向量加法的运算律。三．教学问题诊断分析

本节课学生在学习过程中可能遇到以下疑惑和困难： 1.对三角形法则的理解，尤其是方向相反的两个向量的加法。

2.在实际生活中，抽象、识别出向量加法的模型。

为此在教学中，让学生认识到三角形法则的实质是：将已知向量首尾相接，而不是表示向量的有向线段之间必须构成三角形。通过对应用题的讨论，拉近学生与抽象数学知识之间的距离，激发他们的兴趣，增强他们学习数学的动力。

因此，本节的教学难点是：理解向量加法及其几何意义。四．教法分析

伟大的教育家叶圣陶先生说过“教师之谓教，不在全盘授予，而在相机诱导”。本节课以学生为中心，以问题为载体，采用启发、引导、探究相结合的教学方法。1.设置情景，激发学生解决问题的欲望。

2.提供交流探究机会，引导学生独立思考，有效调动学生思维，在开放的活动中获取知识。

3.在教学中体现“重过程、重情感、重生活”的理念。4.让学生经历“学数学、做数学、用数学”的过程。

五、教学过程设计

根据学生现有的的认知水平和规律，结合本节课的内容特点，分以下五个环节展开教学： 创设情境、引入课题；独思共议、总结法则；合作交流、探究性质；典例分析、深化认识；课堂小结、拓展延伸。

1、创设情境 引入课题

情景：原来从浙江的嘉兴到宁波的慈溪，需先从嘉兴到杭州，再从杭州到慈溪，现在建好了杭州湾跨海大桥，可以从嘉兴直接到达慈溪。

这两种方式的位移是一样的。然后将图片中的问题抽象出来，也就是从点O到

【设计意图】熟练两个法则的作图技能，让学生开展小组合作、自主探究，特别是向量共线时，通过研究向量的方向以及模之间的关系，培养学生勇于探索、敢于创新的个性品质，使他们在轻松愉快的氛围中突破难点，在过程中收获自信，体验成功！通过学生展示讲解，锻炼学生的组织能力和语言表达能力。通过教师点拨，强化重、难点，形成规律，加深理解。４、典例分析，深化认识

bc，请作出a+b,b+a,b+c例1:如图，已知a, , a+(b+c),(a+b)+c.向量加法的运算律交换律：abbacabaa+bcaabbbc结合律：(ab)ca(bc)babcb+aba

例2.在长江南岸某渡口处,江水以12.5km/h的速度向东流,渡船的速度为25km/h,渡船要垂直地渡过长江,求渡船的航向.解设AB、AD、AC分别表示水流的速度,渡船的速度, 渡船实际垂直过江的速度.因为AB+AD=AC,所以四边形ABCD为平行四边形.在RtΔACD中, ACD=90O,B|DC|=|AB|=12.5, |AD|=25,所以CAD=30.o o练.O为正六边形A1A2A3A4A5A6的中心,求下列向量:(1)OA1+OA3(2)A2A3+A6A5(3)OA1+A6A5(4)A1A2+A2A3+A3A4+A4A5+A5A6A1A2A6A5OA4A3DCA思考：在(4)的基础上你能得到更为一般的结论吗？推广1：A1A2 +A2A3+A3A4+······+An-1An=A1An答: 渡船要垂直地渡过长江,其航向应为北偏西30.【设计意图】通过“类比”的方法引入向量的加法运算律，是符合建构主义的认识的．同时，对于结论的验证使学生进一步认识的数学的严谨之美，也欣赏到了两个法则的和谐统一之美．由特殊到一般，让学生通过练习归纳向量加法的三角形法则的推广-----多边形法则。然后生活中有向量，生活中用向量，通过对应用题的讨论，拉近了学生和抽象的数学知识之间的距离，激发了他们学习的兴趣，同时增强了他们学习好数学的动力．

5、课堂小结，拓展延伸

（1）让学生自己从所学的数学知识、数学思想方法两个方面进行总结，提高学生的

第五篇：2017向量减法运算及其几何意义教案.doc

2.2.2 向量减法运算及其几何意义

一、教学分析

向量减法运算是加法的逆运算.学生在理解相反向量的基础上结合向量的加法运算掌握向量的减法运算.因此,类比数的减法(减去一个数等于加上这个数的相反数),首先引进相反向量的概念,然后引入向量的减法(减去一个向量,等于加上这个向量的相反向量),通过向量减法的三角形法则和平行四边形法则,结合一定数量的例题,深刻理解向量的减法运算.通过阐述向量的减法运算,可以转化为向量加法运算,渗透化归的数学思想,使学生理解事物之间的相互转化、相互联系的辨证思想,同时由于向量的运算能反映出一些物理规律,从而加强了数学学科与物理学科之间的联系,提高学生的应用意识.二、教学目标：

1、知识与技能：

了解相反向量的概念；掌握向量的减法，会作两个向量的减向量，并理解其几何意义。

2、过程与方法：

通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比，使学生掌握向量减法运算及其几何意义，并会用它们进行向量计算，渗透类比的数学方法。

3、情感态度与价值观：

通过阐述向量的减法运算可以转化成向量的加法运算，使学生理解事物之间可以相互转化的辩证思想。

三、重点难点

教学重点:向量的减法运算及其几何意义.教学难点:对向量减法定义的理解.四、学法指导

减法运算是加法运算的逆运算，学生在理解相反向量的基础上结

合向量的加法运算掌握向量的减法运算；并利用三角形做出减向量。

五、教学设想

（一）导入新课

思路1.(问题导入)上节课,我们定义了向量的加法概念,并给出了求作和向量的两种方法.由向量的加法运算自然联想到向量的减法运算:减去一个数等于加上这个数的相反数.向量的减法是否也有类似的法则呢?引导学生进一步探究,由此展开新课.思路2.(直接导入)数的减法运算是加法运算的逆运算.本节课,我们继续学习向量加法的逆运算——减法.引导学生去探究、发现.（二）推进新课、新知探究、提出问题

①向量是否有减法？

②向量进行减法运算,必须先引进一个什么样的新概念？ ③如何理解向量的减法？

④向量的加法运算有平行四边形法则和三角形法则,那么,向量的减法是否也有类似的法则？

活动:数的减法运算是数的加法运算的逆运算,数的减法定义即减去一个数等于加上这个数的相反数,因此定义数的减法运算,必须先引进一个相反数的概念.类似地,向量的减法运算也可定义为向量加法运算的逆运算.可类比数的减法运算,我们定义向量的减法运算,也应引进一个新的概念,这个概念又该如何定义? 引导学生思考,相反向量有哪些性质? 由于方向反转两次仍回到原来的方向,因此a和-a互为相反向量.于是-(-a)=a.我们规定,零向量的相反向量仍是零向量.任一向量与其相反向量的和是零向量,即a+(-a)=(-a)+a=0.所以,如果a、b是互为相反的向量,那么a=-b,b=-a,a+b=0.(1)平行四边形法则

图1 如图1,设向量AB=b,AC=a,则AD=-b,由向量减法的定义,知AE=a+(-b)=a-b.又b+BC=a,所以BC=a-b.由此,我们得到a-b的作图方法.图2(2)三角形法则

如图2,已知a、b,在平面内任取一点O,作OA=a,OB=b,则BA=a-b,即a-b可以表示为从b的终点指向a的终点的向量,这是向量减法的几何意义.讨论结果:①向量也有减法运算.②定义向量减法运算之前,应先引进相反向量.与数x的相反数是-x类似,我们规定,与a长度相等,方向相反的量,叫做a的相反向量,记作-a.③向量减法的定义.我们定义

a-b=a+(-b), 即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量.规定:零向量的相反向量是零向量.④向量的减法运算也有平行四边形法则和三角形法则,这也正是向量的运算的几何意义所在,是数形结合思想的重要体现.提出问题

①上图中,如果从a的终点到b的终点作向量,那么所得向量是什么? ②改变上图中向量a、b的方向使a∥b,怎样作出a-b呢? 讨论结果:①AB=b-a.②略.（三）应用示例

如图3(1),已知向量a、b、c、d,求作向量a-b,c-d.图3

活动:教师让学生亲自动手操作,引导学生注意规范操作,为以后解题打下良好基础;点拨学生根据向量减法的三角形法则,需要选点平

移作出两个同起点的向量.作法:如图3(2),在平面内任取一点O,作OA=a,OB=b,OC=c,OD=d.则BA=a-b,DC=c-d.变式训练

(2006上海高考)在ABCD中,下列结论中错误的是（）A.AB=DC

B.AD+AB=AC

C.AB-AD=BD

D.AD+BC=0 分析:A显然正确,由平行四边形法则可知B正确,C中,AB-AD=BD错误,D中,AD+BC=AD+DA=0正确.答案:C

例2 如图4,ABCD中, AB=a,AD=b,你能用a、b表示向量AC、DB吗?

图4

活动:本例是用两个向量表示几何图形中的其他向量,这是用向量证明几何问题的基础.要多注意这方面的训练,特别要掌握用向量表示平行四边形的四条边与两条对角线的关系.解:由向量加法的平行四边形法则,我们知道AC=a+b, 同样,由向量的减法,知DB=AB-AD=a-b.变式训练

1.(2005高考模拟)已知一点O到ABCD的3个顶点A、B、C的向量分别是a、b、c,则向量OD等于（）A.a+b+c

B.a-b+c

C.a+b-c

D.a-b-c

图5 解析:如图5,点O到平行四边形的三个顶点A、B、C的向量分别是a、b、c, 结合图形有OD=OA+AD=OA+BC=OA+OC-OB=a-b+c.答案:B 2.若AC=a+b,DB=a-b.①当a、b满足什么条件时,a+b与a-b垂直？ ②当a、b满足什么条件时,|a+b|=|a-b|？

③当a、b满足什么条件时,a+b平分a与b所夹的角 ？ ④a+b与a-b可能是相等向量吗？

图6 解析:如图6,用向量构建平行四边形,其中向量AC、DB恰为平行四边形的对角线.由平行四边形法则,得

AC=a+b,DB=AB-AD=a-b.由此问题就可转换为: ①当边AB、AD满足什么条件时,对角线互相垂直？(|a|=|b|)②当边AB、AD满足什么条件时,对角线相等？(a、b互相垂直)③当边AB、AD满足什么条件时,对角线平分内角？(a、b相等)④a+b与a-b可能是相等向量吗？(不可能,因为对角线方向不同)

点评:灵活的构想,独特巧妙,数形结合思想得到充分体现.由此我们可以想到在解决向量问题时,可以利用向量的几何意义构造几何图形,转化为平面几何问题,这就是数形结合解题的威力与魅力,教师引导学生注意领悟.例3 判断题:(1)若非零向量a与b的方向相同或相反,则a+b的方向必与a、b之一的方向相同.(2)△ABC中,必有AB+BC+CA=0.(3)若AB+BC+CA=0,则A、B、C三点是一个三角形的三顶点.(4)|a+b|≥|a-b|.活动:根据向量的加、减法及其几何意义.解:(1)a与b方向相同,则a+b的方向与a和b方向都相同;若a与b方向相反,则有可能a与b互为相反向量, 此时a+b=0的方向不确定,说与a、b之一方向相同不妥.(2)由向量加法法则AB+BC=AC,AC与CA是互为相反向量,所以有上述结论.(3)因为当A、B、C三点共线时也有AB+BC+AC=0,而此时构不成三角形.(4)当a与b不共线时,|a+b|与|a-b|分别表示以a和b为邻边的平行四边形的两条对角线的长,其大小不定.当a、b为非零向量共线时,同向则有|a+b|>|a-b|,异向则有|a+b|<|a-b|;当a、b中有零向量时,|a+b|=|a-b|.综上所述,只有(2)正确.例4 若|AB|=8,|AC|=5,则|BC|的取值范围是（）A.[3,8]

B.(3,8)

C.[3,13]

D.(3,13)解析:BC=AC-AB.(1)当AB、AC同向时,|BC|=8-5=3;(2)当AB、AC反向时,|BC|=8+5=13;(3)当AB、AC不共线时,3<|BC|<13.综上,可知3≤|BC|≤13.答案:C 点评:此题可直接应用重要性质||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|求解.变式训练

已知a、b、c是三个非零向量,且两两不共线,顺次将它们的终点和始点相连接而成一三角形的充要条件为a+b+c=0.证明:已知a≠0,b≠0,c≠0,且ab,bc,ca,(1)必要性:作AB=a,BC=b,则由假设CA=c, 另一方面a+b=AB+BC=AC.由于CA与AC是一对相反向量, ∴有AC+CA=0, 故有a+b+c=0.(2)充分性:作AB=a,BC=b,则AC=a+b,又由条件a+b+c=0, ∴AC+c=0.等式两边同加CA,得CA+AC+c=CA+0.∴c=CA,故顺次将向量a、b、c的终点和始点相连接成一三角形.（四）课堂小结

1.先由学生回顾本节学习的数学知识:相反向量,向量减法的定义,向量减法的几何意义,向量差的作图.2.教师与学生一起总结本节学习的数学方法,类比,数形结合,几何作图,分类讨论.（五）作业