示范教案(2.2.2向量减法运算及其几何意义)

第一篇：示范教案(2.2.2向量减法运算及其几何意义)

2.2.2 向量减法运算及其几何意义

整体设计

教学分析

向量减法运算是加法的逆运算.学生在理解相反向量的基础上结合向量的加法运算掌握向量的减法运算.因此,类比数的减法(减去一个数等于加上这个数的相反数),首先引进相反向量的概念,然后引入向量的减法(减去一个向量,等于加上这个向量的相反向量),通过向量减法的三角形法则和平行四边形法则,结合一定数量的例题,深刻理解向量的减法运算.通过阐述向量的减法运算,可以转化为向量加法运算,渗透化归的数学思想,使学生理解事物之间的相互转化、相互联系的辨证思想,同时由于向量的运算能反映出一些物理规律,从而加强了数学学科与物理学科之间的联系,提高学生的应用意识.三维目标

1.通过探究活动,使学生掌握向量减法概念,理解两个向量的减法就是转化为加法来进行,掌握相反向量.2.启发学生能够发现问题和提出问题,善于独立思考,学会分析问题和创造地解决问题.能熟练地掌握用三角形法则和平行四边形法则作出两向量的差向量.重点难点

教学重点:向量的减法运算及其几何意义.教学难点:对向量减法定义的理解.课时安排 1课时

教学过程

导入新课

思路1.(问题导入)上节课,我们定义了向量的加法概念,并给出了求作和向量的两种方法.由向量的加法运算自然联想到向量的减法运算:减去一个数等于加上这个数的相反数.向量的减法是否也有类似的法则呢?引导学生进一步探究,由此展开新课.思路2.(直接导入)数的减法运算是加法运算的逆运算.本节课,我们继续学习向量加法的逆运算——减法.引导学生去探究、发现.推进新课 新知探究 提出问题

①向量是否有减法？

②向量进行减法运算,必须先引进一个什么样的新概念？ ③如何理解向量的减法？

④向量的加法运算有平行四边形法则和三角形法则,那么,向量的减法是否也有类似的法则？

活动:数的减法运算是数的加法运算的逆运算,数的减法定义即减去一个数等于加上这个数的相反数,因此定义数的减法运算,必须先引进一个相反数的概念.类似地,向量的减法运算也可定义为向量加法运算的逆运算.可类比数的减法运算,我们定义向量的减法运算,也应引进一个新的概念,这个概念又该如何定义? 引导学生思考,相反向量有哪些性质? 由于方向反转两次仍回到原来的方向,因此a和-a互为相反向量.于是-(-a)=a.我们规定,零向量的相反向量仍是零向量.任一向量与其相反向量的和是零向量,即a+(-a)=(-a)+a=0.所以,如果a、b是互为相反的向量,那么a=-b,b=-a,a+b=0.(1)平行四边形法则

图1 如图1,设向量AB=b,AC=a,则AD=-b,由向量减法的定义,知AE=a+(-b)=a-b.又b+BC=a,所以BC=a-b.由此,我们得到a-b的作图方法.图2(2)三角形法则

如图2,已知a、b,在平面内任取一点O,作OA=a,OB=b,则BA=a-b,即a-b可以表示为从b的终点指向a的终点的向量,这是向量减法的几何意义.讨论结果:①向量也有减法运算.②定义向量减法运算之前,应先引进相反向量.与数x的相反数是-x类似,我们规定,与a长度相等,方向相反的量,叫做a的相反向量,记作-a.③向量减法的定义.我们定义

a-b=a+(-b), 即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量.规定:零向量的相反向量是零向量.④向量的减法运算也有平行四边形法则和三角形法则,这也正是向量的运算的几何意义所在,是数形结合思想的重要体现.提出问题

①上图中,如果从a的终点到b的终点作向量,那么所得向量是什么? ②改变上图中向量a、b的方向使a∥b,怎样作出a-b呢? 讨论结果:①AB=b-a.②略.应用示例

如图3(1),已知向量a、b、c、d,求作向量a-b,c-d.图3

活动:教师让学生亲自动手操作,引导学生注意规范操作,为以后解题打下良好基础;点拨学生根据向量减法的三角形法则,需要选点平移作出两个同起点的向量.作法:如图3(2),在平面内任取一点O,作OA=a,OB=b,OC=c,OD=d.则BA=a-b,DC=c-d.变式训练

(2006上海高考)在ABCD中,下列结论中错误的是（）A.AB=DC

B.AD+AB=AC

C.AB-AD=BD

D.AD+BC=0 分析:A显然正确,由平行四边形法则可知B正确,C中,AB-AD=BD错误,D中,AD+BC=AD+DA=0正确.答案:C 例2 如图4,ABCD中, AB=a,AD=b,你能用a、b表示向量AC、DB吗?

图4

活动:本例是用两个向量表示几何图形中的其他向量,这是用向量证明几何问题的基础.要多注意这方面的训练,特别要掌握用向量表示平行四边形的四条边与两条对角线的关系.解:由向量加法的平行四边形法则,我们知道AC=a+b, 同样,由向量的减法,知DB=AB-AD=a-b.变式训练

1.(2005高考模拟)已知一点O到向量OD等于（）A.a+b+c

B.a-b+c

C.a+b-c

D.a-b-c

ABCD的3个顶点A、B、C的向量分别是a、b、c,则

图5 解析:如图5,点O到平行四边形的三个顶点A、B、C的向量分别是a、b、c, 结合图形有OD=OA+AD=OA+BC=OA+OC-OB=a-b+c.答案:B 2.若AC=a+b,DB=a-b.①当a、b满足什么条件时,a+b与a-b垂直？ ②当a、b满足什么条件时,|a+b|=|a-b|？

③当a、b满足什么条件时,a+b平分a与b所夹的角 ？

④a+b与a-b可能是相等向量吗？

图6 解析:如图6,用向量构建平行四边形,其中向量AC、DB恰为平行四边形的对角线.由平行四边形法则,得

AC=a+b,DB=AB-AD=a-b.由此问题就可转换为: ①当边AB、AD满足什么条件时,对角线互相垂直？(|a|=|b|)②当边AB、AD满足什么条件时,对角线相等？(a、b互相垂直)③当边AB、AD满足什么条件时,对角线平分内角？(a、b相等)④a+b与a-b可能是相等向量吗？(不可能,因为对角线方向不同)

点评:灵活的构想,独特巧妙,数形结合思想得到充分体现.由此我们可以想到在解决向量问题时,可以利用向量的几何意义构造几何图形,转化为平面几何问题,这就是数形结合解题的威力与魅力,教师引导学生注意领悟.例3 判断题:(1)若非零向量a与b的方向相同或相反,则a+b的方向必与a、b之一的方向相同.(2)△ABC中,必有AB+BC+CA=0.(3)若AB+BC+CA=0,则A、B、C三点是一个三角形的三顶点.(4)|a+b|≥|a-b|.活动:根据向量的加、减法及其几何意义.解:(1)a与b方向相同,则a+b的方向与a和b方向都相同;若a与b方向相反,则有可能a与b互为相反向量, 此时a+b=0的方向不确定,说与a、b之一方向相同不妥.(2)由向量加法法则AB+BC=AC,AC与CA是互为相反向量,所以有上述结论.(3)因为当A、B、C三点共线时也有AB+BC+AC=0,而此时构不成三角形.(4)当a与b不共线时,|a+b|与|a-b|分别表示以a和b为邻边的平行四边形的两条对角线的长,其大小不定.当a、b为非零向量共线时,同向则有|a+b|>|a-b|,异向则有|a+b|<|a-b|;当a、b中有零向量时,|a+b|=|a-b|.综上所述,只有(2)正确.例4 若|AB|=8,|AC|=5,则|BC|的取值范围是（）A.[3,8]

B.(3,8)

C.[3,13]

D.(3,13)解析:BC=AC-AB.(1)当AB、AC同向时,|BC|=8-5=3;

(2)当AB、AC反向时,|BC|=8+5=13;(3)当AB、AC不共线时,3<|BC|<13.综上,可知3≤|BC|≤13.答案:C 点评:此题可直接应用重要性质||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|求解.变式训练

已知a、b、c是三个非零向量,且两两不共线,顺次将它们的终点和始点相连接而成一三角形的充要条件为a+b+c=0.证明:已知a≠0,b≠0,c≠0,且a

b,b

c,c

a,(1)必要性:作AB=a,BC=b,则由假设CA=c, 另一方面a+b=AB+BC=AC.由于CA与AC是一对相反向量, ∴有AC+CA=0, 故有a+b+c=0.(2)充分性:作AB=a,BC=b,则AC=a+b,又由条件a+b+c=0, ∴AC+c=0.等式两边同加CA,得CA+AC+c=CA+0.∴c=CA,故顺次将向量a、b、c的终点和始点相连接成一三角形.知能训练 课本本节练习解答: 1.直接在课本上据原图作(这里从略).2.DB,CA,AC,AD,BA.点评:解题中可以将减法变成加法运算,如AB-AD=DA+AB=DB,这样计算比较简便.3.图略.课堂小结

1.先由学生回顾本节学习的数学知识:相反向量,向量减法的定义,向量减法的几何意义,向量差的作图.2.教师与学生一起总结本节学习的数学方法,类比,数形结合,几何作图,分类讨论.作业

课本习题2.2 A组6、7、8.设计感想

1.向量減法的几何意义主要是结合平行四边形法则和三角形法则进行讲解的,两种作图方法各有千秋.第一种作法结合向量减法的定义,第二种作法结合向量的平行四边形法则,直接作出从同一点出发的两个向量a、b的差,即a-b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量,第二种作图方法比较简捷.2.鉴于上述情况,教学中引导学生结合向量减法的几何意义,注意差向量的方向,也就是箭头的方向不要搞错了,a-b的箭头方向要指向a,如果指向b则表示b-a,在几何证明题目中,特别要掌握用向量表示平行四边形的四条边与两条对角线的关系.

第二篇：2017向量减法运算及其几何意义教案.doc

2.2.2 向量减法运算及其几何意义

一、教学分析

向量减法运算是加法的逆运算.学生在理解相反向量的基础上结合向量的加法运算掌握向量的减法运算.因此,类比数的减法(减去一个数等于加上这个数的相反数),首先引进相反向量的概念,然后引入向量的减法(减去一个向量,等于加上这个向量的相反向量),通过向量减法的三角形法则和平行四边形法则,结合一定数量的例题,深刻理解向量的减法运算.通过阐述向量的减法运算,可以转化为向量加法运算,渗透化归的数学思想,使学生理解事物之间的相互转化、相互联系的辨证思想,同时由于向量的运算能反映出一些物理规律,从而加强了数学学科与物理学科之间的联系,提高学生的应用意识.二、教学目标：

1、知识与技能：

了解相反向量的概念；掌握向量的减法，会作两个向量的减向量，并理解其几何意义。

2、过程与方法：

通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比，使学生掌握向量减法运算及其几何意义，并会用它们进行向量计算，渗透类比的数学方法。

3、情感态度与价值观：

通过阐述向量的减法运算可以转化成向量的加法运算，使学生理解事物之间可以相互转化的辩证思想。

三、重点难点

教学重点:向量的减法运算及其几何意义.教学难点:对向量减法定义的理解.四、学法指导

减法运算是加法运算的逆运算，学生在理解相反向量的基础上结

合向量的加法运算掌握向量的减法运算；并利用三角形做出减向量。

五、教学设想

（一）导入新课

思路1.(问题导入)上节课,我们定义了向量的加法概念,并给出了求作和向量的两种方法.由向量的加法运算自然联想到向量的减法运算:减去一个数等于加上这个数的相反数.向量的减法是否也有类似的法则呢?引导学生进一步探究,由此展开新课.思路2.(直接导入)数的减法运算是加法运算的逆运算.本节课,我们继续学习向量加法的逆运算——减法.引导学生去探究、发现.（二）推进新课、新知探究、提出问题

①向量是否有减法？

②向量进行减法运算,必须先引进一个什么样的新概念？ ③如何理解向量的减法？

④向量的加法运算有平行四边形法则和三角形法则,那么,向量的减法是否也有类似的法则？

活动:数的减法运算是数的加法运算的逆运算,数的减法定义即减去一个数等于加上这个数的相反数,因此定义数的减法运算,必须先引进一个相反数的概念.类似地,向量的减法运算也可定义为向量加法运算的逆运算.可类比数的减法运算,我们定义向量的减法运算,也应引进一个新的概念,这个概念又该如何定义? 引导学生思考,相反向量有哪些性质? 由于方向反转两次仍回到原来的方向,因此a和-a互为相反向量.于是-(-a)=a.我们规定,零向量的相反向量仍是零向量.任一向量与其相反向量的和是零向量,即a+(-a)=(-a)+a=0.所以,如果a、b是互为相反的向量,那么a=-b,b=-a,a+b=0.(1)平行四边形法则

图1 如图1,设向量AB=b,AC=a,则AD=-b,由向量减法的定义,知AE=a+(-b)=a-b.又b+BC=a,所以BC=a-b.由此,我们得到a-b的作图方法.图2(2)三角形法则

如图2,已知a、b,在平面内任取一点O,作OA=a,OB=b,则BA=a-b,即a-b可以表示为从b的终点指向a的终点的向量,这是向量减法的几何意义.讨论结果:①向量也有减法运算.②定义向量减法运算之前,应先引进相反向量.与数x的相反数是-x类似,我们规定,与a长度相等,方向相反的量,叫做a的相反向量,记作-a.③向量减法的定义.我们定义

a-b=a+(-b), 即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量.规定:零向量的相反向量是零向量.④向量的减法运算也有平行四边形法则和三角形法则,这也正是向量的运算的几何意义所在,是数形结合思想的重要体现.提出问题

①上图中,如果从a的终点到b的终点作向量,那么所得向量是什么? ②改变上图中向量a、b的方向使a∥b,怎样作出a-b呢? 讨论结果:①AB=b-a.②略.（三）应用示例

如图3(1),已知向量a、b、c、d,求作向量a-b,c-d.图3

活动:教师让学生亲自动手操作,引导学生注意规范操作,为以后解题打下良好基础;点拨学生根据向量减法的三角形法则,需要选点平

移作出两个同起点的向量.作法:如图3(2),在平面内任取一点O,作OA=a,OB=b,OC=c,OD=d.则BA=a-b,DC=c-d.变式训练

(2006上海高考)在ABCD中,下列结论中错误的是（）A.AB=DC

B.AD+AB=AC

C.AB-AD=BD

D.AD+BC=0 分析:A显然正确,由平行四边形法则可知B正确,C中,AB-AD=BD错误,D中,AD+BC=AD+DA=0正确.答案:C

例2 如图4,ABCD中, AB=a,AD=b,你能用a、b表示向量AC、DB吗?

图4

活动:本例是用两个向量表示几何图形中的其他向量,这是用向量证明几何问题的基础.要多注意这方面的训练,特别要掌握用向量表示平行四边形的四条边与两条对角线的关系.解:由向量加法的平行四边形法则,我们知道AC=a+b, 同样,由向量的减法,知DB=AB-AD=a-b.变式训练

1.(2005高考模拟)已知一点O到ABCD的3个顶点A、B、C的向量分别是a、b、c,则向量OD等于（）A.a+b+c

B.a-b+c

C.a+b-c

D.a-b-c

图5 解析:如图5,点O到平行四边形的三个顶点A、B、C的向量分别是a、b、c, 结合图形有OD=OA+AD=OA+BC=OA+OC-OB=a-b+c.答案:B 2.若AC=a+b,DB=a-b.①当a、b满足什么条件时,a+b与a-b垂直？ ②当a、b满足什么条件时,|a+b|=|a-b|？

③当a、b满足什么条件时,a+b平分a与b所夹的角 ？ ④a+b与a-b可能是相等向量吗？

图6 解析:如图6,用向量构建平行四边形,其中向量AC、DB恰为平行四边形的对角线.由平行四边形法则,得

AC=a+b,DB=AB-AD=a-b.由此问题就可转换为: ①当边AB、AD满足什么条件时,对角线互相垂直？(|a|=|b|)②当边AB、AD满足什么条件时,对角线相等？(a、b互相垂直)③当边AB、AD满足什么条件时,对角线平分内角？(a、b相等)④a+b与a-b可能是相等向量吗？(不可能,因为对角线方向不同)

点评:灵活的构想,独特巧妙,数形结合思想得到充分体现.由此我们可以想到在解决向量问题时,可以利用向量的几何意义构造几何图形,转化为平面几何问题,这就是数形结合解题的威力与魅力,教师引导学生注意领悟.例3 判断题:(1)若非零向量a与b的方向相同或相反,则a+b的方向必与a、b之一的方向相同.(2)△ABC中,必有AB+BC+CA=0.(3)若AB+BC+CA=0,则A、B、C三点是一个三角形的三顶点.(4)|a+b|≥|a-b|.活动:根据向量的加、减法及其几何意义.解:(1)a与b方向相同,则a+b的方向与a和b方向都相同;若a与b方向相反,则有可能a与b互为相反向量, 此时a+b=0的方向不确定,说与a、b之一方向相同不妥.(2)由向量加法法则AB+BC=AC,AC与CA是互为相反向量,所以有上述结论.(3)因为当A、B、C三点共线时也有AB+BC+AC=0,而此时构不成三角形.(4)当a与b不共线时,|a+b|与|a-b|分别表示以a和b为邻边的平行四边形的两条对角线的长,其大小不定.当a、b为非零向量共线时,同向则有|a+b|>|a-b|,异向则有|a+b|<|a-b|;当a、b中有零向量时,|a+b|=|a-b|.综上所述,只有(2)正确.例4 若|AB|=8,|AC|=5,则|BC|的取值范围是（）A.[3,8]

B.(3,8)

C.[3,13]

D.(3,13)解析:BC=AC-AB.(1)当AB、AC同向时,|BC|=8-5=3;(2)当AB、AC反向时,|BC|=8+5=13;(3)当AB、AC不共线时,3<|BC|<13.综上,可知3≤|BC|≤13.答案:C 点评:此题可直接应用重要性质||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|求解.变式训练

已知a、b、c是三个非零向量,且两两不共线,顺次将它们的终点和始点相连接而成一三角形的充要条件为a+b+c=0.证明:已知a≠0,b≠0,c≠0,且ab,bc,ca,(1)必要性:作AB=a,BC=b,则由假设CA=c, 另一方面a+b=AB+BC=AC.由于CA与AC是一对相反向量, ∴有AC+CA=0, 故有a+b+c=0.(2)充分性:作AB=a,BC=b,则AC=a+b,又由条件a+b+c=0, ∴AC+c=0.等式两边同加CA,得CA+AC+c=CA+0.∴c=CA,故顺次将向量a、b、c的终点和始点相连接成一三角形.（四）课堂小结

1.先由学生回顾本节学习的数学知识:相反向量,向量减法的定义,向量减法的几何意义,向量差的作图.2.教师与学生一起总结本节学习的数学方法,类比,数形结合,几何作图,分类讨论.（五）作业

第三篇：《向量的加法运算及其几何意义》教案

2.2.1向量加法运算及其几何意义

知识目标：

1、掌握向量的加法运算，并理解其几何意义；

2、会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的 和，培养数形结合解决问题的能力；

3、通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比，使学生掌握向

量加法运算的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算，渗透类比的数学方法； 教学重点与难点: 教学重点：会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个

向量的和向量.教学难点：理解向量加法的定义.教学过程

一、复习引入

问题1：向量的定义以及相等向量的定义是什么？

1、什么叫向量？

2、长度为零的向量叫做。零向量的方向具有 性。

3、长度等于一个单位的向量叫做。

4、方向相同或相反的非零向量叫做，也叫。

5、长度相等且方向相同的向量叫做。

强调：向量是既有大小又有方向的量.长度相等、方向相同的向量相等.因此，我们研究的向量是与起点无关的自由向量，即任何向量

可以在不改变它的方向和大小的前提下，移到任何位置 问题2：数能进行运算,向量是否也能进行运算呢？

二、探究新知 活动一

元旦假期将到，某人计划外出去三亚旅游，从重庆（记作A）到昆明（记作B），再从B到三亚（记作C），这两次的位移和可以用哪个向量表示？ 形成概念： 1． 向量加法的定义

求两个向量和的运算，叫做向量的加法。2． 向量加法的法则(1)向量加法的三角形法则

如图3,已知非零向量a、b,在平面内任取一点A,作AB=a,BC=b,则向量AC叫做a与b的和,记作a+b,即a+b=AB+BC=AC.这种求向量和的方法叫做向量加法的三角形法则(2)向量加法的平行四边形法则

如图4,以同一点O为起点的两个已知向量a、b为邻边作平行四边形,则以O为起点的对角线OC就是a与b的和.把这种求向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则.问题4： 对于零向量与任一向量的加法,结果又是怎样的呢？ 对于零向量与任意向量a，我们规定：a+0=0+a=a.总结: 三角形法则:

图4

①要特别注意“首尾相接”,即第二个向量要以第一个向量的终点为起点,则由第一个向量的起点指向第二个向量的终点的向量即为和向量.②适用于任何两个非零向量求和；

②位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型.平行四边形法则: ①适用于两个不共线向量求和，且两向量要共起点； ②力的合成可以看作向量加法平行四边形法则的物理模型.三、应用举例

例1 如图5，已知向量a、b，求作向量a+b

作法1（三角形法则）：

作法2（平行四边形法则）：

a 图5

b

探究合作: ||a|-|b||,|a+b|,|a|,|b|存在着怎样的关系？（1）当向量a与b不共线时，|a+b| |a|+|b|；（2）当a与b同向时，则a+b、a、b（填同向或反向），且|a+b| |a|+|b|；当a与b反向时，若|a|>|b|，则a+b的方向与a相同，且|a+b| |a|-|b|；若|a|<|b|，则a+b的方向与b相同，且|a+b| |b|-|a|.结论：一般地：

四、练习巩固： 教材84页1、2题

五、小结 1.向量加法的定义 2.向量加法的两种法则：(1)三角形法则：首尾相接

(2)平行四边形法则：作平移,共起点,四边形,连对角

六、作业：

高考调研课时作业十七

ab|ab||a||b|

第四篇：2.2.3向量数乘运算及其几何意义(教案)

高一（1）部数学备课组

2013年5月21日

2.2.3向量数乘运算及其几何意义

一、教学目标

1．掌握实数与向量的积的定义以及实数与向量的积的三条运算律，会利用实数与向量的积的运算律进行有关的计算；

2．理解两个向量平行的充要条件，能根据条件判断两个向量是否平行；

3．通过对实数与向量的积的学习培养学生的观察、分析、归纳、抽象的思维能力，了解事物运动变化的辩证思想。

二、教学重点与难点

重点：实数与向量的积的定义、运算律，向量平行的充要条件； 难点：理解实数与向量的积的定义，向量平行的充要条件

三、教学过程

1．设置情境：

引入：位移、力、速度、加速度等都是向量，而时间、质量等都是数量，这些向量与数

量的关系常常在物理公式中体现。如力与加速度的关系F=m a，位移与速度的关系s=v t。这些公式都是实数与向量间的关系。

师：我们已经学习了向量的加法，请同学们作出a+a+a和(-a)+(-a)+(-a)向量，并请同学们指出相加后，和的长度与方向有什么变化？这些变化与哪些因素有关？

(-a)+(-a)+(-a)a+a+a的长度是a的长度的3倍，生：其方向与a的方向相同，的长度是a长度的3倍，其方向与a的方向相反。

2．新知探究： 1）.定义：

实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa.它的长度和方向规定如下：



（1）|λa|=|λ||a|.

（2）λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；特别地，当λ=0或a=0时，λa=0.2）.运算律：

思考：求作向量2(3a)和6a（a为非零向量）并进行比较，向量2(a+b)与向量2a+2b相等吗？

设a、b为任意向量，λ、μ为任意实数，则有：



（1）(λ+μ)a=λa+μa；（2）λ(μa)=(λμa)；（3）λ(a+b)=λa+λb.通常将（2）称为结合律，（1）（3）称为分配律。高一（1）部数学备课组

2013年5月21日

向量的加、减、数乘运算统称为向量的线形运算.对于任意向量a、b，以及任意实数、

1、2，恒有（仍是向量）（1a1b）=1a1b。3）共线向量定理

向量a(a0)与b共线,当且仅当有唯一一个实数, 使ba.3.例题讲解：

(1)(3)4a;例1，计算(2)3(ab)2(ab)a;(3)(2a3bc)(3a2bc).计算:(1)（22a6b3c)3(3a4b2c);练习：（2）已知3(xa)2(x2a)4(xab)0

 求x.例2.已知AD3AB，DE3BC，试判断AC与AE是否共线．

例3.平行四边形ABCD的两条对角线相交于点M，且ABa,ADb，你能用a,b来表示MA、MB、MC和MD。

例4.已知任意两个向量a,b，试作OAab, OBa2b,OCa3b.你能判断A、B、C三点之间的位置关系吗？为什么？

练习：已知，D是ABC的边AB上的中点，则向量CD()

11Ａ．BCBA Ｂ．BCBA　22 11C． BCBA Ｄ．BCBA224.小结: 1），向量数乘的定义及运算律； 2），共线向量定理； 3），定理的应用：

a、证明向量共线； b、证明三点共线； c、证明两直线平行。

第五篇：高中数学 2.2.2向量减法及其几何意义教学设计 新人教A版必修1

§2．2．2 向量减法运算及其几何意义

教学目标 1．通过探究活动，使学生掌握向量减法概念，理解两个向量的减法就是转化为加法来进行，掌握相反向量．

2．启发学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考，学会分析问题和创造地解决问题．能熟练地掌握用三角形法则和平行四边形法则作出两向量的差向量． 向量的减法运算及其几何意义 对向量减法定义的理解 教学重点 教学难点 教学过程

一、新课导入

思路1．(问题导入)上节课，我们定义了向量的加法概念，并给出了求作和向量的两种方法．由向量的加法运算自然联想到向量的减法运算：减去一个数等于加上这个数的相反数．向量的减法是否也有类似的法则呢?引导学生进一步探究，由此展开新课．

思路2．(直接导入)数的减法运算是加法运算的逆运算．本节课，我们继续学习向量加法的逆运算——减法．引导学生去探究、发现．

数的减法运算是数的加法运算的逆运算，数的减法定义即减去一个数等于加上这个数的相反数，因此定义数的减法运算，必须先引进一个相反数的概念．类似地，向量的减法运算也可定义为向量加法运算的逆运算．可类比数的减法运算，我们定义向量的减法运算，也应引进一个新的概念，这个概念又该如何定义?

二、新课导学

【探究1】相反向量

一个质点，先由A点作直线移动到B点，于是得到一个向量→AB，再由B点按相反方向移动到A点又得到一个向量→BA，如此移动的实际效果，等于没有移动，因此，→AB＋→BA＝0，这个等式就建议我们把向量→BA定→的负向量，并记作→→，于是我们有 义为向量ABBA＝－AB新知1：与向量a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作－a，并且规定，零向量的相反向量仍是零向量，于是，－(－a)＝a.性质：①－(－a)＝a；

②任一向量与它相反向量的和是零向量，即 a＋(－a)＝(－a)＋a＝0 ③如果a、b是互为相反的向量，则有 a＝－b，b＝－a，a＋b＝0.练习1：判断下列各命题的真假(1)─→AA＋─→AA＋…＋──→AA与──→AA是一对相反向量； 1223n﹣1n

n1(2)─→A1A2＋─→A2A3＋…＋──→Ai﹣1Ai与──→AiAi＋1＋───→Ai＋1Ai＋2＋──→AnA1是一对相反向量；(3)a＝－a的充要条件是a＝0；(4)─→AA＋─→AA＋──→AA的相反向量仍是它本身.1223n1解：(1)真命题.∵─→A1A2＋─→A2A3＋…＋──→An﹣1An＝─→A1An，而──→AnA1与─→A1An长度相等，方向相反，所以命题(1)是真命题.(2)真命题.∵─→AA＋─→AA＋…＋──→AA＝─→AA，而──→AA＋───→AA＋──→AA＝─→AA，由于─→AA与122

3i﹣1i

1i

ii＋

1i＋1i＋

2n1

i1

1i─→AiA1是一对相反向量，所以命题(2)是真命题.(3)真命题.∵当a≠0时，a≠－a；而当a＝0时，a＝－a，故命题(3)是真命题.(4)真命题.∵─→AA＋─→AA＋──→AA＝0，∴─→AA＋─→AA＋──→AA的相反向量仍是它本身.1223

n1

n1【探究2】向量减法

如图，设向量AB＝b，AC=a，则AD=-b，由向量减法的定义，知AE=a+(-b)=a-b．

又b＋BC＝a，所以BC＝a－b． 由此，我们得到a-b的作图方法．

如图2，已知a、b，在平面内任取一点O，作OA=a，则BA=aOB=b，－b，即a－b可以表示为从b的终点指向a的终点的向量，这是向量减法的几何意义．

新知2：（1）向量减法的定义：a-b=a+(-b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量．向量a加上b的相反向量，叫做a与b的差，即a－b＝a＋(－b),求两个向量差的运算，叫向量的减法．

（2）向量的减法运算也有平行四边形法则和三角形法则，这也正是向量的运算的几何意义所在，是数形结合思想的重要体现．

说明：①还可以这样定义：两个向量a与b的差，是这样一个向量x，它适合于等式x＋b＝a，并记作x＝a－b,并称a为被减向量，b为减向量，而x称为差向量．

②向量减法可以转化为向量加法，如图b与a－b首尾相接，根据向量加法的三角形法则有b＋(a－b)＝a,即a－b＝→CB． ③向量减法的实质是向量加法的逆运算.利用相反向量的意义，－→AB＝→BA，就可以把减法转化为加法，在用三角形法则作向量减法时，只要记住“连接两向量终点，箭头指向被减数”即可．

→＝a，→→＝a＋b，BD→＝b－a, DB→④以向量ABAD＝b，为邻边作平行四边形ABCD，则两条对角线的向量为AC＝a－b，这一结论在以后应用是非常广泛的．

【探究3】关于向量差的模的不等式

如果我们回忆向量加法的平行四边形法则，那么就可以知道，对于两向量a及b为边作成的平行四边

→＝a＋b，BA→＝a－b，利用图中的三角形OAB，形中，其两条对角线分别为a与b的和及差，如图所示，有OC并注意三角形中两边之差小于第三边，于是当a与b不共线时，有|a－b|>||a|－|b||，与向量和的模的不等式类似．

对于两任意两向量a与b差的长度不大小两向量长度之和，且又不小于两向量长度差的绝对值，即

||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b| 证明：由||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|知，||a|－|b||≤|a＋(－b)|≤|a|＋|－b|，亦即 ||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|.说明：在不等式||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|中，①当且仅当a、b同向或a、b中至少一个为0时，左边等号成立； ②当且仅当a、b反向或a、b中至少一个为0时，右边等号成立； ③当且仅当a、b中至少一个为0时，左右两边的等号同时成立.上述①、②及③三个结论在有关问题的求解中是十分有用的.新知3：||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b| 例1 如图，已知向量a、b、c、d，求作向量a-b，c-d．

分析：根据向量减法的三角形法则，需要选点平移作出两个同起点的向量．

作法：如图3(2)，在平面内任取一点O，作OA=a，OB=b，OC=c，OD=d．则BA=a-b，DC=c-d． 变式训练：在ABCD中，下列结论中错误的是（）A．AB=DC 答案：C 例2 如图4，B．AD+AB=AC C．AB-AD=BD

D．AD+BC=0 ABCD中，AB=a，AD=b，你能用a、b表示向量AC、DB吗? 解：由向量加法的平行四边形法则，我们知道AC=a+b，同样，由向量的减法，知DB=AB-AD=a-b． 变式训练

1．已知一点O到ABCD的3个顶点A、B、C的向量分别是a、b、c，则向量OD等于（）A．a+b+c

B．a-b+c C．a+b-c

D．a-b-c 解析：如图5，点O到平行四边形的三个顶点A、B、C的向量分别是a、b、c，结合图形有OD=OA+AD=OA+BC=OA+OC-OB=a-b+c．故选B．

2．若AC=a+b，DB=a-b．

①当a、b满足什么条件时，a+b与a-b垂直？ ②当a、b满足什么条件时，|a+b|=|a-b|？

③当a、b满足什么条件时，a+b平分a与b所夹的角？ ④a+b与a-b可能是相等向量吗？

解析：如图6，用向量构建平行四边形，其中向量AC、DB恰为平行四边形的对角线．由平行四边形法则，得AC=a+b，DB=AB-AD=a-b．由此问题就可转换为：

①当边AB、AD满足什么条件时，对角线互相垂直？(|a|=|b|)②当边AB、AD满足什么条件时，对角线相等？(a、b互相垂直)③当边AB、AD满足什么条件时，对角线平分内角？(a、b相等)④a+b与a-b可能是相等向量吗？(不可能，因为对角线方向不同例3 化简→AB－→AC＋→BD－→CD．

解：原式＝→CB＋→BD－→CD＝→CD－→CD＝0 变式训练：8．如图所示，DCDEAFBCFE＝________．答案：→AB →＝8，|AC|→＝5，则|BC|→的取值范围是（）例4 若|AB|A．［3，8］

B．（3，8）

C．［3，13］

D．（3，13）

→、AC→同向时，|→解析： ∵→BC＝→AC－→AB，当ABBC|＝8－5＝3；当→AB、→AC反向时，|→BC|＝8＋5＝13；当→AB、→不平行时，3＜|BC|→＜13，总上3≤|→ACBCBC|≤13，故选C．

变式训练：向量a．b满足|a|＝8，|b|＝12，则|a＋b|的最大值为________．答案：20

三、总结提升

1.通过本节学习，要求大家在理解向量减法定义的基础上，掌握向量减法的三角形法则，并能加以适当的应用.2.向量减法的三角形法则的式子内容是：两个向量相减，则表示两个向量起点的字母必须相同（否则无法相减），这样两个向量的差向量是以减向量的终点的字母为起点，以被减向量的终点的字母为终点.四、课后作业

课本第91页习题2.2A组第4、6、7、8题 1．已知｜AB｜＝6，｜CD｜＝9，求｜AB－CD｜的取值范围．答案：［3，15］ 2．已知：A．B．C是不共线的三点，O是△ABC内的一点，若→OA＋→OB＋→OC＝0，求证：点O是△ABC的重心． →＋OC)→，2．证明：如图，∵→OA＋→OB＋→OC＝0，∴→OA＝－(OB→＋OC→，长度相等，方向相反的向量，∴→OA是与OB以OB、OC为相邻两边作BOCD，则→OD＝→OB＋→OC，→，∴A、O、D三点共线． ∴→OD＝－OA

→＝EC→，OE→＝ED→，在□BOCD中，设BC交OD于点E，则BE

→＝2|→故AE是△ABC的边BC的中线，且|OA|OE|，∴点O是△ABC的重心．