2.2 向量加法运算及其几何意义 教学设计 (北师大必修4)

第一篇：2.2 向量加法运算及其几何意义 教学设计 (北师大必修4)

2.2.1向量加法运算及其几何意义

一．教学内容和内容分析

本节课是《普通高中课程标准实验教科书数学》人教A版必修4第二章《平面向量》第二节《平面向量的线性运算》的第一课时，内容是向量加法运算及其几何意义。

向量是数学中重要和基本的数学概念之一，是沟通代数与几何的桥梁。向量的加法运算是通过类比数的加法，以位移的合成、力的合力两个物理模型为背景引入的，主要内容是向量加法的三角形法则和平行四边形法则。教科书从几何角度具体给出了通过两个法则作两个向量和的方法，介绍了向量加法满足的运算率，最后举例说明生活中有向量，生活中用向量。向量加法运算是学生对向量运算体系所进行的第一次探索和尝试，学好本节课将为后面学习向量的其他知识奠定基础，为用“数”的运算解决“形”的问题提供工具和方法。

因此，本节的教学重点是掌握用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作出两个向量的和以及向量加法的运算率。

二． 教学目标和目标分析（一)教学目标

1.掌握用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作出两个向量的和以及向量加法的运算律。

2.理解向量加法及其几何意义。

3.通过类比、观察、归纳等方法提高发现问题、分析问题、解决问题的能力。

（二）教学目标分析

1.用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作出两个向量的和向量时，体会在平面内任取一点O的依据，它体现了向量起点的任意性，用平行四边形法则作图时强调向量的起点放在一起，而用三角形法则作图则要求首尾相连。

2.通过对向量的大小、方向的探究，加深理解向量加法及其几何意义。

3.从位移的合成、力的合成总结出向量加法法则；从向量的大小与方向探究出向量加法性质；从实数加法的运算律类比向量加法的运算律。三．教学问题诊断分析

本节课学生在学习过程中可能遇到以下疑惑和困难： 1.对三角形法则的理解，尤其是方向相反的两个向量的加法。

2.在实际生活中，抽象、识别出向量加法的模型。

为此在教学中，让学生认识到三角形法则的实质是：将已知向量首尾相接，而不是表示向量的有向线段之间必须构成三角形。通过对应用题的讨论，拉近学生与抽象数学知识之间的距离，激发他们的兴趣，增强他们学习数学的动力。

因此，本节的教学难点是：理解向量加法及其几何意义。四．教法分析

伟大的教育家叶圣陶先生说过“教师之谓教，不在全盘授予，而在相机诱导”。本节课以学生为中心，以问题为载体，采用启发、引导、探究相结合的教学方法。1.设置情景，激发学生解决问题的欲望。

2.提供交流探究机会，引导学生独立思考，有效调动学生思维，在开放的活动中获取知识。

3.在教学中体现“重过程、重情感、重生活”的理念。4.让学生经历“学数学、做数学、用数学”的过程。

五、教学过程设计

根据学生现有的的认知水平和规律，结合本节课的内容特点，分以下五个环节展开教学： 创设情境、引入课题；独思共议、总结法则；合作交流、探究性质；典例分析、深化认识；课堂小结、拓展延伸。

1、创设情境 引入课题

情景：原来从浙江的嘉兴到宁波的慈溪，需先从嘉兴到杭州，再从杭州到慈溪，现在建好了杭州湾跨海大桥，可以从嘉兴直接到达慈溪。

这两种方式的位移是一样的。然后将图片中的问题抽象出来，也就是从点O到

【设计意图】熟练两个法则的作图技能，让学生开展小组合作、自主探究，特别是向量共线时，通过研究向量的方向以及模之间的关系，培养学生勇于探索、敢于创新的个性品质，使他们在轻松愉快的氛围中突破难点，在过程中收获自信，体验成功！通过学生展示讲解，锻炼学生的组织能力和语言表达能力。通过教师点拨，强化重、难点，形成规律，加深理解。４、典例分析，深化认识

bc，请作出a+b,b+a,b+c例1:如图，已知a, , a+(b+c),(a+b)+c.向量加法的运算律交换律：abbacabaa+bcaabbbc结合律：(ab)ca(bc)babcb+aba

例2.在长江南岸某渡口处,江水以12.5km/h的速度向东流,渡船的速度为25km/h,渡船要垂直地渡过长江,求渡船的航向.解设AB、AD、AC分别表示水流的速度,渡船的速度, 渡船实际垂直过江的速度.因为AB+AD=AC,所以四边形ABCD为平行四边形.在RtΔACD中, ACD=90O,B|DC|=|AB|=12.5, |AD|=25,所以CAD=30.o o练.O为正六边形A1A2A3A4A5A6的中心,求下列向量:(1)OA1+OA3(2)A2A3+A6A5(3)OA1+A6A5(4)A1A2+A2A3+A3A4+A4A5+A5A6A1A2A6A5OA4A3DCA思考：在(4)的基础上你能得到更为一般的结论吗？推广1：A1A2 +A2A3+A3A4+······+An-1An=A1An答: 渡船要垂直地渡过长江,其航向应为北偏西30.【设计意图】通过“类比”的方法引入向量的加法运算律，是符合建构主义的认识的．同时，对于结论的验证使学生进一步认识的数学的严谨之美，也欣赏到了两个法则的和谐统一之美．由特殊到一般，让学生通过练习归纳向量加法的三角形法则的推广-----多边形法则。然后生活中有向量，生活中用向量，通过对应用题的讨论，拉近了学生和抽象的数学知识之间的距离，激发了他们学习的兴趣，同时增强了他们学习好数学的动力．

5、课堂小结，拓展延伸

（1）让学生自己从所学的数学知识、数学思想方法两个方面进行总结，提高学生的

第二篇：《平面向量加法运算及其几何意义 》教学设计

《平面向量加法运算及其几何意义 》教学设计

〖教学目标〗

（1）知识与技能：理解掌握向量加法运算，能够运用向量加法三角形法则和平行四边形法则求任意两个向量的和向量；初步尝试用向量方法解决几何问题及实际问题；

（2）过程与方法：经历概念的形式过程，提高数学建设模能力；通过自主探究活动，体验数学发现和创造的过程，提高概括、分析归纳，数学表达等基本数学思维能力；（3）情态与价值：通过师生互动，生生互动的教学活动，形成学生的体验性认识，体会成功的愉悦，提高学习数学的兴趣。形成锲而不舍的钻研精神和合作交流的科学态度。

〖教学重点、难点〗

教学重点：理解向量加法的意义，掌握向量加法三角形法则和平行四边形法则； 教学难点：向量加法概念的形成过程；

〖教学方法与教学手段〗 教学方法：启发探究式教学 教学手段：多媒体辅助教学

〖教学过程〗

一、设置情境、尝试探求 1．设置问题情境

今年夏天，我国某些地区洪灾泛滥，某城外有一条东西流向的大河，河两岸高筑堤坝，河宽4km, 水深10km，当时河水流速为4km/h, 有一天，三名巡防队员在巡逻中发现正对岸堤坝有一处决口，情急之下，三人跳上船以8km/h 的速度直向决口处驶去，同学们想一想，如果船不改变方向，他们能否准确、及时到达出事地点？

2、学生自主探究与研讨 学生会直观猜测：不能及时准确及时到达（有了猜测就有探式的欲望）

V船

V

教师引导学生：能否运用你所学的知识进行说明；

V水

学生得出：船的实际速度应是船行驶速度和水的速度的合成。如图

教师小结：速度是一个看矢量，矢量的合成与数量相加不同，要同时考虑方向。提问，根据已有知识你还能举出一些有关矢量合成的例子吗？

3、师生共同探究

学生举例：（1）位移的合成（2）力的合成；（1）如图：某对象从A点经B点到C点，两次位移点的位移 结果相同。

，的结果，与A点直接到C

（2）如图：表示橡皮条在两个力F1、F2的作用下，沿GE的方向伸长了EO，与力F的作用结果相同。

教师：两个既有大小又有方向的量的合成运算，物理上叫做矢量的合成，在数学上叫做向量的加法。

二、形成概念，归纳方法。

向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法

1、提问：对于平面上任意两个向量，如何定义它们的加法？ 同学们任意作出两个向量试一试。

2、学生自主探究 学生可能答案：

（1）共起点的两个向量相加，用平行四边形法则；

（2）首尾相接的两个向量相加，模仿位移的合成，作出和向量；（3）任意两个向量相加，先平移到共点，再作出和向量；（4）共线的两个向量相加（同向或反向）

3、交流、研讨、辩析 投影同学们的研究成果，引导学生对几种作图方法进行辩析，它们有什么共同和不同之处？如何理解“任意”？和向量的方向和大小有何变化？能否对作图过程进行语言表达。

4、归纳总结

在师生、生生的互动交流中，形成以下共识：

一、向量加法的定义

1、三角形法则：

已知非零向量a、ｂ.在平面内任取一点和，记作a＋ｂ，即 a＋ｂ，作

=a，=ｂ，则向量

叫做a与ｂ的 a

a＋ｂ ｂ

ｂ

a

位移合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型

2平行四边形法则

以同一点O为起点的两个已知向量a、ｂ，为邻边作平行四边形OACB，则以O为起点的对角线就是与的和。

力的合成可以看作向量加法平行四边形法则的物理模型。对于零向量与任一向量我们规定：

提问：你能从向量加法的几何意义，说明规定的合理性吗？

思考：当在数轴表示两个共线向量时，它们的加法与数的加法有什么关系？ a a

ｂ ｂ

a+b

a+b

探究：|+|与||+||的大小关系：

当向量与不共线时，|+|<||+||； 一般的有：|+|≤||+|| 思考：、处于什么位置时，（1）|+|=||+||（2）|+|=||-||（或|+b|=||-||）

三、实践探索 形成能力

1、探究：数的加法满足交换侓和结合侓，即对任意a、b a+b=b+a(a+b)+c= a+(b+c)任意向量、的加法是否也满足交换侓和结合侓？（1）让学生通过画图探索验证：+=+（2）提问：你能否验证：

有

(+)+=+(+)

小结：向量的加法满足交换律：+=+ 向量的加法满足结合律：(+)+=+(+)

2、练习P93 3、4题

3、例2：长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输，如图2.2-12所示，一艘船从长江南岸A点出发，以5km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2km/h。

（1）试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度（保留两个有效数字）；（2）求船实际航行的速度的大小与方向（用与江水速度间的夹角表示，精确到度）（引导学生正确理解题意，把问题化归为向量的加法运算。注意规范学生的解题格式。）

4、巩固作业

（1）P103习题2。2：第２，３，4（1）（2）（3）题（2）选做题：在△ABC中，求证：

四、归纳小结：内化知识

通过本节课的学习，同学们谈谈自己体会最深刻的是什么？

1、向量加法的几何意义； ２、交换律和结合律；

３、注意：|+| ≤ || + ||，当且仅当方向相同时取等号.

第三篇：《2.2.1向量加法运算及其几何意义》教学设计说明

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第四篇：《向量的加法运算及其几何意义》教案

2.2.1向量加法运算及其几何意义

知识目标：

1、掌握向量的加法运算，并理解其几何意义；

2、会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的 和，培养数形结合解决问题的能力；

3、通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比，使学生掌握向

量加法运算的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算，渗透类比的数学方法； 教学重点与难点: 教学重点：会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个

向量的和向量.教学难点：理解向量加法的定义.教学过程

一、复习引入

问题1：向量的定义以及相等向量的定义是什么？

1、什么叫向量？

2、长度为零的向量叫做。零向量的方向具有 性。

3、长度等于一个单位的向量叫做。

4、方向相同或相反的非零向量叫做，也叫。

5、长度相等且方向相同的向量叫做。

强调：向量是既有大小又有方向的量.长度相等、方向相同的向量相等.因此，我们研究的向量是与起点无关的自由向量，即任何向量

可以在不改变它的方向和大小的前提下，移到任何位置 问题2：数能进行运算,向量是否也能进行运算呢？

二、探究新知 活动一

元旦假期将到，某人计划外出去三亚旅游，从重庆（记作A）到昆明（记作B），再从B到三亚（记作C），这两次的位移和可以用哪个向量表示？ 形成概念： 1． 向量加法的定义

求两个向量和的运算，叫做向量的加法。2． 向量加法的法则(1)向量加法的三角形法则

如图3,已知非零向量a、b,在平面内任取一点A,作AB=a,BC=b,则向量AC叫做a与b的和,记作a+b,即a+b=AB+BC=AC.这种求向量和的方法叫做向量加法的三角形法则(2)向量加法的平行四边形法则

如图4,以同一点O为起点的两个已知向量a、b为邻边作平行四边形,则以O为起点的对角线OC就是a与b的和.把这种求向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则.问题4： 对于零向量与任一向量的加法,结果又是怎样的呢？ 对于零向量与任意向量a，我们规定：a+0=0+a=a.总结: 三角形法则:

图4

①要特别注意“首尾相接”,即第二个向量要以第一个向量的终点为起点,则由第一个向量的起点指向第二个向量的终点的向量即为和向量.②适用于任何两个非零向量求和；

②位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型.平行四边形法则: ①适用于两个不共线向量求和，且两向量要共起点； ②力的合成可以看作向量加法平行四边形法则的物理模型.三、应用举例

例1 如图5，已知向量a、b，求作向量a+b

作法1（三角形法则）：

作法2（平行四边形法则）：

a 图5

b

探究合作: ||a|-|b||,|a+b|,|a|,|b|存在着怎样的关系？（1）当向量a与b不共线时，|a+b| |a|+|b|；（2）当a与b同向时，则a+b、a、b（填同向或反向），且|a+b| |a|+|b|；当a与b反向时，若|a|>|b|，则a+b的方向与a相同，且|a+b| |a|-|b|；若|a|<|b|，则a+b的方向与b相同，且|a+b| |b|-|a|.结论：一般地：

四、练习巩固： 教材84页1、2题

五、小结 1.向量加法的定义 2.向量加法的两种法则：(1)三角形法则：首尾相接

(2)平行四边形法则：作平移,共起点,四边形,连对角

六、作业：

高考调研课时作业十七

ab|ab||a||b|

第五篇：高中数学 2.2.1向量的加法运算及其几何意义教学设计 新人教A版必修4

2.2.1《向量的加法运算及其几何意义》教学设计

教材版本：人民教育出版社A版，普通高中课程标准实验教材，数学必修4

教学内容：高中数学必修4，第二章《平面向量》第二节向量的加法运算及其几何意义第1课时

一、教学目标

知识目标：理解向量加法的含义，会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则 作出两个向量的和；掌握向量加法的交换律与结合律，并会用它们进行向量运算．

能力目标：经历向量加法概念、法则的建构过程，感受和体会将实际问题抽象为 数学概念的思想方法，培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力．

情感目标：经历运用数学来描述和刻画现实世界的过程，体验探索的乐趣，激发 学生的学习热情．培养学生勇于探索、敢于创新的个性品质．

二、重点与难点

重点：向量加法的定义与三角形法则的概念建构；以及利用法则作两个向量的和向量． 难点：理解向量的加法法则及其几何意义．

三、教法学法

教法运用了“问题情境教学法”、“启发式教学法”和“多媒体辅助教学法”． 学法采用以“小组合作、自主探究”为主要方式的自主学习模式．

四、教学过程

新课程理念下的教学过程是一个内容活化、创生的过程，是一个学生思考、体验的过程，更是一个师生互动、发展的过程．基于此，我设定了下面几个教学环节

一、复习回顾

1、向量、平行向量、相等向量的含义是什么？

2、用有向线段表示向量，向量的大小和方向是怎样反映的？什么叫零向量和单位向量？

二、合作探究

【问题1】如图，某人从点A到点B，再从点B改变方向到点C，则两次位移的和可用哪个向量表示？由此可得什么结论？

学生活动：学生讨论，集体回答

点评：位移是向量．位移可以相加，所以向量可以进行加法运算。

2、向量加法的定义

B如图，已知非零向量a、b，在平面内

abAC取一点A，作ABa，BCb，则AC叫作a与b的和。两个向量可以相加，并且两个向量的和还是一个向量。一般地，求两个向量和的运算，叫做向量的加法。

点评：加法的定义其实是用数学的作图语言来刻画的，这种方法经常出现在几何中，这一点也更好的体现了向量加法具有的几何意义和向量数形结合的特征．

3、向量加法的运算法则

【问题2】上面整个计算过程中我们作了一个什么图形？你能不能结合图形给这种运算法则起个名字？

学生活动：学生讨论，集体回答

（1）三角形法则：定义中求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则

位移的合成可以看成向量加法三角形法则的物理模型。（2）平行四边形法则

【问题3】图1表示橡皮条在两个力F1和F2的作用下，沿GE方向伸长了EO；图2表示橡皮条在一个力F的作用下，沿相同方向伸长了相同长度.从力学的观点分析，力F与F1、F2之间的关系如何？ 学生活动：集体回答

【问题4】通过刚才这个过程你发现对向量进行加法运算还可以怎样进行？ 学生活动：学生讨论，集体回答

点评：以同一点O为起点的两个已知向量a、b为邻边作平行四边形OACB，则以O为起点的对角线OC就是a与b的和。我们把这种作两个向量和的方法叫作向量加法的平行四边形法则 力的合成可以看作向量加法平行四边形法则的物理模型。

三、例题精解

例

1、已知向量a、b，分别用向量加法的三角形法则与向量加法的平行四边形法则 作出向量a+b

教学活动：师板演作图过程，生集体回答注意事项 小试牛刀

学生活动：学生自主解答，生代表展示讲解做题过程 点评：使学生熟练掌握向量加法的两个运算法则

四、模的关系探究 【问题4】想一想

ab（1）若两向量互为相反向量,则它们的和是什么?（2）零向量和任一向量a的和是什么?（3）ab，|a+b|和

ab的大小关系如何？何时能取到等号呢？

学生活动：学生讨论，代表回答

设计意图：通过三角形三边关系，让学生找出向量的模与他们和的模之间的大小关系。

五、类比联想，探究性质

1、你能说出实数相加有哪些运算律吗？类比实数加法的运算律，向量是否也有运算律？

2、作图验证

（1）b+a的结果与a+b是否相同？（2）(a+b)+c的结果与a+(b+c)的结果呢？

学生活动：学生讨论，代表展示验证过程

设计意图：通过作图验证，加深学生对向量加法运算律的理解。

3、练一练 根据图示填空:

EefDdCg(1)ab=________(2)cd=________(3)abd=______(4)cde=______ cAb

Ba设计意图：在训练三角形法则的同时，使同学们注意到三角形法则推广到 n 个向量相加的形式．

六、实际应用

例

2、长江两岸之间没有大桥的地方,常常通过轮渡进行运输.如图所示,一艘船从长江南岸A点出发,以5km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶,同时江水的速度为向东2km/h.(1)试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度(保留两个有效数字)(2)求船实际航行的速度的大小与方向(用与江水速度间的夹角表示,精确到度).变式训练

船在静水 的速度是6Km/s,水流的速度是3Km/s,则要使船到对岸的路程最短，它应该朝那个方向前进？船的实际速度是多少？

设计意图：加强学生对向量加法运算的实际应用能力。

六、小结（这节课我学会了什么？）本环节有课堂小结和作业布置两部分内容： 课堂小结：

【问题6】同学们想一想：本节课你有些什么收获呢？留给你印象最深的是什么？作为课堂的延伸，你课后还想作些什么探究？

作业布置：

1、化简

(1)ABCDBC________(2)MABNACCB________(3)ABBDCADC________

2、一艘船从 A点出发以23km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水以2km/h的速度向东流求船实际行驶速度的大小与方向。