第一篇：长春宽城区2018-2019学年高中数学平面向量单元测试题
长春宽城区2018-2019学年高中数学平面向量单元测试题
数学（理）2018.7
本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一、选择题 共12小题，每小题5分，共60分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC＋ccosB＝asinA，则△ABC的形状为()
A． 锐角三角形
B． 直角三角形 C． 钝角三角形
D． 不确定
2．在△ABC中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点,则
=()
A．
B．
C．
D．
3．设a,b为非零向量,|b|=2|a|,两组向量x1,x2,x3,x4和y1,y2,y3,y4均由2个a和2个b排列而成.若x1·y1+x2·y2+x3·y3+x4·y4所有可能取值中的最小值为4|a|2,则a与b的夹角为()
A．
B．
C．
D． 0
=
2,那么动点M的轨迹必通过△ABC的（）4．在△ABC中,设A． 垂心
B． 内心
C． 外心
D． 重心 5．已知△ABC是正三角形,若a=是()
-λ
与向量的夹角大于90°,则实数λ的取值范围A． λ<
B． λ<2
C． λ>
D． λ>2
6．已知△ABD是边长为2的等边三角形,且,则||等于()
A．
B．
C．
D． 2
7．已知|a|=1,|b|=2,a与b的夹角为60°,则a+b在a上的投影为()
试卷第1页，总5页 A．
1B． 2
C．
D．
8．已知集合M={a|a=(1,2)+λ(3,4),λ∈R},N={a|a=(-2,-2)+λ(4,5),λ∈R},则M∩N等于（）A． {(1,1)}
B． {(1,1),(-2,-2)} C． {(-2,-2)}
D． ⌀
9．已知向量a,b满足|a|=1,a·b=-1,则a·(2a-b)=（）A．
4B．
3C． 2
D． 0
10．如图所示,A,B,C是圆O上的三点,且三等分圆周,若
=x
+y,则
()
A． x=y=-1
B． x=y=1
C． x=y=
D． x=y=-11．如右图:在平行六面体=.则下列向量中与
中，为AC与BD的交点，若
相等的向量是()
=，=，A．
B．
C．
D．
12．如图，已知圆M：（x﹣3）2+（y﹣3）2=4，四边形ABCD为圆M的内接正方形，E，F分别为边AB，AD的中点，当正方形ABCD绕圆心M转动时，（）的取值范围是
试卷第2页，总5页
A．
B．
C． [﹣6，6]
D． [﹣4，4]
试卷第3页，总5页
第II卷（非选择题）
二、填空题 共4小题，每小题5分，共20分。
13．在四边形ABCD中,积为_____.=(1,1)，则四边形ABCD的面14．已知菱形ABCD的边长为a,∠DAB=60°,=2,则的值为________.15．已知向量a=(1,m),b=(3,),若向量a,b的夹角为,则实数m的值为_____.16．已知向量a=(1,2),b=(2,0),c=(1,-2),若向量λa+b与c共线,则实数λ的值为_____.三、解答题 共6小题，17题10分，18-22题12分，共70分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
17．如图所示,在平面斜坐标系xOy中,∠xOy=60°,平面上任意一点P关于斜坐标系的斜坐标是这样定义的:若的斜坐标为(x,y).=xe1+ye2(其中e1,e2分别为x轴、y轴同方向的单位向量),则点P
(1)若点P在斜坐标系xOy中的斜坐标为(2,-2),求点P到原点O的距离.(2)求以原点O为圆心,1为半径的圆在斜坐标系xOy中的方程.18．已知正方形ABCD,E,F分别是CD,AD的中点,BE,CF交于点P.求证:
(1)BE⊥CF;(2)AP=AB．
19．如图,M是矩形ABCD的边CD上的一点,AC与BM交于点N,BN=BM.(1)求证:M是CD的中点;
试卷第4页，总5页(2)若AB=2,BC=1,H是BM上异于点B的一动点,求20．设向量a,b满足|a|=|b|=1,且|3a-2b|=(1)求a与b的夹角;(2)求|2a+3b|的大小.21．如图,在△OAB中,已知P为线段AB上的一点,.的最小值.=x·+y·.(1)若(2)若=3,求x,y的值;,||=4,|
|=2,且的夹角为60°时,求的值.22．已知向量=（sinx，cosx），=（sin（x﹣），sinx），函数f（x）=2•，g（x）=f（）．
（1）求f（x）在[，π]上的最值，并求出相应的x的值；（2）计算g（1）+g（2）+g（3）+…+g（2014）的值；（3）已知t∈R，讨论g（x）在[t，t+2]上零点的个数．
试卷第5页，总5页
参考答案
1．B 【解析】 【分析】
由正弦定理化边为角，再根据两角和正弦公式以及诱导公式化简得A为直角，即得选项.【详解】
∵bcosC＋ccosB＝asinA，由正弦定理得sinBcosC＋sinCcosB＝sin2A，∴sin(B＋C)＝sin2A，即sinA＝sin2A.又sinA>0，∴sinA＝1，∴A＝，故△ABC为直角三角形． 【点睛】
判断三角形形状的方法
①化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．
②化角：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状，此时要注意应用这个结论．
2．A 【解析】 【分析】
利用向量的线性运算法则化简求解.【详解】
如图,=-=-)==)=.故答案为：A
【点睛】
(1)本题主要考查向量的线性运算法则，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.(2)平面向量的加法、减法和平行四边形法则，是平面向量线性运算的重要考点，要理解掌握并灵活运用.3．B 【解析】 【分析】
答案第1页，总15页
先设S=x1·y1+x2·y2+x3·y3+x4·y4,再讨论S中含有的的个数，若S的表达式中有0个a·b,则S=2a2+2b2,记为S1;若S的表达式中有2个a·b,则S=a2+b2+2a·b,记为S2;若S的表达式中有4个a·b,则S=4a·b,记为S3.再作差比较数量积公式求a与b的夹角.【详解】
设S=x1·y1+x2·y2+x3·y3+x4·y4,若S的表达式中有0个a·b,则S=2a2+2b2,记为S1;若S的表达式中有2个a·b,则S=a2+b2+2a·b,记为S2;若S的表达式中有4个a·b,则S=4a·b,记为S3.又|b|=2|a|，所以S1-S3=2a2+2b2-4a·b=2(a-b)2>0,S1-S2=a2+b2-2a·b=(a-b)2>0,S2-S3=(a-b)2>0,所以S3 (1)本题主要考查平面向量的数量积和模，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题的关键有两点，其一是先要讨论S中含有的是要利用作差法得到Smin=S3=4a·b.4．C 【解析】 【分析】 假设BC的中点是O,先化简已知得 2=2,即（）· =0, 所以的个数得到，其二, 所以动点M的轨迹必通过△ABC的外心.【详解】 假设BC的中点是O,则即(所以)·=0，=（）·（）=2 =2, ,所以动点M在线段BC的中垂线上,所以动点M的轨迹必通过△ABC的外心.答案第2页，总15页 故答案为：C 【点睛】 （1）本题主要考查平面向量的数量积运算和向量的减法法则，考查向量垂直的表示，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题的关键是在于熟练掌握向量的运算法则.5．D 【解析】 【分析】 设正三角形的边长为m,由题得得a·<0,再利用已知和数量积公式化简即得m2-m2λ<0,解不等式得解.【详解】 由已知可得a·<0,即（-λ)·<0,因此| |2-λ <0,若设正三角形ABC边长为m,则有m2-m2λ<0,解得λ>2.故答案为：D 【点睛】 （1）本题主要考查平面向量的夹角公式和数量积的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)6．B 【解析】 【分析】 设AD的中点为E,证明四边形ABCE是平行四边形，再证明|【详解】 设AD的中点为E,则ABCE是平行四边形,连接BE,因为△ABD是边长为2的等边三角形,所以 |=| |，求| |即得解.的夹角大于90°，即；的夹角小于90°，即 .||=||=×2=，故答案为：B.【点睛】 答案第3页，总15页 (1)本题主要考查平面向量的平行四边形法则和共线向量，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题的关键是取AD的中点E,因为7．B 【解析】 【分析】 直接利用向量的投影公式求解.【详解】 中有.a+b在a上的投影为故答案为：B 【点睛】 =2.(1)本题主要考查向量的投影和数量积的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)在方向上的投影为8．C 【解析】 【分析】 .先设解.【详解】，再化简集合M得到，再化简集合N得到，解方程组即得设a=(x,y),对于M,(x,y)=(1,2)+λ(3,4),(x-1,y-2)=λ(3,4),.① 对于N,(x,y)=(-2,-2)+λ(4,5),(x+2,y+2)=λ(4,5),由①②解得x=-2,y=-2,故M∩N={(-2,-2)}.故答案为：C 【点睛】 .② (1)本题主要考查向量的坐标运算和集合的交集运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平 答案第4页，总15页 和分析推理能力.(2)本题解题的关键有两点，其一是设，因为向量是运动变化的,其二是化简集合M和N，分别得到9．B 【解析】 【分析】 直接利用向量的数量积公式化简求解.【详解】 a·(2a-b)=2a2-a·b=2-(-1)=3.故答案为：B 【点睛】 和.(1)本题主要考查平面向量的数量积和模的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)10．A 【解析】 【分析】 以为邻边作平行四边形OBDA,根据平行四边形法则即得x,y的值.,这些公式要理解掌握并灵活运用.【详解】 以 故答案为：A 【点睛】 本题主要考查平面向量平行四边形法则和共线向量，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.11．A 【解析】 【分析】 为邻边作平行四边形OBDA,已知 =0,所以 =-,因此x=y=-1.答案第5页，总15页 由题意可得 化简得到结果． 【详解】 由题意可得 故答案为：A 【点睛】 本题主要考查向量的加法减法法则,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.12．C 【解析】 【分析】 根据圆的方程，求出【详解】 因为圆M：（x﹣3）2+（y﹣3）2=4，圆心的坐标（3，3）半径为2，所以|ME|=∴=，|OM|= 3，= =，∵的取值范围是[﹣6，6]．，的模长关系与夹角，利用向量数量积求得取值范围。 =6cos（π﹣∠OME）∈[﹣6，6]，【点睛】 本题考查了向量数量积的简单应用，根据向量的模长求得数量积的取值范围，属于基础题。13． 【解析】 【分析】 先推理得到四边形ABCD为平行四边形,且| |=| |=,再根据已知得到四边形ABCD为菱形,再求出三角形BCD的面积，最后计算出四边形ABCD的面积.【详解】 答案第6页，总15页 由=(1,1),可知四边形ABCD为平行四边形,且||=||=,因为,所以可知平行四边形ABCD的角平分线BD平分∠ABC,四边形ABCD为菱形,其边长为,且对角线BD长等于边长的倍,即BD=,则CE2=()2-,即CE=,所以三角形BCD的面积为,所以四边形ABCD的面积为2×故答案为：【点睛】.(1)本题主要考查共线向量和向量的线性运算，考查三角形的面积的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)表示与向量方向相同的单位向量.14． 【解析】 【分析】 先计算出【详解】 =-a2，再计算出 =()·()=-.∵=2,∴.∵菱形ABCD的边长为a,∠DAB=60°, ∴||=||=a，=|∵∴|||cos 120°=-a2., =()·() 答案第7页，总15页 =·() =- =-a2+a2+a2=-.故答案为：【点睛】 (1)本题主要考查向量的线性运算法则，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.(2)平面向量的加法、减法和平行四边形法则，是平面向量线性运算的重要考点，要理解掌握并灵活运用.15． 【解析】 【分析】 先利用坐标运算求出a·b=3+(3+m)2=[ m,再利用向量的数量积公式得a·b=,再解方程]2即得实数m的值.【详解】 因为a·b=3+m，且a·b=2所以(3+m)2=[cos ]2, ，解得m=-.故答案为：-【点睛】 答案第8页，总15页 （1）本题主要考查向量的数量积计算，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力。（2）向量16． 【解析】 【分析】 先求出λa+b的坐标，再根据向量λa+b与c共线得到-2(λ+2)-2λ=0,即得λ的值.【详解】 由题可知λa+b=(λ+2,2λ),又λa+b与c共线,所以-2(λ+2)-2λ=0,所以λ=-1.故答案为：-1 【点睛】 （1）本题主要考查向量的坐标运算和向量共线的坐标表示，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)向量17．（1）2；（2）【解析】 【分析】 (1)先根据点P的斜坐标得到设圆上动点M的斜坐标为(x,y),【详解】 (1)因为点P的斜坐标为(2,-2), 所以所以| =2e1-2e2，|=2,即点P到原点O =2e1-2e2, 再平方求出| |2=4，即点P到原点O的距离为2（.2） 与向量 共线，则 .，则 .=xe1+ye2,再平方化简得所求圆的方程为x2+y2+xy=1.|2=(2e1-2e2)2=4-8e1·e2+4=8-8×1×1×cos 60°=8-4=4,所以|的距离为2.(2)设圆上动点M的斜坐标为(x,y), 则=xe1+ye2,所以(xe1+ye2)2=1，则x2+2xye1·e2+y2=1,即x2+y2+xy=1, 故所求圆的方程为x2+y2+xy=1.【点睛】 答案第9页，总15页 （1）本题主要考查新定义和向量的数量积运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)对于新定义要先理解清楚它的内涵外延，再利用它来解题.18．（1）见解析；（2）见解析 【解析】 【分析】 (1)如图建立平面直角坐标系xOy,其中A为原点,不妨设AB=2,则 A(0,0),B(2,0),C(2,2),E(1,2),F(0,1)，再求出 和的坐标，再计算得 =0即证 BE⊥CF.(2)设P(x,y),再根据已知求出P【详解】，再求=4=，即证明AP=AB.如图建立平面直角坐标系xOy,其中A为原点,不妨设AB=2，则A(0,0),B(2,0),C(2,2),E(1,2),F(0,1).(1)=(1,2)-(2,0)=(-1,2), =(0,1)-(2,2)=(-2,-1)，∵∴=(-1)×(-2)+2×(-1)=0, ,即BE⊥CF.(2)设P(x,y),则=(x,y-1),=(-2,-1).∵同理由,∴-x=-2(y-1),即x=2y-2.,得y=-2x+4,代入x=2y-2，解得x=,∴y=,即P.∴=4=，答案第10页，总15页 ∴||=||,即AP=AB.【点睛】 （1）本题主要考查向量的坐标表示和坐标运算，考查向量垂直和平行的坐标表示，考查模的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力（.2）向量则19．（1）见解析；（2）0 【解析】 【分析】 .，(1)设=m=n,再根据向量的线性运算化简=,再求出=(1-n)+n,解方程组所以=m,即M是CD的中点.（2）先利用向量的数量积和向量的线性运算求得数求出函数的最小值.【详解】(1)设=m=n，==-,再利用二次函由题意知) =又+m)=+n，+n() =(1-n)+n，∴ 答案第11页，总15页 ∴=m,即M是CD的中点.(2)∵AB=2,BC=1,M是CD的中点, ∴MB=∴=-|=|||||,∠ABM=45°, =()·=-（|2)·=--| |2 |cos(180°-∠ABH)-||cos 45°-||2 =又0<||-||≤|2=-,∴当||=, ,即H与M重合时,取得最小值,且最小值为0.【点睛】 (1)本题主要考查向量的线性运算和基底法，考查向量的数量积计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)对于平面内的不共线的向量量总可以表示成，其中 是基底.，则平面的任意一个向20．（1）；（2）【解析】 【分析】 (1)设a与b的夹角为θ,化简|3a-2b|=公式求|2a+3b|=【详解】 = .得θ=,即a与b的夹角为.（2）利用向量模的计算(1)设a与b的夹角为θ.由已知得(3a-2b)2=7,即9|a|2-12a·b+4|b|2=7,因此9+4-12cos θ=7,于是cos θ=,故 θ=,即a与b的夹角为.(2)|2a+3b|== 答案第12页，总15页 =.【点睛】 （1）本题主要考查向量的模和数量积的运算，考查向量模的求法，意在考察学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2),则 .21．（1）【解析】 【分析】 ；（2） (1)利用向量的线性运算化简得,即x=,y=.（2）先求出再计算【详解】(1)∵∴, ,即2，·()=.∴(2)∵=3,∴,即x=,y=.=3 +3,即4 +3，∴.∴x=,y=.·() = =×22-×42+×4×2×=-9.【点睛】 (1)本题主要考查向量的线性运算和基底法，考查向量的数量积计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)对于平面内的不共线的向量 答案第13页，总15页，则平面的任意一个向 量总可以表示成22．(1).，其中是基底.(2).(3)g（x）2个零点.【解析】 【分析】 （1）根据向量的坐标运算，求出f（x）的表达式，再根据定义域求出最值及相应的自变量。（2）根据三角函数表达式，求出三角函数的变化周期及函数值，代入求解。（3）跟雷讨论在t取不同范围时，交点的个数问题。【详解】 （1）f（x）=2•=2sinxsin（x﹣）+2sinxcosx= sin2x+sin2x =sin2x﹣cos2x+=sin（2x﹣）+，∵x∈[，π]，∴≤2x﹣≤，∴﹣1≤sin（2x﹣）≤，f（x）最小值为 ﹣1，f（x）最大值为 ． （2）由（1）得，f（x）=sin（2x﹣）+．∴g（x）=f（）=sin（x﹣）+．T=4，∴g（1）+g（2）+g（3）+g（4）=g（5）+g（6）+g（7）+g（8）=…=g（2009）+g（2010）+g（2011）+g（2012）．g（1）+g（2）+g（3）+g（4）=，g（1）+g（2）+g（3）+…+g（2014）=503×+g（1）+g（2）=1006+=.（3）g（x）在[t，t+2]上零点的个数等价于y=sin（x﹣）与y=﹣同一直角坐标系内作出这两个数的图象． 两图象交点个数．在答案第14页，总15页 当4k＜t＜+4k，k∈Z时，由图象可知，y=sin（x﹣）与y=﹣零点 两图象无交点，g（x）无当+4k≤t＜2+4k或1个零点 +4k＜t≤4+4k时，y=sin（x﹣）与y=﹣两图象1个交点，g（x）当2+4k≤t≤【点睛】 +4k时，y=sin（x﹣）与y=﹣两图象2个交点，g（x）2个零点.本题考查了向量与三角函数的综合应用，注意分类讨论时t的不同取值情况，属于难题。 答案第15页，总15页 长春宽城区2018-2019学年高中数学不等式单元测试题 数学（理）2018.7 本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、选择题 共12小题，每小题5分，共60分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 1．下列命题中，为真命题的是 () A． 若ac>bc，则a>b B． 若a>b，c>d，则ac>bd C． 若a>b，则< D． 若ac2>bc2，则a>b 2．下列命题的逆命题为真命题的是 () A． 若x>2，则(x-2)(x+1)>0 B． 若x2+y2≥4，则xy=2 C． 若x+y=2，则xy≤ 1D． 若a≥b，则ac2≥bc2 3．若a＞0，b＞0，则p＝与q＝a·b的大小关系是() baA． p≥q B． p≤q C． p＞q D． p＜q 4．在R上定义运算⊙：x⊙y=x（1﹣y）．若不等式（x﹣a）⊙（x+a）＜1对任意实数x成立，则（） A． ﹣1＜a＜1 B． 0＜a＜ 2C． ﹣5．若实数A． C． 满足 B． D． D． ﹣ ,则下列不等式一定成立的是() 6．设均为正数,且,则的最小值为() A． 1 B． 3C． 6 D． 9 7．在△ABC中，E，F分别为AB，AC的中点，P为EF上的任一点，实数x，y满足 试卷第1页，总5页，设△ABC，△PBC，△PCA，△PAB的面积分别为S，S1，S2，S3，记，则λ2•λ3取到最大值时，2x+y的值为（） A． ﹣1 B． 1 C．- D． 8．函数y＝f(x)的图象是以原点为圆心、1为半径的两段圆弧，如图所示．则不等式f(x)>f(－x)＋x的解集为() A． ∪(0,1] B． [－1,0)∪ C． ∪ D． ∪ 9．(x＋2y＋1)(x－y＋4)＜0表示的平面区域为() A． B． C． D． 10．当x≥0时，不等式(5－a)x2－6x＋a＋5>0恒成立，则实数a的取值范围是()A．(－∞，4) B．(－4,4)C． [10，＋∞) D．(1,10] 试卷第2页，总5页 11．若0＜α＜β＜，sin α＋cos α＝a，sin β＋cos β＝b，则()A． a＜b B． a＞b C． ab＜ 1D． ab＞2 12．函数y＝(x＜0)的值域是() A．(－1,0) B． [－3,0)C． [－3,1] D．(－∞，0)试卷第3页，总5页 第II卷（非选择题） 二、填空题 共4小题，每小题5分，共20分。 13．建造一个容积为8 m3，深为2 m的长方体无盖水池，若池底每平方米120元，池壁的造价为每平方米80元，这个水池的最低造价为________元． 14．不等式＜2的解集为________． 15．已知x,y,z∈R,有下列不等式: ①x2+y2+z2+3≥2(x+y+z);，③|x+y|≤|x-2|+|y+2|;④x2+y2+z2≥xy+yz+zx.其中一定成立的不等式的序号是_____ 16．已知x，则函数的最大值为_______ 三、解答题 共6小题，17题10分，18-22题12分，共70分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。 17．设p：实数x满足x2-4ax+3a2<0(a>0)，q：实数x满足≤0．(1)若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；(2)若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 18．设 p：2x2-3x+1≤0，q：x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0，若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围． 19．已知函数f(x)=ax2+bx+1(a,b为实数),设，(1)若f(-1)=0,且对任意实数x均有f(x)≥0成立,求F(x)的表达式; (2)在(1)的条件下,当x∈[-2,2]时,g(x)=f(x)-kx是单调函数,求实数k的取值范围;(3)设mn<0,m+n>0,a>0,且f(x)满足f(-x)=f(x),试比较F(m)+F(n)的值与0的大小.20．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)满足：对任意实数x，都有f(x)≥x，且当x∈(1,3)时，有f(x)≤(x＋2)2成立． 试卷第4页，总5页(1)证明：f(2)＝2； (2)若f(－2)＝0，求f(x)的表达式； (3)设g(x)＝f(x)－x，x∈[0，＋∞)，若g(x)图象上的点都位于直线y＝的上方，求实数m的取值范围． 21．某化工厂生产甲、乙两种肥料，生产1车皮甲种肥料能获得利润10000元，需要的主要原料是磷酸盐4吨，硝酸盐8吨；生产1车皮乙种肥料能获得利润5000元，需要的主要原料是磷酸盐1吨，硝酸盐15吨．现库存有磷酸盐10吨，硝酸盐66吨，在此基础上生产这两种肥料．问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？ 22．整改校园内一块长为15 m，宽为11 m的长方形草地(如图A)，将长减少1 m，宽增加1 m(如图B)．问草地面积是增加了还是减少了？假设长减少x m，宽增加x m(x>0)，试研究以下问题： x取什么值时，草地面积减少？ x取什么值时，草地面积增加？ 试卷第5页，总5页 参考答案 1．D 【解析】 【分析】 对每一个选项逐一判断真假.【详解】 当c<0时，若ac>bc，则a 若a>b>0或0>a>b，则，但当a>0>b时，故C为假命题； 若ac2>bc2，则故答案为：D.【点睛】，则a>b，故D为真命题． 本题主要考查不等式的性质，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.2．B 【解析】 【分析】 先写出每一个选项的逆命题，再判断命题的真假.【详解】 A中，“若x>2，则(x-2)(x+1)>0”的逆命题为“若(x-2)(x+1)>0，则x>2”，为假命题； B中，“若x2+y2≥4，则xy=2”的逆命题为“若xy=2，则x2+y2≥4”，为真命题； C中，“若x+y=2，则xy≤1” 的逆命题为“若xy≤1，则x+y=2”，如x=-1，y=-1，满足xy≤1，但x+y≠2，为假命题； D中，“若a≥b，则ac2≥bc2”的逆命题为“若ac2≥bc2，则a≥b”，如c=0时，ac2≥bc2，但a≥b不一定成立，为假命题． 故答案为：B.【点睛】 本题主要考查逆命题和其真假的判断，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.答案第1页，总16页 3．A 【解析】 【分析】 利用作商法结合指数函数图像与性质比较大小.【详解】 ，若则，； 若则，∴ 若∴p≥q 故选：A 则 【点睛】 本题考查比较大小问题，考查了作商法及指数函数的图像与性质，考查了分类讨论的思想，属于中等题.4．C 【解析】 【分析】 根据新定义化简不等式，得到a2﹣a﹣1＜x2﹣x因为不等式恒成立，即要a2﹣a﹣1小于x2﹣x的最小值，先求出x2﹣x的最小值，列出关于a的一元二次不等式，求出解集即可得到a的范围． 【详解】 由已知：（x﹣a）⊗（x+a）＜1，∴（x﹣a）（1﹣x﹣a）＜1，即a2﹣a﹣1＜x2﹣x． 令t=x2﹣x，只要a2﹣a﹣1＜tmin． 答案第2页，总16页 t=x2﹣x=，当x∈R，t≥﹣． ∴a2﹣a﹣1＜﹣，即4a2﹣4a﹣3＜0，解得：﹣故选：C． 【点睛】 ． 考查学生理解新定义并会根据新定义化简求值，会求一元二次不等式的解集，掌握不等式恒成立时所取的条件． 5．B 【解析】 【分析】 由题意给出反例说明不等式的结论不成立，结合不等式的性质证明不等式成立即可确定正确选项.【详解】 取取取，满足，满足，满足，而，而，而，选项A错误；，选项C错误；，选项D错误； , 对于选项B，由绝对值不等式的性质可知由题意可知,，即由不等式的传递性可知本题选择B选项.【点睛】，选项B的说法正确.本题主要考查绝对值不等式的性质及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6．D 【解析】 【分析】 答案第3页，总16页 由题意结合均值不等式的结论得到关于的不等式，求解不等式即可确定的最小值.【详解】 均为正数,且由基本不等式可得解得据此可得或,所以,整理可得(舍去).,整理得, ,，当且仅当时等号成立.即的最小值为9.本题选择D选项.【点睛】 在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误． 7．D 【解析】 【分析】 根据三角形中位线定理及基本不等式，求得λ2•λ3的最大值，并求得此时P的位置。由向量加法法则，判断出x与y的关系，进而求出2x+y的值。【详解】 由题意，可得∵EF是△ABC的中位线，∴P到BC的距离等于△ABC的BC边上高的一半，可得S1=S=S2+S3，由此可得λ2•λ3 =由向量的加法的四边形法 当且仅当S2=S3时，即P为EF的中点时，等号成立．∴则可得，∴两式相加，得∵由已知得∴根据平面向量基本定理，得x=y=，从而得到2x+y=.综上所述，可得当λ2•λ3取到最大值时，2x+y的值为 答案第4页，总16页 【点睛】 本题考查了平面向量基本定理的简单应用，由基本不等式确定最值，属于难题。8．C 【解析】 【分析】 由函数的图象可知，函数y=f（x）是奇函数，则不等式f（x）＞f（﹣x）+x等价为f（x）＞﹣f（x）+x，即2f（x）＞x成立．解不等式即可． 【详解】 函数的图象可知，函数y=f（x）是奇函数，则f（﹣x）=﹣f（x），所以不等式f（x）＞f（﹣x）+x等价为f（x）＞﹣f（x）+x，即f（x）． 对应圆的方程为x2+y2=1，联立直线y=得，x=，所以由图象可知不等式f（x）＞f（﹣x）+x的解集为[﹣1，﹣故答案为：C 【点睛】）∪（0，）． (1)本题主要考查函数奇偶性的应用，考查直线和圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理数形结合能力（.2利用图象的对称性判断函数是奇函数是解决本题的关键，然后利用直线与圆的方程解方程即可． 9．B 【解析】 【分析】 先化简不等式得到【详解】 由题得先作出不等式再作出 或，再分别作出它们对应的可行域即得解.或 .对应的可行域，是选项B中上面的一部分，对应的可行域，是选项B中下面的一部分，答案第5页，总16页 故答案为：B 【点睛】 (1)本题主要考查不等式对应的可行域，意在考查学生对该知识的掌握水平.(2)解题的关键是由已知的不等式得到10．B 【解析】 【分析】 一般选择特殊值验证法，取a=10,排除C,D,取a=-4,排除A,故选择B.【详解】 用特殊值检验法，取a＝10，则不等式为－5x－6x＋15＞0，即5x＋6x－15＜0，当x≥0取x=2时，17＞0，所以不等式(5－a)x2－6x＋a＋5>0不恒成立，排除C，D，取a＝-4，不 2或 .等式为9x－6x＋1>0，当x≥0取x=时，0＞0不恒成立，所以排除A.故答案为：B 【点睛】 (1)本题主要考查不等式的恒成立问题，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.（2）本题可以选择直接法解答，但是比较复杂，由于是一个选择题，所以可以选择特殊值验证法比较简洁.11．A 【解析】 【分析】 先利用作差法比较【详解】 的大小，再比较a,b的大小关系.2∵0＜α＜β＜，∴0＜2α＜2β＜且0＜sin 2α＜sin 2β，∴a2＝(sinα＋cosα)2＝1＋sin2α，b2＝(sinβ＋cosβ)2＝1＋sin2β，答案第6页，总16页 ∴a－b＝(1＋sin2α)－(1＋sin2β)，＝sin2α－sin2β＜0，∴a＜b.又∵a＝sinα＋cosα＞0，b＝sinβ＋cosβ＞0，∴a＜b.【点睛】 (1)本题主要考查实数大小的比较，考查三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)比较实数大小，常用的有作差法和作商法，本题的关键是首先要想到比较12．B 【解析】 【分析】 的大小.2222先把函数变形得y＝【详解】，再利用基本不等式求函数的最值即得函数的值域.y＝，∵x＜0，∴－x＞0且y＜0，∴x＋＝－(－x＋)≤－2，∴y＝≥－3，当且仅当x＝－1时等号成立． 所以函数的值域为[－3,0).故答案为：B 【点睛】 （1）本题主要考查基本不等式，意在考查学生对该基础知识的掌握水平和分析推理能力.(2)使用基本不等式求最值时，要注意观察收集题目中的数学信息（正数、定值等），然后变形，答案第7页，总16页 配凑出基本不等式的条件.解答本题的关键是先变形y＝13．1760 【解析】 【分析】 .设池底长为x，根据条件建立水池的总造价，再根据基本不等式求最值.【详解】 设池底长为x，则宽为因此水池的总造价为，当且仅当【点睛】 在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.14．(－∞，－7)∪(－2，＋∞)【解析】 【分析】 先移项通分，再根据符号确定不等式解集.【详解】 时取等号，即这个水池的最低造价为1760元.，即解集为(－∞，－7)∪(－2，＋∞).【点睛】 本题考查分式不等式解法，考查基本求解能力.15．①③④ 【解析】 答案第8页，总16页 【分析】 由题意逐一考查所给的四个说法的正误即可.【详解】 逐一考查所给的四个说法：，则，说法①正确； 当时，不成立，说法②错误； 由绝对值三角不等式的性质可得：|x−2|+|y+2|⩾|(x−2)+(y+2)|=|x+y|，说法③正确；，则，说法④正确.综上可得，一定成立的不等式的序号是①③④.【点睛】 本题主要考查不等式的性质，利用不等式求最值，均值不等式成立的条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.16．1 【解析】 【分析】 由题意可知【详解】，结合均值不等式的结论求解函数的最大值即可.∵x 又∵y=4x-2 =≤-2+3=1，答案第9页，总16页 当且仅当5-4xx=1时等号成立，∴ymax=1.【点睛】 条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值． 17．（1）x的取值范围为(2，3)；（2）a的取值范围为(1，2]． 【解析】 【分析】 （1）先化简命题p和q,再根据p∧q为真得到x的取值范围.(2)先写出命题p和q，再根据p是q的充分不必要条件得到a的取值范围.【详解】 (1)由x2-4x+3<0，得1 由≤0，得2 ∵p∧q为真，∴p真，q真，∴,解得2 q：实数x满足x≤2或x>3； p：实数x满足x2-4ax+3a2≥0，由x2-4ax+3a2≥0，得x≤a或x≥3a． ∵p是q的充分不必要条件，所以a≤2且3a>3，解得1 (1)本题主要考查不等式的解法，考查复合命题的真假，考查充要条件的运用，意在考查学 答案第10页，总16页 生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)利用集合法判断充要条件，首先分清条件和结论；然后化简每一个命题，建立命题 和集合的对应关系.,则是的充分条件，若，则；最后利用下面的结论判断：①若是的充分非必要条件；②若③若且，即,则是的必要条件，若，则是的必要非充分条件； 时，则是的充要条件.18． 【解析】 【分析】 先化简命题p和q,再根据p是q的充分不必要条件分析推理得到a的取值范围.【详解】 由题意得，p：≤x≤1，q：a≤x≤a+1． ∵p是q的必要不充分条件，∴p是q的充分不必要条件，∴a+1≥1且a≤(等号不能同时取得)，∴0≤a≤． 故实数a的取值范围为【点睛】 ． (1)本题主要考查解不等式，考查充要条件的应用，意在考察学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)利用集合法判断充要条件，首先分清条件和结论；然后化简每一个命题，建立命题和集合的对应关系.,则是的充分条件，若，；最后利用下面,时，的结论判断：①若，则是的充分非必要条件；②若 且，即则是的必要条件，若，则是的必要非充分条件；③若 答案第11页，总16页 则是的充要条件.19．(1)【解析】 【分析】（1）由可得 .(2).(3)F(m)+F(n)>0.；然后再根据f(x)≥0恒成立并结合判别式可得a=1，进而可得，根据函数有单调性可得对称轴与所给 为奇函数且在R上为增函函数的解析式．（2）由题意可得区间的关系，从而可得k的取值范围．（3）结合题意可得函数数，再根据条件mn<0,m+n>0可得F(m)+F(n)>0． 【详解】(1)∵∴b=a+1.∵f(x)≥0对任意实数x恒成立，∴解得a=1． ∴f(x)=x2+2x+1.，故． (2)由(1)知f(x)=x2+2x+1，∴g(x)=f(x)-kx=x2+(2-k)x+1． 由g(x)在区间[-2,2]上是单调函数可得解得k≤-2或k≥6． 故k的取值范围为(3)∵f(-x)=f(x)，∴f(x)为偶函数，∴b=0． ． 或，答案第12页，总16页 又a>0，∴f(x)在区间[0,+∞)为增函数． 对于F(x),当x>0时，当x<0时,∴∴在，,且F(x)在区间[0,+∞)上为增函数，上为增函数． ； 由mn<0,知m,n异号,不妨设m>0,n<0, 则有m>-n>0，∴，． ∴【点睛】 （1）已知函数的单调性求参数的取值范围时，要结合抛物线的开口方向和对称轴与区间的关系进行求解，进而得到关于参数的不等式即可． （2）分段函数的奇偶性的判定要分段进行，在得到每一段上的函数的奇偶性后可得结论． 20．（1）见解析（2）f(x)＝x2＋x＋.（3）m∈(－∞，1＋【解析】 【分析】（1）由题得)．，所以f(2)=2.（2）由f(2)=2，f(－2)＝0得到a,b,c的方程组，再根据f(x)≥x恒成立得到ax2＋(b－1)x＋c≥0恒成立，即a>0.Δ＝(－1)2－4a(1－4a)≤0，解出a,b,c的值即得f(x)的表达式.(3)先转化为x2＋4(1－m)x＋2>0在x∈[0，＋∞)恒成立，再利用二次函数的图像数形结合分析得到m的取值范围.【详解】 (1)证明：由条件知： f(2)＝4a＋2b＋c≥2恒成立． 答案第13页，总16页 又因取x＝2时，f(2)＝4a＋2b＋c≤(2＋2)2＝2恒成立，∴f(2)＝2.(2)因∴4a＋c＝2b＝1.，∴b＝，c＝1－4a.又f(x)≥x恒成立，即ax2＋(b－1)x＋c≥0恒成立． ∴a>0.Δ＝(－1)2－4a(1－4a)≤0，解出：a＝，b＝，c＝.∴f(x)＝x2＋x＋.(3)g(x)＝x2＋(－)x＋>在x∈[0，＋∞)必须恒成立． 即x2＋4(1－m)x＋2>0在x∈[0，＋∞)恒成立，①Δ<0，即[4(1－m)]2－8<0.解得：1－ (1)本题主要考查二次不等式的恒成立问题，考查二次函数的解析式的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合分析推理能力.(2)解答第3问的关键是通过数形结合分析得到Δ<0或.21．生产甲种、乙种肥料各2车皮，能够产生最大利润，最大利润为3万元． 答案第14页，总16页 【解析】 【分析】 设生产甲种肥料x车皮、乙种肥料y车皮能够产生利润z万元，列出线性约束条件，再利用线性规划求解.【详解】 设生产甲种肥料x车皮、乙种肥料y车皮能够产生利润z万元． 目标函数为z＝x＋0.5y，约束条件为：，可行域如图中阴影部分的整点． 当直线y＝－2x＋2z经过可行域上的点M时，截距2z最大，即z最大． 解方程组所以zmax＝x＋0.5y＝3.所以生产甲种、乙种肥料各2车皮，能够产生最大利润，最大利润为3万元． 【点睛】 (1)本题主要考查线性规划的应用，意在考查学生对该知识的掌握水平和应用能力.(2)线性规划问题步骤如下：①根据题意，设出变量数行直线系 ；②列出线性约束条件；③确定线性目标函 得：M点坐标为(2,2)． ；④画出可行域（即各约束条件所示区域的公共区域）；⑤利用线性目标函数作平 ；⑥观察图形，找到直线 在可行域上使取得欲求最值的位置，以确定最优解，给出答案.22．见解析 答案第15页，总16页 【解析】 【分析】 先计算原草地的面积和整改后的草地面积，即得草地面积增加了.设减少x m，宽增加x m后，计算出新草地的面积，再比较和原草地面积的大小，即得x取什么值时，草地面积减少, x取什么值时，草地面积增加.【详解】 原草地面积S1＝11×15＝165(m2)，整改后草地面积为：S＝14×12＝168(m2)，∵S>S1，∴整改后草地面积增加了． 研究：长减少x m，宽增加x m后，草地面积为： S2＝(11＋x)(15－x)，∵S1－S2＝165－(11＋x)(15－x)＝x2－4x，∴当0 本题主要考查实数大小的比较，考查一元二次不等式的解法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.答案第16页，总16页 长春宽城区2018-2019学年初中数学勾股定理单元测试题 数学 2018.7 本试卷共7页，120分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题 共10小题，每小题3分，共30分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 1．如图，AD是Rt△ABC斜边BC上的高，将△ACD沿AD所在的直线折叠，点C恰好落在BC的中点E处，则∠B等于 （） A． 25° B． 30° C． 45° D． 60° 2．如图，是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，如果正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的两条边是分别是a，b，则a+b和的平方的值（） A． 1 3B． 19 C． 2 5D． 169 3．如图所示，一个圆柱高为8cm，底面圆的半径为5cm，则从圆柱左下角A点出发．沿圆柱体表面到右上角B点的最短路程为（） A． cm B． cm C． cm D． 以上都不对，那么AB的长度是（）4．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，BD=，DC=1，AC= A． B． 27 C． 3 D． 25 试卷第1页，总7页 5．如图是由5个正方形和5个等腰直角三角形组成的图形，已知③号正方形的面积是1，那么①号正方形的面积是（） A． 4B． 8 C． 16 D． 32 6．如图，一棵大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树干底部4米处，那么这棵树折断之前的高度是（） A． 8米 B． 12米 C． 5米 D． 5或7米 7．在以下列三个数为边长的三角形中，不能组成直角三角形的是（）A． 4、7、9 B． 5、12、1 3C． 6、8、10 D． 7、24、25 8．如图，在5×5的正方形网格中，以AB为边画直角△ABC，使点C在格点上，满足这样条件的点C的个数（） A． 6 B． 7 C． 8 D． 9 9．直角三角形两条直角边的长分别为3和4，则斜边长为（）A． 4B． 5C． 6 D． 10 10．如图矩形ABCD中，AB=3，BC= 3，点P是BC边上的动点，现将△PCD沿直线 PD折叠，使点C落在点C1处，则点B到点C1的最短距离为（） A． 5 B． 4 C． 3 D． 2 二、填空题 共10小题，每小题3分，共30分。 11．如图所示的图形由4个等腰直角形组成，其中直角三角形（1）的腰长为1cm，则直角三角形（4）的斜边长为__． 试卷第2页，总7页 12．如图，分别以直角三角形三边向外作三个半圆，若S1=30，S2=40，则S3=_____． 13．如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠C=90°，AB=AD=9，AE⊥BC于E，AE=8，则CD的长为_____． 14．在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C所对的边长．如果∠A=105°，∠B=45°，b= 2，那么c=_____． 15．把两个同样大小的含45°角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个的直角顶点重合于点A，且另三个锐角顶点B，C，D在同一直线上．若AB=，则CD=_____． 16．勾股定理a2+b2=c2本身就是一个关于a，b，c的方程，满足这个方程的正整数解（a，b，c）通常叫做勾股数组．毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式 可 以 构 造 出 如 下 勾 股 数 组 ：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），…．分析上面勾股数组可以发现，4=1×（3+1），12=2×（5+1），24=3×（7+1），…分析上面规律，第5个勾股数组为_____． 17．如图，△ABC中，∠C=90°，AC+BC=6，△ABC的面积为cm2，则斜边AB的长 试卷第3页，总7页 是_____cm． 18．已知三角形三边长分别为5，12，13，则此三角形的最大边上的高等于_____． 19．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=2，点D是边AB上的动点，将△ACD沿CD所在的直线折叠至△CDA的位置，CA'交AB于点E．若△A'ED为直角三角形，则AD的长为______． 20．如图，△ABO的边OB在数轴上，AB⊥OB，且OB=2，AB=1，OA=OC，那么数轴上点C所表示的数是_____． 三、解答题 共10小题，每小题6分，共60分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。 21．如图，5×5的正方形网格中隐去了一些网格线，AB，CD间的距离是2个单位，CD，EF间的距离是3个单位，格点O在CD上（网格线的交点叫格点）．请分别在图①、②中作格点三角形OPQ，使得∠POQ=90°，其中点P在AB上，点Q在EF上，且它们不全等． 22．如图，在长方体上有一只蚂蚁从项点A出发，要爬行到顶点B去找食物，一只长方体的长、宽、高分别为4、1、2，如果蚂蚁走的是最短路径，你能画出蚂蚁走的路线吗？ 试卷第4页，总7页 23．一驾2.5米长的梯子靠在一座建筑物上，梯子的底部离建筑物0.7米，如果梯子的顶部滑下0.4米，梯子的底部向外滑出多远（其中梯子从AB位置滑到CD位置）？ 24．在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，BC=2cm，以AC的中点O为旋转中心，把这个三角形旋转180°，点B旋转至B′处，求B′与B之间的距离． 25．如图，一圆柱高8cm，底面半径为cm，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，要爬行的最短路程是多少？ 26．如图，在四边形ABCD中，AB=AD=8，∠A=60°，∠ADC=150°，四边形ABCD的周长为32． （1）求∠BDC的度数；（2）四边形ABCD的面积． 27．已知△ABC，请用无刻度直尺画图． （1）在图1中，画一个与△ABC面积相等，且以BC为边的平行四边形；（2）在图2中，画一个与△ABC面积相等，且以点C为一顶点的正方形． 试卷第5页，总7页 28．已知：如图等腰△ABC中，AB=AC，BC=10，BD⊥AC于D，且BD=8．求△ABC的面积S△ABC． 29．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°．请完成以下任务．（1）尺规作图：①作∠A的平分线，交CB于点D； ②过点D作AB的垂线，垂足为点E．请保留作图痕迹，不写作法，并标明字母．（2）若AC=3，BC=4，求CD的长． 30．（1）如上图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，任意连接这些小正方形的顶点，可得到一些线段；请在图中画出AB=，CD=，EF= 这样的线段； （2）如图所示，在边长为1的网格中作出△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°后的图形△A¹B¹C¹；并计算对应点B和B¹之间的距离？ （3）如图是由5个边长为1的小正方形拼成的． 试卷第6页，总7页 ①将该图形分成三块（在图中画出），使由这三块可拼成一个正方形； ②求出所拼成的正方形的面积S． 试卷第7页，总7页 参考答案 1．B 【解析】 【分析】 利用隐含条件90°及等边三角形的性质求解即可.【详解】 因为E是直角三角形ABC的中点，所以AE=BE=EC，又因为∠AEC=∠ACE，所以AE=AC=EC，所以，∠C=60°，∠B=30°.【点睛】 利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键.2．C 【解析】 【分析】 根据正方形的面积公式以及勾股定理，结合图形进行分析发现：大正方形的面积即直角三角形斜边的平方13，也就是两条直角边的平方和是13，四个直角三角形的面积和是大正方形的面积减去小正方形的面积即2ab=12．根据完全平方公式即可求解． 【详解】 根据题意，结合勾股定理a2+b2=13，四个三角形的面积=4×ab=13−1，∴2ab=12，联立解得：(a+b)2=13+12=25． 故选C． 【点睛】 本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是注意完全平方公式的展开：(a+b)2=a2+b2+2ab，还要注意图形的面积和a，b之间的关系． 3．B 【解析】 【分析】 沿过A的圆柱的高AD剪开，展开得出平面，连接AB，根据勾股定理求出AB的长即可． 答案第1页，总19页 【详解】 沿过 A 的圆柱的高 AD 剪开，展开得出平面，如图 连接 AB，则 AB 的长就是从圆柱左下角 A 点出发.沿圆柱体表面到右上角 B 点的最短路程，由题意知： ∠BCA=90°，AC=×2×5cm×π=5πcm，BC=8cm，由勾股定理得： AB=故选B.【点睛】 本题考查了平面展开-最短路线问题及勾股定理的应用，解此题的关键是知道求出哪一条线段的长，题目比较好，但是一道比较容易出错的题目． 4．C 【解析】 【分析】 根据AC，DC解直角△ACD，可以求得AD，根据求得的AD和BD解直角△ABD，可以计算AB． 【详解】 ∵△ACD为直角三角形，∴AC2=AD2+DC2，∴AD=2，∵△ABD为直角三角形，∴AB2=AD2+BD2，∴AB=3，故选 C． 【点睛】 答案第2页，总19页 (cm).本题考查了直角三角形中勾股定理的灵活运用，根据两直角边求斜边，根据斜边和一条直角边求另一条直角边． 5．C 【解析】 【分析】 等腰直角三角形中，直角边长和斜边长的比值为1：，正方形面积为边长的平方；所以要求①号正方形的面积，求出①号正方形的边长即可． 【详解】 要求①号正方形的面积，求①号正方形的边长即可，题目中给出③号正方形的面积为1，即③号正方形的边长为1，根据勾股定理4号正方形的边长为求得①号正方形边长为4，所以①号正方形面积为4×4=16． 故选C． 【点睛】 本题考查的是在等腰直角三角形中勾股定理的运用，已知直角边求斜边边长，解本题的关键是正确的运用勾股定理． 6．A 【解析】 【分析】 先根据勾股定理求出折断部分的长，再加上没折断的部分即可.【详解】 米，3+5=8米.故选A.【点睛】 本题考查了勾股定理的应用，在直角三角形中，如果两条直角边分别为a和b，斜边为c，那么a2+b2=c2.也就是说，直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.7．A 【解析】 【分析】 答案第3页，总19页 ，以此类推，可以 根据勾股定理逆定理逐项分析即可.【详解】 A.∵42+72≠92，∴4、7、9不能组成直角三角形； B.∵52+122=132，∴ 5、12、13能组成直角三角形； C.∵62+82=102，∴6、8、10能组成直角三角形； D.∵72+242=252，∴7、24、25能组成直角三角形； 故选A.【点睛】 本题考查了勾股定理逆定理,如果三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形,在一个三角形中，即如果用a，b，c表示三角形的三条边，如果a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.8．C 【解析】 【分析】 如图，在5×5的正方形网格中，以AB为边画直角△ABC，使点C在格点上，满足这样条件的点C的个数． 【详解】 根据题意可得以AB为边画直角△ABC，使点C在格点上，满足这样条件的点C共 8个． 故选C． 【点睛】 本题主要考查了直角三角形的性质，解题时要注意找出所有符合条件的点． 9．B 【解析】 【分析】 利用勾股定理即可求出斜边长． 【详解】 答案第4页，总19页 由勾股定理得：斜边长为：故选B． 【点睛】 =5． 本题考查了勾股定理；熟练掌握勾股定理，理解勾股定理的内容是解题的关键． 10．C 【解析】 【分析】 连接BD，BC1，利用三角形三边关系得出BC1+DC1＞BD，得到当C1在线段BD上时，点B到点C1的距离最短，然后根据勾股定理计算即可.【详解】 连接BD，BC1，在△C′BD中，BC1+DC1＞BD，由折叠的性质可知，C1D=CD=3，∴当C1在线段BD上时，点B到点C1的距离最短，在Rt△BCD中，BD=此时BC1=6﹣3=3，故选：C． =6，【点睛】 本题考查了翻转变换的性质，解题的关键是熟练掌握：折叠前后图形的形状和大小不变，对应边和对应角相等.11．4 【解析】 【分析】 根据勾股定理先求出①的斜边，再逐步求出各三角形的斜边即可． 【详解】 根据勾股定理，①的斜边=③的斜边=；④的斜边= ；②的斜边= ； ．故答案为4． 答案第5页，总19页 【点睛】 本题主要考查了等腰直角三角形的性质，属于基础题型．利用勾股定理是解题的基本思路． 12．70 【解析】 【分析】 根据勾股定理以及圆面积公式，可以证明：S1+S2=S3．故S3=70． 【详解】 设直角三角形三边分别为a、b、c，如图所示： 则∵a2+b2=c2，，.∴即S1+S2=S3． ∴S3=70． 故答案为：70.【点睛】 ． 本题考查了圆的面积公式和勾股定理的应用，注意发现此图中的结论：S1+S2=S3． 13．8﹣【解析】 【分析】 作DF⊥AE于F，则四边形DCEF为矩形，即DC=EF，要求CD的长度，求出AF即可．再根据△ABE≌△ADF，要求AF求出BE即可． 【详解】 如图，答案第6页，总19页 作DF⊥AE于F，则DCEF为矩形，DC=EF，又∵∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°，∴∠1=∠3，又∵AB=AD，∴△ABE≌△ADF，∴AF=BE，在Rt△ABE中，BE=，.∴DC=EF=AE-AF=8-故答案为：8﹣.点睛】本题考查了在直角三角形中勾股定理的合理运用和全等三角形的构建及证明．解本题关键是求证全等三角形，和已知2边求直角三角形的第3边． 14．c=2 【解析】 【分析】 已知∠A，∠B根据内角和为180°，可以求出∠C，在直角△ACD中求得AD，在直角△ABD中求AD，根据AD=AD作为相等关系计算c． 【详解】 作AD⊥BC于点D，在直角△ACD中，∠C=180°-105°-45°=30°，答案第7页，总19页 AD=（直角三角形中30°角所对直角边为斜边的一半）； 在直角△ABD中，AD=BD，且AD2+BD2=AB2，AD= c，∴=∵b=2c，∴c=2． 故答案为：c=2． 【点睛】 本题考查了直角三角形中勾股定理的运用，本题中在直角△ACD和直角△ABD中求AD是解题的关键． 15． 【解析】 【分析】 先利用等腰直角三角形的性质求出BC=2，BF=AF=1，再利用勾股定理求出DF，即可得出结论． 【详解】 如图，过点A作AF⊥BC于F，在Rt△ABC中，∠B=45°，∴BC=AB=2，BF=AF=AB=1，∵两个同样大小的含45°角的三角尺，∴AD=BC=2，在Rt△ADF中，根据勾股定理得，DF= = 答案第8页，总19页 ∴CD=BF+DF-BC=1+故答案为：【点睛】-1．-2=-1，此题主要考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，正确作出辅助线是解本题的关键． 16．（11，60，61）【解析】 【分析】 由勾股数组：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25）…中，4=1×（3+1），12=2×（5+1），24=3×（7+1），…可得第5组勾股数中间的数为：5×（11+1）=60，进而得出（11，60，61）． 【详解】 由勾股数组：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25）…中，4=1×（3+1），12=2×（5+1），24=3×（7+1），…可得 第4组勾股数中间的数为4×（9+1）=40，即勾股数为（9，40，41）； 第5组勾股数中间的数为：5×（11+1）=60，即（11，60，61）． 故答案为：（11，60，61）． 【点睛】 本题主要考查了勾股数，关键是找出数据之间的关系，掌握勾股定理． 17．5 【解析】 【分析】 根据题意得到AC2+2AC•BC+BC2=36，根据三角形的面积公式得到AC•BC=理计算即可． 【详解】 ∵AC+BC=6，∴（AC+BC）2=AC2+2AC•BC+BC2=36．，根据勾股定∵△ABC的面积为，∴AC•BC=故答案为：5． 【点睛】，∴2AC•BC=11，∴AC2+BC2=25，∴AB= =5． 答案第9页，总19页 本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2． 18．【解析】 【分析】 根据勾股定理的逆定理，△ABC是直角三角形，利用它的面积：斜边×高÷2=直角边×直角边÷2，就可以求出最长边的高． 【详解】 ∵52+122=132，∴根据勾股定理的逆定理，△ABC是直角三角形，最长边是13，设斜边上的高为h，则S△ABC=×5×12=×13h，解得：h=． 故答案为：． 【点睛】 本题考查了勾股定理的逆定理和利用三角形的面积公式求高． 19．3﹣【解析】 【分析】 分两种情况:情况一：如图一所示，当∠A'DE=90°时； 情况二：如图二所示，当∠A'ED=90°时.【详解】 解：如图，当∠A'DE=90°时，△A'ED为直角三角形，或2 ∵∠A'=∠A=30°，∴∠A'ED=60°=∠BEC=∠B，答案第10页，总19页 ∴△BEC是等边三角形，∴BE=BC=2，又∵Rt△ABC中，AB=2BC=4，∴AE=2，设AD=A'D=x，则DE=2﹣x，∵Rt△A'DE中，A'D=∴x=（2﹣x），； DE，解得x=3﹣即AD的长为3﹣如图，当∠A'ED=90°时，△A'ED为直角三角形，此时∠BEC=90°，∠B=60°，∴∠BCE=30°，∴BE=BC=1，又∵Rt△ABC中，AB=2BC=4，∴AE=4﹣1=3，∴DE=3﹣x，设AD=A'D=x，则 Rt△A'DE中，A'D=2DE，即x=2（3﹣x），解得x=2，即AD的长为2； 综上所述，即AD的长为3﹣ 或2． 答案第11页，总19页 故答案为：3﹣【点睛】 或2． 本题考查了翻折变换，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质等知识，添加辅助线，构造直角三角形，学会运用分类讨论是解题的关键.20．﹣． 【解析】 【分析】 先根据勾股定理求出OA的长度【详解】，，，OA＝OC＝，再由OC位于负半轴上，即可求出答案.∴根据勾股定理，得，点C在负半轴上，∴答案为【点睛】 本题主要考查勾股定理和无理数的应用.21．见解析 【解析】 【分析】.先将AE、BF上的网格线补齐，因为∠POQ＝90°，则P和Q都在O点的右侧，且PQ在格点上，当P点在靠近A的第二个格点处，利用旋转的方法，将OP旋转90°，然后判断EF上是否存在点Q使得∠POQ＝90°,同理判断当P在第三个格点、第四个格点、第五个格点时EF上是否存在点Q使得∠POQ＝90°.答案第12页，总19页 【详解】 解：△POQ如图所示； 【点睛】 熟练掌握网格中直角三角形的作图技巧是本题的解题关键.22．见解析 【解析】 【分析】 分为两种情况：如图1根据勾股定理求出AB长，如图2根据勾股定理求出AB长，得出图1时最短，画出即可． 【详解】 解：能； 线段AB的长就是蚂蚁走的最短距离，分为两种情况：如图1：AC=4，BC=2+1=3，∠C=90°，由勾股定理得：AB=5； 如图2：AC=4+1=5，BC=2，∠C=90°，在△ABC中，由勾股定理得：AB=∴沿图1路线走时最短，＞5，； 如图3： 答案第13页，总19页 即能画出蚂蚁走的最短路线：如图从A到C′再到B或先沿底面走到C''然后走到B． 【点睛】 本题考查了勾股定理，最短路线问题的应用，关键是能求出符合条件的最短路线的长，题目比较好，但是一道比较容易出错的题目． 23．0.8米 【解析】 【分析】 要求梯子的底部滑出多远，就要求梯子原先顶部的高度AO，且△AOB，△COD均为直角三角形，可以运用勾股定理求解． 【详解】 解：在直角三角形AOB中，根据勾股定理AB=AO+OB，可以求得： OA==2.4米，2 22现梯子的顶部滑下0.4米，即OC=2.4﹣0.4=2米，且CD=AB=2.5米，所以在直角三角形COD中DO=CD﹣CO，即DO==1.5米，22 2所以梯子的底部向外滑出的距离为1.5米﹣0.7米=0.8米． 答：梯子的底部向外滑出的距离为0.8米． 【点睛】 本题考查的是勾股定理的实际应用，找出题目中隐含的直角三角形是解题的关键． 24．BB′=2【解析】 【分析】 由以AC的中点O为旋转中心，把这个三角形旋转180°，点B旋转至B'处，根据旋转的性 答案第14页，总19页 cm． 质得OB′=OB，在Rt△BOC中，AC=BC=2cm，可得OC=1cm，根据勾股定理可计算出OB,即可得到BB′.【详解】 如答图所示． 因为AC=BC=2cm，所以OC=1cm． 在Rt△BOC中，OB=又因为OB′=OB=【点睛】 本题考查了旋转的性质:旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等.也考查了等腰三角形的性质和勾股定理.25．从点A爬到点B的最短路程是10厘米． 【解析】 【分析】 根据题意画出圆柱的侧面展开图，利用勾股定理求解即可． 【详解】 圆柱的侧面展开图如图所示． = = （cm），cm，所以BB′=2cm． ∵圆柱的底面半径为cm，高为8cm，∴AD=6cm，BD=8cm，∴AB==10（cm）． 答：从点A爬到点B的最短路程是10厘米． 【点睛】 本题考查的是平面展开﹣最短路径问题，此类问题应先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角 答案第15页，总19页 三角形解决问题． 26．（1）∠BDC=90°；（2）四边形ABCD的面积为24+16【解析】 【分析】 （1）先根据题意得出△ABD是等边三角形，△BCD是直角三角形，进而可求出∠BDC的度数； （2）根据四边形周长计算BC，CD，即可求△BCD的面积，正△ABD的面积根据计算公式计算，即可求得四边形ABCD的面积为两个三角形的面积的和． 【详解】 （1）∵AB=AD=8cm，∠A=60°，∴△ABD是等边三角形． ∵∠ADC=150°，∴∠BDC=150°﹣60°=90°； ． （2）∵△ABD为正三角形，AB=8cm，∴其面积为××AB×AD=16． ∵BC+CD=32﹣8﹣8=16，且BD=8，BD2+CD2=BC2，解得：BC=10，CD=6，∴直角△BCD的面积=×6×8=24，故四边形ABCD的面积为24+16【点睛】 ． 本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键． 27．(1)见解析;(2)见解析.【解析】 【分析】 （1）利用平行四边形的性质以及其面积求法进而得出答案；（2）利用正方形的性质以及勾股定理进而得出答案． 【详解】 （1）如图1所示：平行四边形BCDE即为所求；（2）如图2所示：正方形CDEF即为所求． 答案第16页，总19页 【点睛】 此题主要考查了复杂作图以及平行四边形、正方形的性质，正确应用网格是解题关键． 28．【解析】 【分析】 根据勾股定理求出CD的长，再设AD为未知数x，则AB＝CD＋x，在Rt△BDA中，BD2＋AD2＝AB2,列一元二次方程求解得到AD.则S△ABC＝AC×BD＝（AD＋CD）×BD.【详解】 ：∵BD⊥AC，在Rt△BCD中，BD＝8，BC＝10，∴CD＝6，设AB＝AC＝x，则AD＝x﹣6，在Rt△ABD中，AD2＋BD2＝AB2，∴（x﹣6）2＋82＝x2，∴x＝，∴S△ABC＝AC∙BD＝【点睛】 本题主要考查了勾股定理以及一元二次方程的应用，熟练掌握这些知识是解答此类问题的关键.． 29．（1）①作图见解析；②作图见解析；（2）CD=． 【解析】 【分析】 （1）①按作角平分线的步骤（以点A为圆心，以任意长为半径画弧，与角的两边各有一个 答案第17页，总19页 交点，分别以这两个交点为圆心，以大于这两点距离的一半为半径画弧，两弧在角内交于一点，过点A以及这个交点作射线即可）进行作图即可得； ②根据过直线外一点作直线的垂线的方法（以点D为圆心，以大于点D到直线AB的距离为半径画弧，与AB交于两点，分别以这两点为圆心，以大于这两点的距离的一半画弧，两弧交于一点，过点D以及这个交点画直线即可）进行作图即可得； （2）在Rt△ABC中，由勾股定理可求得AB的长，根据作图可知DE=DC，∠AED=∠C=90°，再根据S△ACD+S△ABD=S△ABC，列式计算即可得答案.【详解】 （1）如图所示：①AD是∠A的平分线； ②DE是AB的垂线； （2）在Rt△ABC中，由勾股定理得： AB= =5，由作图过程可知：DE=DC，∠AED=∠C=90°，∵S△ACD+S△ABD=S△ABC，∴AC•CD+AB•DE=AC•BC，∴×3×CD+×5×CD=×3×4，解得：CD=． 【点睛】 本题考查了作图——复杂作图，勾股定理、三角形的面积等知识，熟练掌握角平分线的作法、垂线的作法是解题的关键.30．见解析 【解析】 答案第18页，总19页 【分析】（1）为直角边长为1，1的直角三角形的斜边长； 为直角边长为1，2的直角三角形的斜边长；为直角边长为2，3的直角三角形的斜边长； （2）在AB的左边做AB′⊥AB，AC′⊥AC，且AB′=AB，AC′=AC，连接B′C′即可；把BB′放在直角边长为2，4的直角三角形的斜边上，利用勾股定理即可求得BB′长；（3）有5个正方形，那么新正方形的面积为5，边长为，分成3块，应有两条剪切线，那么应沿左边第一列两个正方形组成的长方形和下边第一行右边两个正方形组成的长方形的对角线剪切，注意应分割为3块． 【详解】 （1） （2）B和B¹之间的距离为（3）① ； ； ②正方形的面积S=5． 【点睛】 无理数通常转换为直角边长为有理数的直角三角形的斜边的长；正方形的面积的算术平方根为正方形的边长． 答案第19页，总19页 高中数学竞赛讲义 （八）──平面向量 一、基础知识 定义1 既有大小又有方向的量，称为向量。画图时用有向线段来表示，线段的长度表示向量的模。向量的符号用两个大写字母上面加箭头，或一个小写字母上面加箭头表示。书中用黑体表示向量，如a.|a|表示向量的模，模为零的向量称为零向量，规定零向量的方向是任意的。零向量和零不同，模为1的向量称为单位向量。 定义2 方向相同或相反的向量称为平行向量（或共线向量），规定零向量与任意一个非零向量平行和结合律。 定理1 向量的运算，加法满足平行四边形法规，减法满足三角形法则。加法和减法都满足交换律和结合律。 定理2 非零向量a, b共线的充要条件是存在实数 0，使得a= f 定理3平面向量的基本定理，若平面内的向量a, b不共线，则对同一平面内任意向是c，存在唯一一对实数x, y，使得c=xa+yb，其中a, b称为一组基底。 定义3 向量的坐标，在直角坐标系中，取与x轴，y轴方向相同的两个单位向量i, j作为基底，任取一个向量c，由定理3可知存在唯一一组实数x, y，使得c=xi+yi，则（x, y）叫做c坐标。 定义4 向量的数量积，若非零向量a, b的夹角为，则a, b的数量积记作a·b=|a|·|b|cos=|a|·|b|cos b x1x2+y1y2=0.(a, b0)，定义5 若点P是直线P1P2上异于p1，p2的一点，则存在唯一实数λ，使，λ叫P分所成的比，若O为平面内任意一点，则。由此可得若P1，P，P2的坐标分别为(x1, y1),(x, y),(x2, y2)，则 讲义八 / 8 定义6 设F是坐标平面内的一个图形，将F上所有的点按照向量a=(h, k)的方向，平移|a|=个单位得到图形，这一过程叫做平移。设p(x, y)是F上任意一点，平移到上对应的点为，则称为平移公式。 定理5 对于任意向量a=(x1, y1), b=(x2, y2), |a·b|≤|a|·|b|，并且|a+b|≤|a|+|b|.【证明】 因为|a|2·|b|2-|a·b|2= -(x1x2+y1y2)2=(x1y2-x2y1)2≥0，又|a·b|≥0, |a|·|b|≥0，所以|a|·|b|≥|a·b|.由向量的三角形法则及直线段最短定理可得|a+b|≤|a|+|b|.注：本定理的两个结论均可推广。1）对n维向量，a=(x1, x2,…,xn)，b=(y1, y2, …, yn)，同样有|a·b|≤|a|·|b|，化简即为柯西不等式： (x1y1+x2y2+…+xnyn)2≥0，又|a·b|≥0, |a|·|b|≥0，所以|a|·|b|≥|a·b|.由向量的三角形法则及直线段最短定理可得|a+b|≤|a|+|b|.注：本定理的两个结论均可推广。1）对n维向量，a=(x1, x2,…,xn), b=(y1, y2, …, yn)，同样有|a·b|≤|a|·|b|，化简即为柯西不等式：(x1y1+x2y2+…+xnyn)2。 2）对于任意n个向量，a1, a2, …,an，有| a1, a2, …,an|≤| a1|+|a2|+…+|an|。 二、方向与例题 1．向量定义和运算法则的运用。 例1 设O是正n边形A1A2…An的中心，求证： 【证明】 记后与原正n边形重合，所以，若 不变，这不可能，所以，则将正n边形绕中心O旋转 例2 给定△ABC，求证：G是△ABC重心的充要条件是【证明】必要性。如图所示，设各边中点分别为D，E，F，延长AD至P，使DP=GD，则 又因为BC与GP互相平分，所以BPCG为平行四边形，所以BG所以 PC，所以 讲义八 / 8 充分性。若因为，延长AG交BC于D，使GP=AG，连结CP，则，则，所以GB CP，所以AG平分BC。 同理BG平分CA。 所以G为重心。 例3 在凸四边形ABCD中，P和Q分别为对角线BD和AC的中点，求证：AB2+BC2+CD2+DA2=AC2+BD2+4PQ2。 【证明】 如图所示，结结BQ，QD。 因为所以==又因为同理，②，③ 由①，②，③可得 。得证。 2．证利用定理2证明共线。 例4 △ABC外心为O，垂心为H，重心为G。求证：O，G，H为共线，且OG：GH=1：2。，· ① 【证明】 首先 = 其次设BO交外接圆于另一点E，则连结CE后得CE又AH又EABC，所以AH//CE。AB，CH AB，所以AHCE为平行四边形。 讲义八 / 8 所以所以所以所以与，共线，所以O，G，H共线。 所以OG：GH=1：2。 3．利用数量积证明垂直。 例5 给定非零向量a, b.求证：|a+b|=|a-b|的充要条件是a【证明】|a+b|=|a-b| (a+b)2=(a-b) 2b.a·b=0 a b.a2+2a·b+b2=a2-2a·b+b2例6 已知△ABC内接于⊙O，AB=AC，D为AB中点，E为△ACD重心。求证：OECD。 【证明】 设，则，又，所以 a·(b-c).（因为|a|2=|b|2=|c|2=|OH|2） 又因为AB=AC，OB=OC，所以OA为BC的中垂线。所以a·(b-c)=0.所以OE CD。 4．向量的坐标运算。 例7 已知四边形ABCD是正方形，BE//AC，AC=CE，EC的延长线交BA的延长线于点F，求证：AF=AE。 讲义八/ 8 【证明】 如图所示，以CD所在的直线为x轴，以C为原点建立直角坐标系，设正方形边长为1，则A，B坐标分别为（-1，1）和（0，1），设E点的坐标为（x, y），则y-1), 又因为，因为，所以-x-(y-1)=0.=(x,，所以x2+y2=2.由①，②解得 所以 设所以所以，则，即F=4+ 。由和，共线得，所以AF=AE。 三、基础训练题 1．以下命题中正确的是__________.①a=b的充要条件是|a|=|b|，且a//b；②(a·b)·c=(a·c)·b；③若a·b=a·c，则b=c；④若a, b不共线，则xa+yb=ma+nb的充要条件是x=m, y=n；⑤若在b=(-3, 4)上的投影为-4。 2．已知正六边形ABCDEF，在下列表达式中：①③ ；④ 与，相等的有__________.；②；，且a, b共线，则A，B，C，D共线；⑥a=(8, 1)3．已知a=y-x, b=2x-y, |a|=|b|=1, a·b=0，则|x|+|y|=__________.4．设s, t为非零实数，a, b为单位向量，若|sa+tb|=|ta-sb|，则a和b的夹角为__________.5．已知a, b不共线，条件.6．在△ABC中，M是AC中点，N是AB的三等分点，且于D，若7．已知__________.8．已知 =b, a·b=|a-b|=2，当△AOB面积最大时，a与b的夹角为__________.讲义八 / 8 =a+kb, =la+b，则“kl-1=0”是“M，N，P共线”的__________，BM与CN交，则λ=__________.不共线，点C分 所成的比为2，则9．把函数y=2x2-4x+5的图象按向量a平移后得到y=2x2的图象，c=(1,-1), 若c·b=4，则b的坐标为__________.，10．将向量a=(2, 1)绕原点按逆时针方向旋转得到向量b，则b的坐标为__________.与11．在Rt△BAC中，已知BC=a，若长为2a的线段PQ以点A为中点，试问的夹角取何值时的值最大？并求出这个最大值。 12．在四边形ABCD中，如果a·b=b·c=c·d=d·a，试判断四边形ABCD的形状。 四、高考水平训练题 1．点O是平面上一定点，A，B，C是此平面上不共线的三个点，动点P满足 则点P的轨迹一定通过△ABC的________心。 2．在△ABC中，3．非零向量=__________.4．若O为△ABC 的内心，且为__________.5．设O点在△ABC 内部，且__________.6．P是△ABC所在平面上一点，若__________心.7．已知，则| |的取值范，则P是△ABC 的，则△AOB与△AOC的面积比为，则△ABC 的形状，且a·b<0，则△ABC的形状是__________.，若点B关于 所在直线对称的点为B1，则围是__________.8．已知a=(2, 1), b=(λ, 1)，若a与b的夹角为锐角，则λ的取值范围是__________.9．在△ABC中，O为中线AM上的一个动点，若AM=2，则值为__________.10．已知集合M={a|a=(1, 2)+ λ(3, 4), λ∈R}，集合N={a|a=(-2,-2)+ λ(4, 5), λ∈R},mj MN=__________.讲义八 / 8 的最小11．设G为△ABO的重心，过G的直线与边OA和OB分别交于P和Q，已知，△OAB与△OPQ的面积分别为S和T，（1）求y=f(x)的解析式及定义域；（2）求的取值范围。 12．已知两点M（-1，0），N（1，0），有一点P使得成公差小于零的等差数列。 （1）试问点P的轨迹是什么？（2）若点P坐标为(x0, y0), 求tan.五、联赛一试水平训练题 1．在直角坐标系内，O为原点，点A，B坐标分别为（1，0），（0，2），当实数p, q 为 与的夹角，满足时，若点C，D分别在x轴，y轴上，且，则直线CD恒过一个定点，这个定点的坐标为___________.2．p为△ABC内心，角A，B，C所对边长分别为a, b, c.O为平面内任意一点，则 =___________（用a, b, c, x, y, z表示）.3．已知平面上三个向量a, b, c均为单位向量，且两两的夹角均为1200，若|ka+b+c|>1(k∈R)，则k的取值范围是___________.4．平面内四点A，B，C，D满足，则的取值有___________个.5．已知A1A2A3A4A5是半径为r的⊙O内接正五边形，P为⊙O上任意一点，则 取值的集合是___________.6．O为△ABC所在平面内一点，A，B，C为△ABC 的角，若sinA·+sinC·，则点O为△ABC 的___________心.(a-b)”的___________条件.，又(c·b)：(b·a)：(a·c)=1：2：3，则△ABC +sinB·7．对于非零向量a, b, “|a|=|b|”是“(a+b)8．在△ABC 中，三边长之比|a|：|b|：|c|=____________.9．已知P为△ABC内一点，且，CP交AB于D，求证： 讲义八 / 8 10．已知△ABC的垂心为H，△HBC，△HCA，△HAB的外心分别为O1，O2，O3，令，求证：（1）2p=b+c-a；（2）H为△O1O2O3的外心。 11．设坐标平面上全部向量的集合为V，a=(a1, a2)为V中的一个单位向量，已知从V到的变换T，由T(x)=-x+2(x·a)a(x∈V)确定，（1）对于V的任意两个向量x, y, 求证：T(x)·T(y)=x·y； （2）对于V的任意向量x，计算T[T(x)]-x；（3）设u=(1, 0)；，若，求a.六、联赛二试水平训练题 1．已知A，B为两条定直线AX，BY上的定点，P和R为射线AX上两点，Q和S为射线BY上的两点，为定比，M，N，T分别为线段AB，PQ，RS上的点，为另一定比，试问M，N，T三点的位置关系如何？证明你的结论。 2．已知AC，CE是正六边形ABCDEF的两条对角线，点M，N分别内分AC，CE，使得AM：AC=CN：CE=r，如果B，M，N三点共线，求r.3．在矩形ABCD的外接圆的弧AB上取一个不同于顶点A，B的点M，点P，Q，R，S是M分别在直线AD，AB，BC，CD上的射影，求证：直线PQ与RS互相垂直。 4．在△ABC内，设D及E是BC的三等分点，D在B和F之间，F是AC的中点，G是AB的中点，又设H是线段EG和DF的交点，求比值EH：HG。 5．是否存在四个平面向量，两两不共线，其中任何两个向量之和均与其余两个向量之和垂直？ 6．已知点O在凸多边形A1A2…An内，考虑所有的AiOAj，这里的i, j为1至n中不同的自然数，求证：其中至少有n-1个不是锐角。 7．如图，在△ABC中，O为外心，三条高AD，BE，CF交于点H，直线ED和AB交于点M，FD和AC交于点N，求证：（1）OB DF，OC DE，（2）OH MN。 8．平面上两个正三角形△A1B1C1和△A2B2C2，字母排列顺序一致，过平面上一点O作，求证△ABC为正三角形。 9．在平面上给出和为 的向量a, b, c, d，任何两个不共线，求证： |a|+|b|+|c|+|d|≥|a+d|+|b+d|+|c+d|.讲义八/ 8 【摘要】“高中数学平面向量的公式知识点”数学公式讲解是这门学科的要点，套用公式是最终的题解方法，希望本文可以为大家带来帮助： 定比分点 定比分点公式(向量P1P=λ•向量PP2)设P1、P2是直线上的两点，P是l上不同于P1、P2的任意一点。则存在一个实数 λ，使 向量P1P=λ•向量PP2，λ叫做点P分有向线段P1P2所成的比。 若P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，P(x,y)，则有 OP=(OP1+λOP2)(1+λ);(定比分点向量公式)x=(x1+λx2)/(1+λ), y=(y1+λy2)/(1+λ)。(定比分点坐标公式)我们把上面的式子叫做有向线段P1P2的定比分点公式 三点共线定理 若OC=λOA +μOB ,且λ+μ=1 ,则A、B、C三点共线 三角形重心判断式 在△ABC中，若GA +GB +GC=O,则G为△ABC的重心 [编辑本段]向量共线的重要条件 若b≠0，则a//b的重要条件是存在唯一实数λ，使a=λb。 a//b的重要条件是 xy'-x'y=0。 零向量0平行于任何向量。 [编辑本段]向量垂直的充要条件 a⊥b的充要条件是 a•b=0。 a⊥b的充要条件是 xx'+yy'=0。 零向量0垂直于任何向量.设a=(x，y)，b=(x'，y')。 1、向量的加法 向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。 AB+BC=AC。 a+b=(x+x'，y+y')。a+0=0+a=a。 向量加法的运算律： 交换律：a+b=b+a;结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。 2、向量的减法 如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0.0的反向量为0 AB-AC=CB.即“共同起点，指向被减” a=(x,y)b=(x',y')则 a-b=(x-x',y-y').4、数乘向量 实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣•∣a∣。 当λ>0时，λa与a同方向;当λ<0时，λa与a反方向;当λ=0时，λa=0，方向任意。 当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0。注：按定义知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。 实数λ叫做向量a的系数，乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。 当∣λ∣>1时，表示向量a的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上伸长为原来的∣λ∣倍;当∣λ∣<1时，表示向量a的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上缩短为原来的∣λ∣倍。 数与向量的乘法满足下面的运算律 结合律：(λa)•b=λ(a•b)=(a•λb)。 向量对于数的分配律(第一分配律)：(λ+μ)a=λa+μa.数对于向量的分配律(第二分配律)：λ(a+b)=λa+λb.数乘向量的消去律：① 如果实数λ≠0且λa=λb，那么a=b。② 如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ。 3、向量的的数量积 定义：已知两个非零向量a,b。作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角，记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π 定义：两个向量的数量积(内积、点积)是一个数量，记作a•b。若a、b不共线，则a•b=|a|•|b|•cos〈a，b〉;若a、b共线，则a•b=+-∣a∣∣b∣。 向量的数量积的坐标表示：a•b=x•x'+y•y'。 向量的数量积的运算律 a•b=b•a(交换律);(λa)•b=λ(a•b)(关于数乘法的结合律);(a+b)•c=a•c+b•c(分配律);向量的数量积的性质 a•a=|a|的平方。 a⊥b 〈=〉a•b=0。 |a•b|≤|a|•|b|。 向量的数量积与实数运算的主要不同点 1、向量的数量积不满足结合律，即：(a•b)•c≠a•(b•c);例如：(a•b)^2≠a^2•b^2。 2、向量的数量积不满足消去律，即：由 a•b=a•c(a≠0)，推不出 b=c。 3、|a•b|≠|a|•|b| 4、由 |a|=|b|，推不出 a=b或a=-b。 4、向量的向量积 定义：两个向量a和b的向量积(外积、叉积)是一个向量，记作a×b。若a、b不共线，则a×b的模是：∣a×b∣=|a|•|b|•sin〈a，b〉;a×b的方向是：垂直于a和b，且a、b和a×b按这个次序构成右手系。若a、b共线，则a×b=0。 向量的向量积性质： ∣a×b∣是以a和b为边的平行四边形面积。 a×a=0。 a‖b〈=〉a×b=0。 向量的向量积运算律 a×b=-b×a;(λa)×b=λ(a×b)=a×(λb);(a+b)×c=a×c+b×c.注：向量没有除法，“向量AB/向量CD”是没有意义的。向量的三角形不等式 1、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣;① 当且仅当a、b反向时，左边取等号;② 当且仅当a、b同向时，右边取等号。 2、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a-b∣≤∣a∣+∣b∣。 ① 当且仅当a、b同向时，左边取等号;② 当且仅当a、b反向时，右边取等号。第二篇：长春宽城区2018-2019学年高中数学不等式单元测试题
第三篇：长春宽城区2018-2019学年初中数学勾股定理单元测试题-专题
第四篇：高中数学竞赛讲义(八)平面向量
第五篇：高中数学平面向量的公式知识点
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