第一篇：高中数学必修4人教A教案第二章平面向量复习
第二章
平面向量复习课
（一）一、教学目标
1.理解向量.零向量.向量的模.单位向量.平行向量.反向量.相等向量.两向量的夹角等概念。2.了解平面向量基本定理.3.向量的加法的平行四边形法则（共起点）和三角形法则（首尾相接）。4.了解向量形式的三角形不等式：||a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|(试问：取等号的条件是什么?)和向量形式的平行四边形定理：2(|a|2+|b|2)=|a－b|2+|a+b|2.5.了解实数与向量的乘法（即数乘的意义）： 6.向量的坐标概念和坐标表示法
7.向量的坐标运算（加.减.实数和向量的乘法.数量积）
8.数量积（点乘或内积）的概念，a·b=|a||b|cos=x1x2+y1y2注意区别“实数与向量的乘法；向量与向量的乘法”
二、知识与方法
向量知识，向量观点在数学.物理等学科的很多分支有着广泛的应用，而它具有代数形式和几何形式的“双重身份”能融数形于一体，能与中学数学教学内容的许多主干知识综合，形成知识交汇点，所以高考中应引起足够的重视.数量积的主要应用：①求模长；②求夹角；③判垂直
三、教学过程
（一）重点知识：
1.实数与向量的积的运算律：
(1)(a)()a(2)()a aa(3)(ab)ab
2.平面向量数量积的运算律:
(1)abba
(2)(a)b(ab)a(b)
(3)(ab)c acbc
3.向量运算及平行与垂直的判定: 设a(x1,y1),b(x2,y2),(b0).则ab(x1x2,y1y2)
ab(x1x2,y1y2)
abx1x2y1y2
a//bx1y2x2y10.abx1x2y1y20.4.两点间的距离:
|AB|(x1x2)2(y1y2)2
5.夹角公式: cosab a bx1x2y1y2 x1y1x2y22222
6.求模：
aaa
ax2ya(x1x2)2(y1y2)2
（二）习题讲解：第二章 复习参考题
（三）典型例题
例1． 已知O为△ABC内部一点，∠AOB=150°，∠BOC=90°，设OA=a，OB=b，OC=c，且|a|=2，|b|=1，| c|=3，用a与b表示c
解：如图建立平面直角坐标系xoy，其中i, j是单位正交基底向量, 则B（0，1），C（-3，0），设A（x，y），则条件知x=2cos(150°-90°),y=-2sin(150°-90°)，即A（1，-3），也就是a=i －3j, b=j，c=-3i所以-3a=33b+c|即c=3a－33b
（四）基础练习：
（五）、小结：掌握向量的相关知识。
（六）、作业：
第二章
平面向量复习课
（二）一、教学过程
（一）习题讲解：
（二）典型例题
例1．已知圆C：(x3)(y3)4及点A（1，1），M是圆上任意一点，点N在线
22段MA的延长线上，且MA2AN，求点N的轨迹方程。
练习：1.已知O为坐标原点，OA=（2，1），OB=（1，7），OC=（5，1），OD=xOA,y=DB·DC（x，y∈R）
求点P（x，y）的轨迹方程；
2.已知常数a>0，向量m(0,a),n(1,0)，经过定点A（0，－a）以mn为方向向量的直线与经过定点B（0，a）以n2m为方向向量的直线相交于点P，其中R.求点P的轨迹C的方程；
例2.设平面内的向量OA(1,7), OB(5,1), OM(2,1)，点P是直线OM上的一个动点，求当PAPB取最小值时，OP的坐标及APB的余弦值．
解
设OP(x,y)．∵
点P在直线OM上，∴ OP与OM共线，而OM(2,1)，∴
x－2y=0即x=2y，有OP(2y,y)．∵ PAOAOP(12y,7y)，PBOBOP(52y,1y)，∴ PAPB(12y)(52y)(7y)(1y)
= 5y2－20y+12 = 5(y－2)2－8．
从而，当且仅当y=2，x=4时，PAPB取得最小值－8，此时OP(4,2)，PA(3,5)，PB(1,1)．
于是|PA|34，|PB|2，PAPB(3)15(1)8，∴ cosAPBPAPB|PA||PB|8342417 17小结：利用平面向量求点的轨迹及最值。
作业：
第二篇：高中数学必修4平面向量复习5正弦定理余弦定理
5．5正弦定理、余弦定理
要点透视：
1．正弦定理有以下几种变形，解题时要灵活运用其变形公式．
（1）a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；
abc（2）sinA＝，sinB＝，sinC＝： 2R2R2R
（3）sinA：sinB：sinC＝a：b：c．
可以用来判断三角形的形状，其主要功能是实现三角形中的边角关系转化，如常把a，b，c换成2Rsin A，2Rsin B，2Rsin C来解题．
2．判断三角形的形状特征，必须从研究三角形的边与边关系，或角与角的关系入手，充分利用正弦定理与余弦定理进行边角转化，由三角形的边或角的代数运算或三角运算，找出边与边或角与角的关系，从而作出正确判断．
3．要注意利用△ABC中 A＋B＋C＝π，以及由此推得的一些基本关系式
BCAsin(B＋C)＝sinA，cos(B＋C)=－sinA，sin＝cos等，进行三角变换的运2
2用．
4．应用解三角形知识解决实际问题时，要分析和研究问题中涉及的三角形，它的哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，应选用正弦定理还是余弦定理进行求解．
5．应用解三角形知识解实际问题的解题步骤：
（1）根据题意画出示意图．
（2）确定实际问题所涉及的三角形，并搞清该三角形的已知元和末知元．
（3）选用正、余弦定理进行求解，并注意运算的正确性．
（4）给出答案．
活题精析：
例1．(2001年全国卷)已知圆内接四边形ABCD的边长是AB＝2，BC＝6，CD=DA＝4，求四边形ABCD的面积．
要点精析：本题主要考查三角函数的基础知识，以及应用三角形面积公式和余弦定理解三角形的方法，考查应用数学知识分析、解决实际问题的能力．
解：如图所示，连BD，四边形ABCD的面积
11S=SABDSCDB=AB·AD·sinA+BC·CDsinC，2
21∵ A＋C=180°，∴ sin A= sin C，于是 S=(2×4＋4×6)·sin A=16sin A． 2
222在△ABD中，BD=AB＋AD－2AB·ADcosA＝20－16cosA．
在△CBD中，BD2＝CD2＋BC2－2CD·BCcosC＝52－48cosC．
213又cosA=－cosC, cosA=－, ∵ A∈(0, π), ∴ A=π, sinA=.232
3∴ S=16×=8.2
例2．（2004春北京卷）在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对
边长，已知a，b，c成等比数列，且a2－c2＝ac－bc，求∠A的大小及bsinB的c值。
要点精析：（1）∵ a，b，c成等差数列，∴ b2=ac．
又a2－c2=ac－bc，∴ b2＋c2－a2＝bc，在△ABC中，由余弦定理得
b2c2a21cosA==．∴ A=60°； 22bc
bsinA（2）解法1：在△ABC中，由正弦定理得sinB=，a
bsinBb2sin6032∵ b=ac，∠A=60°，∴ ==sn60=． cca2
11解法2.在△ABC中，由面积公式得bcsinA=acsinB，∵ b2=ac，22
bsinB3∠A＝60°，∴ bcsinA＝b2 sinB，∴ ＝sinA＝.c2
例3．（2001年上海卷）已知a，b，c是△ABC中∠A，∠B，∠C的对边，S是△ABC的面积，若a＝4，b＝5，S＝5，求c的长度．
13要点精析：∵ S=absinC，∴sinc=，于是∠C=60°或∠C=120°． 22
又∵ c2＝a2+b2－2abcosC，当∠C=60°时，c2＝a2＋b2－ab，c
当∠C=120°时，c2=a2＋b2＋ab，c，∴ c
.练习题
一、选择题
tanAa
21．在△ABC中，若，则△ABC是（）tanBb2
A．等腰（非直角）三角形B．直角（非等腰）三角形
C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形
ABab2．在△ABC中，tan，则三角形中（）2ab
A．a＝b且c>2aB．c2=a2＋b2且a≠b
2cD．a=b或c2=a2+b2
3．为测某塔AB的高度，在一幢与塔AB相距20 m的楼的楼顶处测得塔顶的仰角为30°，测得塔基B的俯角为45°，那么塔AB的高度是（）
33A．20(1+)mB．20(1+)m 32
C．20(1+)mD．30m
4．设α，β是钝角三角形的两个锐角，下列四个不等式中不正确的是（）
1A．tanαtanβ<1B．sinβ<2C．cosβ>1D．tan(α+β) 5．已知锐角三角形的三边长分别为2，3，x，则x的取值范围是（）C．a=b= A．1 C．0 56．△ABC的三边分别为 2m＋3，m2＋2m，m2＋3m＋3（m＞0），则最大内角的度数为（） A．150°B．120°C．90°D．135° 二、填空题： abc7．在△ABC中，已知A=60°，b=1，S△ABC=3，则 sinAsinBsinC 1138．△ABC的三边满足：，则∠B＝ abbcabc 4129．在△ABC中，已知sinA=，sinB=，则sinC的值是.51 310．在△ABC中，BC边上的中线长是ma，用三边a，b，c表示ma，其公式是.三、解答题 11．设a，b，c是△ABC中A，B，C的对边，当m>0时，关于x的方程b(x2＋m)＋c(x2－m)－ ax=0有两个相等实根，且sinCcosA－cosCsinA=0，试判断△ABC的形状。 12．已知⊙O的半径为R，若它的内接三角形ABC中，等式2R(sin2A－sin2C)=(2a－b)sinB成立，（1）求∠C的大小； （2）求△ABC的面积S的最大值． 13．在△ABC中，∠C＝60°，BC＝a，AC＝b，a＋b＝16． （1）试写出△ABC的面积S与边长a的函数关系式； （2）当a等于多少时，S有最大值并求出最大值； （3）当a等于多少时，周长l有最小值并未出最小值． 14．在△ABC中，已知面积S＝a2－(b－c)2，且b＋c=8，求S的最大值． CCCC15．在△ABC中，m(cos,sin)，n(cos,sin)，且m与n的夹角是． 22222 （1）求C； 73（2）已知c=，三角形面积 S＝3，求a+b。22 第12课时复习课 一、教学目标 1.理解向量.零向量.向量的模.单位向量.平行向量.反向量.相等向量.两向量的夹角等概念。 2.了解平面向量基本定理.3.向量的加法的平行四边形法则（共起点）和三角形法则（首尾相接）。 4.了解向量形式的三角形不等式：||a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|(试问：取等号的条件是什么?)和向量形式的平行四边形定理：2(|a|2+|b|2)=|a－b|2+|a+b|2.5.了解实数与向量的乘法（即数乘的意义）： 6.向量的坐标概念和坐标表示法 7.向量的坐标运算（加.减.实数和向量的乘法.数量积） 8.数量积（点乘或内积）的概念，a²b=|a||b|cos=x1x2+y1y2注意区别“实数与向量的乘法；向量与向量的乘法” 二、知识与方法 向量知识，向量观点在数学.物理等学科的很多分支有着广泛的应用，而它具有代数形式和几何形式的“双重身份”能融数形于一体，能与中学数学教学内容的许多主干知识综合，形成知识交汇点，所以高考中应引起足够的重视.数量积的主要应用：①求模长；②求夹角；③判垂直 三、典型例题 例1.对于任意非零向量a与b，求证：｜｜a｜-｜b｜｜≤｜a±b｜≤｜a｜+｜b｜ 证明：(1)两个非零向量a与b不共线时，a+b的方向与a，b的方向都不同，并且｜a｜-｜b｜＜｜a±b｜＜｜a｜+｜b｜ (3)两个非零向量a与b共线时，①a与b同向，则a+b的方向与a.b相同且｜a+b｜=｜a｜＋｜b｜.②a与b异向时，则a+b的方向与模较大的向量方向相同，设|a|＞|b|，则|a+b|=|a|-|b|.同理可证另一种情况也成立。 例2 已知O为△ABC内部一点，∠AOB=150°，∠BOC=90°，设OA=a，OB=b，OC=c，且|a|=2，|b|=1，| c|=3，用a与b表示c i j 解：如图建立平面直角坐标系xoy，其中i, j是单位正交基底向量, 则B（0，1），C（-3，0），设A（x，y），则条件知x=2cos(150°-90°),y=-2sin(150°-90°)，即A（1，-3），也就是a=i －3j, b=j，c=-3i所以-3a=33b+c|即c=3a－33b 例3.下面5个命题：①|a²b|=|a|²|b|②(a²b)2=a2²b2③a⊥(b－c)，则a²c=b²c ④a²b=0，则|a+b|=|a－b|⑤a²b=0，则a=0或b=0，其中真命题是（） A①②⑤ B ③④ C①③ D②④⑤ 三、巩固训练 1.下面5个命题中正确的有（） ①a=ba² ②a²③a²（b+c）=a² ④c=b²c；c=b²ca=b；c+b²c；（b²c）=（a²b）²c； ⑤a² aba2ab.A..①②⑤ B.①③⑤ C.②③④ D.①③ 2.下列命题中，正确命题的个数为（A） ①若a与b是非零向量，且a与b共线时，则a与b必与a或b中之一方向相同；②若e为单位向量，且a∥e则a=|a|e ③a²a²a=|a|3 ④若a与b共线，a与c共线，则c与b共线；⑤若平面内四点A.B.C.D，必有AC+BD=BC+AD A 1 B 2 C 3 D 4 3.下列5个命题中正确的是 ①对于实数p,q和向量a,若pa=qa则p=q②对于向量a与b，若|a|a=|b|b则a=b③对于两个单位向量a与b，若|a+b|=2则a=b④对于两个单位向量a与b，若ka=b，则a=b 4.已知四边形ABCD的顶点分别为A(2,1)，B(5,4)，C(2,7)，D(-1,4),求证：四边形ABCD为正方形。 第二章平面向量 本章内容介绍 向量这一概念是由物理学和工程技术抽象出来的，是近代数学中重要和基本的数学概念之一，有深刻的几何背景，是解决几何问题的有力工具.向量概念引入后，全等和平行（平移）、相似、垂直、勾股定理就可转化为向量的加（减）法、数乘向量、数量积运算，从而把图形的基本性质转化为向量的运算体系.向量是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景.在本章中，学生将了解向量丰富的实际背景，理解平面向量及其运算的意义，学习习近平面向量的线性运算、平面向量的基本定理及坐标表示、平面向量的数量积、平面向量应用五部分内容.能用向量语言和方法表述和解决数学和物理中的一些问题.本节从物理上的力和位移出发，抽象出向量的概念，并说明了向量与数量的区别，然后介绍了向量的一些基本概念.（让学生对整章有个初步的、全面的了解.） 第6课时 §2.3.4平面向量共线的坐标表示 教学目的： （1）理解平面向量的坐标的概念；（2）掌握平面向量的坐标运算； （3）会根据向量的坐标，判断向量是否共线.教学重点：平面向量的坐标运算 教学难点：向量的坐标表示的理解及运算的准确性 授课类型：新授课 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入： 1．平面向量的坐标表示 分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底.任作一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使得axiyj 把(x,y)叫做向量a的（直角）坐标，记作a(x,y) 其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，特别地，i(1,0)，j(0,1)，0(0,0).2．平面向量的坐标运算 若a(x1,y1)，b(x2,y2)，用心 爱心 专心 则ab(x1x2,y1y2)，ab(x1x2,y1y2)，a(x,y).若A(x1,y1)，B(x2,y2)，则ABx2x1,y2y1 二、讲解新课： a∥b(b0)的充要条件是x1y2-x2y1=0 设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)其中ba.x1x2由a=λb得，(x1，y1)=λ(x2，y2) 消去λ，x1y2-x2y1=0 yy21探究：（1）消去λ时不能两式相除，∵y1，y2有可能为0，∵b0 ∴x2，y2中至少有一个不为0（2）充要条件不能写成y1y2 ∵x1，x2有可能为0 x1x2ab x1y2x2y10(3)从而向量共线的充要条件有两种形式：a∥b(b0) 三、讲解范例： 例1已知a=(4，2)，b=(6，y)，且a∥b，求y.例2已知A(-1，-1)，B(1，3)，C(2，5)，试判断A，B，C三点之间的位置关系.例3设点P是线段P1P2上的一点，P1、P2的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2).(1)当点P是线段P1P2的中点时，求点P的坐标；(2)当点P是线段P1P2的一个三等分点时，求点P的坐标.例4若向量a=(-1，x)与b=(-x，2)共线且方向相同，求x 解：∵a=(-1，x)与b=(-x，2)共线 ∴(-1)×2-x•(-x)=0 ∴x=±2 ∵a与b方向相同 ∴x=2 例5 已知A(-1，-1)，B(1，3)，C(1，5)，D(2，7)，向量AB与CD平行吗？直线AB与平行于直线CD吗？ 用心 爱心 专心 解：∵AB=(1-(-1)，3-(-1))=(2，4)，CD=(2-1，7-5)=(1，2)又 ∵2×2-4×1=0 ∴AB∥CD 又 ∵ AC=(1-(-1)，5-(-1))=(2，6)，AB=(2，4)，2×4-2×60 ∴AC与AB不平行 ∴A，B，C不共线 ∴AB与CD不重合 ∴AB∥CD 四、课堂练习： 1.若a=(2，3)，b=(4，-1+y)，且a∥b，则y=（）A.6 B.5 C.7 D.8 2.若A(x，-1)，B(1，3)，C(2，5)三点共线，则x的值为（） A.-3 B.-1 C.1 D.3 3.若AB=i+2j，DC=(3-x)i+(4-y)j(其中i、j的方向分别与x、y轴正方向相同且为单位向量).AB与DC共线，则x、y的值可能分别为（）A.1，2 B.2，2 C.3，2 D.2，4 4.已知a=(4，2)，b=(6，y)，且a∥b，则y=.5.已知a=(1，2)，b=(x，1)，若a+2b与2a-b平行，则x的值为.6.已知□ABCD四个顶点的坐标为A(5，7)，B(3，x)，C(2，3)，D(4，x)，则x=.五、小结（略） 六、课后作业（略） 七、板书设计（略） 八、课后记： 用心 爱心 专心 【摘要】“高中数学平面向量的公式知识点”数学公式讲解是这门学科的要点，套用公式是最终的题解方法，希望本文可以为大家带来帮助： 定比分点 定比分点公式(向量P1P=λ•向量PP2)设P1、P2是直线上的两点，P是l上不同于P1、P2的任意一点。则存在一个实数 λ，使 向量P1P=λ•向量PP2，λ叫做点P分有向线段P1P2所成的比。 若P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，P(x,y)，则有 OP=(OP1+λOP2)(1+λ);(定比分点向量公式)x=(x1+λx2)/(1+λ), y=(y1+λy2)/(1+λ)。(定比分点坐标公式)我们把上面的式子叫做有向线段P1P2的定比分点公式 三点共线定理 若OC=λOA +μOB ,且λ+μ=1 ,则A、B、C三点共线 三角形重心判断式 在△ABC中，若GA +GB +GC=O,则G为△ABC的重心 [编辑本段]向量共线的重要条件 若b≠0，则a//b的重要条件是存在唯一实数λ，使a=λb。 a//b的重要条件是 xy'-x'y=0。 零向量0平行于任何向量。 [编辑本段]向量垂直的充要条件 a⊥b的充要条件是 a•b=0。 a⊥b的充要条件是 xx'+yy'=0。 零向量0垂直于任何向量.设a=(x，y)，b=(x'，y')。 1、向量的加法 向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。 AB+BC=AC。 a+b=(x+x'，y+y')。a+0=0+a=a。 向量加法的运算律： 交换律：a+b=b+a;结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。 2、向量的减法 如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0.0的反向量为0 AB-AC=CB.即“共同起点，指向被减” a=(x,y)b=(x',y')则 a-b=(x-x',y-y').4、数乘向量 实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣•∣a∣。 当λ>0时，λa与a同方向;当λ<0时，λa与a反方向;当λ=0时，λa=0，方向任意。 当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0。注：按定义知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。 实数λ叫做向量a的系数，乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。 当∣λ∣>1时，表示向量a的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上伸长为原来的∣λ∣倍;当∣λ∣<1时，表示向量a的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上缩短为原来的∣λ∣倍。 数与向量的乘法满足下面的运算律 结合律：(λa)•b=λ(a•b)=(a•λb)。 向量对于数的分配律(第一分配律)：(λ+μ)a=λa+μa.数对于向量的分配律(第二分配律)：λ(a+b)=λa+λb.数乘向量的消去律：① 如果实数λ≠0且λa=λb，那么a=b。② 如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ。 3、向量的的数量积 定义：已知两个非零向量a,b。作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角，记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π 定义：两个向量的数量积(内积、点积)是一个数量，记作a•b。若a、b不共线，则a•b=|a|•|b|•cos〈a，b〉;若a、b共线，则a•b=+-∣a∣∣b∣。 向量的数量积的坐标表示：a•b=x•x'+y•y'。 向量的数量积的运算律 a•b=b•a(交换律);(λa)•b=λ(a•b)(关于数乘法的结合律);(a+b)•c=a•c+b•c(分配律);向量的数量积的性质 a•a=|a|的平方。 a⊥b 〈=〉a•b=0。 |a•b|≤|a|•|b|。 向量的数量积与实数运算的主要不同点 1、向量的数量积不满足结合律，即：(a•b)•c≠a•(b•c);例如：(a•b)^2≠a^2•b^2。 2、向量的数量积不满足消去律，即：由 a•b=a•c(a≠0)，推不出 b=c。 3、|a•b|≠|a|•|b| 4、由 |a|=|b|，推不出 a=b或a=-b。 4、向量的向量积 定义：两个向量a和b的向量积(外积、叉积)是一个向量，记作a×b。若a、b不共线，则a×b的模是：∣a×b∣=|a|•|b|•sin〈a，b〉;a×b的方向是：垂直于a和b，且a、b和a×b按这个次序构成右手系。若a、b共线，则a×b=0。 向量的向量积性质： ∣a×b∣是以a和b为边的平行四边形面积。 a×a=0。 a‖b〈=〉a×b=0。 向量的向量积运算律 a×b=-b×a;(λa)×b=λ(a×b)=a×(λb);(a+b)×c=a×c+b×c.注：向量没有除法，“向量AB/向量CD”是没有意义的。向量的三角形不等式 1、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣;① 当且仅当a、b反向时，左边取等号;② 当且仅当a、b同向时，右边取等号。 2、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a-b∣≤∣a∣+∣b∣。 ① 当且仅当a、b同向时，左边取等号;② 当且仅当a、b反向时，右边取等号。第三篇：高中数学 第二章《平面向量》复习课教案 新人教A版必修4
第四篇：高中数学 2.3.4《平面向量共线的坐标表示》教案 新人教A版必修4
第五篇：高中数学平面向量的公式知识点
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