第一篇：高中数学平面向量教学研究作业(江惠玲) (
高中数学“平面向量”教学研究作业（江惠玲）
请给出平面向量知识结构示意图
答：
向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一。在高中教材中，平面向量章节内容主要有几个方面：⑴向量的物理背景与概念、向量的几何表示、相等向量与共线向量；⑵向量加法运算及其几何意义、向量减法运算及其几何意义、向量数乘运算及其几何意义；⑶平面向量基本定理、平面向量的正交分解及坐标表示、平面向量的坐标运算、平面向量共线的坐标表示；⑷平面向量数量积的物理背景及其含义、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；⑸平面几何中的向量方法、向量在物理中的应用举例。此外，教材安排了扩展内容，主要是向量几向量符号的由来，向量的运算（运算律）与图形性质。这些知识既有不同又紧密联系，教学的时候要注意联系与比较，并通过实际解题训练，来提高学生的理解能力和应用能力。
我用FreeMind设计了一个向量知识结构图：
我认为上面制作的这个图表基本上反映了高中数学中的平面向量的知识结构。
揭东县梅岗中学 江惠玲
第二篇：高中数学竞赛讲义(八)平面向量
高中数学竞赛讲义
（八）──平面向量
一、基础知识
定义1 既有大小又有方向的量，称为向量。画图时用有向线段来表示，线段的长度表示向量的模。向量的符号用两个大写字母上面加箭头，或一个小写字母上面加箭头表示。书中用黑体表示向量，如a.|a|表示向量的模，模为零的向量称为零向量，规定零向量的方向是任意的。零向量和零不同，模为1的向量称为单位向量。
定义2 方向相同或相反的向量称为平行向量（或共线向量），规定零向量与任意一个非零向量平行和结合律。
定理1 向量的运算，加法满足平行四边形法规，减法满足三角形法则。加法和减法都满足交换律和结合律。
定理2 非零向量a, b共线的充要条件是存在实数
0，使得a=
f
定理3平面向量的基本定理，若平面内的向量a, b不共线，则对同一平面内任意向是c，存在唯一一对实数x, y，使得c=xa+yb，其中a, b称为一组基底。
定义3 向量的坐标，在直角坐标系中，取与x轴，y轴方向相同的两个单位向量i, j作为基底，任取一个向量c，由定理3可知存在唯一一组实数x, y，使得c=xi+yi，则（x, y）叫做c坐标。
定义4 向量的数量积，若非零向量a, b的夹角为，则a, b的数量积记作a·b=|a|·|b|cos=|a|·|b|cos
b
x1x2+y1y2=0.(a, b0)，定义5 若点P是直线P1P2上异于p1，p2的一点，则存在唯一实数λ，使，λ叫P分所成的比，若O为平面内任意一点，则。由此可得若P1，P，P2的坐标分别为(x1, y1),(x, y),(x2, y2)，则
讲义八
/ 8
定义6 设F是坐标平面内的一个图形，将F上所有的点按照向量a=(h, k)的方向，平移|a|=个单位得到图形，这一过程叫做平移。设p(x, y)是F上任意一点，平移到上对应的点为，则称为平移公式。
定理5 对于任意向量a=(x1, y1), b=(x2, y2), |a·b|≤|a|·|b|，并且|a+b|≤|a|+|b|.【证明】 因为|a|2·|b|2-|a·b|2=
-(x1x2+y1y2)2=(x1y2-x2y1)2≥0，又|a·b|≥0, |a|·|b|≥0，所以|a|·|b|≥|a·b|.由向量的三角形法则及直线段最短定理可得|a+b|≤|a|+|b|.注：本定理的两个结论均可推广。1）对n维向量，a=(x1, x2,…,xn)，b=(y1, y2, …, yn)，同样有|a·b|≤|a|·|b|，化简即为柯西不等式：
(x1y1+x2y2+…+xnyn)2≥0，又|a·b|≥0, |a|·|b|≥0，所以|a|·|b|≥|a·b|.由向量的三角形法则及直线段最短定理可得|a+b|≤|a|+|b|.注：本定理的两个结论均可推广。1）对n维向量，a=(x1, x2,…,xn), b=(y1, y2, …, yn)，同样有|a·b|≤|a|·|b|，化简即为柯西不等式：(x1y1+x2y2+…+xnyn)2。
2）对于任意n个向量，a1, a2, …,an，有| a1, a2, …,an|≤| a1|+|a2|+…+|an|。
二、方向与例题
1．向量定义和运算法则的运用。
例1 设O是正n边形A1A2…An的中心，求证：
【证明】 记后与原正n边形重合，所以，若
不变，这不可能，所以，则将正n边形绕中心O旋转
例2 给定△ABC，求证：G是△ABC重心的充要条件是【证明】必要性。如图所示，设各边中点分别为D，E，F，延长AD至P，使DP=GD，则
又因为BC与GP互相平分，所以BPCG为平行四边形，所以BG所以
PC，所以
讲义八
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充分性。若因为，延长AG交BC于D，使GP=AG，连结CP，则，则，所以GB
CP，所以AG平分BC。
同理BG平分CA。
所以G为重心。
例3 在凸四边形ABCD中，P和Q分别为对角线BD和AC的中点，求证：AB2+BC2+CD2+DA2=AC2+BD2+4PQ2。
【证明】 如图所示，结结BQ，QD。
因为所以==又因为同理，②，③
由①，②，③可得
。得证。
2．证利用定理2证明共线。
例4 △ABC外心为O，垂心为H，重心为G。求证：O，G，H为共线，且OG：GH=1：2。，·
①
【证明】 首先
=
其次设BO交外接圆于另一点E，则连结CE后得CE又AH又EABC，所以AH//CE。AB，CH
AB，所以AHCE为平行四边形。
讲义八
/ 8
所以所以所以所以与，共线，所以O，G，H共线。
所以OG：GH=1：2。
3．利用数量积证明垂直。
例5 给定非零向量a, b.求证：|a+b|=|a-b|的充要条件是a【证明】|a+b|=|a-b|
(a+b)2=(a-b)
2b.a·b=0
a
b.a2+2a·b+b2=a2-2a·b+b2例6 已知△ABC内接于⊙O，AB=AC，D为AB中点，E为△ACD重心。求证：OECD。
【证明】 设，则，又，所以
a·(b-c).（因为|a|2=|b|2=|c|2=|OH|2）
又因为AB=AC，OB=OC，所以OA为BC的中垂线。所以a·(b-c)=0.所以OE
CD。
4．向量的坐标运算。
例7 已知四边形ABCD是正方形，BE//AC，AC=CE，EC的延长线交BA的延长线于点F，求证：AF=AE。
讲义八/ 8
【证明】 如图所示，以CD所在的直线为x轴，以C为原点建立直角坐标系，设正方形边长为1，则A，B坐标分别为（-1，1）和（0，1），设E点的坐标为（x, y），则y-1), 又因为，因为，所以-x-(y-1)=0.=(x,，所以x2+y2=2.由①，②解得
所以
设所以所以，则，即F=4+
。由和，共线得，所以AF=AE。
三、基础训练题
1．以下命题中正确的是__________.①a=b的充要条件是|a|=|b|，且a//b；②(a·b)·c=(a·c)·b；③若a·b=a·c，则b=c；④若a, b不共线，则xa+yb=ma+nb的充要条件是x=m, y=n；⑤若在b=(-3, 4)上的投影为-4。
2．已知正六边形ABCDEF，在下列表达式中：①③ ；④
与，相等的有__________.；②；，且a, b共线，则A，B，C，D共线；⑥a=(8, 1)3．已知a=y-x, b=2x-y, |a|=|b|=1, a·b=0，则|x|+|y|=__________.4．设s, t为非零实数，a, b为单位向量，若|sa+tb|=|ta-sb|，则a和b的夹角为__________.5．已知a, b不共线，条件.6．在△ABC中，M是AC中点，N是AB的三等分点，且于D，若7．已知__________.8．已知
=b, a·b=|a-b|=2，当△AOB面积最大时，a与b的夹角为__________.讲义八
/ 8
=a+kb, =la+b，则“kl-1=0”是“M，N，P共线”的__________，BM与CN交，则λ=__________.不共线，点C分
所成的比为2，则9．把函数y=2x2-4x+5的图象按向量a平移后得到y=2x2的图象，c=(1,-1), 若c·b=4，则b的坐标为__________.，10．将向量a=(2, 1)绕原点按逆时针方向旋转得到向量b，则b的坐标为__________.与11．在Rt△BAC中，已知BC=a，若长为2a的线段PQ以点A为中点，试问的夹角取何值时的值最大？并求出这个最大值。
12．在四边形ABCD中，如果a·b=b·c=c·d=d·a，试判断四边形ABCD的形状。
四、高考水平训练题
1．点O是平面上一定点，A，B，C是此平面上不共线的三个点，动点P满足
则点P的轨迹一定通过△ABC的________心。
2．在△ABC中，3．非零向量=__________.4．若O为△ABC 的内心，且为__________.5．设O点在△ABC 内部，且__________.6．P是△ABC所在平面上一点，若__________心.7．已知，则|
|的取值范，则P是△ABC 的，则△AOB与△AOC的面积比为，则△ABC 的形状，且a·b<0，则△ABC的形状是__________.，若点B关于
所在直线对称的点为B1，则围是__________.8．已知a=(2, 1), b=(λ, 1)，若a与b的夹角为锐角，则λ的取值范围是__________.9．在△ABC中，O为中线AM上的一个动点，若AM=2，则值为__________.10．已知集合M={a|a=(1, 2)+ λ(3, 4), λ∈R}，集合N={a|a=(-2,-2)+ λ(4, 5), λ∈R},mj MN=__________.讲义八
/ 8 的最小11．设G为△ABO的重心，过G的直线与边OA和OB分别交于P和Q，已知，△OAB与△OPQ的面积分别为S和T，（1）求y=f(x)的解析式及定义域；（2）求的取值范围。
12．已知两点M（-1，0），N（1，0），有一点P使得成公差小于零的等差数列。
（1）试问点P的轨迹是什么？（2）若点P坐标为(x0, y0), 求tan.五、联赛一试水平训练题
1．在直角坐标系内，O为原点，点A，B坐标分别为（1，0），（0，2），当实数p, q
为
与的夹角，满足时，若点C，D分别在x轴，y轴上，且，则直线CD恒过一个定点，这个定点的坐标为___________.2．p为△ABC内心，角A，B，C所对边长分别为a, b, c.O为平面内任意一点，则
=___________（用a, b, c, x, y, z表示）.3．已知平面上三个向量a, b, c均为单位向量，且两两的夹角均为1200，若|ka+b+c|>1(k∈R)，则k的取值范围是___________.4．平面内四点A，B，C，D满足，则的取值有___________个.5．已知A1A2A3A4A5是半径为r的⊙O内接正五边形，P为⊙O上任意一点，则
取值的集合是___________.6．O为△ABC所在平面内一点，A，B，C为△ABC 的角，若sinA·+sinC·，则点O为△ABC 的___________心.(a-b)”的___________条件.，又(c·b)：(b·a)：(a·c)=1：2：3，则△ABC
+sinB·7．对于非零向量a, b, “|a|=|b|”是“(a+b)8．在△ABC 中，三边长之比|a|：|b|：|c|=____________.9．已知P为△ABC内一点，且，CP交AB于D，求证：
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10．已知△ABC的垂心为H，△HBC，△HCA，△HAB的外心分别为O1，O2，O3，令，求证：（1）2p=b+c-a；（2）H为△O1O2O3的外心。
11．设坐标平面上全部向量的集合为V，a=(a1, a2)为V中的一个单位向量，已知从V到的变换T，由T(x)=-x+2(x·a)a(x∈V)确定，（1）对于V的任意两个向量x, y, 求证：T(x)·T(y)=x·y；
（2）对于V的任意向量x，计算T[T(x)]-x；（3）设u=(1, 0)；，若，求a.六、联赛二试水平训练题
1．已知A，B为两条定直线AX，BY上的定点，P和R为射线AX上两点，Q和S为射线BY上的两点，为定比，M，N，T分别为线段AB，PQ，RS上的点，为另一定比，试问M，N，T三点的位置关系如何？证明你的结论。
2．已知AC，CE是正六边形ABCDEF的两条对角线，点M，N分别内分AC，CE，使得AM：AC=CN：CE=r，如果B，M，N三点共线，求r.3．在矩形ABCD的外接圆的弧AB上取一个不同于顶点A，B的点M，点P，Q，R，S是M分别在直线AD，AB，BC，CD上的射影，求证：直线PQ与RS互相垂直。
4．在△ABC内，设D及E是BC的三等分点，D在B和F之间，F是AC的中点，G是AB的中点，又设H是线段EG和DF的交点，求比值EH：HG。
5．是否存在四个平面向量，两两不共线，其中任何两个向量之和均与其余两个向量之和垂直？
6．已知点O在凸多边形A1A2…An内，考虑所有的AiOAj，这里的i, j为1至n中不同的自然数，求证：其中至少有n-1个不是锐角。
7．如图，在△ABC中，O为外心，三条高AD，BE，CF交于点H，直线ED和AB交于点M，FD和AC交于点N，求证：（1）OB
DF，OC
DE，（2）OH
MN。
8．平面上两个正三角形△A1B1C1和△A2B2C2，字母排列顺序一致，过平面上一点O作，求证△ABC为正三角形。
9．在平面上给出和为 的向量a, b, c, d，任何两个不共线，求证：
|a|+|b|+|c|+|d|≥|a+d|+|b+d|+|c+d|.讲义八/ 8
第三篇：高中数学平面向量的公式知识点
【摘要】“高中数学平面向量的公式知识点”数学公式讲解是这门学科的要点，套用公式是最终的题解方法，希望本文可以为大家带来帮助：
定比分点
定比分点公式(向量P1P=λ•向量PP2)设P1、P2是直线上的两点，P是l上不同于P1、P2的任意一点。则存在一个实数 λ，使 向量P1P=λ•向量PP2，λ叫做点P分有向线段P1P2所成的比。
若P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，P(x,y)，则有
OP=(OP1+λOP2)(1+λ);(定比分点向量公式)x=(x1+λx2)/(1+λ), y=(y1+λy2)/(1+λ)。(定比分点坐标公式)我们把上面的式子叫做有向线段P1P2的定比分点公式
三点共线定理
若OC=λOA +μOB ,且λ+μ=1 ,则A、B、C三点共线
三角形重心判断式 在△ABC中，若GA +GB +GC=O,则G为△ABC的重心
[编辑本段]向量共线的重要条件
若b≠0，则a//b的重要条件是存在唯一实数λ，使a=λb。
a//b的重要条件是 xy'-x'y=0。
零向量0平行于任何向量。
[编辑本段]向量垂直的充要条件
a⊥b的充要条件是 a•b=0。
a⊥b的充要条件是 xx'+yy'=0。
零向量0垂直于任何向量.设a=(x，y)，b=(x'，y')。
1、向量的加法
向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。
AB+BC=AC。
a+b=(x+x'，y+y')。a+0=0+a=a。
向量加法的运算律：
交换律：a+b=b+a;结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。
2、向量的减法
如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0.0的反向量为0 AB-AC=CB.即“共同起点，指向被减”
a=(x,y)b=(x',y')则 a-b=(x-x',y-y').4、数乘向量
实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣•∣a∣。
当λ>0时，λa与a同方向;当λ<0时，λa与a反方向;当λ=0时，λa=0，方向任意。
当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0。注：按定义知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。
实数λ叫做向量a的系数，乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。
当∣λ∣>1时，表示向量a的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上伸长为原来的∣λ∣倍;当∣λ∣<1时，表示向量a的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上缩短为原来的∣λ∣倍。
数与向量的乘法满足下面的运算律
结合律：(λa)•b=λ(a•b)=(a•λb)。
向量对于数的分配律(第一分配律)：(λ+μ)a=λa+μa.数对于向量的分配律(第二分配律)：λ(a+b)=λa+λb.数乘向量的消去律：① 如果实数λ≠0且λa=λb，那么a=b。② 如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ。
3、向量的的数量积
定义：已知两个非零向量a,b。作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角，记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π 定义：两个向量的数量积(内积、点积)是一个数量，记作a•b。若a、b不共线，则a•b=|a|•|b|•cos〈a，b〉;若a、b共线，则a•b=+-∣a∣∣b∣。
向量的数量积的坐标表示：a•b=x•x'+y•y'。
向量的数量积的运算律
a•b=b•a(交换律);(λa)•b=λ(a•b)(关于数乘法的结合律);(a+b)•c=a•c+b•c(分配律);向量的数量积的性质
a•a=|a|的平方。
a⊥b 〈=〉a•b=0。
|a•b|≤|a|•|b|。
向量的数量积与实数运算的主要不同点
1、向量的数量积不满足结合律，即：(a•b)•c≠a•(b•c);例如：(a•b)^2≠a^2•b^2。
2、向量的数量积不满足消去律，即：由 a•b=a•c(a≠0)，推不出 b=c。
3、|a•b|≠|a|•|b|
4、由 |a|=|b|，推不出 a=b或a=-b。
4、向量的向量积
定义：两个向量a和b的向量积(外积、叉积)是一个向量，记作a×b。若a、b不共线，则a×b的模是：∣a×b∣=|a|•|b|•sin〈a，b〉;a×b的方向是：垂直于a和b，且a、b和a×b按这个次序构成右手系。若a、b共线，则a×b=0。
向量的向量积性质：
∣a×b∣是以a和b为边的平行四边形面积。
a×a=0。
a‖b〈=〉a×b=0。
向量的向量积运算律
a×b=-b×a;(λa)×b=λ(a×b)=a×(λb);(a+b)×c=a×c+b×c.注：向量没有除法，“向量AB/向量CD”是没有意义的。向量的三角形不等式
1、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣;① 当且仅当a、b反向时，左边取等号;② 当且仅当a、b同向时，右边取等号。
2、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a-b∣≤∣a∣+∣b∣。
① 当且仅当a、b同向时，左边取等号;② 当且仅当a、b反向时，右边取等号。
第四篇：长春宽城区2018-2019学年高中数学平面向量单元测试题
长春宽城区2018-2019学年高中数学平面向量单元测试题
数学（理）2018.7
本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一、选择题 共12小题，每小题5分，共60分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC＋ccosB＝asinA，则△ABC的形状为()
A． 锐角三角形
B． 直角三角形 C． 钝角三角形
D． 不确定
2．在△ABC中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点,则
=()
A．
B．
C．
D．
3．设a,b为非零向量,|b|=2|a|,两组向量x1,x2,x3,x4和y1,y2,y3,y4均由2个a和2个b排列而成.若x1·y1+x2·y2+x3·y3+x4·y4所有可能取值中的最小值为4|a|2,则a与b的夹角为()
A．
B．
C．
D． 0
=
2,那么动点M的轨迹必通过△ABC的（）4．在△ABC中,设A． 垂心
B． 内心
C． 外心
D． 重心 5．已知△ABC是正三角形,若a=是()
-λ
与向量的夹角大于90°,则实数λ的取值范围A． λ<
B． λ<2
C． λ>
D． λ>2
6．已知△ABD是边长为2的等边三角形,且,则||等于()
A．
B．
C．
D． 2
7．已知|a|=1,|b|=2,a与b的夹角为60°,则a+b在a上的投影为()
试卷第1页，总5页 A．
1B． 2
C．
D．
8．已知集合M={a|a=(1,2)+λ(3,4),λ∈R},N={a|a=(-2,-2)+λ(4,5),λ∈R},则M∩N等于（）A． {(1,1)}
B． {(1,1),(-2,-2)} C． {(-2,-2)}
D． ⌀
9．已知向量a,b满足|a|=1,a·b=-1,则a·(2a-b)=（）A．
4B．
3C． 2
D． 0
10．如图所示,A,B,C是圆O上的三点,且三等分圆周,若
=x
+y,则
()
A． x=y=-1
B． x=y=1
C． x=y=
D． x=y=-11．如右图:在平行六面体=.则下列向量中与
中，为AC与BD的交点，若
相等的向量是()
=，=，A．
B．
C．
D．
12．如图，已知圆M：（x﹣3）2+（y﹣3）2=4，四边形ABCD为圆M的内接正方形，E，F分别为边AB，AD的中点，当正方形ABCD绕圆心M转动时，（）的取值范围是
试卷第2页，总5页
A．
B．
C． [﹣6，6]
D． [﹣4，4]
试卷第3页，总5页
第II卷（非选择题）
二、填空题 共4小题，每小题5分，共20分。
13．在四边形ABCD中,积为_____.=(1,1)，则四边形ABCD的面14．已知菱形ABCD的边长为a,∠DAB=60°,=2,则的值为________.15．已知向量a=(1,m),b=(3,),若向量a,b的夹角为,则实数m的值为_____.16．已知向量a=(1,2),b=(2,0),c=(1,-2),若向量λa+b与c共线,则实数λ的值为_____.三、解答题 共6小题，17题10分，18-22题12分，共70分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
17．如图所示,在平面斜坐标系xOy中,∠xOy=60°,平面上任意一点P关于斜坐标系的斜坐标是这样定义的:若的斜坐标为(x,y).=xe1+ye2(其中e1,e2分别为x轴、y轴同方向的单位向量),则点P
(1)若点P在斜坐标系xOy中的斜坐标为(2,-2),求点P到原点O的距离.(2)求以原点O为圆心,1为半径的圆在斜坐标系xOy中的方程.18．已知正方形ABCD,E,F分别是CD,AD的中点,BE,CF交于点P.求证:
(1)BE⊥CF;(2)AP=AB．
19．如图,M是矩形ABCD的边CD上的一点,AC与BM交于点N,BN=BM.(1)求证:M是CD的中点;
试卷第4页，总5页(2)若AB=2,BC=1,H是BM上异于点B的一动点,求20．设向量a,b满足|a|=|b|=1,且|3a-2b|=(1)求a与b的夹角;(2)求|2a+3b|的大小.21．如图,在△OAB中,已知P为线段AB上的一点,.的最小值.=x·+y·.(1)若(2)若=3,求x,y的值;,||=4,|
|=2,且的夹角为60°时,求的值.22．已知向量=（sinx，cosx），=（sin（x﹣），sinx），函数f（x）=2•，g（x）=f（）．
（1）求f（x）在[，π]上的最值，并求出相应的x的值；（2）计算g（1）+g（2）+g（3）+…+g（2014）的值；（3）已知t∈R，讨论g（x）在[t，t+2]上零点的个数．
试卷第5页，总5页
参考答案
1．B 【解析】 【分析】
由正弦定理化边为角，再根据两角和正弦公式以及诱导公式化简得A为直角，即得选项.【详解】
∵bcosC＋ccosB＝asinA，由正弦定理得sinBcosC＋sinCcosB＝sin2A，∴sin(B＋C)＝sin2A，即sinA＝sin2A.又sinA>0，∴sinA＝1，∴A＝，故△ABC为直角三角形． 【点睛】
判断三角形形状的方法
①化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．
②化角：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状，此时要注意应用这个结论．
2．A 【解析】 【分析】
利用向量的线性运算法则化简求解.【详解】
如图,=-=-)==)=.故答案为：A
【点睛】
(1)本题主要考查向量的线性运算法则，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.(2)平面向量的加法、减法和平行四边形法则，是平面向量线性运算的重要考点，要理解掌握并灵活运用.3．B 【解析】 【分析】
答案第1页，总15页
先设S=x1·y1+x2·y2+x3·y3+x4·y4,再讨论S中含有的的个数，若S的表达式中有0个a·b,则S=2a2+2b2,记为S1;若S的表达式中有2个a·b,则S=a2+b2+2a·b,记为S2;若S的表达式中有4个a·b,则S=4a·b,记为S3.再作差比较数量积公式求a与b的夹角.【详解】
设S=x1·y1+x2·y2+x3·y3+x4·y4,若S的表达式中有0个a·b,则S=2a2+2b2,记为S1;若S的表达式中有2个a·b,则S=a2+b2+2a·b,记为S2;若S的表达式中有4个a·b,则S=4a·b,记为S3.又|b|=2|a|，所以S1-S3=2a2+2b2-4a·b=2(a-b)2>0,S1-S2=a2+b2-2a·b=(a-b)2>0,S2-S3=(a-b)2>0,所以S3 (1)本题主要考查平面向量的数量积和模，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题的关键有两点，其一是先要讨论S中含有的是要利用作差法得到Smin=S3=4a·b.4．C 【解析】 【分析】 假设BC的中点是O,先化简已知得 2=2,即（）· =0, 所以的个数得到，其二, 所以动点M的轨迹必通过△ABC的外心.【详解】 假设BC的中点是O,则即(所以)·=0，=（）·（）=2 =2, ,所以动点M在线段BC的中垂线上,所以动点M的轨迹必通过△ABC的外心.答案第2页，总15页 故答案为：C 【点睛】 （1）本题主要考查平面向量的数量积运算和向量的减法法则，考查向量垂直的表示，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题的关键是在于熟练掌握向量的运算法则.5．D 【解析】 【分析】 设正三角形的边长为m,由题得得a·<0,再利用已知和数量积公式化简即得m2-m2λ<0,解不等式得解.【详解】 由已知可得a·<0,即（-λ)·<0,因此| |2-λ <0,若设正三角形ABC边长为m,则有m2-m2λ<0,解得λ>2.故答案为：D 【点睛】 （1）本题主要考查平面向量的夹角公式和数量积的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)6．B 【解析】 【分析】 设AD的中点为E,证明四边形ABCE是平行四边形，再证明|【详解】 设AD的中点为E,则ABCE是平行四边形,连接BE,因为△ABD是边长为2的等边三角形,所以 |=| |，求| |即得解.的夹角大于90°，即；的夹角小于90°，即 .||=||=×2=，故答案为：B.【点睛】 答案第3页，总15页 (1)本题主要考查平面向量的平行四边形法则和共线向量，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题的关键是取AD的中点E,因为7．B 【解析】 【分析】 直接利用向量的投影公式求解.【详解】 中有.a+b在a上的投影为故答案为：B 【点睛】 =2.(1)本题主要考查向量的投影和数量积的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)在方向上的投影为8．C 【解析】 【分析】 .先设解.【详解】，再化简集合M得到，再化简集合N得到，解方程组即得设a=(x,y),对于M,(x,y)=(1,2)+λ(3,4),(x-1,y-2)=λ(3,4),.① 对于N,(x,y)=(-2,-2)+λ(4,5),(x+2,y+2)=λ(4,5),由①②解得x=-2,y=-2,故M∩N={(-2,-2)}.故答案为：C 【点睛】 .② (1)本题主要考查向量的坐标运算和集合的交集运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平 答案第4页，总15页 和分析推理能力.(2)本题解题的关键有两点，其一是设，因为向量是运动变化的,其二是化简集合M和N，分别得到9．B 【解析】 【分析】 直接利用向量的数量积公式化简求解.【详解】 a·(2a-b)=2a2-a·b=2-(-1)=3.故答案为：B 【点睛】 和.(1)本题主要考查平面向量的数量积和模的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)10．A 【解析】 【分析】 以为邻边作平行四边形OBDA,根据平行四边形法则即得x,y的值.,这些公式要理解掌握并灵活运用.【详解】 以 故答案为：A 【点睛】 本题主要考查平面向量平行四边形法则和共线向量，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.11．A 【解析】 【分析】 为邻边作平行四边形OBDA,已知 =0,所以 =-,因此x=y=-1.答案第5页，总15页 由题意可得 化简得到结果． 【详解】 由题意可得 故答案为：A 【点睛】 本题主要考查向量的加法减法法则,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.12．C 【解析】 【分析】 根据圆的方程，求出【详解】 因为圆M：（x﹣3）2+（y﹣3）2=4，圆心的坐标（3，3）半径为2，所以|ME|=∴=，|OM|= 3，= =，∵的取值范围是[﹣6，6]．，的模长关系与夹角，利用向量数量积求得取值范围。 =6cos（π﹣∠OME）∈[﹣6，6]，【点睛】 本题考查了向量数量积的简单应用，根据向量的模长求得数量积的取值范围，属于基础题。13． 【解析】 【分析】 先推理得到四边形ABCD为平行四边形,且| |=| |=,再根据已知得到四边形ABCD为菱形,再求出三角形BCD的面积，最后计算出四边形ABCD的面积.【详解】 答案第6页，总15页 由=(1,1),可知四边形ABCD为平行四边形,且||=||=,因为,所以可知平行四边形ABCD的角平分线BD平分∠ABC,四边形ABCD为菱形,其边长为,且对角线BD长等于边长的倍,即BD=,则CE2=()2-,即CE=,所以三角形BCD的面积为,所以四边形ABCD的面积为2×故答案为：【点睛】.(1)本题主要考查共线向量和向量的线性运算，考查三角形的面积的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)表示与向量方向相同的单位向量.14． 【解析】 【分析】 先计算出【详解】 =-a2，再计算出 =()·()=-.∵=2,∴.∵菱形ABCD的边长为a,∠DAB=60°, ∴||=||=a，=|∵∴|||cos 120°=-a2., =()·() 答案第7页，总15页 =·() =- =-a2+a2+a2=-.故答案为：【点睛】 (1)本题主要考查向量的线性运算法则，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.(2)平面向量的加法、减法和平行四边形法则，是平面向量线性运算的重要考点，要理解掌握并灵活运用.15． 【解析】 【分析】 先利用坐标运算求出a·b=3+(3+m)2=[ m,再利用向量的数量积公式得a·b=,再解方程]2即得实数m的值.【详解】 因为a·b=3+m，且a·b=2所以(3+m)2=[cos ]2, ，解得m=-.故答案为：-【点睛】 答案第8页，总15页 （1）本题主要考查向量的数量积计算，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力。（2）向量16． 【解析】 【分析】 先求出λa+b的坐标，再根据向量λa+b与c共线得到-2(λ+2)-2λ=0,即得λ的值.【详解】 由题可知λa+b=(λ+2,2λ),又λa+b与c共线,所以-2(λ+2)-2λ=0,所以λ=-1.故答案为：-1 【点睛】 （1）本题主要考查向量的坐标运算和向量共线的坐标表示，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)向量17．（1）2；（2）【解析】 【分析】 (1)先根据点P的斜坐标得到设圆上动点M的斜坐标为(x,y),【详解】 (1)因为点P的斜坐标为(2,-2), 所以所以| =2e1-2e2，|=2,即点P到原点O =2e1-2e2, 再平方求出| |2=4，即点P到原点O的距离为2（.2） 与向量 共线，则 .，则 .=xe1+ye2,再平方化简得所求圆的方程为x2+y2+xy=1.|2=(2e1-2e2)2=4-8e1·e2+4=8-8×1×1×cos 60°=8-4=4,所以|的距离为2.(2)设圆上动点M的斜坐标为(x,y), 则=xe1+ye2,所以(xe1+ye2)2=1，则x2+2xye1·e2+y2=1,即x2+y2+xy=1, 故所求圆的方程为x2+y2+xy=1.【点睛】 答案第9页，总15页 （1）本题主要考查新定义和向量的数量积运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)对于新定义要先理解清楚它的内涵外延，再利用它来解题.18．（1）见解析；（2）见解析 【解析】 【分析】 (1)如图建立平面直角坐标系xOy,其中A为原点,不妨设AB=2,则 A(0,0),B(2,0),C(2,2),E(1,2),F(0,1)，再求出 和的坐标，再计算得 =0即证 BE⊥CF.(2)设P(x,y),再根据已知求出P【详解】，再求=4=，即证明AP=AB.如图建立平面直角坐标系xOy,其中A为原点,不妨设AB=2，则A(0,0),B(2,0),C(2,2),E(1,2),F(0,1).(1)=(1,2)-(2,0)=(-1,2), =(0,1)-(2,2)=(-2,-1)，∵∴=(-1)×(-2)+2×(-1)=0, ,即BE⊥CF.(2)设P(x,y),则=(x,y-1),=(-2,-1).∵同理由,∴-x=-2(y-1),即x=2y-2.,得y=-2x+4,代入x=2y-2，解得x=,∴y=,即P.∴=4=，答案第10页，总15页 ∴||=||,即AP=AB.【点睛】 （1）本题主要考查向量的坐标表示和坐标运算，考查向量垂直和平行的坐标表示，考查模的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力（.2）向量则19．（1）见解析；（2）0 【解析】 【分析】 .，(1)设=m=n,再根据向量的线性运算化简=,再求出=(1-n)+n,解方程组所以=m,即M是CD的中点.（2）先利用向量的数量积和向量的线性运算求得数求出函数的最小值.【详解】(1)设=m=n，==-,再利用二次函由题意知) =又+m)=+n，+n() =(1-n)+n，∴ 答案第11页，总15页 ∴=m,即M是CD的中点.(2)∵AB=2,BC=1,M是CD的中点, ∴MB=∴=-|=|||||,∠ABM=45°, =()·=-（|2)·=--| |2 |cos(180°-∠ABH)-||cos 45°-||2 =又0<||-||≤|2=-,∴当||=, ,即H与M重合时,取得最小值,且最小值为0.【点睛】 (1)本题主要考查向量的线性运算和基底法，考查向量的数量积计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)对于平面内的不共线的向量量总可以表示成，其中 是基底.，则平面的任意一个向20．（1）；（2）【解析】 【分析】 (1)设a与b的夹角为θ,化简|3a-2b|=公式求|2a+3b|=【详解】 = .得θ=,即a与b的夹角为.（2）利用向量模的计算(1)设a与b的夹角为θ.由已知得(3a-2b)2=7,即9|a|2-12a·b+4|b|2=7,因此9+4-12cos θ=7,于是cos θ=,故 θ=,即a与b的夹角为.(2)|2a+3b|== 答案第12页，总15页 =.【点睛】 （1）本题主要考查向量的模和数量积的运算，考查向量模的求法，意在考察学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2),则 .21．（1）【解析】 【分析】 ；（2） (1)利用向量的线性运算化简得,即x=,y=.（2）先求出再计算【详解】(1)∵∴, ,即2，·()=.∴(2)∵=3,∴,即x=,y=.=3 +3,即4 +3，∴.∴x=,y=.·() = =×22-×42+×4×2×=-9.【点睛】 (1)本题主要考查向量的线性运算和基底法，考查向量的数量积计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)对于平面内的不共线的向量 答案第13页，总15页，则平面的任意一个向 量总可以表示成22．(1).，其中是基底.(2).(3)g（x）2个零点.【解析】 【分析】 （1）根据向量的坐标运算，求出f（x）的表达式，再根据定义域求出最值及相应的自变量。（2）根据三角函数表达式，求出三角函数的变化周期及函数值，代入求解。（3）跟雷讨论在t取不同范围时，交点的个数问题。【详解】 （1）f（x）=2•=2sinxsin（x﹣）+2sinxcosx= sin2x+sin2x =sin2x﹣cos2x+=sin（2x﹣）+，∵x∈[，π]，∴≤2x﹣≤，∴﹣1≤sin（2x﹣）≤，f（x）最小值为 ﹣1，f（x）最大值为 ． （2）由（1）得，f（x）=sin（2x﹣）+．∴g（x）=f（）=sin（x﹣）+．T=4，∴g（1）+g（2）+g（3）+g（4）=g（5）+g（6）+g（7）+g（8）=…=g（2009）+g（2010）+g（2011）+g（2012）．g（1）+g（2）+g（3）+g（4）=，g（1）+g（2）+g（3）+…+g（2014）=503×+g（1）+g（2）=1006+=.（3）g（x）在[t，t+2]上零点的个数等价于y=sin（x﹣）与y=﹣同一直角坐标系内作出这两个数的图象． 两图象交点个数．在答案第14页，总15页 当4k＜t＜+4k，k∈Z时，由图象可知，y=sin（x﹣）与y=﹣零点 两图象无交点，g（x）无当+4k≤t＜2+4k或1个零点 +4k＜t≤4+4k时，y=sin（x﹣）与y=﹣两图象1个交点，g（x）当2+4k≤t≤【点睛】 +4k时，y=sin（x﹣）与y=﹣两图象2个交点，g（x）2个零点.本题考查了向量与三角函数的综合应用，注意分类讨论时t的不同取值情况，属于难题。 答案第15页，总15页 平面向量在高中数学教学中的作用 平面向量是高中数学引入的一个新概念.利用平面向量的定义、定理、性质及有关公式,可以简化解题过程,便于学生的理解和掌握.向量运算主要作用可以提高学生针对数学运算的理解层次，本身这个运算学生总最初接触运算都是数与数之间的运算，而加入向量运算之后，向量运算涉及到数学元素更高，比如说实数、字母、甚至向量，甚至还可以把几何图形加入运算当中，这本身对数学层次更大的一个提高。而且向量运算对数学的思想也体现的比较多，就是在解析几何当中，或者是在平面几何当中，向量应用确实很方便，一个运算既有代数意义又有几何意义，但是到了立体几何的话，我觉得向量运算仅仅就变成算术了，算术对立体几何本意还是没有有一点想像，就是它到底人学生重点掌握什么，掌握运算还是掌握思维和想像。 一、向量在代数中的应用 根据复数的几何意义，在复平面上可以用向量来表示复数。这样复数的加减法，就可以看成是向量的加减，复数的乘除法可以用向量的旋转和数乘向量得到，学了向量，复数事实上已没有太多的实质性内容。因而变选学内容也就不难理解了。另外向量所建立的数形对应也可用来证明代数中的一些恒等式、不等式问题，只要建立一定的数模型，可以较灵活地给出证题方法。 二、向量在三角中的应用 当我们利用单位圆来研究三角函数的几何意义时，表示三角函数就是平面向量。利用向量的有关知识可以导出部分诱导公式。由于用向量解决问题时常常是从三角形入手的，这使它在三角里解决有关三角形的问题发挥了重要作用，一个最有力的证据就是教材中所提供的余弦定理的证明：只要在根据向量三角形得出的关系式的两边平方就可利用向量的运算性质得出要证的结论，它比用综合法提供的证明要简便得多。 三、向量在平面解析几何中的应用 由于向量作为一种有向线段，本身就是有向直线上的一段，且向量的坐标可以用起点、终点的坐标来表示，使向量与平面解析几何特别是其中有关直线的部分保持着一种天然的联系。平面直角坐标系内两点间的距离公式，也就是平面内相应的向量的长度公式；分一条线段成定比的分点坐标，可根据相应的两个向量的坐标直接求得；用直线的方向向量（a , b）表示直线方向比直线的斜率更具有一般性，且斜率实际是方向量在 a = 0时的特殊情形。另外向量的平移也可用来化简二次曲线，即通过移动图形的变换来达到化简二次曲线的目的，实际上与解析几何中移轴变换达到同样的效果。 四、向量在几何中的应用 在解决几何中的有关度量、角度、平行、垂直等到问题时用向量解决也很方便。特别是平面向量可以推广到空间用来解决 立体几何问题。例如在空间直线和平面这部分内容光焕发中，解决平行、相交、包含以及计算夹角、距离等问题用传统的方法往往较为繁琐，但只要引入向量，利用向量的线性运算及向量的数量积和向量积以后，一切都归结为数字式符号运算。这些运算都有法则可循，比传统的方法要容易得多 总之，平面向量已经渗透到中学数学的许多方面，向量法代替传统教学方法已成为现代数学发展的必然趋势。向量法是一种值得学生花费时间、精力去掌握的一种新生方法，学好向量知识有助于理解和掌握与之有关联的学科。因此在职中数学教学中加强向量这一章的教学，为更好地学习其它知识做好必要的准备工作就显得尤为重要。但传统教学思想对向量抵触较大，许多教者认为向量法削弱了学生的空间想象能力，且学生初学向量时接受较为困难，这就要求我们不断探索，找出最佳的教和学的方法，发挥向量的作用，使向量真正地面为现代数学的基础。第五篇：平面向量在高中数学教学中的作用
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