平面向量复习课教案（精选5篇）

第一篇：平面向量复习课教案

平面向量复习课

一．考试要求：

1、理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念。

2、掌握向量的加法和减法。

3、掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件。

4、了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算。

5、掌握平面向量的数量积及其几何意义。了解用平面向量的数量积可以处理有关长度，角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件。二．知识梳理

1．向量的概念：

向量，零向量，单位向量，平行向量（共线向量），相等向量，向量的模等。

2．向量的基本运算（1）向量的加减运算

几何运算：向量的加减法按平行四边行法则或三角形法则进行。坐标运算：设a =(x1,y1), b =(x2,y2)则a+b=(x1+x2,y1+y2)a-b=(x1-x2,y1-y2)

(2)平面向量的数量积 ： ab=abcos

设a =(x1,y1), b =(x2,y2)则ab=x1x2+y1y2（3）两个向量平行的充要条件 ∥ 若 =(x1,y1), =(x2,y2)，则 ∥ 3．两个非零向量垂直的充要条件是 ⊥

=λ

x1y2-x2y1=0

· =0 设 =(x1,y1)，=(x2,y2)，则 ⊥ x1x2+y1y2=0 三．教学过程

（一）基础知识训练

1.下列命题正确的是（）

(A)单位向量都相等(B)任一向量与它的相反向量不相等(C)平行向量不一定是共线向量(D)模为0的向量与任意向量共线 2.已知正六边形ABCDEF中，若ABa，FAb，则BC（）

(A)12(ab)(B)12(ab)(C)ab(D)12ab

3.已知向量e10,R，ae1e2,b=2e1若向量a与b共线，则下列关系一定成立是（）

(A)0(B)e20(C)e1∥e2(D)e1∥e2或0 4.若向量a(1,x)，b(x,2)共线且方向相同，x=__________。

（二）．典例分析

例1：（1）设a与b为非零向量，下列命题：

 ①若a与b平行，则a与b向量的方向相同或相反；

 ②若ABa,CDb, a与b共线，则A、B、C、D四点必在一条直线上；

a③若a与b共线，则abab；④若a与b反向，则ab

b其中正确命题的个数有（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个

（2）下列结论正确的是（）

（A）abab（B）abab（C）若(ab)c(ca)b0

（D）若a与b都是非零向量，则ab的充要条件为abab

错解：（1）有学生认为①②③④全正确，答案为4；也有学生认为①或④是错的，答案为2或3；（2）A或B或C。

分析：学生对向量基础知识理解不正确、与实数有关性质运算相混淆，致使选择错误。

第（1）小题中，正确的应该是①④，答案为2。共线向量（a与b共

线）的充要条件中所存在的常数可看作为向量b作伸缩变换成为另一个向量a所作的伸缩量；若a，b为非零向量，则共线的a与b满足a与b同向时bbaa，a与b反向时aa。

bb第（2）小题中，正确答案为（D）。学生的错误多为与实数运算相混淆所致。选择支D同时要求学生明确向量垂直、两个向量的数量积、向量的模之间互化方法，并进行正确互化。

例2 设a、b是两个不共线向量。AB=2a+kb BC=a+b CD=a-2b A、B、D共线则k=_____(k∈R)解：BD=BC+CD=a+b+a-2b=2a-b 2a+kb=λ(2a-b)=2λa-λb

∴ 2=2λ且 k=-λ

∴ k=-1 例3 梯形ABCD，且|AB|=2|DC|,M、N分别为DC、AB中点。AB=a AD=b 用a，b来标DC、BC、MN。解：DC= 12AB=12a BC=BD+DC=(AD-AB)+DC =b-a+ a=b-a

2211MN=DN-DM=12a-b-a= a-b 4411例4 |a|=10 b=(3,-4)且a∥b求a

22解：设a=(x,y)则 x+y=100（1）

由a∥b得-4x-3y=0（2）

解（1）（2）得 x=6 y=-8。或 x=-6 y=8 ∴ a=(6,-8)或(-6,8)四． 归纳小结

1． 向量有代数与几何两种形式，要理解两者的内在联系，善于从图形中发现向量间的关系。

2． 对于相等向量，平行向量，共线向量等概念要区分清楚，特别注意零向量与任何向量共线这一情况。要善于运用待定系数法。

五．作业：

1、下列命题正确的是（）

A．若|a|0，则a0 B．若|a||b|，则ab或ab

C．若a||b，则|a||b| D．若a0，则a0

2、已知平行四边形ABCD的三个顶点A(2,1)、B(1,3)、C(3,4)，则顶点D的坐标为（）

A．(1,2)B．(2,2)C．(2,1)D．(2,2)

3、设|a|m(m0)，与a反向的单位向量是b0，则a用b0表示为

A．amb0 B．amb0 C．a1mb01m D．ab0

4、D、E、F分别为ABC的边BC、CA、AB上的中点，且BCa，CAb，下列命题中正确命题的个数是（）①AD12ab；②BEa12b；③CF12a12b；

④ADBECF0。

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

5、化简：CEACDEAD=__________。

aba3,b(1,2)

6、已知向量，且，则a的坐标_____________。

2

27、若a1,b2,aba0，则a与b的夹角为______________。



8、已知向量a3e12e2,b4e1e2,其中e1(1,0),e2(0,1)求（1）ab;ab的值；（2）a与b的夹角。

9、如果向量a与b，c的夹角都是60，而bc，且|a||b||c|1，求(a2c)(bc)的值。

PQBC10、如图，设O为ABC内一点，PQ∥BC，且OBbt，OAa，OCc，试用a，b，c表示OP,OQ．

答案

基础知识训练：D，C，D，2

达标练习： D，B，B，D，5，0； 6，（655655，—

355），（—，355）

102217，450，8，(1)ab=10, ab=52(2)=arccos9,-1 10,OP=(1-t)a+tb, OQ=(1-t)a+tb

第二篇：2014高考数学复习：平面向量

高考数学内部交流资料【1--4】

2014高考数学复习：平面向量

一选择题（每题5分，共50分）

1.向量﹒化简后等于（）

A.AMB.0C.0D.AC

2.下面给出的关系式中，正确的个数是（）

10·=0○2 ·=·○

3○4○25ab a

A.0B.1C.2D.3 3.对于非零向量a.b,下列命题中正确的是（）

A.ab0 a0或b0B//在上的投

影为。C.D.acbcab

4.已知=5,2,=4,3,=x,y.若-2+3=.则等于()A.1,B.28

3138134134,C.,D., 333333

1AB()25已知2,4,2,6,A.(0,5)B.(0,1)C.(2,5)D.(2,1)6e1.e2是平面内的一组基底，则下列四组向量中，不能作为一组基底的是（）

A.e1 和e1e2B.e1—2e2和e22e1 C.e1—2e2和4e22e1 D.e1e2和e1—e2 7已知ABC中ABAC>0,则ABC的形状是（）

A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不能确定 8已知1,0,1,1，且k恰好与垂直，则实数k的值是（）

A.1B.—1C.1或—1D.以上都不对

9.已知=,2,3,5，且与的夹角是钝角，则的范围是（）

A.10101010B.C.D. 3333

10.已知,是夹角为60的两个单位向量，则2,3的夹角是（）A.30B.60C.120D.150

二．填空题（每题5分,共25分）

11.若a6,8，则与a平行的单位向量是12.若向量,12且与的夹角为13.

1

2，0，则与的夹角为





=3

14．设e1.e2为两个不共线的向量，若e1e2与2e13e2与共线，则15已知平面内三点A.B.C34

5,则的值等于三．解答题（共75分）

16(12分)已知向量a3e12e2,b4e1e2其中e11,0,e20,1求：（1），（2）与夹角的余弦值。

17(12分).已知向量3,4,2,x,2,y且//,求：（1）x,y的值；（2的值



18.（12分）已知向量sinx,1,cosx,1（1）当a//b时，求cosxsinxcosx的值；（2）求f(x)=的最小正周期及最值。

19.（12分）已知2,24,36（其中,是任意两个不共线

向量），证明：A.B.C三点共线。

20．（13分）已知ABC中，A5,1，B1,7,C1,2.求（1）BC边上的中线AM的长;（2）cosABC的值

21.（14

32,的夹角为60，c3a5b,dma3b；（1）当m为何值时，c与d垂直？（2）当m为何值时，c与d共线？

第三篇：平面向量概念教案

平面向量概念教案

一．课题：平面向量概念

二、教学目标

1、使学生了解向量的物理实际背景，理解平面向量的一些基本概念，能正确进行平面向量的几何表示。

2、让学生经历类比方法学习向量及其几何表示的过程，体验对比理解向量基本概念的简易性，从而养成科学的学习方法。

3、通过本节的学习，让学生感受向量的概念方法源于现实世界，从而激发学生学习数学的热情，培养学生学习数学的兴趣

三．教学类型：新知课

四、教学重点、难点

1、重点：向量及其几何表示，相等向量、平行向量的概念。

2、难点：向量的概念及对平行向量的理解。

五、教学过程

（一）、问题引入

1、在物理中，位移与距离是同一个概念吗？为什么？

2、在物理中，我们学到位移是既有大小、又有方向的量，你还能举出一些这样的量吗？

3、在物理中，像这种既有大小、又有方向的量叫做矢量。在数学中，我们把这种既有大小、又有方向的量叫做向量。而把那些只有大小，没有方向的量叫数量。

（二）讲授新课

1、向量的概念

练习1 对于下列各量：

①质量 ② 速度 ③位移 ④力 ⑤加速度 ⑥路程 ⑦密度 ⑧功 ⑨体积 ⑩温度

其中，是向量的有：②③④⑤

2、向量的几何表示

请表示一个竖直向下、大小为5N的力，和一个水平向左、大小为8N的力（1厘米表示1N）。思考一下物理学科中是如何表示力这一向量的？

（1）有向线段及有向线段的三要素（2）向量的模

（4）零向量，记作＿＿＿＿；（5）单位向量

练习2 边长为6的等边△ABC中，＝＿＿，与 相等的还有哪些？

总结向量的表示方法： 1）、用有向线段表示。

2）、用字母表示。

3、相等向量与共线向量（1）相等向量的定义（2）共线向量的定义

六．教具：黑板 七．作业 八．教学后记

第四篇：平面向量教案

平面向量教案

课

件www.xiexiebang.com

二、复习要求

、向量的概念;

2、向量的线性运算:即向量的加减法,实数与向量的乘积,两个向量的数量积等的定义,运算律;

3、向量运算的运用

三、学习指导、向量是数形结合的典范。向量的几何表示法--有向线段表示法是运用几何性质解决向量问题的基础。在向量的运算过程中,借助于图形性质不仅可以给抽象运算以直观解释,有时甚至更简捷。

向量运算中的基本图形:①向量加减法则:三角形或平行四边形;②实数与向量乘积的几何意义--共线;③定比分点基本图形--起点相同的三个向量终点共线等。

2、向量的三种线性运算及运算的三种形式。

向量的加减法,实数与向量的乘积,两个向量的数量积都称为向量的线性运算,前两者的结果是向量,两个向量数量积的结果是数量。每一种运算都可以有三种表现形式:图形、符号、坐标语言。

主要内容列表如下:

运算图形语言符号语言坐标语言

加法与减法

=

-=

记=,=

则=

-==

实数与向量

的乘积

=λ

λ∈R记=

则λ=两个向量

的数量积

·=||||

cos<,>

记=,=

则·=x1x2y1y2

3、运算律

加法:=,=

实数与向量的乘积:λ=λλ;=λμ,λ=

两个向量的数量积:·=·;·=·=λ,·=··

说明:根据向量运算律可知,两个向量之间的线性运算满足实数多项式乘积的运算法则,正确迁移实数的运算性质可以简化向量的运算,例如2=

4、重要定理、公式

平面向量基本定理;如果是同一平面内的两个不共线向量,那么对于该平面内任一向量,有且只有一对数数λ1,λ2,满足=λ1λ2,称λ1λλ2为,的线性组合。

根据平面向量基本定理,任一向量与有序数对一一对应,称为在基底{,}下的坐标,当取{,}为单位正交基底{,}时定义为向量的平面直角坐标。

向量坐标与点坐标的关系:当向量起点在原点时,定义向量坐标为终点坐标,即若A,则=;当向量起点不在原点时,向量坐标为终点坐标减去起点坐标,即若A,B,则=

两个向量平行的充要条件

符号语言:若∥,≠,则=λ

坐标语言为:设=,=,则∥=λ,即,或x1y2-x2y1=0

在这里,实数λ是唯一存在的,当与同向时,λ>0;当与异向时,λ<0。

|λ|=,λ的大小由及的大小确定。因此,当,确定时,λ的符号与大小就确定了。这就是实数乘向量中λ的几何意义。

两个向量垂直的充要条件

符号语言:⊥·=0

坐标语言:设=,=,则⊥x1x2y1y2=0

线段定比分点公式

如图,设

则定比分点向量式:

定比分点坐标式:设P,P1,P2

则

特例:当λ=1时,就得到中点公式: ，实际上,对于起点相同,终点共线三个向量，,总有=uv,uv=1,即总可以用其中两个向量的线性组合表示第三个向量,且系数和为1。

平移公式:

①点平移公式,如果点P按=平移至P',则

分别称,为旧、新坐标,为平移法则

在点P新、旧坐标及平移法则三组坐标中,已知两组坐标,一定可以求第三组坐标

②图形平移:设曲线c:y=f按=平移,则平移后曲线c'对应的解析式为y-k=f

当h,k中有一个为零时,就是前面已经研究过的左右及上下移

利用平移变换可以化简函数解析式,从而便于研究曲线的几何性质

正弦定理,余弦定理

正弦定理:

余弦定理:a2=b2c2-2cbcosA

b2=c2a2-2cacosB

c2=a2b2-2abcosc

定理变形:cosA=,cosB=,cosc=

正弦定理及余弦定理是解决三角形的重要而又基本的工具。通过阅读课本,理解用向量法推导正、余弦定理的重要思想方法。

5、向量既是重要的数学概念,也是有力的解题工具。利用向量可以证明线线垂直,线线平行,求夹角等,特别是直角坐标系的引入,体现了向量解决问题的“程序性”特点。

四、典型例题

例

1、如图，为单位向量,与夹角为1200,与的夹角为450,||=5,用,表示。

分析:

以,为邻边,为对角线构造平行四边形

把向量在,方向上进行分解,如图,设=λ,=μ,λ>0,μ>0

则=λμ

∵||=||=1

∴λ=||,μ=||

△oEc中,∠E=600,∠ocE=750,由得:

∴

∴

说明:用若干个向量的线性组合表示一个向量,是向量中的基本而又重要的问题,通常通过构造平行四边形来处理

例

2、已知△ABc中,A,B,c,Bc边上的高为AD,求点D和向量坐标。

分析:

用解方程组思想

设D,则=

∵=,·=0

∴-6-3=0,即2xy-3=0①

∵=,∥

∴-6=-3,即x-2y1=0②

由①②得:

∴D,=

例

3、求与向量=,-1)和=夹角相等,且模为的向量的坐标。

分析:

用解方程组思想

法一:设=,则·=x-y,·=xy

∵<,>=<,>

∴&nb ∴

即①

又||=

∴x2y2=2②

由①②得或

∴=

法二:从分析形的特征着手

∵||=||=2

·=0

∴△AoB为等腰直角三角形,如图

∵||=,∠Aoc=∠Boc

∴c为AB中点

∴c

说明:数形结合是学好向量的重要思想方法,分析图中的几何性质可以简化计算。

例

4、在△oAB的边oA、oB上分别取点m、N,使||∶||=1∶3,||∶||=1∶4,设线段AN与Bm交于点P,记=,=,用,表示向量。

分析:

∵B、P、m共线

∴记=s

∴①

同理,记

∴=②

∵,不共线

∴由①②得解之得:

∴

说明:从点共线转化为向量共线,进而引入参数是常用技巧之一。平面向量基本定理是向量重要定理之一,利用该定理唯一性的性质得到关于s,t的方程。

例

5、已知长方形ABcD,AB=3,Bc=2,E为Bc中点,P为AB上一点

利用向量知识判定点P在什么位置时,∠PED=450;

若∠PED=450,求证:P、D、c、E四点共圆。

分析:

利用坐标系可以确定点P位置

如图,建立平面直角坐标系

则c,D,E

设P

∴=,=

∴

·=3y-1

代入cos450=

解之得,或y=2

∴点P为靠近点A的AB三等分处

当∠PED=450时,由知P

∴=,=

∴·=0

∴∠DPE=900

又∠DcE=900

∴D、P、E、c四点共圆

说明:利用向量处理几何问题一步要骤为:①建立平面直角坐标系;②设点的坐标;③求出有关向量的坐标;④利用向量的运算计算结果;⑤得到结论。

同步练习

选择题、平面内三点A,B,c,若∥,则x的值为:

A、-5B、-1c、1D、5

2、平面上A,B,D,c点满足,连Dc并延长至E,使||=||,则点E坐标为:

A、B、c、D、或

2、点沿向量平移到,则点沿平移到:

3、A、B、c、D、4、△ABc中,2cosB·sinc=sinA,则此三角形是:

A、直角三角形B、等腰三角形c、等边三角形D、以上均有可能

5、设，是任意的非零平面向量,且相互不共线,则:

①-=0

②||-||<|-|

③-不与垂直

④·=9||2-4|2中，真命题是:

A、①②B、②③c、③④D、②④

6、△ABc中,若a4b4c4=2c2,则∠c度数是:

A、600B、450或1350c、1200D、300

7、△oAB中,=,=,=,若=,t∈R,则点P在

A、∠AoB平分线所在直线上B、线段AB中垂线上

c、AB边所在直线上D、AB边的中线上

8、正方形PQRS对角线交点为m,坐标原点o不在正方形内部,且=,=,则=

A、B、c、D、填空题

9、已知{,|是平面上一个基底,若=λ,=-2λ-,若,共线,则λ=__________。

0、已知||=,||=1,·=-9,则与的夹角是________。

1、设,是两个单位向量,它们夹角为600，则·=____________。

2、把函数y=cosx图象沿平移,得到函数___________的图象。

解答题

3、设=,=,⊥,∥,试求满足=的的坐

14、若=,-=,求、及与夹角θ的余弦值。

5、已知||=,||=3,和夹角为450,求当向量λ与λ夹角为锐角时,λ的取值范围。

参考答案

1、c2、B3、D4、B5、D6、B7、A8、9、10、11、12、y=sinx1 13、4、=,=，5、λ<,或λ>且λ≠ 课

件www.xiexiebang.com

A

第五篇：平面向量教案

平面向量的综合应用 执教人： 执教人：易燕子
考纲要求： “从学科的整体高度和思维价值的高度考虑问题，在知识网络交汇点设计试题，使 考纲要求：
对数学基础知识的考查达到必要的深度”。向量以其独特的数形结合和坐标运算，成为衔接代数与几何的最佳纽带，故以向量知识与三角函数、解析几何、数列、不等式等多项内容的交汇作为设计综合性试题考查考生的综合能力，是高考的一 个热点，也是重点。教学目标（1）进一步理解平面向量的有关知识； 教学目标：（2）了解在平面向量与其他知识交汇点设计试题的几种形式；（3）能综合运用平面向量和相关知识解决问题。教学重点： 教学重点：平面向量与其他知识的相互联系。教学难点： 教学难点：平面向量与其他知识的相互转化。

评述：通过平面向量的运算得出二次不等式，利用恒成立解决。

“ 训练：（2010 北京）a、b 为非零向量，a ⊥ b ”是“函数 f(x)=(xa + b) xb − a)为一次(函数”的（）A.充分而不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 四．与三角知识的交汇 例 4．（2009 湖北）已知向量 a =(cos α , sin α), b =(cos β , sin β), c =(− 1,0)（1）求向量 b + c 的长度的最大值；（2）设 a =

r

r

r

r

r

r

r r

r r

π

4

，且 a ⊥(b + c)，求 cos β 的值.

r

r r

教学设计： 教学设计：
一．与集合的交汇 例 1.(2009 湖北)已知 P = {a | a =(1, 0)+ m(0,1), m ∈ R}，Q = {b | b =(1,1)+ n(−1,1), n ∈ R} 是两个向量集合，则 P I Q = A．〔1，1〕 ｛ ｝(B.｛ 〔-1，1〕 ｝)C.｛ 〔1，0〕 ｝

r r

r r

评述：以平面向量(三角函数)为载体，与三角函数(平面向量)的交叉与综合，是高考命题的一个 重要考点，其解法是利用向量的数量积和模的概念等脱去向量的“外衣”，转化为三角函数问 题，即可解决。训练：（2009 江苏）设向量 a =(4 cos α ,sin α), b =(sin β , 4 cos β), c =(cos β , −4 sin β)（1）若 a 与 b − 2c 垂直，求 tan(α + β)的值；（2）求 | b + c | 的最大值；

r

r

r

D.｛ 〔0，1〕 ｝

r

r

r

r r uuu uuu uuur uuu uuu uuur r r r uuu uuu uuu uuu uuu uuu r r r r r r | OA |=| OB |=| OC |, NA + NB + NC = 0，且 PA • PB = PB • PC = PC • PA, 则点 O，N，P 依 次是 ∆ABC 的()
A.重心 外心 垂心 C.外心 重心 垂心 B.重心 外心 内心 D.外心 重心 内心

变式：若将 Q 集合中的 n 改为 m，结果又如何呢？ 评述：借助平面向量的坐标运算，把集合的交集运算转化为向量相等，考查了方程思想和等价 转化的思想。二．与平面几何的交汇 例 2.（2009 宁夏海南）已知 O，N，P 在 ∆ABC 所在平面内，且

r r

（3