第一篇：精品教案：第五章 平面向量讲解
2010届高三数学一轮复习精品教案――平面向量
一、本章知识结构:
二、重点知识回顾
1.向量的概念:既有大小又有方向的量叫向量 , 有二个要素:大小、方向.2.向量的表示方法:①用有向线段表示;②用字母 a、b 等表示;③平面向量的坐标表
示:分别取与 x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量 i、j 作为基底。任作一个向量 a ,由平
面向量基本定理知, 有且只有一对实数 x、y ,使得 a xi yj =+ , ,(y x 叫做向量 a 的(直
角坐标,记作(, a x y = ,其中 x 叫做 a 在 x 轴上的坐标, y 叫做 a 在 y 轴上的坐标, 特 别地, i(1,0=, j(0,1=, 0(0,0=
。a = ,(11y x A , ,(22y x B ,则(1212, y y x x--= , AB =3.零向量、单位向量:①长度为 0的向量叫零向量,记为;②长度为 1个单位长度 的向量,叫单位向量.就是单位向量
4.平行向量:①方向相同或相反的非零向量叫平行向量;②我们规定 0 与任一向量平行.向量 a、b、c平行,记作 a ∥ b ∥ c.共线向量与平行向量关系:平行向量就是共线向量.5.相等向量:长度相等且方向相同的向量叫相等向量.6.向量的加法、减法 : ①求两个向量和的运算, 叫做向量的加法。向量加法的三角形法则和平行四边形法则。②向
量的减法向量 a 加上的 b 相反向量,叫做 a 与 b 的差。即:a-b = a +(-b;差向量的意义: = a , =b , 则 =a,(2121y y x x--=,(, a x y λλλ=。
④向量加法的交换律 :+=+;向量加法的结合律:(+ +=+(+ 7.实数与向量的积:实数 λ与向量 a 的积是一个向量,记作:λa
(1 |λa |=|λ||a |;(2 λ>0时 λa 与 a 方向相同;λ<0时 λa 与 a 方向相反;λ=0时 λa =;(3运算定律 λ(μa =(λμa ,(λ+μa =λa +μa , λ(a +b =λa +λb
8.向量共线定理 向量 b 与非零向量 a 共线(也是平行的充要条件是:有且只有一 个非零实数 λ,使 b =λa。
9.平面向量基本定理:如果 1e , 2e 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量 a ,有且只有一对实数 λ1, λ2使 a =λ11e +λ22e。(1不共线向量 1e、2e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底;(2基底不惟一,关键是不共线;(3由定理可将 任一向量 a 在给出基底 1e、2e 的条件下进行分解;(4基底给定时,分解形式惟一.λ1, λ2是被 a , 1e , 2e 唯一确定的数量。
10.向量 和 的数量积:① ·=| |·||cosθ,其中 θ∈ [0, π ]
为 a 和 b 的夹角。② |b |cosθ称为 b 在 a 的方向上的投影。③ a ·b 的几何意义是:b 的长 度 ||在 的方向上的投影的乘积,是一个实数(可正、可负、也可是零,而不是向量。④若 =(1x , 1y , =(x 2, 2y , 则 2121y y x x b a +=∙
⑤运算律:a · b =b ·a ,(λa · b =a ·(λb =λ(a ·b ,(a +b ·c =a ·c +b ·c。⑥ 和 的夹角公式:cos θ=a b a b
∙⋅ =222221212121y x y x y y x x +⋅++ ⑦ ==∙2a a a |a |2=x2+y2,或 |a
|=22y x =+⑧ | a ·b |≤ | a |·| b |。
11.两向量平行、垂直的充要条件 设 =(1x , 1y , =(2x , 2y ① a ⊥ b ⇔a ·b =0 , ⇔⊥a b ∙
=1x 2x +1y 2y =0;② //(a ≠ 充要条件是:有且只有一个非零实数 λ,使 b =λa。0//1221=-⇔y x y x b a 向量的平行与垂直的坐标运算注意区别,在解题时容易混淆。
12.点 P 分有向线段 21P P 所成的比的 λ: 21PP P P λ=, P 内分线段 21P P 时 , 0>λ;P 外分线段 21P P 时 , 0<λ.定比分点坐标公式、中点坐标公式、三角形重心公式: ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=λλλλ112121y y y x x x(1-≠λ、⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+=+=222121y y y x x x、3, 3(321321y y y x x x ++++
三、考点剖析 考点一 :向量的概念、向量的基本定理
【内容解读】了解向量的实际背景,掌握向量、零向量、平行向量、共线向量、单位向 量、相等向量等概念,理解向量的几何表示,掌握平面向量的基本定理。
注意对向量概念的理解, 向量是可以自由移动的,平移后所得向量与原向量相同;两个 向量无法比较大小,它们的模可比较大小。
如果 1e 和 2e 是同一平面内的两个不共线...向量, 那么对该平面内的任一向量 a 有且只有一 对实数 λ
1、λ2,使 a =λ11e +λ22e.注意:若 1e 和 2e 是同一平面内的两个不共线...向量, 【命题规律】 有关向量概念和向量的基本定理的命题, 主要以选择题或填空题为主, 考 查的难度属中档类型。
例
1、(2007上海直角坐标系 xOy 中, i j , 分别是与 x y , 轴正方向同向的单位向 量.在直角三角形 ABC 中, 若 j k i j i +=+=3, 2, 则 k 的可能值个数是(A.1 B.2 C.3 D.4 解:如图,将 A 放在坐标原点,则 B 点坐标为(2,1, C 点坐标为(3,k,所以 C
点在直线 x=3上,由图知,只可能 A、B 为直角, C 不可能为直角.所以 k 的可 能值个数是 2,选 B 点评 :本题主要考查向量的坐标表示,采用数形结合法,巧妙求解,体现平面向量中的数形结合思想。
例
2、(2007陕西如图,平面内有三个向量 OA、、, 其中与 OA 与 的夹角为 120°, OA 与 的夹角为 30°, 且 |OA |=||=1, || =2,若 =λOA +μ(λ, μ∈ R ，则 λ+μ的值为.解 :过 C 作 OA 与 OC 的平行线与它们的延长线相交, 可得平行四边形, 由角 BOC=90°角 AOC=30 =32得平行四边形的边长为 2和 4, =+μλ2+4=6
点评 :本题考查平面向量的基本定理, 向量 OC 用向量 OA 与向量 OB 作为基底表示出 来后,求相应的系数,也考查了平行四边形法则。
考点二 :向量的运算
【内容解读】 向量的运算要求掌握向量的加减法运算, 会用平行四边形法则、三角形法 则进行向量的加减运算;掌握实数与向量的积运算, 理解两个向量共线的含义, 会判断两个 向量的平行关系;掌握向量的数量积的运算, 体会平面向量的数量积与向量投影的关系, 并 理解其几何意义, 掌握数量积的坐标表达式, 会进行平面向量积的运算, 能运用数量积表示 两个向量的夹角,会用向量积判断两个平面向量的垂直关系。
【命题规律】命题形式主要以选择、填空题型出现,难度不大,考查重点为模和向量夹 角的定义、夹角公式、向量的坐标运算,有时也会与其它内容相结合。
例
3、(2008湖北文、理 设 a =(1,-2,b =(-3,4,c =(3,2,则(a +2b ·c =(A.(-15,12 B.0 C.-3 D.-11
解 :(a +2b(1, 2 2(3,4(5,6-+-=-,(a +2b ·c(5,6(3,23=-⋅=-,选 C 点评 :本题考查向量与实数的积,注意积的结果还是一个向量,向量的加法运算,结果 也是一个向量,还考查了向量的数量积,结果是一个数字。
例
4、(2008广东文 已知平面向量 , 2(, 2, 1(m b a-==, 且 a ∥ b , 则 b a 32+=(A.(-2,-4 B.(-3,-6 C.(-4,-8 D.(-5,-10 解 :由 ∥ ,得 m =-4,所以, b a 32+=(2, 4+(-6,-12=(-4,-8,故选(C。
点评 :两个向量平行,其实是一个向量是另一个向量的 λ倍,也是共线向量, 注意运算 的公式,容易与向量垂直的坐标运算混淆。
例
5、(2008海南、宁夏文 已知平面向量 a =(1,-3, b =(4,-2, a b λ+ 与 a 垂直,则 λ是(A.-1 B.1 C.-2 D.2 解 :由于((4, 32, 1, 3, a b a a b a λ+=λ+-λ-=-λ+⊥ ∴((43320λ+--λ-=,即 101001λ+=∴λ=-,选A 点评 :本题考查简单的向量运算及向量垂直的坐标运算, 注意不要出现运算出错, 因为 这是一道基础题,要争取满分。
例
6、(2008广东理 在平行四边形 ABCD 中, AC 与 BD 交于点 O , E 是线段 OD 的中 点, AE 的延长线与 CD 交于点 F.若 =, =, 则 =(A.1142a b + B.2133a b + C.1124a b + D.1233
a b + 解 :21=, 2
121+=+=, 4 12121212121(21+=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=+=, 由 A、E、F 三点共线 , 知 1, >=λλAE AF 而满足此条件的选择支只有 B ,故选 B.点评 :用三角形法则或平行四边形法则进行向量的加减法运算是向量运算的一个难点, 体现数形结合的数学思想。例
7、(2008江 苏 已 知 向 量 a 和 b 的 夹 角 为 0120, ||1,||3a b == , 则
|5|a b-=.解 :(2222552510a b a b a a b b-=-=-∙+ =22125110133492⎛⎫⨯-⨯⨯⨯-+= ⎪⎝⎭ ，点评：向量的模、向量的数量积的运算是经常考查的内容，难度不大，只要细心，运算 不要出现错误即可。考点三：定比分点 【内容解读】掌握线段的定比分点和中点坐标公式，并能熟练应用，求点分有向线段所 成比时，可借助图形来帮助理解。【命题规律】重点考查定义和公式，主要以选择题或填空题型出现，难度一般。由于向 量应用的广泛性，经常也会与三角函数，解析几何一并考查，若出现在解答题中，难度以中 档题为主，偶尔也以难度略高的题目。例 8、(2008 湖南理 设 D、E、F 分别是△ ABC 的三边 BC、CA、AB 上的点，且
则
与 BC(A.反向平行 B.同向平行 C.互相垂直
解：由定比分点的向量式得AB, 同理，有：
所以选 A.3 D.既不平行也不垂直
以上三式相加得 3 3 3 3 点评：利用定比分点的向量式，及向量的运算，是解决本题的要点.考点四：向量与三角函数的综合问题 【内容解读】向量与三角函数的综合问题是高考经常出现的问题，考查了向量的知识，三角函数的知识，达到了高考中试题的覆盖面的要求。【命题规律】 命题以三角函数作为坐标，以向量的坐标运算或向量与解三角形的内容相 结合，也有向量与三角函数图象平移结合的问题，属中档偏易题。例 9、（2008 深圳福田等）已知向量 x , 函数 2 ] 时, 若 求 x 的值． 解：
所以，T＝，∵，∴
∴
∴
由
得
求 f(x 的最小正周期;(2当
点评：向量与三角函数的综合问题是当前的一个热点，但通常难度不大，一般就是 以向量的坐标形式给出与三角函数有关的条件，并结合简单的向量运算，而考查的主体 部分则是三角函数的恒等变换，以及解三角形等知识点.例
10、（2007 山东文）在 △ ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，tan C ．（1）求 cos C ；（2）若 解：（1）．，又．，cos C 又，是锐角． ．（2）由
．，且
．，2 2 解得 ．，求 c ． 2 sin C
． 点评：本题向量与解三角形的内容相结合，考查向
平移，则平移后所 例
11、的图象按向量，得量的数量积，余弦定理等内容。（2007 湖北）将
图象的解析式为（Ａ．）
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ． 的图像上任意取一对对应点 P x , y，解： 由向量平移的定义，在平移前、后，代入到已知解析式中可 则，得选Ａ 点评：本题主要考察向量与三角函数图像的平移的基本知识，以平移公式切入，为中档 题。注意不要将向量与对应点的顺序搞反，或死记硬背以为是先向右平移 下平移 2 个单位，误选Ｃ 考点五：平面向量与函数问题的交汇
个单位，再向 4 【内容解读】平面向量与函数交汇的问题，主要是向量与二次函数结合的问题为主，要 注意自变量的取值范围。【命题规律】命题多以解答题为主，属中档题。例
12、（2008 广东六校联考）已知向量 a ＝(cos 且 x∈[0，sin，x，sin x，b ＝函数，．（1）求
（2）设，求函数 f(x 的最值及相应的 x 的值。解：（错误！，得： 未找到引用源。）由已知条件：
（2）
因为：，所以：，或 时，所以，只有当：
时，点评：本题考查向量、三角函数、二次函数的知识，经过配方后，变成开口向下的二次 函数图象，要注意 sinx 的取值范围，否则容易搞错。考点六：平面向量在平面几何中的应用 【内容解读】向量的坐标表示实际上就是向量的代数表示．在引入向量的坐标表示后，使向量之间的运算代数化，这样就可以将“形”和“数”紧密地结合在一起．因此，许多平面几何问题中较难解决的问题，都可以转化为大家熟悉的代数运算的论证． 也就是把平面几 何图形放到适当的坐标系中，赋予几何图形有关点与平面向量 y 具体的坐标，这样将有关平面几何问题转化为相应的代数运算 C 和向量运算，从而使问题得到解决． 【命题规律】命题多以解答题为主，属中等偏难的试题。例
13、如图在 Rt
中，已知 BC=a，若长为 2a 的线 段 PQ 以 A 为中点，问 PQ 与 BC 的夹角 取何值时，例 13 图 O B x Q 的值最大？并求出这个最大值。解：以直角顶点 A 为坐标原点，两直角边所在直线为坐标轴建立如图所示的平面直角 坐标系。设|AB|=c，|AC|=b，则 A（0，0），B（c，0），C（0，b）.且|PQ|=2a，|BC|=a.设 点 P 的 坐 标 为（x，y），则 Q（-x，-y），（，b），（（，y），）
（，），BC a2 ∴cx-∴-故当，即（PQ 与BC 方向相同）时，的值最大，其最大值为 0.点评：本题主要考查向量的概念，运算法则及函数的有关知识，平面向量与几何问题 的融合。考查学生运用向量知识解决综合问题的能力。
四、方法总结与 2010 年高考预测(一方法总结 1.以“基底”形式出现的向量问题通常将题中的化为以某一点为统一起点，再进行向量 运算会非常方便； 2.以坐标形式出现的向量问题可以尽可能利用解析思想，转化为函数或方程方法求解；(二2010 高考预测 预计向量基本概念、向量基本运算等基础问题，通常为选择题或填空题出现；而用向量 与三角函数、解三角形等综合的问题，通常为解答题，难度以中档题为主。
五、复习建议
1、平面向量部分的复习应该注重向量的工具作用，紧紧围绕数形结合思想，扬长避短，解决问题；
2、平面向量与三角函数的交汇是近年来的考查热点，一般服出现在解答题的前三大题 里，在复习中，应加强这种类型试题的训练。
第二篇：平面向量概念教案
平面向量概念教案
一．课题：平面向量概念
二、教学目标
1、使学生了解向量的物理实际背景，理解平面向量的一些基本概念，能正确进行平面向量的几何表示。
2、让学生经历类比方法学习向量及其几何表示的过程，体验对比理解向量基本概念的简易性，从而养成科学的学习方法。
3、通过本节的学习，让学生感受向量的概念方法源于现实世界，从而激发学生学习数学的热情，培养学生学习数学的兴趣
三．教学类型：新知课
四、教学重点、难点
1、重点：向量及其几何表示，相等向量、平行向量的概念。
2、难点：向量的概念及对平行向量的理解。
五、教学过程
（一）、问题引入
1、在物理中，位移与距离是同一个概念吗？为什么？
2、在物理中，我们学到位移是既有大小、又有方向的量，你还能举出一些这样的量吗？
3、在物理中，像这种既有大小、又有方向的量叫做矢量。在数学中，我们把这种既有大小、又有方向的量叫做向量。而把那些只有大小，没有方向的量叫数量。
（二）讲授新课
1、向量的概念
练习1 对于下列各量：
①质量 ② 速度 ③位移 ④力 ⑤加速度 ⑥路程 ⑦密度 ⑧功 ⑨体积 ⑩温度
其中，是向量的有：②③④⑤
2、向量的几何表示
请表示一个竖直向下、大小为5N的力，和一个水平向左、大小为8N的力（1厘米表示1N）。思考一下物理学科中是如何表示力这一向量的？
（1）有向线段及有向线段的三要素（2）向量的模
（4）零向量，记作＿＿＿＿；（5）单位向量
练习2 边长为6的等边△ABC中，＝＿＿，与 相等的还有哪些？
总结向量的表示方法： 1）、用有向线段表示。
2）、用字母表示。
3、相等向量与共线向量（1）相等向量的定义（2）共线向量的定义
六．教具：黑板 七．作业 八．教学后记
第三篇：平面向量教案
平面向量教案
课
件www.xiexiebang.com
二、复习要求
、向量的概念;
2、向量的线性运算:即向量的加减法,实数与向量的乘积,两个向量的数量积等的定义,运算律;
3、向量运算的运用
三、学习指导、向量是数形结合的典范。向量的几何表示法--有向线段表示法是运用几何性质解决向量问题的基础。在向量的运算过程中,借助于图形性质不仅可以给抽象运算以直观解释,有时甚至更简捷。
向量运算中的基本图形:①向量加减法则:三角形或平行四边形;②实数与向量乘积的几何意义--共线;③定比分点基本图形--起点相同的三个向量终点共线等。
2、向量的三种线性运算及运算的三种形式。
向量的加减法,实数与向量的乘积,两个向量的数量积都称为向量的线性运算,前两者的结果是向量,两个向量数量积的结果是数量。每一种运算都可以有三种表现形式:图形、符号、坐标语言。
主要内容列表如下:
运算图形语言符号语言坐标语言
加法与减法
=
-=
记=,=
则=
-==
实数与向量
的乘积
=λ
λ∈R记=
则λ=两个向量
的数量积
·=||||
cos<,>
记=,=
则·=x1x2y1y2
3、运算律
加法:=,=
实数与向量的乘积:λ=λλ;=λμ,λ=
两个向量的数量积:·=·;·=·=λ,·=··
说明:根据向量运算律可知,两个向量之间的线性运算满足实数多项式乘积的运算法则,正确迁移实数的运算性质可以简化向量的运算,例如2=
4、重要定理、公式
平面向量基本定理;如果是同一平面内的两个不共线向量,那么对于该平面内任一向量,有且只有一对数数λ1,λ2,满足=λ1λ2,称λ1λλ2为,的线性组合。
根据平面向量基本定理,任一向量与有序数对一一对应,称为在基底{,}下的坐标,当取{,}为单位正交基底{,}时定义为向量的平面直角坐标。
向量坐标与点坐标的关系:当向量起点在原点时,定义向量坐标为终点坐标,即若A,则=;当向量起点不在原点时,向量坐标为终点坐标减去起点坐标,即若A,B,则=
两个向量平行的充要条件
符号语言:若∥,≠,则=λ
坐标语言为:设=,=,则∥=λ,即,或x1y2-x2y1=0
在这里,实数λ是唯一存在的,当与同向时,λ>0;当与异向时,λ<0。
|λ|=,λ的大小由及的大小确定。因此,当,确定时,λ的符号与大小就确定了。这就是实数乘向量中λ的几何意义。
两个向量垂直的充要条件
符号语言:⊥·=0
坐标语言:设=,=,则⊥x1x2y1y2=0
线段定比分点公式
如图,设
则定比分点向量式:
定比分点坐标式:设P,P1,P2
则
特例:当λ=1时,就得到中点公式: ，实际上,对于起点相同,终点共线三个向量，,总有=uv,uv=1,即总可以用其中两个向量的线性组合表示第三个向量,且系数和为1。
平移公式:
①点平移公式,如果点P按=平移至P',则
分别称,为旧、新坐标,为平移法则
在点P新、旧坐标及平移法则三组坐标中,已知两组坐标,一定可以求第三组坐标
②图形平移:设曲线c:y=f按=平移,则平移后曲线c'对应的解析式为y-k=f
当h,k中有一个为零时,就是前面已经研究过的左右及上下移
利用平移变换可以化简函数解析式,从而便于研究曲线的几何性质
正弦定理,余弦定理
正弦定理:
余弦定理:a2=b2c2-2cbcosA
b2=c2a2-2cacosB
c2=a2b2-2abcosc
定理变形:cosA=,cosB=,cosc=
正弦定理及余弦定理是解决三角形的重要而又基本的工具。通过阅读课本,理解用向量法推导正、余弦定理的重要思想方法。
5、向量既是重要的数学概念,也是有力的解题工具。利用向量可以证明线线垂直,线线平行,求夹角等,特别是直角坐标系的引入,体现了向量解决问题的“程序性”特点。
四、典型例题
例
1、如图，为单位向量,与夹角为1200,与的夹角为450,||=5,用,表示。
分析:
以,为邻边,为对角线构造平行四边形
把向量在,方向上进行分解,如图,设=λ,=μ,λ>0,μ>0
则=λμ
∵||=||=1
∴λ=||,μ=||
△oEc中,∠E=600,∠ocE=750,由得:
∴
∴
说明:用若干个向量的线性组合表示一个向量,是向量中的基本而又重要的问题,通常通过构造平行四边形来处理
例
2、已知△ABc中,A,B,c,Bc边上的高为AD,求点D和向量坐标。
分析:
用解方程组思想
设D,则=
∵=,·=0
∴-6-3=0,即2xy-3=0①
∵=,∥
∴-6=-3,即x-2y1=0②
由①②得:
∴D,=
例
3、求与向量=,-1)和=夹角相等,且模为的向量的坐标。
分析:
用解方程组思想
法一:设=,则·=x-y,·=xy
∵<,>=<,>
∴&nb ∴
即①
又||=
∴x2y2=2②
由①②得或
∴=
法二:从分析形的特征着手
∵||=||=2
·=0
∴△AoB为等腰直角三角形,如图
∵||=,∠Aoc=∠Boc
∴c为AB中点
∴c
说明:数形结合是学好向量的重要思想方法,分析图中的几何性质可以简化计算。
例
4、在△oAB的边oA、oB上分别取点m、N,使||∶||=1∶3,||∶||=1∶4,设线段AN与Bm交于点P,记=,=,用,表示向量。
分析:
∵B、P、m共线
∴记=s
∴①
同理,记
∴=②
∵,不共线
∴由①②得解之得:
∴
说明:从点共线转化为向量共线,进而引入参数是常用技巧之一。平面向量基本定理是向量重要定理之一,利用该定理唯一性的性质得到关于s,t的方程。
例
5、已知长方形ABcD,AB=3,Bc=2,E为Bc中点,P为AB上一点
利用向量知识判定点P在什么位置时,∠PED=450;
若∠PED=450,求证:P、D、c、E四点共圆。
分析:
利用坐标系可以确定点P位置
如图,建立平面直角坐标系
则c,D,E
设P
∴=,=
∴
·=3y-1
代入cos450=
解之得,或y=2
∴点P为靠近点A的AB三等分处
当∠PED=450时,由知P
∴=,=
∴·=0
∴∠DPE=900
又∠DcE=900
∴D、P、E、c四点共圆
说明:利用向量处理几何问题一步要骤为:①建立平面直角坐标系;②设点的坐标;③求出有关向量的坐标;④利用向量的运算计算结果;⑤得到结论。
同步练习
选择题、平面内三点A,B,c,若∥,则x的值为:
A、-5B、-1c、1D、5
2、平面上A,B,D,c点满足,连Dc并延长至E,使||=||,则点E坐标为:
A、B、c、D、或
2、点沿向量平移到,则点沿平移到:
3、A、B、c、D、4、△ABc中,2cosB·sinc=sinA,则此三角形是:
A、直角三角形B、等腰三角形c、等边三角形D、以上均有可能
5、设，是任意的非零平面向量,且相互不共线,则:
①-=0
②||-||<|-|
③-不与垂直
④·=9||2-4|2中，真命题是:
A、①②B、②③c、③④D、②④
6、△ABc中,若a4b4c4=2c2,则∠c度数是:
A、600B、450或1350c、1200D、300
7、△oAB中,=,=,=,若=,t∈R,则点P在
A、∠AoB平分线所在直线上B、线段AB中垂线上
c、AB边所在直线上D、AB边的中线上
8、正方形PQRS对角线交点为m,坐标原点o不在正方形内部,且=,=,则=
A、B、c、D、填空题
9、已知{,|是平面上一个基底,若=λ,=-2λ-,若,共线,则λ=__________。
0、已知||=,||=1,·=-9,则与的夹角是________。
1、设,是两个单位向量,它们夹角为600，则·=____________。
2、把函数y=cosx图象沿平移,得到函数___________的图象。
解答题
3、设=,=,⊥,∥,试求满足=的的坐
14、若=,-=,求、及与夹角θ的余弦值。
5、已知||=,||=3,和夹角为450,求当向量λ与λ夹角为锐角时,λ的取值范围。
参考答案
1、c2、B3、D4、B5、D6、B7、A8、9、10、11、12、y=sinx1 13、4、=,=，5、λ<,或λ>且λ≠ 课
件www.xiexiebang.com
A
第四篇：平面向量教案
平面向量的综合应用 执教人： 执教人：易燕子
考纲要求： “从学科的整体高度和思维价值的高度考虑问题，在知识网络交汇点设计试题，使 考纲要求：
对数学基础知识的考查达到必要的深度”。向量以其独特的数形结合和坐标运算，成为衔接代数与几何的最佳纽带，故以向量知识与三角函数、解析几何、数列、不等式等多项内容的交汇作为设计综合性试题考查考生的综合能力，是高考的一 个热点，也是重点。教学目标（1）进一步理解平面向量的有关知识； 教学目标：（2）了解在平面向量与其他知识交汇点设计试题的几种形式；（3）能综合运用平面向量和相关知识解决问题。教学重点： 教学重点：平面向量与其他知识的相互联系。教学难点： 教学难点：平面向量与其他知识的相互转化。
评述：通过平面向量的运算得出二次不等式，利用恒成立解决。
“ 训练：（2010 北京）a、b 为非零向量，a ⊥ b ”是“函数 f(x)=(xa + b) xb − a)为一次(函数”的（）A.充分而不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 四．与三角知识的交汇 例 4．（2009 湖北）已知向量 a =(cos α , sin α), b =(cos β , sin β), c =(− 1,0)（1）求向量 b + c 的长度的最大值；（2）设 a =
r
r
r
r
r
r
r r
r r
π
4
，且 a ⊥(b + c)，求 cos β 的值.
r
r r
教学设计： 教学设计：
一．与集合的交汇 例 1.(2009 湖北)已知 P = {a | a =(1, 0)+ m(0,1), m ∈ R}，Q = {b | b =(1,1)+ n(−1,1), n ∈ R} 是两个向量集合，则 P I Q = A．〔1，1〕 ｛ ｝(B.｛ 〔-1，1〕 ｝)C.｛ 〔1，0〕 ｝
r r
r r
评述：以平面向量(三角函数)为载体，与三角函数(平面向量)的交叉与综合，是高考命题的一个 重要考点，其解法是利用向量的数量积和模的概念等脱去向量的“外衣”，转化为三角函数问 题，即可解决。训练：（2009 江苏）设向量 a =(4 cos α ,sin α), b =(sin β , 4 cos β), c =(cos β , −4 sin β)（1）若 a 与 b − 2c 垂直，求 tan(α + β)的值；（2）求 | b + c | 的最大值；
r
r
r
D.｛ 〔0，1〕 ｝
r
r
r
r r uuu uuu uuur uuu uuu uuur r r r uuu uuu uuu uuu uuu uuu r r r r r r | OA |=| OB |=| OC |, NA + NB + NC = 0，且 PA • PB = PB • PC = PC • PA, 则点 O，N，P 依 次是 ∆ABC 的()
A.重心 外心 垂心 C.外心 重心 垂心 B.重心 外心 内心 D.外心 重心 内心
变式：若将 Q 集合中的 n 改为 m，结果又如何呢？ 评述：借助平面向量的坐标运算，把集合的交集运算转化为向量相等，考查了方程思想和等价 转化的思想。二．与平面几何的交汇 例 2.（2009 宁夏海南）已知 O，N，P 在 ∆ABC 所在平面内，且
r r
（3
第五篇：平面向量基本定理教案
§2.3.1平面向量基本定理教学设计
教学目的：
（1）了解平面向量基本定理；
（2）理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，初步掌握应用向量解决实际问题的重要思想方法；（3）能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达.教学重点：平面向量基本定理.教学难点：平面向量基本定理的理解与应用.授课类型：新授课 教学过程：
一、复习引入：
1．实数与向量的积：实数λ与向量a的积是一个向量，记作：λa
（1）|λa|=|λ||a|；
（2）λ>0时λa与a方向相同；λ<0时λa与a方向相反；λ=0时λa=0
2．运算定律
结合律：λ(μa)=(λμ)a ；
分配律：(λ+μ)a=λa+μa，λ(a+b)=λa+λb
3.向量共线定理 向量b与非零向量a共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b=λa.二、讲解新课：
1．提出问题：由平行四边形想到：
（1）是不是每一个向量都可以分解成两个不共线向量？且分解是唯一？（2）对于平面上两个不共线向量e1，e2是不是平面上的所有向量都可以用它们来表示？
2．设e1，e2是不共线向量，a是平面内任一向量，e1 a
MC
N B e2
O OA=e1，OM=λ
1e2； OB=e2，ON=λe2
21OC=a=OM+ON=λ
e1+λe2，2平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对
于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2使a=λ1e1+λ2e2.探究：
(1)我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；(2)基底不惟一，关键是不共线；
(3)由定理可将任一向量a在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解；
(4)基底给定时，分解形式惟一.λ1，λ2是被a，e1，e2唯一确定的数量
3、两个非零向量的夹角：
如图所示，已知两个非零向量a,b，在平面上任取一点O，作OAaO ,Bb，则AOB0叫做向量a与b的夹角，ba BAO θbθ bAOB aa【说明】（1）研究两个非零向量的夹角时，必须先将这两个向量的起点移至同一个点；但是当两个向量的终点重合时，表示向量的这两条线段所成的0,范围内的角也等于这两个向量之间的夹角。（2）只有非零向量之间才存在夹角；
（3）如果∠AOB=0°a与b同向；
（4）如果∠AOB=90°，我们就说向量a与b垂直，记作：ab；
（5）如果∠AOB=180°a与b反向。
三、讲解范例：
例1 已知向量e1，e2 求作向量2.5e1+3e2.作法：见教材
四、课堂练习：
1.设e1、e2是同一平面内的两个向量，则有()A.e1、e2一定平行
e2e1B.e1、e2的模相等
C.同一平面内的任一向量a都有a =λe1+μe2(λ、μ∈R)D.若e1、e2不共线，则同一平面内的任一向量a都有a =λe1+ue2(λ、u∈R)2.已知矢量a = e1-2e2，b =2e1+e2，其中e1、e2不共线，则a+b与c =6e1-2e2的关系
A.不共线 B.共线 C.相等 D.无法确定
3.已知向量e1、e2不共线，实数x、y满足(3x-4y)e1+(2x-3y)e2=6e1+3e2，则x-y的值等于()A.3 B.-3 C.0 D.2
五、小结：平面向量基本定理，其实质在于：同一平面内任一向量都可以表示为两个不共线向量的线性组合．
六、课后作业：课本：101页1,2 板书设计：略
点击咨询 