《平面向量的分解定理》教案

第一篇：《平面向量的分解定理》教案

8.3平面向量的分解定理

翁旭宇

一、教学目标

1．理解和掌握平面向量的分解定理；

2．掌握平面内任一向量都可以用两个不平行向量来表示；掌握基的概念，并能够用基表示平面内的向量；

3．根据学生已有的物理知识经验，在熟悉的问题情景中，体会研究向量分解的必要性。4．经历平面向量分解定理的探求过程，培养观察能力、抽象概括能力、体会化归思想。

二、教学重点及难点 ：平面向量分解定理的发现和形成过程；分解唯一性的说明。

三、教学过程设计

（一）、设置情景，引入课题（1）观察

前面我们学过向量的加法，知道两个向量可以合成一个向量，反过来，一个向量是否可以分解成两个向量呢？

下面让我们来看一个实例：

实例：一盏电灯，可以由电线CO吊在天花板上，也可以由电线OA和绳BO拉住.CO所受的力F与电灯重力平衡，拉力F可以分解为AO与BO所受的拉力F1和 F2.CAF1FOF2B

思考：从这个实例我们看到了什么？

答：一个向量可以分成两个不同方向的向量.（2）复习正交分解，并抽象为数学模型

PjOi

OPxiyj

（二）、探索探究，主动建构

概括讨论，提出新问题：

如果向量e1,e2是同一平面内的两个不平行的向量，a是该平面内的一个非零向量，是否能用向量e1,e2表示向量a？

数学实验1 实验设计：

(1)实验目的：通过实验让学生探究：给定平面内的两个不平ae2e1行向量e1,e2，对于给定的非零向量a是否能分解成e1,e2方向上的两个向量，且分解是否是唯一的？(2)实验步骤：

a.以四位同学为一组，给每一位同学一个图，上面有两个不平行向量e1,e2和a；

b.每个同学先独立作图；

c.小组对照，比较所分解的两向量的长度和方向是否相同.并得出结论.(3)实验报告：(由学生发言)可以分解，且分解的长度和方向唯一的.师：既然可以分解并且是唯一的，能不能用数学式子把a和e1,e2的关系表示出来？ 生：e1,e2是不平行向量，a是平面内给定的向量，在平面内任取一点O（1）作OAe1,OBe2,OCa；（2）过C作平行于直线OB的平行线与直线OA相交于点M；

（3）过C作平行于直线OA的平行线与直线OB相交于点N；

（4）四边形ONCM为平行四边形，由向量平行的充要条件可知存在实数

NaCBe2Oe1AM1,2，使得OM1e1，ON2e2，则OCaOMON1e12e2.a=入1e1 +入2e2.对于给定的向量可以唯一分解成给定的两个不平行向量，那么对于任意的向量a是否也可以得到同样的结论呢？下面让我们来做一个实验.数学实验2 实验设计：

(1)实验目的：通过几何画板向量分解动画，让学生体会对于任意向量都可以分解成给定的两个不平行向量，且分解是唯一的.(2)实验步骤：

a.利用几何画板画出两个不平行向量e1,e2，画出一个任意向量(该向量可以任意拖动终点来改变)；

b.学生从拖动中体会其向量的任意性.（一些特殊位置0，ae1，ae2）(3)实验报告： 3．探究结果

几何角度：平面内的任一向量a都可以表示为给定的两个不平行向量e1,e2的线性组合，即a1e12e2，且分解是唯一的.代数角度：说明唯一性：

说明：（1）当a0时，00e10e2

（2）当a0时，假设a1e12e2，则有

1e12e2=1e12e2

(11)e1(22)e20.由于e1,e2(11)0,(22)0，即11,22.4．概括得出定理：

平面向量分解定理：如果e1,e2是同一平面内的两个不平行向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数1,2，使a1e12e2.我们把不平行的向量e1,e2叫做这一平面内所有向量的一组基.注意：

（1）基底不共线；

不平行，故

ee（2）将任一向量a在给出基底1、2的条件下进行分解；

（3）基底给定时，分解形式唯一，1,2

（通过实验的制作，学生的动手作图能力得到提高，通过学生对实验结果的讨论，学生的抽象概括能力，语言表达能力得到训练.）

（三）．例题分析

例1（教材P66．例2）如图：平行四边形ABCD的两条对角线相交于点M，且ABa,ADb，分别用a,b表示MA,MB,MC和MD.解： 在平行四边形ABCD中，aee是被，1，2唯一确定的数量

ACABADab,DBABADab, D1111MAAC(ab)ab, 2222MB1111DB(ab)ab, 2222，CMbMC11AC(ab)22111DBab 222AaBMDMB

注：（1）把a,b作为一组基，用向量a,b表示平面内的任何一个向量

（2）平行四边形法则简化为三角形法则。练习：学生完成教材后面练习P67（2）

思考：由例1和练习（2）平行四边形ABCD中还有哪些线段可以作为一组基？哪些线段不可以作为一组基？为什么？

思考题（教材P67．例 3）已知OA,OB是不平行的两个向量，k是实数，且APkAB(kR)，用OA,OB表示OP.解：APkAB，OPOAAPOAkABOAk(OBOA)

OAkOBkOA(1k)OAkOB.（四）、课堂小结：（1）平面向量的分解定理.对分解定理的理解：基底e1,e2为两个不平行向量，向量a的任意性，实数对1,2的存在性和唯一性；

（2）从基的角度认识几何图形。

（五）、作业布置

《练习册》P37 A组3，4，5 B组2，3

第二篇：平面向量基本定理教案

§2.3.1平面向量基本定理教学设计

教学目的：

（1）了解平面向量基本定理；

（2）理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，初步掌握应用向量解决实际问题的重要思想方法；（3）能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达.教学重点：平面向量基本定理.教学难点：平面向量基本定理的理解与应用.授课类型：新授课 教学过程：

一、复习引入：

1．实数与向量的积：实数λ与向量a的积是一个向量，记作：λa

（1）|λa|=|λ||a|；

（2）λ>0时λa与a方向相同；λ<0时λa与a方向相反；λ=0时λa=0

2．运算定律

结合律：λ(μa)=(λμ)a ；

分配律：(λ+μ)a=λa+μa，λ(a+b)=λa+λb

3.向量共线定理 向量b与非零向量a共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b=λa.二、讲解新课：

1．提出问题：由平行四边形想到：

（1）是不是每一个向量都可以分解成两个不共线向量？且分解是唯一？（2）对于平面上两个不共线向量e1，e2是不是平面上的所有向量都可以用它们来表示？

2．设e1，e2是不共线向量，a是平面内任一向量，e1 a

MC

N B e2

O OA=e1，OM=λ

1e2； OB=e2，ON=λe2

21OC=a=OM+ON=λ

e1+λe2，2平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对

于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2使a=λ1e1+λ2e2.探究：

(1)我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；(2)基底不惟一，关键是不共线；

(3)由定理可将任一向量a在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解；

(4)基底给定时，分解形式惟一.λ1，λ2是被a，e1，e2唯一确定的数量

3、两个非零向量的夹角：

 如图所示，已知两个非零向量a,b，在平面上任取一点O，作OAaO ,Bb，则AOB0叫做向量a与b的夹角，ba BAO θbθ bAOB aa【说明】（1）研究两个非零向量的夹角时，必须先将这两个向量的起点移至同一个点；但是当两个向量的终点重合时，表示向量的这两条线段所成的0,范围内的角也等于这两个向量之间的夹角。（2）只有非零向量之间才存在夹角；

（3）如果∠AOB=0°a与b同向；

（4）如果∠AOB=90°，我们就说向量a与b垂直，记作：ab；

（5）如果∠AOB=180°a与b反向。

三、讲解范例：

例1 已知向量e1，e2 求作向量2.5e1+3e2.作法：见教材

四、课堂练习：

1.设e1、e2是同一平面内的两个向量，则有()A.e1、e2一定平行

e2e1B.e1、e2的模相等

C.同一平面内的任一向量a都有a =λe1+μe2(λ、μ∈R)D.若e1、e2不共线，则同一平面内的任一向量a都有a =λe1+ue2(λ、u∈R)2.已知矢量a = e1-2e2，b =2e1+e2，其中e1、e2不共线，则a+b与c =6e1-2e2的关系

A.不共线 B.共线 C.相等 D.无法确定

3.已知向量e1、e2不共线，实数x、y满足(3x-4y)e1+(2x-3y)e2=6e1+3e2，则x-y的值等于()A.3 B.-3 C.0 D.2

五、小结：平面向量基本定理，其实质在于：同一平面内任一向量都可以表示为两个不共线向量的线性组合．

六、课后作业：课本：101页1,2 板书设计：略

第三篇：《平面向量基本定理》教案

一、教学目标：

1.知识与技能：

了解平面向量基本定理及其意义, 理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示；能够在具体问题中适当地选取基底,使其他向量都能够用基底来表示。

2.过程与方法：

让学生经历平面向量基本定理的探索与发现的形成过程,体会由特殊到一般和数形结合的数学思想，初步掌握应用平面向量基本定理分解向量的方法，培养学生分析问题与解决问题的能力。

3.情感、态度和价值观

通过对平面向量基本定理的学习,激发学生的学习兴趣,调动学习积极性,增强学生向量的应用意识,并培养学生合作交流的意识及积极探索勇于发现的学习品质.二、教学重点：平面向量基本定理.三、教学难点：平面向量基本定理的理解与应用.四、教学方法：探究发现、讲练结合五、授课类型：新授课

六、教 具：电子白板、黑板和课件

七、教学过程：

（一）情境引课，板书课题

由导弹的发射情境，引出物理中矢量的分解，进而探究我们数学中的向量是不是也可以沿两个不同方向的向量进行分解呢？

（二）复习铺路，渐进新课

在共线向量定理的复习中，自然地、渐进地融入到平面向量基本定理的师生互动合作的探究与发现中去，感受着从特殊到一般、分类讨论和数形结合的数学思想碰撞的火花，体验着学习的快乐。

（三）归纳总结，形成定理

让学生在发现学习的过程中归纳总结出平面向量基本定理，并给出基底的定义。

（四）反思定理，解读要点

反思平面向量基本定理的实质即向量分解，思考基底的不共线、不惟一和非零性及实数对的存在性和唯一性。

（五）跟踪练习，反馈测试

及时跟踪练习，反馈测试定理的理解程度。

（六）讲练结合，巩固理解

即讲即练定理的应用，讲练结合，进一步巩固理解平面向量基本定理。

（七）夹角概念，顺势得出

不共线向量的不同方向的位置关系怎么表示，夹角概念顺势得出。然后数形结合，讲清本质：夹角共起点。再结合例题巩固加深。

（八）课堂小结，画龙点睛

回顾本节的学习过程，小结学习要点及数学思想方法，老师的“教 ”与学生的“学”浑然一体，一气呵成。

（九）作业布置，回味思考。

布置课后作业，检验教学效果。回味思考，更加理解定理的实质。

七、板书设计：

1.平面向量基本定理：如果

是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数，使

.2.基底：

(1)不共线向量

叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；

(2)基底：不共线，不唯一，非零

(3)基底给定，分解形式唯一，实数对

存在且唯一；

(4)基底不同，分解形式不唯一，实数对

可同可异。

例1 例2

3.夹角

：

（1）两向量共起点；

（2）夹角范围：

例3

4.小结

5.作业

第四篇：83平面向量的分解定理教学设计说明

8.3平面向量的分解定理教学设计说明

立达中学 翁旭宇

一、教学内容分析

本节课内容是对前面向量知识的综合运用，在本章知识结构中起着承上启下的作用，是平面向量线性运算向坐标运算过渡的桥梁，是运用向量知识解决问题的理论基础.二、教学目标

1．理解和掌握平面向量的分解定理；

2．掌握平面内任一向量都可以用两个不平行向量来表示；掌握基的概念，并能够用基表示平面内的向量；

3．根据学生已有的物理知识经验，在熟悉的问题情景中，体会研究向量分解的必要性。4．经历平面向量分解定理的探求过程，培养观察能力、抽象概括能力、交流合作能力、体会化归思想。.三、教学重点及难点 ：平面向量分解定理的发现和形成过程；分解唯一性的说明。

四、教学设计说明

本课主要是平面向量的分解定理及简单的应用.学生在原有知识的基础为（1）物理知识力的分解（2）向量的正交分解及向量i,j的线性组合（3）向量平行的充要条件。在此基础上自主建构自己新的知识结构。

引入课题上充分利用学生已有的物理知识经验，体会研究向量分解的必要性。

在课堂设计上把数学实验带入课堂，让学生通过实验探究定理的内容.课堂组织形式上力求引起学生的学习兴趣，激发学生的求知欲，引导学生积极参与课堂的学习.通过实验的制作，注重培养学生的动手作图能力；通过学生对实验结果的讨论，培养学生的抽象概括能力，语言表达能力； 通过几何画板向量分解动画，学生从中理解定理的本质；通过分解定理表达式唯一性的代数说明，体会数学严密的逻辑推理。

第五篇：2.3.1平面向量基本定理教案

2.3.1平面向量的基本定理

教学目的：

要求学生掌握平面向量的基本定理，能用两个不共线向量表示一个向量；或一个向量分解为两个向量．

教学重点：

平面向量的基本定理及其应用．

教学难点：

平面向量的基本定理．

教学过程：

一．复习引入：

1．实数与向量的积：实数λ与向量a的积是一个向量，记作：λa

（1）|λa|=|λ||a|；（2）λ>0时λa与a方向相同；λ<0时λa与a方向相反；λ=0时λ

a=0

2．运算定律

结合律：λ(μa)=(λμ)a ；分配律：(λ+μ)a=λa+μa，λ(a+b)=λa+λb

3.向量共线定理

向量b与非零向量a共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b=λa.二、新课：

1．提出问题：由平行四边形想到：

（1）是不是每一个向量都可以分解成两个不共线向量？且分解是唯一？（2）对于平面上两个不共线向量e1，e2是不是平面上的所有向量都可以用它们来表示？ 2．新课

e1，e2是不共线向量，a是平面内任一向量，e1 a

MC

N

1e2

1O B 2OA=e1，OM=λe2，OC=a=OM+ON=λe1+λe2，e2． OB=e2，ON=λ

2得平面向量基本定理：

如果1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2使a＝λ

1ee1+λe2．

2注意几个问题：

（1）e1,e2必须不共线，且它是这一平面内所有向量的一组基底；（2）这个定理也叫共面向量定理；

（3）λ1，λ2是被a，e1，e2唯一确定的数量． 例1

已知向量e1,e2，求作向量2.5e1+3e2． 作法：（1）取点O，作OA=2.5e1，OB=3e2，（2）作平行四边形OACB，OC即为所求．

已知两个非零向量a、b，作OAa，OBb，则∠AOB＝θ（0°θ180°），叫做向量a与b的夹角．

当θ＝0°，a与b同向；当θ＝180°时，a与b反向，如果a与b的夹角为90°，我们说a与b垂直，记作：a⊥b．

三、小结：

平面向量基本定理，其实质在于：同一平面内任一向量都可以表示为两个不共线向量的线性组合．

e2 e1