第一篇:29-第二章 平面向量小结与复习
第二章平面向量章末复习(第2课时)
教学目标
重点:平面向量数量积的定义及其坐标表示;数量积的几何意义、向量法在平面几何中的应用. 难点:用向量法解决平面几何问题时,如何建立平面几何与平面向量之间的联系.
能力点:在运用向量方法解决平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题过程中,进一步发展学生的运
算能力和解决实际问题的能力.
教育点:提高学生的认知水平,为学生塑造良好的数学认识结构.
自主探究点:例题及变式的解题思路的探寻.
易错点:(1)忽视两向量垂直的概念是针对两非零向量的而致错;
(2)对两向量夹角的定义理解不清致错;
(3)把数的乘法的消去律运用在向量的数量积运算上而致错;
(4)混淆点的坐标与向量的坐标致错.
学法与教具
1.学法:讲授法、讨论法.2.教具:投影仪.
二、【知识梳理】
1.平面向量的数量积
(1)数量积的定义
已知两个非零向量a与b,我们把数量abcos叫做a与b的数量积(inner product)(或内积),记作ab,即ab=abcos,其中是a与b的夹角.
(2)数量积的几何意义
数量积ab等于a的长度a与b在a方向上的投影bcos的乘积,或等于b的长度b与a在b方向上的投影acos的乘积.
(3)数量积的性质
b0. ①aba
②当a与b同向时,ab=ab;当a与b反向时,ab=ab;特别地,aa=a,所以
2a记作a2. aa
③abab
(4)数量积的运算律
已知向量a、b、c和实数,则:
bba; ①a
②(a)b(ab)a(b); ③(ab)cacbc.(5)数量积的坐标表示
已知两个非零向量a(x1,y1),b(x2,y2),则abx1x2y1y2. 由此可得:
2①a
x1y1或a
②abx1x2y1y20; ③设为a、b的夹角,则cos
ab
|a||b|2.平面几何中的向量方法
用向量法解决平面几何问题的“三步曲”:(1)建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题;(2)通过向量运算,研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等问题;(3)把运算结果“翻译”成几何关系.
在上述步骤中,把平面几何问题转化为向量问题是解决问题的关键一步,转化方法大致有两种思路:第一,选取恰当的基向量;第二,建立坐标系.
3.向量法在物理中的应用
向量有丰富的物理背景,向量的物理背景是位移、力、速度等,向量的数量积的物理背景是力所做的功.因此,用向量可以解决一些物理问题.向量在物理中的应用,实际上是把物理问题转化为向量问题,然后通过向量运算解决向量问题,最后再用所获的结果解释物理现象.用向量法解决物理问题时,应作出相应的图形,以帮助我们建立数学模型.
三、【范例导航】
例1(2012•天津)在△ABC中,∠A=90°,AB=1,AC=2.设点P,Q满足 APAB,
CP2,则 AQ1AC,R.若BQ
2
2【分析】由题意可知ABAC0,根据BQCP(1)ACAB2,解方程可以求得的值.
c0,【解答】如图,设ABb,ACc,则b1,c2,b
又BQBAAQb(1)c,CPCAAPcb,由BQCP2得,[(1)]()(14(1)2,即32,所以
2.3【点评】本题主要考查两个向量垂直的性质,两个向量的加减法的法则,以及其几何意义,两个向量的数量积的运算,属于中档题.2
变式训练1(2011·江苏卷10)已知e1,e2是夹角为的两个单位向量,ae12e2,bke1e2, 若
ab0,则k的值为
答案:
4
2解析:abe12e2keeke12kee2ek12kcos0,12212
13
解得k
.4
例2(2012·江苏9)如图,在矩形ABCD
中,AB,BC2,点E为BC的中点,点F在边CD
上,若ABAFAEBF的值是.【分析】根据所给的图形,把已知向量用矩形的边所在的向量来表示,求出要用的向量的模,表示出要求得向量的数量积,注意应用垂直的向量的数量积等于0,得到结果.
【解答】因为AFADDF,
ABAFABADDFABADABDFABDF
DF1CF1.所以,AEBFABBEBCCFABCFBEBC1)12 所以
【点评】本题主要考查平面向量的数量积的运算.解题的关键是要把要用的向量表示成已知向量的和的形式.变式训练2(2012·湖南文15)如图4,在平行四边形ABCD中,AP⊥BD,垂足为P,AP3且APAC=
答案:18
解析:设ACBDO,则AC2ABBO,
所以,2
APACAP2ABBO2APAB2APBO2APAB2APAPPB2AP18
例3.证明:对于任意的a1、a2、b1、b2R,恒有不等式a1b1a2b2a1a
2
b
12b2.
【分析】此题形式对学生较为熟悉,在不等式证明部分常用比较法证明,若利用向量知识求证,则关
【解答】设a(a1,a2),b
(b1,b2),222
则a,bb1b2 ba1b1a2b2,aa12a2
因为abab,ba所以a
b
所以a1b1a2b2a1a2
b
2b2.【点评】
变式训练3.如图,在平面直角坐标系中,以原点为圆心,单位长度为半径的圆上有两点A(cos,sin),B(cos,sin),试用A、B两点的坐标表示AOB的余弦值.答案:cosAOBcoscossinsin
解析:因为A(cos,sin),B(cos,sin),
所以OA(cos,sin),OB(cos,sin)
OAOB
那么,cosAOBcoscossinsin.OAOB
四、【解法小结】
1.准确把握平面向量数量积的重要性质:设a(x1,y1),b(x2,y2)
(1)aba b0x1x2y1y20,既可以用来证明两向量垂直,也可以由垂直进行有关计算;
a=a2a
与a(2)a
转化.
(3)cos
ab
a、b的夹角,也可用来求
|a||b|直线的夹角(向量的夹角与向量所在直线的夹角有区别),还可利用夹角的取值情况建立方程或不等式
用于求参数的值或范围.
2.向量解决几何问题就是把点、线、平面等几何元素直接归纳为向量,对这些向量借助于它们之间的运算进行讨论,然后把这些计算的结果 翻译成关于点、线、平面的相应结果,可以简单表述为“形到向量向量的运算数到形”.3.明确和掌握用向量研究物理问题的相关知识:
(1)力、速度、加速度、位移的合成、力的分解就是向量的加减法,运动的叠加亦用到向量的合成;(2)动量mv是数乘向量;
(3)功即是力F与所产生的位移s的数量积.五、【布置作业】
必做题: 1.(2012·辽宁卷)已知两个非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|,则下面结论正确的是()A.a∥bB.a⊥bC.|a|=|b|D.a+b=a-b
π2.(2012·上海卷)在平行四边形ABCD中,∠AAB、AD的长分别为2、1.若M、N
分别是边
→→|BM||CN|→→
BC、CD,则AM·AN的取值范围是________.
→→|BC||CD|
→→→→
3.(2012·北京卷)已知正方形ABCD的边长为1,点E是AB边上的动点,则DE·CB的值为__ __.DE·DC的最大值为________.
4.在边长为1的正三角形ABC中,则ABBCBCCACAAB________..必做题答案:
1.因为|a+b|=|a-b|⇔(a+b)2=(a-b)2⇔a·b=0,所以a⊥b,答案选B.点评:本小题主要考查向量的数量积以及性质.解题的突破口为对于模的理解,向量的模平方就等于向量的平方.
→→→→→→→→→
2.令BM=nBC(0≤n≤1),则DN=(1-n)DC,在平行四边形ABCD中,AM=AB+nAD,AN=AD+(1-→→→→→→→n)AB,所以AM·AN=(AB+nAD)·[AD+(1-n)AB]=-n2-2n+5,→→而函数f(n)=-n2-2n+5在[0,1]上是单调递减的,其值域为[2,5],所以AM·AN的取值范围是[2,5]. →→3.以D为坐标原点,DC与DA所在直线分别为x,y轴建立平面直角坐标系,如图所示,可知E(x,1),0≤x≤1,→→→→所以DE=(x,1),CB=(0,1),可得DE·CB=x×0+1×1=1.→→→→→因为DC=(1,0),所以DE·DC=x,因为1≥x≥0,所以(DE·DC)max=1.
CACAAB= 4.ABBCBC
311100
ABBCcos120BCCAcos120CAABcos1200
2222
点评:利用数量积的定义求解时,务必要注意两向量夹角的大小.两向量夹角的定义前提是两向量的起
00
点要重合,对于本题要特别注意:向量AB与BC,BC与CA,CA与AB的夹角不是60,而是120.选做题:
1.已知向量a是以点A(3,-1)为起点,且与向量b=(-3,4)垂直的单位向量,求a的终点坐标.2.如图,在ABC中,ADDB,AEEC,CD与BE交于F,证明:CF2FD.选做题答案:
1.设a的终点坐标为(m,n),则a=(m,n),
3(m3)4(n1)0由题意 2
2(m3)(n1)
1由①得:n=
① ②
(3m-13)代入②得25m-15Om+2O9=O
41911m,m,192118152
5或解得∴a的终点坐标是(,)或(,)
5555n2.n8.1255
点评:向量的坐标表示是终点坐标减去起始点的坐标,所以向量的坐标与点的坐标既有联系又有区别,2.本题选自《学生自主学习丛书·数学》P122,例2.
六、【教后反思】
1.本教案的亮点是:(1)用结构图呈现本章知识,直观简明;(2)知识梳理部分十分详实且分类明晰;(3)例题具有典型性且解法总结到位,变式练习有效,讲练结合教学效果明显;(4)在作业的布置上,选择了部分高考题,对学生理解、巩固知识能够起到良好的作用.
2.本教案的弱项是:(1)有关平面向量数量积的应用涉及题目较少,如夹角的计算、模的计算等;(2)向量法在物理中的应用没有涉及到,有待于进一步补充.
第二篇:向量小结与复习
高中数学教案第五章平面向量(第23课时)课题:5.13向量小结与复习(2)
教学目的:
1.熟悉向量的性质及运算律;2.能根据向量性质特点构造向量;
3.熟练平面几何性质在解题中应用;4.熟练向量求解的坐标化思路.5.认识事物之间的内在联系;
6.认识向量的工具性作用,加强数学在实际生活中的应用意识
.教学重点:向量的坐标表示的应用;构造向量法的应用.教学难点:构造向量法的适用题型特点的把握
授课类型:复习课
课时安排:1课时
教具:多媒体、实物投影仪
教学方法:启发引导式
针对向量坐标表示的应用,通过非坐标形式解法与坐标化解法的比较来加深学生对于向量坐标表示的认识,同时要加强学生选择建立坐标系的意识.对于“构造向量法”的应用,本节例题选择了本章的重点内容数量积的坐标表示,目的要使学生把握坐标表示的数量积性质的形式特点,同时增强学生的解题技巧,提高解题能力教学过程:
一、讲解范例:
例1利用向量知识证明下列各式
22(1)x+y≥
2xy
22(2)|x|+|y|≥2x·y
分析:(1)题中的结论是大家所熟悉的重要不等式,以前可用求差法证得,而利用向量知识求证,则需构造向量,故形式上与向量的数量积产生联系.(2)题本身含有向量形式,可根据数量积的定义式并结合三角函数性质求证.证明:(1)设a=(x,y),b=(y,x)则a·b=xy+yx=2
xy
222222|a|·|b|=xyxyxy
又a·b=|a|·|b|cosθ(其中θ为a,b夹角)
≤|a|·|b
|
22∴x+y≥2xy
(2)设x,y的夹角为θ,则x·y=|x|·|y|cosθ≤|x|·|y|≤
22xy222 ∴|x|+|y|≥2x·
y
22评述:(1)上述结论表明,重要不等式a+b≥2ab,无论对于实数还是向量,都成立.(2)在(2)题证明过程中,由于|x|,|y|是实数,故可以应用重要不等式求证.例2利用向量知识证明
22222(a1b1+a2b2)≤(a1+a2)·(b1+b2)
分析:此题形式对学生较为熟悉,在不等式证明部分常用比较法证明,若利用向量知识求证,则关键在于根据其形式与数量积的坐标表示产生联系,故需要构造向量
.证明:设a=(a1,a2),b=(b1,b2)
则a·b=a1b1+a2b2,222222|a|=a1+a2,|b|=b1+b2
∵a·b=|a|·|b|cosθ≤|a|·|b|.(其中θ为a,b夹角)
222∴(a·b)≤|a|·|b|
22222∴(a1b1+a2b2)≤(a1+a2)·(b1+b2)
评述:此题证法难点在于向量的构造,若能恰当构造向量,则利用数量积的性质容易证明结论.这一技巧应要求学生注意体会.例3已知f(x)=x2
求证:|f(a)-f(b)|<|a-b|(a≠b)
分析:此题若用分析法证明,则需采用平方的手段以去掉绝对值,但由于f(a)、f(b)是含有根式的式子,故需再次平方才能达到去根号的目的.也可考虑构造向量法,利用向量的性质求证.下面给出两种证法.证法一:∵f(a)=a2,f(b)=
b2,∴要证明|f(a)-f(b)|<|a-b
| 只需证明|a2-b2|<|a-b|
2222222即1+a+1+b-2(1a)(1b)<a+b-2
ab
22即(1a)(1b)>1+
ab 2222只需证明((1a)(1b))>(1+ab)
即1+a+b+ab>1+2ab+ab
22即a+b>2
ab
22∵a+b≥2ab又a≠
b
22∴a+b>2
ab
∴|f(a)-f(b)|<|a-b|
证法二:设a=(1,a),b=(1,b)
则|a|=a2,|b|=b2 222222
a-b=(O,a-b)
|a-b|=|a-b
|
由||a|-|b||≤|a-b|,(其中当|a|=|b|即a=b时,取“=”,而a≠
b
∴||a|-|b||<|a-b
| 即|a2-b2|<|a-b|
∴|f(a)-f(b)|<|a-b|.评述:通过两种证法的比较,体会“构造向量法”的特点,加深对向量工具性作用的认识.上述三个例题,主要通过“构造向量”解决问题,要求学生在体验向量工具性作用的同时,注意解题方法的灵活性.下面,我们通过下面的例题分析,让大家体会向量坐标运算的特点,以及“向量坐标化”思路在解题中的具体应用.例4已知:如图所示,ABCD是菱形,AC和BD是它的两条对角线.求证AC⊥BD.分析:对于线段的垂直,可以联想到两个向量垂直的充要条件,而对于这一条件的应用,可以考虑向量式的形式,也可以考虑坐标形式的充要条件.证法一:∵AC=AB+AD,BD=AD-AB,∴·=(+)·(-)=||-||=
O
∴⊥
证法二:以OC所在直线为x轴,以B为原点建立直角坐标系,设B(O,O),A(a,b),C(c,O)
222则由|AB|=|BC|得a+b=c ∵AC=BC-BA=(c,O)-(a,b)=(c-a,-b),22 =+=(a,b)+(c,O)=(c+a,b)∴·=c-a-b=O 222
∴⊥即 AC⊥
BD
评述:如能熟练应用向量的坐标表示及运算,则将给解题带来一定的方便.通过向量的坐标表示,可以把几何问题的证明转化成代数式的运算,体现了向量的数与形的桥梁作用,有助于提高学生对于“数形结合”解题思想的认识和掌握.例5 若非零向量a和b满足|a+b|=|a-b|.证明:a⊥b
.分析:此题在综合学习向量知识之后,解决途径较多,可以考虑两向量垂直的充要条件的应用,也可考虑平面图形的几何性质,下面给出此题的三种证法.证法一:(根据平面图形的几何性质)设=a,=b,由已知可得a与b不平行,由|a+b|=|a-b|得以、为邻边的平行四边形OACB的对角线和相等
.所以平行四边形OACB是矩形,∴OA⊥OB,∴a⊥
b
证法二:∵|a+b|=|a-b
|
22∴(a+b)=(a-b)
2222∴a+2a·b+b=a-2a·b+b
∴a·b=O,∴a⊥
b
证法三:设a=(x1,y1),b=(x2,y2),22|a+b|=(x1x2)(y1y2),22|a-b|=(x1x2)(y1y2),22∴(x1x2)(y1y2)22=(x1x2)(y1y2),化简得:x1x2+y1y2=O,∴a·b=O,∴a⊥b.例6 已知向量a是以点A(3,-1)为起点,且与向量b=(-3,4)垂直的单位向量,求a的终点坐标.分析:此题若要利用两向量垂直的充要条件,则需假设a的终点坐标,然后表示a的坐标,再根据两向量垂直的充要条件建立方程.解:设a的终点坐标为(m,n)
则a=(m-3,n+1)
由题意3(m3)4(n1)0
22(m3)(n1)1 ①
②
由①得:n=
21(3m-13)代入②得 425m-15Om+2O9=O 1911m,m,1255或解得
n2.n8.1255
∴a的终点坐标是(192118,)或(,)555
5评述:向量的坐标表示是终点坐标减去起始点的坐标,所以向量的坐标与点的坐标既有联系又有区别,二者不能混淆.上述例题,主要体现了两向量垂直的充要条件的应用,在突出本章这一重点知识的同时,应引导学生注意解题方法的灵活性,尤其是向量的坐标化思路在解题时的应用,将几何与代数知识沟通起来.二、课堂练习:
1.已知a=(1,O),b=(1,1),当λ为何值时,a+λb与a垂直
.解:a+λb=(1,O)+λ(1,1)=(1+λ,λ)
∵(a+λb)⊥a∴(a+λb)·a=
O
∴(1+λ)+O·λ=O∴λ=-
1即当λ=-1时,a+λb与a垂直.2.已知|a|=,|b|=2,a与b的夹角为3O°,求|a+b|,|a-b|
.2222解:|a+b|=(a+b)=a+2a·b+b
22=|a|+2·|a|·|b|cos3O°+|b|
=()+2×3×2×232+2=
32∴|a+b|=,∵|a-b|=(a-b)=a-2a·b+b
22=|a|-2|a|·|b|·cos3O°+b
=(3)-2××2×222222+2=
∴|a-b|=
3.已知|a|=3,|b|=2,a与b的夹角为6O°,c=3a+5b,d=ma-3b.当m为何值时,c与d是否垂直?
解:若c⊥d,则c·d=
O
∴(3a+5b)(ma-3b)=
O
22∴3m|a|+(5m-9)a·b-15|b|=
O
22∴3m|a|+(5m-9)|a||b|cos6O°-15|b|=
O
即27m+3(5m-9)-6O=O,解得m=29.1
44.已知a+b=c,a-b=
d
求证:|a|=|b|c⊥
d
证明:(1)c⊥
d
22(a-b)=O a-b=
O (a+b)
a2=b2 |a|=|b
|,(2)|a|=|b|
(a-b)=O c⊥d
. a2=b2 a2-b2=O(a+b)
三、小结通过本节学习,要求大家进一步熟悉向量的性质及运算律,熟悉平面几何性质在解题中的应用,能够掌握向量坐标化的思路求解问题,掌握构造向量并利用向量性质解题、证题的方法
.四、课后作业:
五、课后记及备用资料:
1.三角形内角和性质
定理:在△ABC中,A、B、C分别为三个内角,则A+B+C=18O°
推论(1)B=6O°2B=A+C
推论(2)若A<9O°,则有
sinB>cosC,cosB<sinC,tanB>cotC,cotB<tanC
.推论(3)sin(A+B)=sinC,cos(A+B)=-cosC,tan(A+B)=-tanC,cot(A+B)=-cotC.ABCABCcos,cossin,2222推论(4)ABCABCtancot,cottan.2222sin
2.三角形内角和性质应用举例
例1△ABC中,若tanBtanCac,求证:A、B、C成等差数列
.tanBtanCa
证明:由条件得sin(BC)sinAsinC,sin(BC)sinA
由推论(3)得sin(B+C)=sinA.∴sin(B-C)=sinA-sinC
∴sin(B-C)-sin(B+C)=-sinC,即2cosBsinC=sin
C
∵sinC≠O,∴cosB=1,∴B=.2
3故由推论(1)得2B=A+C.所以A、B、C成等差数列
.例2在锐角△ABC中,求证:sinA+sinB+sinC>cosA+cosB+cosC
证明:∵△ABC是锐角三角形,∴A<9O°,根据推论(2)有:sinB>cosC ①
B<9O°,根据推论(2)有:sinC>cosA
②
C<9O°,根据推论(2)有sinA>cosB ③ ∴①+②+③得:sinA+sinB+sinC>cosA+cosB+cosC
.例3已知△ABC,求证(a-b)cotCAB+(b-c)cot+(c-a)cot=
O.222
证明:根据正弦定理和推论(4),有
CABABAB=2R(sinA-sinB)tan=4Rsinsin,2222
C∴(a-b)cot=2R(cosB-cosA)2
A同理,(b-c)cot=2R(cosC-cosB); 2
B(c-a)cot=2R(cosA-cosC).2
CAB三式相加可得(a-b)cot+(b-c)cot+(c-a)cot=O.222(a-b)cot
第三篇:2014高考数学复习:平面向量
高考数学内部交流资料【1--4】
2014高考数学复习:平面向量
一选择题(每题5分,共50分)
1.向量﹒化简后等于()
A.AMB.0C.0D.AC
2.下面给出的关系式中,正确的个数是()
10·=0○2 ·=·○
3○4○25ab a
A.0B.1C.2D.3 3.对于非零向量a.b,下列命题中正确的是()
A.ab0 a0或b0B//在上的投
影为。C.D.acbcab
4.已知=5,2,=4,3,=x,y.若-2+3=.则等于()A.1,B.28
3138134134,C.,D., 333333
1AB()25已知2,4,2,6,A.(0,5)B.(0,1)C.(2,5)D.(2,1)6e1.e2是平面内的一组基底,则下列四组向量中,不能作为一组基底的是()
A.e1 和e1e2B.e1—2e2和e22e1 C.e1—2e2和4e22e1 D.e1e2和e1—e2 7已知ABC中ABAC>0,则ABC的形状是()
A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不能确定 8已知1,0,1,1,且k恰好与垂直,则实数k的值是()
A.1B.—1C.1或—1D.以上都不对
9.已知=,2,3,5,且与的夹角是钝角,则的范围是()
A.10101010B.C.D. 3333
10.已知,是夹角为60的两个单位向量,则2,3的夹角是()A.30B.60C.120D.150
二.填空题(每题5分,共25分)
11.若a6,8,则与a平行的单位向量是12.若向量,12且与的夹角为13.
1
2,0,则与的夹角为
=3
14.设e1.e2为两个不共线的向量,若e1e2与2e13e2与共线,则15已知平面内三点A.B.C34
5,则的值等于三.解答题(共75分)
16(12分)已知向量a3e12e2,b4e1e2其中e11,0,e20,1求:(1),(2)与夹角的余弦值。
17(12分).已知向量3,4,2,x,2,y且//,求:(1)x,y的值;(2的值
18.(12分)已知向量sinx,1,cosx,1(1)当a//b时,求cosxsinxcosx的值;(2)求f(x)=的最小正周期及最值。
19.(12分)已知2,24,36(其中,是任意两个不共线
向量),证明:A.B.C三点共线。
20.(13分)已知ABC中,A5,1,B1,7,C1,2.求(1)BC边上的中线AM的长;(2)cosABC的值
21.(14
32,的夹角为60,c3a5b,dma3b;(1)当m为何值时,c与d垂直?(2)当m为何值时,c与d共线?
第四篇:平面向量复习课教案
平面向量复习课
一.考试要求:
1、理解向量的概念,掌握向量的几何表示,了解共线向量的概念。
2、掌握向量的加法和减法。
3、掌握实数与向量的积,理解两个向量共线的充要条件。
4、了解平面向量的基本定理,理解平面向量的坐标的概念,掌握平面向量的坐标运算。
5、掌握平面向量的数量积及其几何意义。了解用平面向量的数量积可以处理有关长度,角度和垂直的问题,掌握向量垂直的条件。二.知识梳理
1.向量的概念:
向量,零向量,单位向量,平行向量(共线向量),相等向量,向量的模等。
2.向量的基本运算(1)向量的加减运算
几何运算:向量的加减法按平行四边行法则或三角形法则进行。坐标运算:设a =(x1,y1), b =(x2,y2)则a+b=(x1+x2,y1+y2)a-b=(x1-x2,y1-y2)
(2)平面向量的数量积 : ab=abcos
设a =(x1,y1), b =(x2,y2)则ab=x1x2+y1y2(3)两个向量平行的充要条件 ∥ 若 =(x1,y1), =(x2,y2),则 ∥ 3.两个非零向量垂直的充要条件是 ⊥
=λ
x1y2-x2y1=0
· =0 设 =(x1,y1),=(x2,y2),则 ⊥ x1x2+y1y2=0 三.教学过程
(一)基础知识训练
1.下列命题正确的是()
(A)单位向量都相等(B)任一向量与它的相反向量不相等(C)平行向量不一定是共线向量(D)模为0的向量与任意向量共线 2.已知正六边形ABCDEF中,若ABa,FAb,则BC()
(A)12(ab)(B)12(ab)(C)ab(D)12ab
3.已知向量e10,R,ae1e2,b=2e1若向量a与b共线,则下列关系一定成立是()
(A)0(B)e20(C)e1∥e2(D)e1∥e2或0 4.若向量a(1,x),b(x,2)共线且方向相同,x=__________。
(二).典例分析
例1:(1)设a与b为非零向量,下列命题:
①若a与b平行,则a与b向量的方向相同或相反;
②若ABa,CDb, a与b共线,则A、B、C、D四点必在一条直线上;
a③若a与b共线,则abab;④若a与b反向,则ab
b其中正确命题的个数有(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个
(2)下列结论正确的是()
(A)abab(B)abab(C)若(ab)c(ca)b0
(D)若a与b都是非零向量,则ab的充要条件为abab
错解:(1)有学生认为①②③④全正确,答案为4;也有学生认为①或④是错的,答案为2或3;(2)A或B或C。
分析:学生对向量基础知识理解不正确、与实数有关性质运算相混淆,致使选择错误。
第(1)小题中,正确的应该是①④,答案为2。共线向量(a与b共
线)的充要条件中所存在的常数可看作为向量b作伸缩变换成为另一个向量a所作的伸缩量;若a,b为非零向量,则共线的a与b满足a与b同向时bbaa,a与b反向时aa。
bb第(2)小题中,正确答案为(D)。学生的错误多为与实数运算相混淆所致。选择支D同时要求学生明确向量垂直、两个向量的数量积、向量的模之间互化方法,并进行正确互化。
例2 设a、b是两个不共线向量。AB=2a+kb BC=a+b CD=a-2b A、B、D共线则k=_____(k∈R)解:BD=BC+CD=a+b+a-2b=2a-b 2a+kb=λ(2a-b)=2λa-λb
∴ 2=2λ且 k=-λ
∴ k=-1 例3 梯形ABCD,且|AB|=2|DC|,M、N分别为DC、AB中点。AB=a AD=b 用a,b来标DC、BC、MN。解:DC= 12AB=12a BC=BD+DC=(AD-AB)+DC =b-a+ a=b-a
2211MN=DN-DM=12a-b-a= a-b 4411例4 |a|=10 b=(3,-4)且a∥b求a
22解:设a=(x,y)则 x+y=100(1)
由a∥b得-4x-3y=0(2)
解(1)(2)得 x=6 y=-8。或 x=-6 y=8 ∴ a=(6,-8)或(-6,8)四. 归纳小结
1. 向量有代数与几何两种形式,要理解两者的内在联系,善于从图形中发现向量间的关系。
2. 对于相等向量,平行向量,共线向量等概念要区分清楚,特别注意零向量与任何向量共线这一情况。要善于运用待定系数法。
五.作业:
1、下列命题正确的是()
A.若|a|0,则a0 B.若|a||b|,则ab或ab
C.若a||b,则|a||b| D.若a0,则a0
2、已知平行四边形ABCD的三个顶点A(2,1)、B(1,3)、C(3,4),则顶点D的坐标为()
A.(1,2)B.(2,2)C.(2,1)D.(2,2)
3、设|a|m(m0),与a反向的单位向量是b0,则a用b0表示为
A.amb0 B.amb0 C.a1mb01m D.ab0
4、D、E、F分别为ABC的边BC、CA、AB上的中点,且BCa,CAb,下列命题中正确命题的个数是()①AD12ab;②BEa12b;③CF12a12b;
④ADBECF0。
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
5、化简:CEACDEAD=__________。
aba3,b(1,2)
6、已知向量,且,则a的坐标_____________。
2
27、若a1,b2,aba0,则a与b的夹角为______________。
8、已知向量a3e12e2,b4e1e2,其中e1(1,0),e2(0,1)求(1)ab;ab的值;(2)a与b的夹角。
9、如果向量a与b,c的夹角都是60,而bc,且|a||b||c|1,求(a2c)(bc)的值。
PQBC10、如图,设O为ABC内一点,PQ∥BC,且OBbt,OAa,OCc,试用a,b,c表示OP,OQ.
答案
基础知识训练:D,C,D,2
达标练习: D,B,B,D,5,0; 6,(655655,—
355),(—,355)
102217,450,8,(1)ab=10, ab=52(2)=arccos9,-1 10,OP=(1-t)a+tb, OQ=(1-t)a+tb
第五篇:平面向量复习题
平面 向 量
向量思想方法和平面向量问题是新考试大纲考查的重要部分,是新高考的热点问题。题型多为选择或填空题,数量为1-2题,均属容易题,但是向量作为中学数学中的一个重要工具在三角、函数、导数、解几、立几等问题解决中处处闪光。最近几年的考试中向量均出现在解析几何题中,在解析几何的框架中考查向量的概念和方法、考查向量的运算性质、考查向量几何意义的应用,并直接与距离问题、角度问题、轨迹问题等相联系。近年考纲又新增“平面向量在几何中的应用”试题进一步要求我们具备多角度、多方向地分析,去探索、去发现、去研究、去创新,而不是去做大量的模仿式的解题。一个问题解决后,不能匆匆而过,回顾与反思是非常有必要的,以充分发挥每一道题目的价值。除了要重视一题多解外,更要重视一题多变,主动探索:条件和结论换一种说法如何?变换一个条件如何?反过来又会怎么样?等等。只有这样才能做到举一反三,以不变应万变。
一、高考考纲要求
1.理解向量的概念,掌握向量的几何表示,了解共线向量的概念.
2.掌握向量的加法与减法.
3.掌握实数与向量的积,理解两个向量共线的充要条件.
4.了解平面向量的基本定理,理解平面向量的坐标的概念,掌握平面向量的坐标运算.
5.掌握平面向量的数量积及其几何意义,了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题,掌握向量垂直的条件.
6.掌握平面两点间的距离公式,掌握线段的定比分点和中点公式,并且能熟练运用;掌握平移公式.
二、高考热点分析
在高考试题中,对平面向量的考查主要有三个方面:
其一是主要考查平面向量的概念、性质和运算法则,理解和运用其直观的几何意义,并能正确地进行计算。其二考查向量坐标表示,向量的线性运算。
其三是和其他知识结合在一起,在知识的交汇点设计试题,考查向量与学科知识间综合运用能力。
数学高考命题注重知识的整体性和综合性,重视知识的交互渗透,在知识网络的交汇点设计试题.由于向量具有代数和几何的双重身份,使它成为中学数学知识的一个交汇点,成为联系多项知识的媒介.因此,平面向量与其他知识的结合特别是与解析几何的交汇、融合仍将是高考命题的一大趋势,同时它仍将是近几年高考的热点内容.
附Ⅰ、平面向量知识结构表
1.考查平面向量的基本概念和运算律
1此类题经常出现在选择题与填空题中,主要考查平面向量的有关概念与性质,要求考生深刻理解平面向量的相关概念,能熟练进行向量的各种运算,熟悉常用公式及结论,理解并掌握两向量共线、垂直的充要条件。1.(北京卷)| a |=1,| b |=2,c = a + b,且c⊥a,则向量a与b的夹角为
A.30°
B.60°
C.120°
D.150°
()
2.(江西卷)已知向量
A.30°
(1,2),(2,4),||
B.60°,若()
C.120°,则与的夹角为
2()
D.150°
3.(重庆卷)已知A(3,1),B(6,1),C(4,3),D为线段BC的中点,则
A.
与的夹角为()
444
4B.arccos C.arccos()D.-arccos()
2555
5
4.(浙江卷)已知向量a≠e,|e|=1,对任意t∈R,恒有|a-te|≥|a-e|,则
arccos
()
A.a⊥e B.a⊥(a-e)
C.e⊥(a-e)D.(a+e)⊥(a-e)
.(上海卷)在△ABC中,若C90,ACBC4,则BABC 2.考查向量的坐标运算
1.(湖北卷)已知向量a=(-2,2),b=(5,k).若|a+b|不超过5,则k的取值范围是
A.[-4,6]
2.(重庆卷)设向量a=(-1,2),b=(2,-1),则(a·b)(a+b)等于
A.(1,1)
B.(-4,-4)
C.-4
D.(-2,-2)
()
()
B.[-6,4]
C.[-6,2]
D.[-2,6]
()
3.(浙江卷)已知向量a=(x-5,3),b=(2,x),且a⊥b,则由x的值构成的集合是
A.{2,3}
B.{-1,6}
C.{2}
D.{6}
例4.(2005年高考·天津卷·理14)在直角坐标系xOy中,已知点A(0,1)和点B(-3,4),若点C在∠AOB的平分线上且||=2,则OC=。
5.(全国卷)已知向量OA(k,12),OB(4,5),OC(k,10),且A、B、C三点共线,则k=.6.(湖北卷)已知向量a7.(广东卷)已知向量a
(2,2),b(5,k).若|ab|不超过5,则k的取值范围是
(2,3),b(x,6),且a//b,则x.3.平面向量在平面几何中的应用
ABAC
),[0,),则1.O是平面上一定点,A,B,C是平面上不共线的三个点,动点P满足OPOA(|AB||AC|
P的轨迹一定通过△ABC
A.外心的()B.内心
C.重心
D.垂心
2.(辽宁卷)已知四边形ABCD是菱形,点P在对角线AC上(不包括端点A,C),则AP等于()
A.(ABAD),(0,1)
B.(ABBC),(0,C.(ABAD),(0,1)
D.(ABBC),(0,
3.已知有公共端点的向量a,b不共线,|a|=1,|b|=2,则与向量a,b的夹角平分线平行的单位向量是.
4.已知直角坐标系内有三个定点A(2,1)、B(0,10)、C(8,0),若动点P满足:OPOAt(ABAC),tR,则点P的轨迹方程。
4.平面向量与三角函数、函数等知识的结合当平面向量给出的形式中含有未知数时,由向量平行或垂直的充要条件可以得到关于该未知数的关系式。在此基础上,可以设计出有关函数、不等式、三角函数、数列的综合问题。此类题的解题思路是转化为代数运算,其转化途径主要有两种:
①利用向量平行或垂直的充要条件,②利用向量数量积的公式和性质.1.(江西卷)已知向量(2cos
xxxx,tan()),(2sin(),tan()),令f(x).224242
4求函数f(x)的最大值,最小正周期,并写出f(x)在[0,π]上的单调区间.2.(山东卷)已知向量
m(cos,sin)
和
n
sin,cos,,2
,且
mn求
cos的值.28
3.(上海卷)已知函数
f(x)kxb的图象与x,y轴分别相交于点
A、B,22(,分别是与x,y轴正半
轴同方向的单位向量),函数g(x)
x2x6.f(x)g(x)时,求函数
(1)求k,b的值;(2)当x满足
g(x)
1的最小值.f(x)
【反思】这类问题主要是以平面向量的模、数量积、夹角等公式和相互知识为纽带,促成与不等式知识的相互迁移,有效地考查平面向量有关知识、不等式的性质、不等式的解法、不等式的应用及综合解题能力。
5.平面向量与解析几何的交汇与融合由于向量既能体现“形”的直观位置特征,又具有“数”的良好运算性质,是数形结合与转换的桥梁和纽带。而解析几何也具有数形结合与转换的特征,所以在向量与解析几何知识的交汇处设计试题,已逐渐成为高考命题的一个新的亮点。
平面几何与解析几何的结合通常涉及到夹角、平行、垂直、共线、轨迹等问题的处理,解决此类问题基本思路是将几何问题坐标化、符号化、数量化,从而将推理转化为运算;或者考虑向量运算的几何意义,利用其几何意义解决有关问题。主要包括以下三种题型:
1、运用向量共线的充要条件处理解几中有关平行、共线等问题
运用向量共线的充要条件来处理解几中有关平行、共线等问题思路清晰,易于操作,比用斜率或定比分点公式研究这类问
题要简捷的多。
2、运用向量的数量积处理解几中有关长度、角度、垂直等问题
运用向量的数量积,可以把有关的长度、角度、垂直等几何关系迅速转化为数量关系,从而“计算”出所要求的结果。
3、运用平面向量综合知识,探求动点轨迹方程,还可再进一步探求曲线的性质。
1.(江西卷)以下同个关于圆锥曲线的命题中 ①设A、B为两个定点,k为非零常数,|
PA||PB|k,则动点P的轨迹为双曲线;
(),则动点P的轨迹为椭圆; 2
②设定圆C上一定点A作圆的动点弦AB,O为坐标原点,若③方程2x
5x20的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率;
x2y2x2
1与椭圆y21有相同的焦点.④双曲线
25935
其中真命题的序号为(写出所有真命题的序号)
2.平面直角坐标系中,O为坐标原点,已知A(3,1),B(1,3),若点C满足OC0AOB,其中,R,且
1,则点C的轨迹方程为()
A.C.3x2y110B.(x1)2(y2)25 2xy0D.x2y50
2.已知平面上一个定点C(-1,0)和一条定直线l:x=-4,P为该平面上一动点,作PQ⊥l,垂足为Q,
(PQ+2PC)(PQ-2PC)=0.(1)求点P的轨迹方程;
PC的取值范围.(2)求PQ·