2012年高二数学第2章教案 第12课时：平面向量小结与复习

第一篇：2012年高二数学第2章教案 第12课时：平面向量小结与复习

课

题：平面向量小结与复习（2）

教学目的：认识向量的工具性作用，加强数学在实际生活中的应用意识 教学重点：向量的坐标表示的应用；构造向量法的应用 教学难点：构造向量法的适用题型特点的把握 授课类型：复习课 课时安排：1课时

教

具：多媒体、实物投影仪 教学方法:启发引导式

针对向量坐标表示的应用，通过非坐标形式解法与坐标化解法的比较来加深学生对于向量坐标表示的认识，同时要加强学生选择建立坐标系的意识 教学过程：

一、讲解范例：

例1利用向量知识证明下列各式(1)x2＋y2≥2xy(2)｜x｜2＋｜y｜2≥2x·y 分析：(1)题中的结论是大家所熟悉的重要不等式，以前可用求差法证得，而利用向量知识求证，则需构造向量，故形式上与向量的数量积产生联系

(2)题本身含有向量形式，可根据数量积的定义式并结合三角函数性质求证

证明：(1)设a＝（x，y），b＝（y，x）则a·b＝xy＋yx＝2xy

222222｜a｜·｜b｜＝xyxyxy

又a·b＝｜a｜·｜b｜cosθ(其中θ为a，b夹角)≤｜a｜·｜b｜

∴x＋y≥2xy

(2)设x，y的夹角为θ， 22则x·y＝｜x｜·｜y｜cosθ≤｜x｜·｜y｜≤∴｜x｜＋｜y｜≥2x·y 22xy222

例2利用向量知识证明(a1b1＋a2b2)≤（a1＋a2）·（b1＋b2）

分析：此题形式对学生较为熟悉，在不等式证明部分常用比较法证明，若利用向量知识求证，则关键在于根据其形式与数量积的坐标表示产生联系，故需要构造向量

2222

2证明：设a＝（a1，a2），b＝（b1，b2）

222222则a·b＝a1b1＋a2b2，｜a｜＝a1＋a2，｜b｜＝b1＋b2

∵a·b＝｜a｜·｜b｜cosθ≤｜a｜·｜b｜(其中θ为a，b夹角) 222∴（a·b）≤｜a｜·｜b｜

∴（a1b1＋a2b2）≤（a1＋a2）·（b1＋b2）

评述：此题证法难点在于向量的构造，若能恰当构造向量，则利用数量积的性质容易证明结论这一技巧应要求学生注意体会

例3已知：如图所示，ABCD是菱形，AC和BD是它的两条对角线求证AC⊥BD分析：对于线段的垂直，可以联想到两个向量垂直的充要条件，而对于这一条件的应用，可以考虑向量式的形式，也可以考虑坐标形式的充要条件

证法一：∵AC＝AB＋AD，BD＝AD－AB， ∴AC·BD＝（AB＋AD）·（AD－AB）

22＝｜AD｜－｜AB｜＝O

∴AC⊥BD

证法二：以OC所在直线为x轴，以B为原点建立直角坐标系，设B(O，O)，A(a，b)，C（c，O）则由｜AB｜＝｜BC｜得a2＋b2＝c2

∵AC＝BC－BA＝（c，O）－（a，b）＝（c－a，－b）， BD＝BA＋BC＝（a，b）＋（c，O）＝（c＋a，b）

222∴AC·BD＝c－a－b＝O ∴AC⊥BD 即 AC⊥BD

评述：如能熟练应用向量的坐标表示及运算，则将给解题带来一定的方便通过向量的坐标表示，可以把几何问题的证明转化成代数式的运算，体现了向量的数与形的桥梁作用，有助于提高学生对于“数形结合”解题思想的认识和掌握

例4 若非零向量a和b满足｜a＋b｜＝｜a－b｜证明：a⊥b

分析：此题在综合学习向量知识之后，解决途径较多，可以考虑两向量垂直的充要条件的应用，也可考虑平面图形的几何性质，下面给出此题的三种证法 证法一：(根据平面图形的几何性质)

设OA＝a，OB＝b，由已知可得a与b不平行，

由｜a＋b｜＝｜a－b｜得以OA、OB为邻边的平行四边形OACB的对角线OC和BA相等

所以平行四边形OACB是矩形，∴OA⊥OB，∴a⊥b

22证法二：∵｜a＋b｜＝｜a－b｜ ∴（a＋b）＝（a－b）

2222∴a＋2a·b＋b＝a－2a·b＋b

∴a·b＝O，∴a⊥b

证法三：设a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），

22｜a＋b｜＝(x1x2)(y1y2)，22｜a－b｜＝(x1x2)(y1y2)，2222∴(x1x2)(y1y2)＝(x1x2)(y1y2)，化简得：x1x2＋y1y2＝O，

∴a·b＝O，∴a⊥b

例5 已知向量a是以点A(3，－1)为起点，且与向量b＝（－3，4）垂直的单位向量，求a的终点坐标

分析：此题若要利用两向量垂直的充要条件，则需假设a的终点坐标，然后表示a的坐标，再根据两向量垂直的充要条件建立方程

解：设a的终点坐标为（ｍ，ｎ）,则a＝（ｍ－3，ｎ＋1）

3(m3)4(n1)0由题意 22(m3)(n1)1由①得：ｎ＝

① ②

12（3ｍ－13）代入②得25ｍ－15Oｍ＋2O9＝O 41911m,m,1921181525或解得 ∴a的终点坐标是（,)或(,)

5555n2.n8.1255评述：向量的坐标表示是终点坐标减去起始点的坐标，所以向量的坐标与点的坐标既有联系又有区别，二者不能混淆

上述例题，主要体现了两向量垂直的充要条件的应用，在突出本章这一重点知识的同时，应引导学生注意解题方法的灵活性，尤其是向量的坐标化思路在解题时的应用，将几何与代数知识沟通起来

二、课堂练习：

三、小结 通过本节学习，要求大家进一步熟悉向量的性质及运算律，熟悉平面几何性质在解题中的应用，能够掌握向量坐标化的思路求解问题，掌握构造向量并利用向量性质解题、证题的方法

四、课后作业：

五、板书设计（略）

六、课后记

第二篇：29-第二章平面向量小结与复习

第二章平面向量章末复习（第2课时）

教学目标

重点：平面向量数量积的定义及其坐标表示；数量积的几何意义、向量法在平面几何中的应用． 难点：用向量法解决平面几何问题时，如何建立平面几何与平面向量之间的联系．

能力点：在运用向量方法解决平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题过程中，进一步发展学生的运

算能力和解决实际问题的能力．

教育点：提高学生的认知水平，为学生塑造良好的数学认识结构．

自主探究点：例题及变式的解题思路的探寻．

易错点：(1)忽视两向量垂直的概念是针对两非零向量的而致错；

(2)对两向量夹角的定义理解不清致错；

(3)把数的乘法的消去律运用在向量的数量积运算上而致错；

(4)混淆点的坐标与向量的坐标致错．

学法与教具

1．学法：讲授法、讨论法．2．教具：投影仪．

二、【知识梳理】

1．平面向量的数量积

(1)数量积的定义

已知两个非零向量a与b，我们把数量abcos叫做a与b的数量积(inner product)（或内积），记作ab，即ab=abcos，其中是a与b的夹角．

(2)数量积的几何意义

数量积ab等于a的长度a与b在a方向上的投影bcos的乘积，或等于b的长度b与a在b方向上的投影acos的乘积．

(3)数量积的性质

b0． ①aba

②当a与b同向时，ab=ab；当a与b反向时，ab=ab；特别地，aa=a，所以

2a记作a2． aa

③abab

(4)数量积的运算律

已知向量a、b、c和实数，则：

bba； ①a

②(a)b(ab)a(b)； ③(ab)cacbc．(5)数量积的坐标表示

已知两个非零向量a(x1,y1)，b(x2,y2)，则abx1x2y1y2． 由此可得：

2①a

x1y1或a

②abx1x2y1y20； ③设为a、b的夹角，则cos

ab



|a||b|2．平面几何中的向量方法

用向量法解决平面几何问题的“三步曲”：(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；(3)把运算结果“翻译”成几何关系．

在上述步骤中，把平面几何问题转化为向量问题是解决问题的关键一步，转化方法大致有两种思路：第一，选取恰当的基向量；第二，建立坐标系．

3．向量法在物理中的应用

向量有丰富的物理背景，向量的物理背景是位移、力、速度等，向量的数量积的物理背景是力所做的功．因此，用向量可以解决一些物理问题．向量在物理中的应用，实际上是把物理问题转化为向量问题，然后通过向量运算解决向量问题，最后再用所获的结果解释物理现象．用向量法解决物理问题时，应作出相应的图形，以帮助我们建立数学模型．

三、【范例导航】



例1（2012•天津）在△ABC中，∠A=90°，AB=1，AC=2．设点P，Q满足 APAB，

CP2，则 AQ1AC,R.若BQ

2

2【分析】由题意可知ABAC0，根据BQCP(1)ACAB2，解方程可以求得的值.



c0，【解答】如图，设ABb，ACc，则b1，c2，b



又BQBAAQb(1)c，CPCAAPcb，由BQCP2得，[(1)]()(14(1)2，即32,所以

2.3【点评】本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积的运算，属于中档题.2

变式训练1(2011·江苏卷10)已知e1,e2是夹角为的两个单位向量，ae12e2,bke1e2, 若







ab0，则k的值为

答案：

4

2解析：abe12e2keeke12kee2ek12kcos0，12212

13

解得k

.4

例2(2012·江苏9)如图，在矩形ABCD

中，AB，BC2，点E为BC的中点，点F在边CD

上，若ABAFAEBF的值是．【分析】根据所给的图形，把已知向量用矩形的边所在的向量来表示，求出要用的向量的模，表示出要求得向量的数量积，注意应用垂直的向量的数量积等于0，得到结果.



【解答】因为AFADDF，

ABAFABADDFABADABDFABDF







DF1CF1.所以，AEBFABBEBCCFABCFBEBC1)12 所以





【点评】本题主要考查平面向量的数量积的运算.解题的关键是要把要用的向量表示成已知向量的和的形式.变式训练2(2012·湖南文15)如图4，在平行四边形ABCD中，AP⊥BD，垂足为P，AP3且APAC=

答案：18



解析：设ACBDO，则AC2ABBO，

所以，2

APACAP2ABBO2APAB2APBO2APAB2APAPPB2AP18



例3.证明：对于任意的a1、a2、b1、b2R，恒有不等式a1b1a2b2a1a

2

b

12b2．

【分析】此题形式对学生较为熟悉，在不等式证明部分常用比较法证明，若利用向量知识求证，则关

【解答】设a(a1,a2)，b

(b1,b2),222

则a，bb1b2 ba1b1a2b2，aa12a2

因为abab，ba所以a

b

所以a1b1a2b2a1a2



b

2b2.【点评】

变式训练3.如图，在平面直角坐标系中，以原点为圆心，单位长度为半径的圆上有两点A(cos,sin)，B(cos,sin)，试用A、B两点的坐标表示AOB的余弦值.答案：cosAOBcoscossinsin

解析：因为A(cos,sin),B(cos,sin),

所以OA(cos,sin)，OB(cos,sin)

OAOB

那么，cosAOBcoscossinsin.OAOB

四、【解法小结】

1．准确把握平面向量数量积的重要性质：设a(x1,y1)，b(x2,y2)

(1)aba b0x1x2y1y20，既可以用来证明两向量垂直，也可以由垂直进行有关计算；

a=a2a

与a(2)a

转化．

(3)cos

ab

a、b的夹角，也可用来求

|a||b|直线的夹角(向量的夹角与向量所在直线的夹角有区别)，还可利用夹角的取值情况建立方程或不等式

用于求参数的值或范围．

2．向量解决几何问题就是把点、线、平面等几何元素直接归纳为向量，对这些向量借助于它们之间的运算进行讨论，然后把这些计算的结果 翻译成关于点、线、平面的相应结果，可以简单表述为“形到向量向量的运算数到形”.3．明确和掌握用向量研究物理问题的相关知识：

(1)力、速度、加速度、位移的合成、力的分解就是向量的加减法，运动的叠加亦用到向量的合成；(2)动量mv是数乘向量；

(3)功即是力F与所产生的位移s的数量积.五、【布置作业】

必做题： 1．（2012·辽宁卷）已知两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则下面结论正确的是()A．a∥bB．a⊥bC．|a|＝|b|D．a＋b＝a－b

π2．（2012·上海卷）在平行四边形ABCD中，∠AAB、AD的长分别为2、1.若M、N

分别是边

→→|BM||CN|→→

BC、CD，则AM·AN的取值范围是________．

→→|BC||CD|

→→→→

3．（2012·北京卷）已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则DE·CB的值为__ __.DE·DC的最大值为________．

4．在边长为1的正三角形ABC中，则ABBCBCCACAAB________．.必做题答案：

1．因为|a＋b|＝|a－b|⇔(a＋b)2＝(a－b)2⇔a·b＝0，所以a⊥b，答案选B.点评：本小题主要考查向量的数量积以及性质．解题的突破口为对于模的理解，向量的模平方就等于向量的平方．

→→→→→→→→→

2．令BM＝nBC(0≤n≤1)，则DN＝(1－n)DC，在平行四边形ABCD中，AM＝AB＋nAD，AN＝AD＋(1－→→→→→→→n)AB，所以AM·AN＝(AB＋nAD)·[AD＋(1－n)AB]＝－n2－2n＋5，→→而函数f(n)＝－n2－2n＋5在[0,1]上是单调递减的，其值域为[2,5]，所以AM·AN的取值范围是[2,5]． →→3．以D为坐标原点，DC与DA所在直线分别为x，y轴建立平面直角坐标系，如图所示，可知E(x,1)，0≤x≤1，→→→→所以DE＝(x,1)，CB＝(0,1)，可得DE·CB＝x×0＋1×1＝1.→→→→→因为DC＝(1,0)，所以DE·DC＝x，因为1≥x≥0，所以(DE·DC)max＝1.

CACAAB= 4．ABBCBC

311100

ABBCcos120BCCAcos120CAABcos1200

2222

点评：利用数量积的定义求解时，务必要注意两向量夹角的大小.两向量夹角的定义前提是两向量的起

00

点要重合，对于本题要特别注意：向量AB与BC,BC与CA,CA与AB的夹角不是60，而是120.选做题：



1．已知向量a是以点A(3，－1)为起点，且与向量b＝（－3，4）垂直的单位向量，求a的终点坐标.2．如图，在ABC中，ADDB，AEEC，CD与BE交于F，证明：CF2FD.选做题答案：

1.设a的终点坐标为(m,n),则a＝(m,n),



3(m3)4(n1)0由题意 2

2(m3)(n1)

1由①得：ｎ＝

① ②

（3ｍ－13）代入②得25ｍ－15Oｍ＋2O9＝O

41911m,m,192118152

5或解得∴a的终点坐标是（,)或(,)

5555n2.n8.1255

点评：向量的坐标表示是终点坐标减去起始点的坐标，所以向量的坐标与点的坐标既有联系又有区别，2.本题选自《学生自主学习丛书·数学》P122，例2.

六、【教后反思】

1．本教案的亮点是：(1)用结构图呈现本章知识，直观简明；(2)知识梳理部分十分详实且分类明晰；(3)例题具有典型性且解法总结到位，变式练习有效，讲练结合教学效果明显；(4)在作业的布置上，选择了部分高考题，对学生理解、巩固知识能够起到良好的作用．

2．本教案的弱项是：(1)有关平面向量数量积的应用涉及题目较少，如夹角的计算、模的计算等；(2)向量法在物理中的应用没有涉及到，有待于进一步补充．

第三篇：人教版高中数学教案：第5章：平面向量,教案,课时第 (18)

第十八教时

教材：余弦定理

目的：要求学生掌握余弦定理及其证明，并能应用余弦定理解斜三角形。过程：

一、复习正弦定理及正弦定理能够解决的两类问题。提出问题：1．已知两边和它们的夹角能否解三角形？

2．在Rt△ABC中(若C=90)有：c2a2b2在斜三角形中一边的平

方与其余两边平方和及其夹角还有什么关系呢？

二、提出课题：余弦定理1．余弦定理的向量证明：设△ABC三边长分别为a, b, c b

AC=AB+BC

A

B

•=(+)•(+)=2+2•+

2=| |2+2||•||cos(180-B)+||2=c22accosBa2

即：b2a2c22accosB

同理可得：a2b2c22bccosAc2a2b22abcosC

2．语言叙述：三角形任何一边的平方等于其它两边平方的和减去这两边与它

们夹角的余弦的积的两倍。

3．强调几个问题：1熟悉定理的结构，注意“平方”“夹角”“余弦”等2知三求一

3当夹角为90时，即三角形为直角三角形时即为勾股定理（特例）

4变形：cosAb2c2a2a2c2b2a2b2c2

2bccosB2accosC2ac

三、余弦定理的应用

能解决的问题：1．已知三边求角

2．已知三边和它们的夹角求第三边

例

一、(P130例4)在△ABC中，已知a=7, b=10, c=6求A,B,C（精确到期1）解略

例

二、(P131例5)在△ABC中，已知a=2.730, b=3.696, C=8228’解这个三角

形（边长保留四个有效数字，角度精确到期1’）解略

例

三、设a=(x=(x1, y1)b2, y2)a

与b的夹角为（0≤≤），求证：

x+ ya||b

121y2=||cos

证：如图：设a, b

起点在原点，终点为A，B

A

则A=(x=ba

1, y1)B=(x2, y2)在△ABC中，由余弦定理 B

a

|ba|2=|a|2+|b|22|a||b

| cos

b

O

∵|ba|2

=|AB|2=|(x2-x1, y2-y1)|2=(x2-x1)2+(y2-y1)2 |a|2=xb12+y12

||2= x22+y22 ∴(x2-x1)2

+(y2-y1)

= x2+ x

12+y122+y222|a

||b

| cos

∴xy

1x2+ y12=|a||b|cos即有a•b= x1x2+ y1y2=|a||b|cos

四、小结：余弦定理及其应用

五、作业：P131练习P132习题5.9余下部分

x

第四篇：人教版高中数学教案：第5章：平面向量,教案,课时第 (21)

第二十二教时

教材：复习一——向量、向量的加法与减法、实数与向量的积

目的：通过复习对上述内容作一次梳理，使学生对知识的理解与应用提高到一个

新的水平。

过程：

一、知识（概念）的梳理：

1．向量：定义、表示法、模、几种特殊向量 2．向量的加法与减法：法则（作图）、运算律

3．实数与向量的积：定义、运算律、向量共线的充要条件、平面向量的基本定义

二、例题：

1．若命题M：'=；命题N：四边形ABB’A’是平行四边形。则M是N的（C）(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件

(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件 解：若=，则 ||=||，且, 方向相同

∴AA’∥BB’从而ABB’A’是平行四边形，即：MN 若ABB’A’是平行四边形，则|AA’|=|BB’|，且AA’∥BB’ ∴|'|=|'|从而'=，即：NM 2．设A、B、C、D、O是平面上的任意五点，试化简：

1ABBCCD2DBACBD3OAOCOBCO 解：1 原式=()

2 原式=()

3 原式=()()() 3．a =“向东走5km”，b =“向西走12km”，试求a+b的长度与方向。解：如图：||5212213(km)

O

tanAOB =125 ,∴AOB = arctan12

a+b a

∴a + b的长为13km，方向与成arctan12

5的角。B

4．如图：1已知a、b、c、d，求作向量ab、cd。

b A

2已知a、b、c，求作a + b c  b

bc

5．设x为未知向量，a、b2x(5a+3x4b)+

1a3b=0

解：原方程可化为：(2x  3x)+(5a +19

2a)+(4b3b)= 0∴x =2

a + b

6．设非零向量a、b不共线，c=ka+b，d=a+kb(kR)，若c∥d，试求k。解：∵c∥d∴由向量共线的充要条件得：c =λd(λR)

即：ka+b=λ(a+kb)∴(kλ)a +(1λk)b = 0

又∵a、b不共线∴由平面向量的基本定理：k0

1k0k1

7．如图：已知在ABCD中，AH=HD，BF=MC=1

BC，设=a，=b，试用a、b分别表示、、。D F

M

C

解：∵ABCD中，BF=MC=

BC,a

∴FM=

12BC=

1AD=AH ∴FMAH A H b B

∴四边形AHMF也是平行四边形，∴AF=HM

又：BM34BC3311

4AD4a ,而FB4BC4

b

∴AMABBM= a +31

4b ,MHFAFBBA= 4b  a

AFFA(11

4b  a)= 4

b + a

三、作业： 《导学•创新》§5.1§5.2

第五篇：人教版高中数学教案：第5章：平面向量,教案,课时第 (13)

第十三教时

教材：平面向量的数量积的坐标表示

目的：要求学生掌握平面向量数量积的坐标表示，掌握向量垂直的坐标表示的充要条件。

过程：

一、复习：

1．平面向量的坐标表示及加、减、实数与向量的乘积的坐标表示 2．平面向量数量积的运算 3．两平面向量垂直的充要条件 4．两向量共线的坐标表示：

二、课题：平面两向量数量积的坐标表示

1．设a =(x1, y1)，b =(x2, y2)，x轴上单位向量i，y轴上单位向量j，则：ii = 1，jj = 1，ij = ji = 0 2．推导坐标公式：

∵a = x1i + y1j,b = x2i + y2j

∴ab =(x1i + y1j)(x2i + y2j)= x1x2i2 + x1y1ij + x2y1ij + y1y2j2= x1x2 + y1y2

从而获得公式：ab = x1x2 + y1y2

例

一、设a =(5, 7)，b =(6, 4)，求ab

解：ab = 5×(6)+(7)×(4)= 30 + 28 = 2 3．长度、角度、垂直的坐标表示

1a =(x, y)|a|2 = x2 + y2|a| =x2y2

2若A =(x1, y1)，B =(x2, y2)，则=(x1x2)2(y1y22)

3 cos =

ab

x1x2y1y2|a||b|

x

21y1

x2

y2

4∵ab  ab = 0 即x1x2 + y1y2 = 0（注意与向量共线的坐标表示原则）

4．例

二、已知A(1, 2)，B(2, 3)，C(2, 5)，求证：△ABC是直角三角形。

证：∵=(21, 32)=(1, 1),=(21, 52)=(3, 3)∴=1×(3)+ 1×3 = 0∴

∴△ABC是直角三角形

三、补充例题：处理《教学与测试》P153第73课

例

三、已知a =(3, 1)，b =(1, 2)，求满足xa = 9与xb = 4的向量x。解：设x =(t, s)，由xa = 9  3t  s = 9由xa = 9  3t  s = 9t =

2s = 3∴x =(2, 3)

例

四、如图，以原点和A(5, 2)为顶点作等腰直角△OAB，使B = 90，求点B和向量AB的坐标。

B

A

解：设B点坐标(x, y)，则=(x, y)，=(x5, y2)O∵∴x(x5)+ y(y2)= 0即：x2 + y2 5x  2y = 0又∵|| = ||∴x2 + y2 =(x5)2 +(y2)2即：10x + 4y = 29

由xy5x2y0x73110x4y292x或2327



y12y2

2∴B点坐标(72,32)或(32,7)；=(32,7732)或(2,2)

例

五、在△ABC中，AB=(2, 3)，AC=(1, k)，且△ABC的一个内角为直角，求k值。

解：当A = 90时，= 0，∴2×1 +3×k = 0∴k =

3当B = 90时，ABBC= 0，BC=ACAB=(12, k3)=(1, k3)

∴2×(1)+3×(k3)= 0∴k =

113

当C = 90时，ACBC= 0，∴1 + k(k3)= 0∴k =32

四、小结：两向量数量积的坐标表示长度、夹角、垂直的坐标表示

五、作业： P121练习及习题5.7

《教学与测试》P1545、6、7、8，思考题