响水中学2013-2014学年高二上学期数学学案：《第25课时 平面向量的数量积》

第一篇：响水中学2013-2014学年高二上学期数学学案：《第25课时 平面向量的数量积》

一．【基础训练】

1.在ABC中，AB2,BC4,B60,则AC_________________.2.a,b,c 是ABC的三边，且满足b2c2a2bc.则角A=______________

3．在△ABC中，sinA:sinB:sinC=3∶5∶7，则这个三角形的最大内角为4.△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若A＝，b＝1，△ABC的面积

则a的值为____ _.π33 2

二．【重点讲解】 1．余弦定理：

a2___________________ b2__________________c2__________________

2． 变式：

cosAcosBcosC

3.结论：

a2b2c2A是直角ABC是直角三角形

a2b2c2A是钝角ABC是钝角三角形

a2b2c2A是锐角ABC是锐角三角形

4.利用余弦定理，可以解决以下两类解斜三角形的问题：

（１）已知三边，求三个角；（２）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角

三【例题分析】

例1.(1)已知圆内接四边形ABCD中，AB=2，BC=6,AD=CD=4,则

SABCD=_____________________

(2)ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,若a2+b2=2c2,则cosC的最小值是_____________

例2.ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c。若bcosC+ccosB=acosA 判断ABC的形状

变式训练：

(1)ABC中，acosA=bcosB,则ABC的形状是_____________

(2)ABC若sin2A+sin2B

例3.在ABC中，已知22(sin2Asin2C)(ab)sinB,ABC的外接圆半径为2.（1）求角C；（2）求ABC的面积的最大值.C的对边分别为a、b、c，变式训练：ABC中，角A、B、且b(b+c)=(a+c)(a-c)（1）求角A的大小；（2）若a3，求bc的最大值。

四．【训练巩固】

11．在△ABC中a2,bc7,cosB,则b___________.42、在△ABC中，若2cosBsinA＝sinC，则△ABC的形状一定是。3在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，若a2c2b2tanB3ab，则角B的值为。

4．ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且b(b+c)=(a+c)(a-c)

（1）求角A的大小；（2）若a3，求bc的最大值。

第二篇：高三-《平面向量数量积》数学说课稿

高三-《平面向量数量积》数学说课稿

一、说教材

平面向量的数量积是两向量之间的乘法，而平面向量的坐标表示把向量之间的运算转化为数之间的运算。本节内容是在平面向量的坐标表示以及平面向量的数量积及其运算律的基础上，介绍了平面向量数量积的坐标表示，平面两点间的距离公式，和向量垂直的坐标表示的充要条件。为解决直线垂直问题，三角形边角的有关问题提供了很好的办法。本节内容也是全章重要内容之一。

二、说学习目标和要求

通过本节的学习，要让学生掌握

（1）平面向量数量积的坐标表示。

（2）平面两点间的距离公式。

（3）向量垂直的坐标表示的充要条件。

以及它们的一些简单应用，以上三点也是本节课的重点，本节课的难点是向量垂直的坐标表示的充要条件以及它的灵活应用。

三、说教法

在教学过程中，我主要采用了以下几种教学方法：

（1）启发式教学法

因为本节课重点的坐标表示公式的推导相对比较容易，所以这节课我准备让学生自行推导出两个向量数量积的坐标表示公式，然后引导学生发现几个重要的结论：如模的计算公式，平面两点间的距离公式，向量垂直的坐标表示的充要条件。

（2）讲解式教学法

主要是讲清概念，解除学生在概念理解上的疑惑感；例题讲解时，演示解题过程！

主要辅助教学的手段（powerpoint）

（3）讨论式教学法

主要是通过学生之间的相互交流来加深对较难问题的理解，提高学生的自学能力和发现、分析、解决问题以及创新能力。

四、说学法

学生是课堂的主体，一切教学活动都要围绕学生展开，借以诱发学生的学习兴趣，增强课堂上和学生的交流，从而达到及时发现问题，解决问题的目的。通过精讲多练，充分调动学生自主学习的积极性。如让学生自己动手推导两个向量数量积的坐标公式，引导学生推导4个重要的结论！并在具体的问题中，让学生建立方程的思想，更好的解决问题！

五、说教学过程

这节课我准备这样进行：

首先提出问题：要算出两个非零向量的数量积，我们需要知道哪些量？

继续提出问题：假如知道两个非零向量的坐标，是不是可以用这两个向量的坐标来表示这两个向量的数量积呢？

引导学生自己推导平面向量数量积的坐标表示公式，在此公式基础上还可以引导学生得到以下几个重要结论：

（1）模的计算公式

（2）平面两点间的距离公式。

（3）两向量夹角的余弦的坐标表示

（4）两个向量垂直的标表示的充要条件

第二部分是例题讲解，通过例题讲解，使学生更加熟悉公式并会加以应用。

例题1是书上122页例1，此题是直接用平面向量数量积的坐标公式的题，目的是让学生熟悉这个公式，并在此题基础上，求这两个向量的夹角？目的是让学生熟悉两向量夹角的余弦的坐标表示公式例题2是直接证明直线垂直的题，虽然比较简单，但体现了一种重要的证明方法，这种方法要让学生掌握，其实这一例题也是两个向量垂直坐标表示的充要条件的一个应用：即两个向量的数量积是否为零是判断相应的两条直线是否垂直的重要方法之一。

例题3是在例2的基础上稍微作了一下改变，目的是让学生会应用公式来解决问题，并让学生在这要有建立方程的思想。

再配以练习，让学生能熟练的应用公式，掌握今天所学内容。

第三篇：平面向量的数量积教案

2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角

教学目标：

1、知识目标:推导并掌握平面向量数量积的坐标表达式，会利用数量积求解向量的模、夹角及判定垂直等问题.2、能力目标:通过自主互助探究式学习,培养学生的自学能力,启发学生用多角度去思考和解决问题的能力,促进学生对知识的掌握和灵活运用.3、情感目标:通过自主学习,增强学生的成就感,提高学生学习的积极性和自信心.教学重点:利用数量积的坐标表示解决模、夹角、垂直等问题.教学难点:平面向量数量积的坐标表达式的推导.教法:启发式教学,讲练结合 学法:自主互助探究式 教学用具:多媒体 教学过程设计:

一、复习引入

(教师提问,学生回答)

二、知识探究

1.平面向量数量积的坐标表示

b(x,y)abx1x2y1y2 a(x,y)已知非零向量,22,则11(找学生到黑板上推导)结论:两个向量数量积等于它们对应坐标的乘积的和.思考:向量数量积的坐标表示与前面所学的向量的坐标运算有什么联系和区别?

(学生讨论回答,教师归纳)例

1.已知a(2,3),b(2,4),c(1,2),求: (1)ab;(2)a(bc);(3)

(ab)(ab);(4)2(ab).(教师讲前两问,学生做后两问)

2.平面向量数量积的应用

(1)求模问题:

(让学生自己推导)i)a(x,y),axy22.(x2x1)(y2y1)22ii)A(x,y1),B(x2,y2)1,AB(平面上两点间距离公式).a1iii)求a的单位向量e,eaaa,其中e1.例2.(1)已知a(3,4),e是a的单位向量,求a,e.(2)已知A(1,2),B(3,4),求

巩固练习:P107练习1 已知a(3,4),b(5,2),求aAB.,b,ab

(2)判定向量的垂直关系:(让学生自己推导)abab0x1x2y1y20

a//bx1y2x2y10

(对比记忆)例3.已知A(1,2),B(2,3),C(-2,5),试判断ABC的形状,并给出证明.(3)求向量的夹角:(让学生自己推导)思考:i)的范围?

ii)由cos能确定吗?为什么?

(找学生回答)例4.巩固练习.P107 练习3

已知a(3,2),b(5,7),求a与b设a(5,7),b(6,4),求ababcosabx1x2y1y2xy2121xy222

2及a与b的夹角(精确到1).0的夹角(精确到1).0

思考:不使用计算器,结合上面的例题,能求出的值吗?(找学生回答)

三、能力提升

已知a(cos,sin),b(cos,sin),证明

(ab)(ab).四、小结

这节课咱们一起学习了: 1.平面向量数量积的坐标表示 2.平面向量数量积的应用(1)求模;(2)判定垂直;(3)求夹角.希望大家在掌握的基础上加以灵活应用.五、作业

P108 A组5(1),(2),(3)任选一个、9、11.六、课后探索题: 已知a(2,1),b(x,1)

(1)若a与b(2)若a与b(3)若a与b的夹角为45,则实数x的值是_____;

0的夹角为锐角,则实数x的取值范围是_____;的夹角为钝角,则实数x的取值范围是_____.

第四篇：《平面向量的数量积》教学设计及反思

《平面向量的数量积》教学设计及反思

交口第一中学

赵云鹏

平面向量的数量积是继向量的线性运算之后的又一重要运算，也是高中数学的一个重要概念，它是沟通代数、几何与三角函数的一种重要工具，在每年高考中也是重点考查的内容。向量作为一种运算工具，其知识体系是从实际的物理问题中抽象出来的，它在解决几何问题中的三点共线、垂直、求夹角和线段长度、确定定比分点坐标以及平移等问题中显示出了它的易理解和易操作的特点。

一、总体设想：

本节课的设计有两条暗线：一是围绕物理中物体做功，引入数量积的概念和几何意义；二是围绕数量积的概念通过变形和限定衍生出新知识――垂直的判断、求夹角和线段长度的公式。教学方案可从三方面加以设计：一是数量积的概念；二是几何意义和运算律；三是两个向量的模与夹角的计算。

二、教学目标：

1.了解向量的数量积的抽象根源。

2.了解平面的数量积的概念、向量的夹角

3.数量积与向量投影的关系及数量积的几何意义

4.理解掌握向量的数量积的性质和运算律，并能进行相关的判断和计算

三、重、难点：

【重点】1.平面向量数量积的概念和性质

2.平面向量数量积的运算律的探究和应用 【难点】平面向量数量积的应用

四、课时安排：

2课时

五、教学方案及其设计意图： 1．平面向量数量积的物理背景

平面向量的数量积，其源自对受力物体在其运动方向上做功等物理问题的抽象。首先说明放置在水平面上的物体受力F的作用在水平方向上的位移是s，此问题中出现了两个矢量，即数学中所谓的向量，这时物体力F的所做的功为WFscos，这里的是矢量F和s的夹角，也即是两个向量夹角的定义基础，在定义两个向量的夹角时，要使学生明确“把向量的起点放在同一点上”这一重要条件，并理解向量夹角的范围。这给我们一个启示：功是否是两个向量某种运算的结果呢？以此为基础引出了两非零向量a, b的数量积的概念。2．平面向量数量积（内积）的定义

已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a||b|cos叫ａ与ｂ的数量积，记作ab，即有ab = |a||b|cos，（０≤θ≤π）.并规定0与任何向量的数量积为0.零向量的方向是任意的，它与任意向量的夹角是不确定的，按数量积的定义ab = |a||b|cos无法得到，因此另外进行了规定。3.两个非零向量夹角的概念

已知非零向量ａ与ｂ，作OA＝ａ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）OB＝ｂ，叫ａ与ｂ的夹角.ababcos，ab是记法，abcos是定义的实质――它是一个实数。按照推理，当022时，数量积为正数；当时，数量积为零；

2当时，数量积为负。

4.“投影”的概念

定义：|b|cos叫做向量b在a方向上的投影。

投影也是一个数量，它的符号取决于角的大小。当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为0；当 = 0时投影为 |b|；当 = 180时投影为 |b|.因此投影可正、可负，还可为零。

根据数量积的定义，向量b在a方向上的投影也可以写成ab a

注意向量a在b方向上的投影和向量b在a方向上的投影是不同的，应结合图形加以区分。5．向量的数量积的几何意义：

数量积ab等于a的长度与b在a方向上投影|b|cos的乘积.向量数量积的几何意义在证明分配律方向起着关键性的作用。其几何意义实质上是将乘积拆成两部分：a和bcos。此概念也以物体做功为基础给出。bcos是向量b在a的方向上的投影。6．两个向量的数量积的性质： 设a、b为两个非零向量，则

(1)ab  ab = 0；

(2)当a与b同向时，ab = |a||b|；当a与b反向时，ab = |a||b|.特别的aa = |a|2或|a|aa

(3)|ab| ≤ |a||b|

(4)cosab，其中为非零向量a和b的夹角。ab例1.(1)已知向量a ,b，满足b2,a与b的夹角为600,则b在a上的投影为______

(2)若b4,ab6,则a在b方向上投影为 _______ 例2.已知a3，b4，按下列条件求ab

(1)a//b

(2)ab(3)a与b的夹角为 1500 7.平面向量数量积的运算律 1．交换律：a  b = b  a

证：设a，b夹角为，则a  b = |a||b|cos，b  a = |b||a|cos

∴a  b = b  a

2．数乘结合律：(a)b =(ab)= a(b)证：若> 0，(a)b =|a||b|cos，(ab)=|a||b|cos，a(b)=|a||b|cos，若< 0，(a)b =|a||b|cos()= |a||b|(cos)=|a||b|cos，(ab)=|a||b|cos，a(b)=|a||b|cos()= |a||b|(cos)=|a||b|cos.3．分配律：(a + b)c = ac + bc

在平面内取一点O，作OA= a，AB= b，OC= c，∵a + b（即OB）在c方向上的投影等于a、b在c方向上的投影和，即

|a + b| cos = |a| cos1 + |b| cos2

∴| c | |a + b| cos =|c| |a| cos1 + |c| |b| cos2，∴c(a + b)= ca + cb

即：(a + b)c = ac + bc

说明：（1）一般地，(ａ·ｂ)с≠ａ（ｂ·с）

（2）ａ·с＝ｂ·с，с≠0

ａ＝ｂ

（3）有如下常用性质：ａ２＝｜ａ｜２，（ａ＋ｂ）（с＋ｄ）＝ａ·с＋ａ·ｄ＋ｂ·с＋ｂ·ｄ(ａ＋ｂ)２＝ａ２＋２ａ·ｂ＋ｂ２

例3 已知a、b都是非零向量，且a + 3b与7a  5b垂直，a  4b与7a  2b垂直，求a与b的夹角.解：由(a + 3b)(7a  5b)= 0  7a2 + 16ab 15b2 = 0

①

(a  4b)(7a  2b)= 0  7a2  30ab + 8b2 = 0

② 两式相减：2ab = b2 代入①或②得：a2 = b2

abb21设a、b的夹角为，则cos =

∴ = 60 |a||b|2|b|225 评述：(1)在四边形中，AB，BC，CD，DA是顺次首尾相接向量，则其和向量是零向量，即ａ＋ｂ＋с＋ｄ＝0，应注意这一隐含条件应用；

(2)由已知条件产生数量积的关键是构造数量积，因为数量积的定义式中含有边、角两种关系.例4若记aaa2，求证：(1)(ab)2a22abb2;(2)(ab)(ab)a2b2.以此作为今后求模的基础。

围绕向量的数量积的定义，可开发出解决几何问题中有用的知识：垂直的判断，夹角的计算和线段长度的计算。根据教学实际，有的数学知识可提出问题让学生解决，并总结、概括出一般的结论或规律，但有些知识学生听讲时，理解起来都比较困难，就需要老师的讲解，此时恰当的处理方式是：先让学生学会，再说明道理。这里，两个向量垂直的判断和夹角的计算，可通过让学生自己做题后总结出来；而计算模则需要老师讲解并加以强化：由a2aaaac0osa2ababcos，当b = a时，aa2.接着演示例题并练习。

〖例2〗已知a2,b3,且a, b夹角是60，求a(ab);ab.小结与反思：

以问题的形式，来反馈一节课的重点是否突出，难点是否突破。

问题一：关于向量的数量积的概念包括哪些主要内容？如何引入的？

问题二：说出向量数量积的几何意义及运算律。

问题三：用向量的数量积可解决几何中的哪三大问题？如何解决？  数量积的概念包括两个非零向量的夹角的定义和范围、数量积的定义。 向量数量积的几何意义是：a  b是向量a的模与向量b在向量a方向上的投影的乘积；运算律有三条：„„。

 用向量的数量积可解决几何中三大问题：垂直的判断、夹角的计算和求线段长度。⑴abab0； ⑵cosab2aa ⑶。ab；板书设计：整个板面分成三列，把重点知识数量积的定义放在中间显著位置。由其衍生出来的几何意义、运算律放在其下面，再把后面的三大问题放在中间一列的中间位置；左边一列，是两个向量夹角的相关概念；右列集中放例题。

教学记：本节课的设计注重教学目标的明确；注重根据学生的认知规律而科学地进行知识序列的呈现；注重调动学生参与教学活动；注重课堂效果的实效性。高中数学教学应体现知识的来龙去脉，创设问题情景，建立数学模型，让学生经历数学知识的形成与应用，可以更好的理解数学概念、结论的形成过程，体会蕴含在其中的思想方法，增强学好数学的愿望和信心。对于抽象数学概念的教学，要关注概念的实际背景与形成过程，帮助学生克服机械记忆概念的学习方式。教师是学生学习的引导者、组织者，教师在教学中的作用必须以确定学生主体地位为前提，教学过程中要发扬民主，要鼓励学生质疑，提倡独立思考、动手实践、自主探索、阅读自学等学习方式。对于教学中问题情境的设计、教学过程的展开、练习的安排等，要尽可能地让所有学生都能主动参与，提出各自解决问题的方案，并引导学生在与他人的交流中选择合适的策略，使学生切实体会到自主探索数学的规律和问题解决是学好数学的有效途径。

第五篇：平面向量的数量积及其应用教学设计说明

平面向量的数量积及其应用设计立意及思路

平面向量在教材中独立成章，它既反映了现实世界的数量关系，又体现了几何图形的位置关系，具有代数形式和几何形式的“双重身份”，它将数和形有机地结合起来，是中学数学知识网络的一个“交汇点”，成为联系众多知识内容的媒介。特别是在处理解析几何的有关度量、角度、平行、垂直、共线等问题时，运用向量知识，可以使几何问题直观化、符号化、数量化，从而把“定性”研究推向“定量”研究。

由于向量具有“双重性”，所以，向量成为了“在知识网络交汇处设计试题”的很好载体。而在知识交汇点处命题，既是当今高考的热点，又是重点。从近几年高考试卷来看，对向量的考查除了直接考查平面向量外，还将向量与解析几何、向量与三角等内容相结合，以平面向量的相关知识为载体，以数形转化思想为主线，在知识网络交汇点处设计创新力度大，综合性强的问题。因此，研究向量与其它内容的综合运用，对培养学生的综合能力（尤其是培养学生从学科整体的高度解决问题的综合能力）和数学素养，把握高考命题趋势，都有着重要的意义。，本节课复习目标是在回顾和梳理基础知识的基础上，突出平面向量的数量与其他知识的综合运用，渗透用向量解决问题的思想方法，从而提高学生分析问题与综合运用知识解决问题的能力，使学生站在新的高度来认识和理解向量。在知识点4.平面向量数量积运算律的回顾中安排“思考讨论：abac,乙:bc,则 以及在双基训练3．甲：(ab)c与a(bc)是否相等?”甲是乙的什么条件的判断。目的是让学生通过通讨论和练习，深刻认识到向量数量积运算中“结合律”及“消去律”是不成立的。

例

1、是以平面向量的知识为平台，与三角函数的有关运算综合。第（1）小题目的是让学生理解并掌握体向量垂直问题的多种证明方法，常用的方法有三种，一是根据数量积的定义证明，二是利用数量积的坐标运算来证明，三是利用

向量运算的几何意义来证。第（2）小题目的是让学生掌握ab|a||b|，但反之不成立，并将向量相等问题转化为模相等问题，建立等量关系。

例2是函数的最值与向量综合问题，用两种方法建立函数关系式，体现向量具有代数形式和几何形式“双重性”，培养学生的综合应用能力。