高中数学重点中学 第9课时平面向量的数量积及运算律教案 湘教版必修25篇

第一篇：高中数学重点中学 第9课时平面向量的数量积及运算律教案 湘教版必修2

平面向量的数量积及运算律（1）

教学目的：

1掌握平面向量的数量积及其几何意义； 2掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；

3了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题； 4掌握向量垂直的条件

教学重点：平面向量的数量积定义

教学难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用 授课类型：新授课 课时安排：1课时

教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析：

本节学习的关键是启发学生理解平面向量数量积的定义，理解定义之后便可引导学生推导数量积的运算律，然后通过概念辨析题加深学生对于平面向量数量积的认识主要知识点：平面向量数量积的定义及几何意义；平面向量数量积的5个重要性质；平面向量数量积的运算律

教学过程：

一、复习引入：

a1． 向量共线定理 向量b与非零向量共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b=λa

2．平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2使a=λ1e1+λ2e2

3．平面向量的坐标表示

分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底任作一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使得axiyj 把(x,y)叫做向量a的（直角）坐标，记作a(x,y)4．平面向量的坐标运算 若a(x1,y1)，b(x2,y2)，则ab(x1x2,y1y2)，ab(x1x2,y1y2)，a(x,y)若A(x1,y1)，B(x2,y2)，则ABx2x1,y2y1 5．a∥b(b0)的充要条件是x1y2-x2y1=0

6．线段的定比分点及λ

P1, P2是直线l上的两点，P是l上不同于P1, P2的任一点，存在实数λ，使 P1P=λ叫做点P分PPP2，λ1P2所成的比，有三种情况：

λ>0(内分)(外分)λ<0(λ<-1)(外分)λ<0(-1<λ<0)

7定比分点坐标公式：

若点P１(x1,y1)，Ｐ２(x2,y2)，λ为实数，且P1P＝λPP2，则点P的坐标为（x1x2y1y2,），我们称λ为点P分P1P2所成的比

118点P的位置与λ的范围的关系：

①当λ＞０时，P1P与PP2同向共线，这时称点P为P1P2的内分点

②当λ＜０(1)时，P1P与PP2反向共线，这时称点P为P1P2的外分点 9线段定比分点坐标公式的向量形式：

在平面内任取一点O，设OP1＝ａ，OP2＝ｂ，可得OP=ab1ab

11110．力做的功：W = |F||s|cos，是F与s的夹角

二、讲解新课：

1．两个非零向量夹角的概念

已知非零向量ａ与ｂ，作OA＝ａ，OB＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角 说明：（1）当θ＝０时，ａ与ｂ同向；

（2）当θ＝π时，ａ与ｂ反向；

（3）当θ＝时，ａ与ｂ垂直，记ａ⊥ｂ； 2≤≤180

（4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的范围0

2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a||b|cos叫ａ与ｂ的数量积，记作ab，即有ab = |a||b|cos，（０≤θ≤π）并规定0与任何向量的数量积为0 探究：两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别

C（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos的符号所决定

（2）两个向量的数量积称为内积，写成ab；今后要学到两个向量的外积a×b，而ab是两个向量的数量的积，书写时要严格区分符号“· ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替

（3）在实数中，若a0，且ab=0，则b=0；但是在数量积中，若a0，且ab=0，不能推出b=0因为其中cos有可能为0（4）已知实数a、b、c(b0)，则ab=bc  a=c但是ab = bc a = c

如右图：ab = |a||b|cos = |b||OA|，bc = |b||c|cos = |b||OA|  ab = bc 但a

c

(5)在实数中，有(ab)c = a(bc)，但是(ab)c

a(bc)显然，这是因为左端是与c共线的向量，而右端是与a共线的向量，而一般a与c不共线 3．“投影”的概念：作图

定义：|b|cos叫做向量b在a方向上的投影

投影也是一个数量，不是向量；当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为0；当 = 0时投影为 |b|；当 = 180时投影为 |b| 4．向量的数量积的几何意义：

数量积ab等于a的长度与b在a方向上投影|b|cos的乘积 5．两个向量的数量积的性质：

设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量 1ea = ae =|a|cos 2ab

ab = 0 3当a与b同向时，ab = |a||b|；当a与b反向时，ab = |a||b| 特别的aa = |a|或|a|aa 45cos =2ab

|a||b||ab| ≤ |a||b|

三、讲解范例：

例1 判断正误，并简要说明理由

①ａ·0＝0；②0·ａ＝０；③0－AB＝BA；④｜ａ·ｂ｜＝｜ａ｜｜ｂ｜；⑤若ａ≠0，则对任一非零ｂ有ａ·ｂ≠０；⑥ａ·ｂ＝０，则ａ与ｂ中至少有一个为0；⑦对任意向

２２量ａ，ｂ，с都有（ａ·ｂ）с＝ａ（ｂ·с）；⑧ａ与ｂ是两个单位向量，则ａ＝ｂ 解：上述8个命题中只有③⑧正确；

对于①：两个向量的数量积是一个实数，应有0·ａ＝０； 对于②：应有０·ａ＝0；

对于④：由数量积定义有｜ａ·ｂ｜＝｜ａ｜·｜ｂ｜·｜cosθ｜≤｜ａ｜｜ｂ｜，这里θ是ａ与ｂ的夹角，只有θ＝０或θ＝π时，才有｜ａ·ｂ｜＝｜ａ｜·｜ｂ｜；

对于⑤：若非零向量ａ、ｂ垂直，有ａ·ｂ＝０； 对于⑥：由ａ·ｂ＝０可知ａ⊥ｂ可以都非零； 对于⑦：若ａ与с共线，记ａ＝λс 则ａ·ｂ＝（λс）·ｂ＝λ（с·ｂ）＝λ（ｂ·с），∴（ａ·ｂ）·с＝λ（ｂ·с）с＝（ｂ·с）λс＝（ｂ·с）ａ 若ａ与с不共线，则(ａ·ｂ)с≠（ｂ·с）ａ

评述：这一类型题，要求学生确实把握好数量积的定义、性质、运算律

例2 已知｜ａ｜＝３，｜ｂ｜＝６，当①ａ∥ｂ，②ａ⊥ｂ，③ａ与ｂ的夹角是60°时，分别求ａ·ｂ

解：①当ａ∥ｂ时，若ａ与ｂ同向，则它们的夹角θ＝０°，∴ａ·ｂ＝｜ａ｜·｜ｂ｜cos0°＝3×6×1＝18； 若ａ与ｂ反向，则它们的夹角θ＝180°，∴ａ·ｂ＝｜ａ｜｜ｂ｜cos180°＝3×6×（-1）＝－18； ②当ａ⊥ｂ时，它们的夹角θ＝90°，∴ａ·ｂ＝０；

③当ａ与ｂ的夹角是60°时，有

ａ·ｂ＝｜ａ｜｜ｂ｜cos60°＝3×6×

1＝9 2评述：两个向量的数量积与它们的夹角有关，其范围是［0°，180°］，因此，当ａ∥ｂ时，有0°或180°两种可能

四、课堂练习：

五、小结 通过本节学习，要求大家掌握平面向量的数量积的定义、重要性质、运算律，并能运用它们解决相关的问题

六、课后作业：

七、板书设计（略）

八、课后记及备用资料：

1概念辨析：正确理解向量夹角定义

对于两向量夹角的定义，两向量的夹角指从同一点出发的两个所构成的较小的非负角，因对向量夹角定义理解不清而造成解题错一些易见的错误，如：

1已知△ABC中，ａ＝５，ｂ＝８，Ｃ＝６０°，求BC·CA

对此题，有同学求解如下：

解：如图，∵｜BC｜＝ａ＝５，｜CA｜＝ｂ＝８，Ｃ＝６０°，∴BC·CA＝｜BC｜·｜CA｜cosＣ＝5×8cos60°＝20 分析：上述解答，乍看正确，但事实上确实有错误，原因就在于没能正确理解向量夹角的定义，即上例中BC与CA两向量的起点并不同，因此，Ｃ并不是它们的夹角，而正确的夹角应当是C的补角120°

2向量的数量积不满足结合律 分析：若有（ａ·ｂ）с＝ａ·（ｂ·с），设ａ、ｂ夹角为α，ｂ、с夹角为β，则(ａ·ｂ)

向量

误是с＝｜ａ｜·｜ｂ｜cosα·с，ａ·(ｂ·с)＝ａ·｜ｂ｜｜с｜cosβ

∴若ａ＝с，α＝β，则｜ａ｜＝｜с｜，进而有：（ａ·ｂ）с＝ａ·(ｂ·с)这是一种特殊情形，一般情况则不成立举反例如下：

已知｜ａ｜＝１，｜ｂ｜＝１，｜с｜＝2，ａ与ｂ夹角是60°，ｂ与с夹角是45°，则：

(ａ·ｂ)·с＝（｜ａ｜·｜ｂ｜cos60°）с＝

1с，2ａ·(ｂ·с)＝（｜ｂ｜·｜с｜cos45°）ａ＝ａ

而1с≠ａ，故（ａ·ｂ）·с≠ａ·（ｂ·с）2

第二篇：平面向量的数量积及运算律的教案说明

《平面向量的数量积及运算律》的教案说明

新疆石河子第一中学曹丽梅

一、教学内容的本质：

本教案是人教版高中数学第一册（下）第五章平面向量的第六节内容，整个课题按照课程标准分两个课时，这是第一课时的教案。

平面向量数量积第一课时的教学，通常要求形成数量积的概念，得出数量积运算的公式，并把培养学生的探究精神和应用意识的目标，有机地融入知识学习和技能形成的过程之中。平面向量数量积是平面向量的重点内容之一，也是难点之一，这一节主要介绍两个向量的数量积是两个向量之间的一种乘法，是中学代数中从未遇到过的一种新的乘法，与数的乘法有区别，同时这一节与下一节平面向量的数量积的坐标表示有着紧密联系。由于向量既能体现“形”的直观位置特征，又具有“数”的良好运算性质，是数形结合和转换的桥梁。而这一切之所以能够实现，平面向量的数量积功不可没。通过对这一节的学习，既可以让学生掌握平面向量的数量积，几何意义，重要性质及运算律，又可使学生了解用平面向量的数量积可以处理有关长度，角度，和垂直问题，而且为平面向量的数量积的坐标表示的学习做了充分准备，对后面正，余弦定理的证明起到至关重要的作用，因此本节课的教学内容起着承前启后的作用。

根据“平面向量的数量积及运算律”在高中数学中的地位与作用，并且考虑到学生已有的认知结构心理特征，我认为本节课的教学目标应以人为本注重对学生自主能力的培养，启发引导学生发现问题，观察问题，进而得以解决问题，在这一过程中希望能充分调动学生的积极性，不断激发学生学数学的兴趣。

二、教学内容的应用及渗透

平面向量作为一种工具，重在应用，而且今后用向量方法特别便于研究空间里涉及直线和平面的各种问题；而平面向量的数量积作为一种特殊的运算也有它不可替代的作用，如：求向量的模长，夹角，推导正、余弦定理等。

由于向量来源于物理，并且兼具“数”和“形”的特点，所以它在物理和几何中具有广泛的应用，众所周知，物理与数学是密不可分的，而向量在物理中的应用比比皆是，举不胜举，反过来物理又可为某些数学知识作有效的解释。比如：本课时的引入就是以物体在力的作用下所做的功为模型，事实上这也就是平面向量数量积的物理意义，这样可以更贴近生活，使学生更容易理解平面向量数量积的概念，符合学生的认知习惯。同时解析几何也往往将向量作为有力的解题工具。

三、教学分析

《数学课程标准》中强调：“数学课程要实现：人人学有价值的数学；人人都获得必需的数学；不同的人在数学上得到不同的发展。”同时，她倡导的“关注过程”“强调本质”“体现数学的文化价值”“发展数学的应用意识”等都向我们昭示出高中数学课程的价值取向。

为使《数学课程标准》得以顺利实施，教师理应不断更新教学观念，努力成为数学学习活动的组织者、引导者、合作者。通过精心设计、实践与反思，不断改进教学方法和教学手段„„以优化课堂教学，提高课堂教学的效率。课程设计必须从学生的角度出发，要与学生的经历和经验相联系，关注学生的体验、感悟和实践过程。

基于以上认识，对于“平面向量数量积及运算律”引入，我进行了这样的教学设计： 首先演示一个外力作功的实验：W=|F| |S|cosθ，并揭示这个物理模型的实质，即：力与位移的数量积。

其次，具体分析平面向量的夹角，向量的数量积、重要性质等概念，并巩固练习。再者，基本概念均简明有效的给出，为之后学生深入学习、探究提供了时间上的保证，从定义出发推导运算律也变得简单易行。随后，从特殊到一般，得出数量积的几何表示。在教师为主导、学生为主体的教学模式中，学习活动进展顺利，学生们都显得游刃有余。在教学过程中，学生对平面向量数量积的定义及运算律的理解有些难度，总的感觉是：在核心问题上的处理不太容易把握，学生需要较多的时间去探究和体验。

结合多年教学发现学生对数量积的结果是数量重视不够，解题中往往忽略，学生容易忽略；书写中符号“”学生容易省略不写，教学和作业中发现问题教师应时常提醒学生及时纠正，避免重复错误；运算律中消去律和结合律不能乱用，要给学生讲清楚一定不能与实数的运算律混淆，这些地方应反复给学生强调。

最后，在有效落实教学目标的同时，如何让学生的“学”更轻松些，让教师的“教”更顺畅些，使“数量积”的概念形成更具一般性，更能揭示“数量积”的本质内含就显得尤为重要。

四、教法及教学反思

教学过程中采用启发引导式与讲练相结合，并借助多媒体教学手段，使学生理解平面向量数量积的定义，理解定义之后引导学生推导数量积的性质，通过例题和练习加深学生对平面向量数量积定义的认识，初步掌握平面向量数量积定义的运用。这一切主要是通过课堂教学来实现的，因此，要精于课堂教学设计，并在实践中进行反思和再设计，形成一系列适合学生认知、发展的教学方案。同时，在教学中要注意引导学生不断增强自主性、探索性、合作性和思辨性，促使他们成为学习的主人。而贯彻数形结合思想是克服难点的有效举措．通过例题、练习的分析讲评和学生积极主动的解题实践，运用知识解决问题的能力将得到提高。由于课堂教学准备的较充分，基本能达到预定目标。

教学反思，是教师对自身教学工作的检查与评定，是整理教学中的反馈信息，适时总结经验教训、找出教学的成功与不足的重要过程。因此教学后适时的反思有利于促进教学，以上就是我对本节课的理解和反思。

第三篇：2012年高中数学重点中学 第7课时平面向量的坐标运算教案 湘教版必修2

平面向量的坐标运算（2）

教学目的：

（1）理解平面向量的坐标的概念；（2）掌握平面向量的坐标运算；

（3）会根据向量的坐标，判断向量是否共线 教学重点：平面向量的坐标运算

教学难点：向量的坐标表示的理解及运算的准确性 授课类型：新授课 课时安排：1课时

教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程：

一、复习引入：

1向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法

向量加法的三角形法则和平行四边形法则 2．向量加法的交换律：a+b=b+a

3．向量加法的结合律：(a+b)+c=a+(b+c)4．向量的减法向量a加上的b相反向量，叫做a与b的差即：a  b = a +(b)5．差向量的意义： OA= a, OB= b, 则BA= a  b

即a  b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量 6．实数与向量的积：实数λ与向量a的积是一个向量，记作：λ（1）|λ=0时λ

（2）λ>0时λa与a方向相同；λ<0时λa与a方向相反；λa|=|λ||a|；

a

a=0

7．运算定律 λ(μa)=(λμ)a，(λ+μ)a=λa+μa，λ(a+b)=λa+λb 8． 向量共线定理 向量b与非零向量a共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b=λa

9．平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2使a=λ

1e1+λ2e2

(1)我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；(2)基底不惟一，关键是不共线；

(3)由定理可将任一向量ａ在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解；(4)基底给定时，分解形式惟一λ1，λ2是被a，e1，e2唯一确定的数量 10平面向量的坐标表示

于直线CD吗？

解：∵AB=(1-(-1), 3-(-1))=(2, 4), CD=(2-1,7-5)=(1,2)又 ∵2×2-4×1=0 ∴AB∥CD

又 ∵ AC=(1-(-1), 5-(-1))=(2,6)AB=(2, 4)2×4-2×60 ∴AC与AB不平行

∴A，B，C不共线 ∴AB与CD不重合 ∴AB∥CD

四、课堂练习：

1若a=(2,3),b=(4,-1+y)，且a∥b，则y=（）

A6 B5 C7 D8 2若A(x,-1),B(1,3),C(2,5)三点共线，则x的值为（） A-3 B-1 C1 D3 3若AB=i+2j, DC=(3-x)i+(4-y)j(其中i、j的方向分别与x、y轴正方向相同且为单位向量)AB与DC共线，则x、y的值可能分别为（）

 A1，2 B2，2 C3，2 D2，4 4已知a=(4,2),b=(6,y),且a∥b，则y= 5已知a=(1,2),b=(x,1),若a+2b与2a-b平行,则x的值为

6已知□ABCD四个顶点的坐标为A(5，7)，B(3,x),C(2,3),D(4,x)，则x= 参考答案：1C 2B 3B 4 3 5 6 5

2五、小结 向量平行的充要条件（坐标表示）

六、课后作业：

1若a=(x１,y１)，b=(x２，y２)，且a∥b,则坐标满足的条件为（） Ax１x２－ｙ１ｙ２＝０ Bｘ１ｙ１－ｘ２ｙ２＝０ Cｘ１ｙ２＋ｘ２ｙ１＝０ Dｘ１ｙ２－ｘ２ｙ１＝０ 2设a=(31，sinα)，b=(ｃｏｓα，)，且a∥b，则锐角α为（）23A30° B60° C45° D75°

3设k∈Ｒ，下列向量中，与向量a=(1,-1)一定不平行的向量是（） A(k,k)B(-k,-k)２２２２C(k＋１，ｋ＋１)D（ｋ－１，ｋ－１）4若A(-1,-1),B(1,3),C(x,5)三点共线，则x= 5已知a=(3,2),b=(2,-1),若λa+b与a+λb（λ∈Ｒ）平行，则λ＝ 6若a=(-1,x)与b=(-x,2)共线且方向相同，则x= 7已知a=(1,2),b=(-3,2)，当k为何值时ka+b与a-3b平行?

8已知A、B、C、D四点坐标分别为A(1,0),B(4,3),C(2,4),D(0,2)，试证明：四边形ABCD是梯形

9已知A、B、C三点坐标分别为(-1,0)、(3，-1)、(1，2)，AE=

11AC,BFBC,求证：EF33-34-

第四篇：北师大版高中数学(必修4)2.6《平面向量数量积的坐标表示》教案

平面向量数量积的坐标表示教案1

教学目标

1．正确理解掌握两个向量数量积的坐标表示方法，能通过两个向量的坐标求出这两个向量的数量积．

2．掌握两个向量垂直的坐标条件，能运用这一条件去判断两个向量垂直． 3．能运用两个向量的数量积的坐标表示去解决处理有关长度、角度、垂直等问题．

重点：两个向量数量积的坐标表示，向量的长度公式，两个向量垂直的充要条件．

难点：对向量的长度公式，两个向量垂直的充要条件的灵活运用． 教学过程设计

(一)学生复习思考，教师指导．

1．A点坐标(x1，y1)，B点坐标(x2，y2)．

＝________

＝________

2．A点坐标(x1，y1)，B点坐标(x2，y2)＝________

3．向量的数量积满足那些运算律？

(二)教师讲述新课．

前面我们已经学过了两个向量的数量积，如果已知两个向量的坐标，如何用这些坐标来表示两个向量的数量积，这是一个很有价值的问题．

设两个非零向量为

＝(x1，y1)，＝(x2，y2)．

＝x

1＋y1

为x轴上的单

＋y位向量，为y轴上的单位向量，则，＝x2

这就是说：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和．

引入向量的数量积的坐标表示，我们得到下面一些重要结论：

(1)向量模的坐标表示：

(2)平面上两点间的距离公式：

向量=

(3)两向量的夹角公式

设＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，＝θ． 的起点和终点坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，4．两向量垂直的充要条件的坐标表示

＝(x1，y1)，＝(x2，y2)．

即两向量垂直的充要条件是它们对应坐标乘积的和为零．

(三)学生练习，教师指导．

练习1：课本练习1．

已知a(－3，4)，(5，2)．

练习2：课本练习2．

已知 ··(＝(2，3)，＝(－2，4)，＝(－1，－2)． ＝2×(－2)＋3×4＝8，(＋

＋)·（－)＝－7．)＝0，(a＋b)2＝(0，7)·(0，7)＝49．

练习3：已知A(1，2)，B(2，3)，C(－2，5)．

求证：△ABC是直角三角形．

证：∵

经检验，∴⊥ ＝(1，1)，·

＝(－3，3)，＝(－4，2)．

＝1×(－3)＋1×3＝0．，△ABC是直角三角形．

(四)师生共同研究例题．

例1：已知向量

＝(3，4)，＝(2，－1)．

(1)求

(2)若

解：(1)与＋x的夹角θ，与

－

垂直，求实数x的值．

＝(3，4)，＝(2，－1)．

(2)

(＋x与＋x)·（－－

垂直，)＝0，＋x

＝(3，4)＋x(2，－1)＝(2x＋3，4－x)－＝(3，4)－(2，－1)＝(1，5)．

例2：求证：三角形的三条高线交于一点．

证：设△ABC的BC、AC边上的高交于P点，现分别以BC、PA所在直线为x轴、y轴，建立直角坐标系，设有关各点的坐标为B(x1，0)，C(x2，0)，A(0，y1)，P(0，y)．

∵⊥，＝(－x1，y)，＝(－x2，y1)．

(－x1)×(－x2)＋y×y1＝0．

即 x1x2＋yy1＝0．

又

∴·⊥＝(－x2，y)，＝(－x1，y1)．

＝(－x1)×(－x2)＋y×y1＝x1x2＋yy1＝0．，CP是AB边上的高．

故三角形的三条高线交于一点．

(五)作业．习题5．7 1，2，3，4，5．

第五篇：高中数学必修4人教A教案第二章平面向量复习

第二章

平面向量复习课

（一）一、教学目标

1.理解向量.零向量.向量的模.单位向量.平行向量.反向量.相等向量.两向量的夹角等概念。2.了解平面向量基本定理.3.向量的加法的平行四边形法则（共起点）和三角形法则（首尾相接）。4.了解向量形式的三角形不等式：||a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|(试问：取等号的条件是什么?)和向量形式的平行四边形定理：2(|a|2+|b|2)=|a－b|2+|a+b|2.5.了解实数与向量的乘法（即数乘的意义）： 6.向量的坐标概念和坐标表示法

7.向量的坐标运算（加.减.实数和向量的乘法.数量积）

8.数量积（点乘或内积）的概念，a·b=|a||b|cos=x1x2+y1y2注意区别“实数与向量的乘法；向量与向量的乘法”

二、知识与方法

向量知识，向量观点在数学.物理等学科的很多分支有着广泛的应用，而它具有代数形式和几何形式的“双重身份”能融数形于一体，能与中学数学教学内容的许多主干知识综合，形成知识交汇点，所以高考中应引起足够的重视.数量积的主要应用：①求模长；②求夹角；③判垂直

三、教学过程

（一）重点知识：

1.实数与向量的积的运算律：

(1)(a)()a(2)()a aa(3)(ab)ab

2.平面向量数量积的运算律:

(1)abba

(2)(a)b(ab)a(b)

(3)(ab)c acbc

3.向量运算及平行与垂直的判定: 设a(x1,y1),b(x2,y2),(b0).则ab(x1x2,y1y2)

ab(x1x2,y1y2)

abx1x2y1y2

a//bx1y2x2y10.abx1x2y1y20.4.两点间的距离:

|AB|(x1x2)2(y1y2)2

5.夹角公式: cosab a bx1x2y1y2 x1y1x2y22222

6.求模：

aaa

ax2ya(x1x2)2(y1y2)2

（二）习题讲解：第二章 复习参考题

（三）典型例题

例1． 已知O为△ABC内部一点，∠AOB=150°，∠BOC=90°，设OA=a，OB=b，OC=c，且|a|=2，|b|=1，| c|=3，用a与b表示c

解：如图建立平面直角坐标系xoy，其中i, j是单位正交基底向量, 则B（0，1），C（-3，0），设A（x，y），则条件知x=2cos(150°-90°),y=-2sin(150°-90°)，即A（1，-3），也就是a=i －3j, b=j，c=-3i所以-3a=33b+c|即c=3a－33b

（四）基础练习：

（五）、小结：掌握向量的相关知识。

（六）、作业：

第二章

平面向量复习课

（二）一、教学过程

（一）习题讲解：

（二）典型例题

例1．已知圆C：(x3)(y3)4及点A（1，1），M是圆上任意一点，点N在线

22段MA的延长线上，且MA2AN，求点N的轨迹方程。

练习：1.已知O为坐标原点，OA=（2，1），OB=（1，7），OC=（5，1），OD=xOA,y=DB·DC（x，y∈R）

求点P（x，y）的轨迹方程；

2.已知常数a>0，向量m(0,a),n(1,0)，经过定点A（0，－a）以mn为方向向量的直线与经过定点B（0，a）以n2m为方向向量的直线相交于点P，其中R.求点P的轨迹C的方程；

例2.设平面内的向量OA(1,7), OB(5,1), OM(2,1)，点P是直线OM上的一个动点，求当PAPB取最小值时，OP的坐标及APB的余弦值．

解

设OP(x,y)．∵

点P在直线OM上，∴ OP与OM共线，而OM(2,1)，∴

x－2y=0即x=2y，有OP(2y,y)．∵ PAOAOP(12y,7y)，PBOBOP(52y,1y)，∴ PAPB(12y)(52y)(7y)(1y)

= 5y2－20y+12 = 5(y－2)2－8．

从而，当且仅当y=2，x=4时，PAPB取得最小值－8，此时OP(4,2)，PA(3,5)，PB(1,1)．

于是|PA|34，|PB|2，PAPB(3)15(1)8，∴ cosAPBPAPB|PA||PB|8342417 17小结：利用平面向量求点的轨迹及最值。

作业：