数学高考复习名师精品教案：第76课时：第九章 直线、平面、简单几何体-空间向量及其运算

第一篇：数学高考复习名师精品教案：第76课时：第九章 直线、平面、简单几何体-空间向量及其运算

数学高考复习名师精品教案

第76课时：第九章 直线、平面、简单几何体——空间向量及其运算

课题：空间向量及其运算

一．复习目标：理解空间向量的概念、掌握空间向量的有关运算及其性质． 二．主要知识：

1．a,b向量共线的充要条件： ；

2．三点共线： ； 3．三向量共面： ； 4．四点共面： ； 5．两向量夹角的范围 ； 三．课前预习：

1．如图：在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点。若ABaADb，AA1c，则下列向量中与BM，相A1DD1MB1C1等的向量是（）

CB11(A)abc2211(C)abc2211(B)abc22

A(D)12a12bc

2．有以下命题：

①如果向量a,b与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么a,b的关系是不共线；

②O,A,B,C为空间四点，且向量OA,OB,OC不构成空间的一个基底，那么点O,A,B,C一定共面；

③已知向量a,b,c是空间的一个基底，则向量ab,ab,c，也是空间的一个基底。

其中正确的命题是（）

(A)①②(B)①③(C)②③(D)①②③

3．下列命题正确的是（）

(A)若a与b共线，b与c共线，则a与c共线；(B)向量a,b,c共面就是它们所在的直线共面；

(D)若a//b，则存在唯一的实数(C)零向量没有确定的方向；使得ab；

4．已知A、B、C三点不共线，O是平面ABC外的任一点，下列条件中能确定点M与点A、B、C一定共面的是（）

(A)OMOAOBOC(C)OMOA12OB(B)OM13OC2OAOBOC13OA13

13OC(D)OMOB

四．例题分析： 例1．已知在正三棱锥PPGBCABC中，M,N分别为PA,BC中点，G为MN中点，求证：

P

M

A G N B

C

例2．已知E,F,G,H分别是空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点，（1）用向量法证明E,F,G,H四点共面；（2）用向量法证明：BD∥平面EFGH；

（3）设M是EG和FH的交点，求证：对空间任一点O，有

1OM(OAOBOCOD)4

E A

例3．在平行六面体ABCDB H M O D

F G C

A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧棱AA1C1

D1 2）直线BD1与AC所成角长为b，且 AA1B1AA1D1120，求（1）AC1的长；（的余弦值。

A1 B1 D

C

B

A

五．课后作业：

1．对于空间任意一点O和不共线三点A,B,C，点P满足OPxOAyOBzOC是点P,A,B,C共面的（）

充分不必要条件(B)必要不充分条件(A)

(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件

2．棱长为a的正四面体中，ABBCACBD3．向量a,b,c。

两两夹角都是60，|a|1,|b|2,|c|3，则|abc|4．已知正方体ABCDA1B1C1D1，点E,F分别是上底面A1C1和侧面CD1的中心，求下列各式中的x,y的值：

（1）AC1x(ABBCCC1)，则x ； AEAAxAByAD（2）1（3）AFADxAByAA1，则x ；y ；，则x ；y ；

5．已知平行六面体ABCDA1B1C1D1，化简下列向量表达式，并填上化简后的结果向量：

（1）ABC1B1CD1 ； （2）ABADAA1。

6．设ABCDA1B1C1D1是平行六面体，M是底面ABCD的中心，N是侧面BCC1B1对

角线BC1上的点，且BN3NC1，设MNaABbADcAA1，试求a,b,c的值。

7．空间四边形OABC中，求OA与BCOA8,AB6,AC4,BC5,OAC45,OAB60，夹角的余弦值。

8．如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，E,F,G,H,K,L分别为平行六面体棱的中点，求证：（1）LEFGHK0

A1D1ELC1B1K（2）E,F,G,H,K,L六点共面.FDCAGBH 5

第二篇：高一数学 直线、平面、简单几何体教案16 苏教版

三垂线定理练习课二

教学目标

1．进一步理解、巩固并应用三垂线定理及其逆定理； 2．应用上一节课上所讲的两个基本题来解有关的综合题； 3．通过解综合题提高学生解综合题的能力． 教学重点和难点

教学的重点是进一步掌握三垂线定理及其逆定理，并能灵活的应用它们来解有关的题．教学的难点是在空间图形中有许多平面时，如何选好“基准平面”和“第一垂线”．

教学设计过程

师：上一节我们应用三垂线定理及其逆定理讲了四个例题．其中大多是基本题．今天我们一方面要在应用这些基本题的基础上解有关的综合题；另外我们再来解其它的综合题来提高我们的解综合题的能力．现在看例1．

例

1如图1，已知：PA⊥PB，PA⊥PC，PB⊥PC，求证： △ABC是锐角三角形．

师：这一题证法很多，所以我们要多想几种证法．

所以

∠BAC是锐角．

同理可证∠ABC，∠ACB都是锐角． 师：我们能不能直接用三垂线定理来证？

生：由已知可得PA⊥平面PBC．在直角三角形PBC中，作PD⊥BC于D，因为∠PBC，∠PCB都是锐角，所以垂足D一定在斜边BC内部，连PD，则PD⊥BC（三垂线定理）．对于△ABC来说，因垂足D在BC边内部，所以∠ABC，∠ACB都是锐角，同理可证∠BAC也是锐角．

师：能不能用公式cosθ1·cosθ2＝cosθ来证明△ABC为锐角三角形？

生：因AP⊥平面PBC，所以∠ABP是线面角，相当于θ1，∠PBC相当于θ2，因θ1，θ2都是锐角．所以cosθ1＞0，cosθ2＞0，cosθ＝cosθ1·cosθ2＞0，所以θ为锐角。即∠ABC是锐角，同理可证∠BAC，∠ACB都是锐角．

师：我们用了三种方法来证明△ABC是锐角三角形，现在我们换一个角度来研究这个基本图形另外一个性质．看例2．

例

2如图2，已知：PA⊥PB，PA⊥PC，PB⊥PC．PH⊥平面ABC于H．求证：H点是△ABC的垂心．

师：垂心是三角形三边垂线（高线）的交点，要证H是△ABC的垂心，只要证AH⊥BC即可．

生：因为 PA⊥BP，PA⊥CP，所以 PA⊥平面PBC． 故 PA⊥BC．

对于平面ABC来说，PH是垂线，PA是斜线，AH是PA在平面ABC内的射线． 因为 PA⊥BC，所以 AH⊥BC． 同理可证BH⊥AC，CH⊥AB． 故H是△ABC的垂心．

师：由例2的演变可得例3，现在我们来看例3．

例

3如图3，△ABC中，∠BAC是锐角，PA⊥平面ABC于A，AO⊥平面PBC于O．求证：O不可能是△PBC的垂心．

师：要证明O不可能是△PBC的垂心，用什么方法？ 生：用反证法．

师：为什么想到用反证法？ 生：因为直接证不好证．

师：对，因为直接来证不好利用条件，而用反证法，假设O是△PBC的垂心，则这样证明的思路就“活了”，就可利用已知条件，现在我们用反证法来证明．

生：假设O是△PBC的垂心，则BO⊥PC．

对平面PBC来说，AO是垂线，AB是斜线，BO是AB在平面PBC内的射影． 因为 BO⊥PC，所以 AB⊥PC． 又因为 PA⊥平面ABC，PA⊥AB，所以AB⊥平面PAC，AB⊥AC，∠BAC是直角，与已知∠BAC是锐角相矛盾．所以假设不能成立，所以O不可能是△PBC的垂心．

师：分析例3我们可以看出例3是由例2演变而来．也就是说在PA⊥AB，PA⊥ACO是△PBC的垂心条件下一定可以推导出AB⊥AC．是例2的逆命题再加以演变而得．现在我们来看例4．

例

4如图4，已知：∠AOB在平面α内，∠AOB＝60°，PO是平面α的一条斜线段，∠POA＝∠POB＝45°，PP′⊥平面α于P′，且PP′＝3．求：

（1）PO与平面α所成的角的正弦；（2）PO的长．

师：我们如何利用上节课所讲的两个基本题来解这题．

生：因∠POA＝∠POB，所以OP′是∠AOB的平分线，∠POP′相当于θ1，θ2＝30°，θ＝45°，由cosθ1·cos30°＝cos

师：在我们脑中如果“储存”许多基本题，那么在我们解有关综合题时，就能“得心应手”．所以在平时我们一定要注意对基本题的理解、掌握，解这题的思路就是一个典型．下面我们来看例5．

（1）直线MN是异面直线A1B和B1D1的公垂线；

（2）若这个正方体的棱长为a，求异面直线A1B和B1D1的距离．

师：我们是在讲三垂线定理及其逆定理应用时讲这个例题的．所以我们想法用三垂线定理或它的逆定理来证明这一题．要用三垂线定理首先要确定对于哪一个平面来用三垂线定理．

生：对于平面A1B1C1D1来用三垂线定理．

师：这时MN是平面A1B1C1D1的斜线，我们如何作平面A1B1C1D1的垂线呢？

生：作MP⊥A1B1于P，又因为D1A1⊥平面A1ABB1，所以A1D1⊥PM，故PM⊥平面A1B1C1D1． 师：对于平面A1B1C1D1来说，MP是垂线，MN是斜线，NP是MN在平面A1B1C1D1上的射影．我们要证MN⊥B1D1，只要证PN⊥B1D1即可．在正方形A1B1C1D1中，我们知道A1C1⊥B1D1，所以现在只要证PN∥A1Q1即可．我们如何利用已知条件来证PN∥A1O1．

＝O1N∶NB1，所以PN∥A1O1，所以PN⊥B1D1，故MN⊥B1D1．同理可证MN⊥A1B，所以MN是异面直线A1B和B1D1的公垂线．

师：已知正方体的棱长为a，在直角三角形MNP中，如何求出MN的长？

师：这是一道很好、很典型的题，它很巧妙、很直接地求出异面直线A1B，B1D1的公垂线及这两异面直线的距离．这一道题我们的先人们是如何想出来的？这一问题我们利用课外活动时间来进行探索．

今天就讲这五个例题，讲这五个例题的目的一是进一步应用三垂线定理及其逆定理，二是应用上节课刚讲过的基本题来解较综合的题．

作业 补充题

1．已知：正方形ABCD的边长为10，O为正方形中心，PO⊥平

2．已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，PC⊥△ABC所在平面，D为AB上一点，PA，PD，PB与平面ABC分别成60°，45°，30°的角，求证：D是AB的中点．

3．将正方形ABCD沿对角线BD折起来，使A点在平面BCD的射影O恰好在BD上，又CD的中点为E，求证：AE⊥CD．

〔提示：对于平面BCD来说，AO是垂线，OE是斜线AE在平面上的射影〕

AB＝13，AC＝15，A1B＝5，A1C＝9．试比较∠BAC与∠BA1C的大小．〔提示：用余弦定理可得∠BAC＝∠BA1C〕

5．已知：矩形ABCD所在平面为α，点P∈α，但P BC．作PQ⊥平面α，问：点P在什么位置时，∠QCB分别是（1）直角，（2）锐角，（3）钝角，并加以证明．

〔提示：利用cosθ1·cosθ2＝cosθ公式〕

第三篇：2014高考数学复习：平面向量

高考数学内部交流资料【1--4】

2014高考数学复习：平面向量

一选择题（每题5分，共50分）

1.向量﹒化简后等于（）

A.AMB.0C.0D.AC

2.下面给出的关系式中，正确的个数是（）

10·=0○2 ·=·○

3○4○25ab a

A.0B.1C.2D.3 3.对于非零向量a.b,下列命题中正确的是（）

A.ab0 a0或b0B//在上的投

影为。C.D.acbcab

4.已知=5,2,=4,3,=x,y.若-2+3=.则等于()A.1,B.28

3138134134,C.,D., 333333

1AB()25已知2,4,2,6,A.(0,5)B.(0,1)C.(2,5)D.(2,1)6e1.e2是平面内的一组基底，则下列四组向量中，不能作为一组基底的是（）

A.e1 和e1e2B.e1—2e2和e22e1 C.e1—2e2和4e22e1 D.e1e2和e1—e2 7已知ABC中ABAC>0,则ABC的形状是（）

A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不能确定 8已知1,0,1,1，且k恰好与垂直，则实数k的值是（）

A.1B.—1C.1或—1D.以上都不对

9.已知=,2,3,5，且与的夹角是钝角，则的范围是（）

A.10101010B.C.D. 3333

10.已知,是夹角为60的两个单位向量，则2,3的夹角是（）A.30B.60C.120D.150

二．填空题（每题5分,共25分）

11.若a6,8，则与a平行的单位向量是12.若向量,12且与的夹角为13.

1

2，0，则与的夹角为





=3

14．设e1.e2为两个不共线的向量，若e1e2与2e13e2与共线，则15已知平面内三点A.B.C34

5,则的值等于三．解答题（共75分）

16(12分)已知向量a3e12e2,b4e1e2其中e11,0,e20,1求：（1），（2）与夹角的余弦值。

17(12分).已知向量3,4,2,x,2,y且//,求：（1）x,y的值；（2的值



18.（12分）已知向量sinx,1,cosx,1（1）当a//b时，求cosxsinxcosx的值；（2）求f(x)=的最小正周期及最值。

19.（12分）已知2,24,36（其中,是任意两个不共线

向量），证明：A.B.C三点共线。

20．（13分）已知ABC中，A5,1，B1,7,C1,2.求（1）BC边上的中线AM的长;（2）cosABC的值

21.（14

32,的夹角为60，c3a5b,dma3b；（1）当m为何值时，c与d垂直？（2）当m为何值时，c与d共线？

第四篇：平面向量的坐标运算教案

“平面向量的坐标运算”教学方案

教学目标：

1.知识与技能：

理解平面向量坐标的概念，掌握平面向量坐标的运算。2.过程与方法：

在对平面向量坐标表示及坐标运算的学习过程中使学生的演绎、归纳、猜想、类比的能力得到发展，利用图形解决问题，也让学生体会到数形结合的思想方法解决问题的能力的重要性。3.情感、态度与价值观：

通过本节课的学习，使学生感受到数学与实际生产、生活的密切联系，体会客观世界中事物之间普遍联系的辩证唯物主义观点。教学重点：

平面向量的坐标表示及坐标运算。教学难点：

平面向量坐标表示的意义。教学方法：

结合本节课的目标要求、重难点的确定以及学生实际思维水平，教学设计中采取启发引导、类比归纳、合作探究、实践操作等教学方法。教学手段：

投影仪、多媒体软件 教学过程 1.情境创设

教师借助多媒体动画演示人站在高处抛掷硬物的过程作为本节课的问题情境引入课题，引导学生注意观察硬物下落轨迹，提出问题：结合同学们的生活常识及物理学知识，想一想硬物的速度可做怎样的分解？

学生回答：速度可按竖直和水平两个方向进行分解

设计目的：情境与生活联系，激发学生学习兴趣，同时为下面展开的知识做

好铺垫。

2.展开探究

问题一：平面向量的基本定理内容是什么？ 教师请一学生回答，同时投影出示其内容。问题二：向量能不能象平面坐标系中点一样给出坐标表示呢？我们如何表示更加

合理呢？

组织学生谈论，给出各种想法，教师做点评归纳。投影展示：将一任意向量a置于直角坐标系中，给出向量的起点、终点坐标，并 提出问题 问题三：既然向量的起点和终点的坐标是确定的，那么向量也可以用一对实数来表示吗？

设计目的：此问题引发学生联想，对平面向量坐标表示方法具有指导性作用。教师讲授：在直角坐标系内，我们分别取与 x轴、y轴方向相同的两个单位向量i,j作为基底.任作一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x,y，使得a=xi+yj ,我们把 叫做向量a的（直角）坐标，记作a=(x,y),其中x叫做a在x轴上的坐标,y叫做a在y轴上的坐标，(x,y)式叫做向量的坐标表示。

3.深化理解

一.平面向量坐标表示的的理解 提出问题：

(1)、如果以原点O作为起点作一向量OA=a（投影动画同步演示），那么点A的位置是否可以唯一确定呢？

(2)、点A的坐标与向量OA的坐标之间有什么关系？(3)、两个向量相等的充要条件利用坐标如何进行表示呢？

(4)、如果我们将一个平面向量在直角坐标系中作任意平移（不该表大小和方向），那么它的坐标会改变吗？

组织学生以小组为单位展开探究交流活动，在讨论后回答上述问题，可师生共同完善答案，归纳如下:

(1)、点A的位置受向量OA决定，唯一确定。

(2)、以原点O为起点的向量OA的坐标和终点A的坐标事完全相同的。(3)、两个平面向量相等的充要条件是两个向量的坐标相同。

(4)、在直角坐标系中平面向量在大小和方向不变的前提下自由移动，它们的坐标就是相同的。

设计目的：让学生在合作探究中去主动学习，不仅锻炼了解决问题的能力，还培养了探究协作的能力。

出示练习：用基底i、j分别表示向量a、b、c、d，并求出它们的坐标（图略）。教师让学生独立完成，之后借助投影让 个别学生展示完成情况，教师点评。设计目的：增进了所学新知的内化。

二、平面向量的坐标运算

提出问题：通过以上研究，我们了解了平面向量的坐标表示，向量是可以进行运

算的，如何运用所学的知识进行两个向量的和与差的坐标表示及实数 与向量积的坐标表示呢？

投影出示：已知向量a=（s，t），b=(m,n)，求向量a+b，a-b, λa的坐标

学生展开讨论，可能给出多种推导方法，教师要耐心给与点评，并做最后归纳。（1）向量加减法的坐标等于向量坐标的加减法。

（2）实数与向量的积的坐标等于是属于向量坐标的积。

（3）一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点坐标 教师提问：设AB是表示向量a的有向线段，点A(s,t)，B(m,n)，那么向量a的坐标如何表示？

学生结合向量坐标运算可得出答案，a=(m-s,n-t)，教师强调

一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标。设计目的 ：此环节教师充当引导者，以学生为主体，让学生在讨论思考中享受成功的快乐。

4.例题剖析

例

1、已知平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别为（-2，1）、（-1，3）、（3，4），求顶点D的坐标。

变式：已知平面上三点的坐标分别为A(2, 1), B(1, 3), C(3, 4)，求点D的坐标，使这四点成为平行四边形的四个顶点。

教师给学生充足时间独立思考，适当时可提示作图理解，而变式对学生来说

难度增大，要鼓励学生大胆尝试，独立求解，并提示要考虑图形的多种画法。设计目的：通过例题和变式综合考查学生对本节所学知识的理解和掌握程度，也促进学生应用知识解决问题的能力。

5.课堂小结

请学生对本节课内容作归纳，不足之处师生补充完善，最后教师作总结式说明。1.向量的坐标表示是向量的另一种表示形式，也可以称之为向量的代数表示，其背景是平面向量的基本定理。

2.向量的坐标表示为我们进行向量的运算提供了方便。

3.向量的坐标表示使得我们借助数的运算对图形的几何性质展开研究，体现了数形结合思想方法的应用。

前面我们还学习了这留待我们下一 节再来研究。

6.布置作业（1）.课后习题

（2）如何运用向量坐标来表示和判定共线向量呢？让学生预习下节内容。

7.板书设计

平面向量的坐标运算

1.平面向量的坐标

例1

变式 定义

解：

解：（1）

（2）

（3）

2.平面向量的坐标运算

第五篇：平面向量的坐标运算 教案

平面向量的坐标运算 教案

一、教学目标

1、知识与技能：

掌握平面向量的坐标运算；

2、过程与方法：

通过对共线向量坐标关系的探究，提高分析问题、解决问题的能力。3情感态度与价值观：

学会用坐标进行向量的相关运算，理解数学内容之间的内在联系。

二、教学重点与难点

教学重点：平面向量的坐标运算。

教学难点：向量的坐标表示的理解及运算的准确.三、教学设想

（一）导入新课

思路1.向量具有代数特征,与平面直角坐标系紧密相联.那么我们在学习直线和圆的方程以及点、直线、平面之间的位置关系时,直线与直线的平行是一种重要的关系.关于x、y的二元一次方程Ax+By+C=0(A、B不同时为零)何时所体现的两条直线平行？向量的共线用代数运算如何体现？

思路2.对于平面内的任意向量a,过定点O作向量OA=a,则点A的位置被向量a的大小和方向所唯一确定.如果以定点O为原点建立平面直角坐标系,那么点A的位置可通过其坐标来反映,从而向量a也可以用坐标来表示,这样我就可以通过坐标来研究向量问题了.事实上,向量的坐标表示,实际是向量的代数表示.引入向量的坐标表示可使向量运算完全代数化,将数与形紧密结合起来,这就可以使很多几何问题的解答转化为学生熟知的数量运算.引进向量的坐标表示后,向量的线性运算可以通过坐标运算来实现,那么向量的平行、垂直,是否也能通过坐标来研究呢？

（二）推进新课、新知探究、提出问题

①我们研究了平面向量的坐标表示,现在已知a=(x1,y1),b=(x2,y2),你能得出a+b,a-b,λa的坐标表示吗? ②如图1,已知A(x1,y1),B(x2,y2),怎样表示AB的坐标？你能在图中标出坐标为(x2-x1,y2-y1)的P点吗?标出点P后,你能总结出什么结论? 活动:教师让学生通过向量的坐标表示来进行两个向量的加、减运算,教师可以让学生到黑板去板书步骤.可得:

图1 a+b=(x1ｉ+y1j)+(x2ｉ+y2j)=(x1+x2)ｉ+(y1+y2)j, 即a+b=(x1+x2,y1+y2).同理a-b=(x1-x2,y1-y2).又λa=λ(x1ｉ+y1j)=λx1ｉ+λy1j.∴λa=(λx1,λy1).教师和学生一起总结,把上述结论用文字叙述分别为: 两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差);实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.教师再引导学生找出点与向量的关系:将向量AB平移,使得点A与坐标原点O重合,则平移后的B点位置就是P点.向量AB的坐标与以原点为始点,点P为终点的向量坐标是相同的,这样就建立了向量的坐标与点的坐标之间的联系.学生通过平移也可以发现:向量AB的模与向量OP的模是相等的.由此,我们可以得出平面内两点间的距离公式: |AB|=|OP|=(x1x2)2(y1y2)2.教师对总结完全的同学进行表扬,并鼓励学生,只要善于开动脑筋,勇于创新,展开思维的翅膀,就一定能获得意想不到的收获.讨论结果:①能.②AB=OB-OA=(x2,y2)-(x1,y1)=(x2-x1,y2-y1).结论:一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标.提出问题

①如何用坐标表示两个共线向量? ②若a=(x1,y1),b=(x2,y2),那么

y1y2是向量a、b共线的什么条件? x1x2活动:教师引导学生类比直线平行的特点来推导向量共线时的关系.此处教师要对探究困难的学生给以必要的点拨:设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0.我们知道,a、b共线,当且仅当存在实数λ,使a=λb.如果用坐标表示,可写为(x1,y1)=λ(x2,y2), xx2,即1消去λ后得x1y2-x2y1=0.y1y2.这就是说,当且仅当x1y2-x2y1=0时向量a、b(b≠0)共线.又我们知道x1y2-x2y1=0与x1y2=x2y1是等价的,但这与

y1y2是不等价的.因x1x2为当x1=x2=0时,x1y2-x2y1=0成立,但

y1yyy2均无意义.因此12是向量a、bx1x2x1x2共线的充分不必要条件.由此也看出向量的应用更具一般性,更简捷、实用,让学生仔细体会这点.讨论结果:①x1y2-x2y1=0时,向量a、b(b≠0)共线.②充分不必要条件.提出问题

a与非零向量b为共线向量的充要条件是有且只有一个实数λ使得a=λb, 那么这个充要条件如何用坐标来表示呢？

活动:教师引导推证:设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠a，x1x2,由a=λb,(x1,y1)=λ(x2,y2)消去λ,得x1y2-x2y1=0.y1y2.讨论结果:a∥b(b≠0)的充要条件是x1y2-x2y1=0.教师应向学生特别提醒感悟: 1°消去λ时不能两式相除,∵y1、y2有可能为0,而b≠0,∴x2、y2中至少有一个不为0.2°充要条件不能写成y1y2(∵x1、x2有可能为0).x1x2ab3°从而向量共线的充要条件有两种形式:a∥b(b≠0)

x1y2x2y10.（三）应用示例

思路1 例1 已知a=(2,1),b=(-3,4),求a+b,a-b,3a+4b的坐标.活动:本例是向量代数运算的简单应用,让学生根据向量的线性运算进行向量的和、差及数乘的坐标运算,再根据向量的线性运算律和向量的坐标概念得出的结论.若已知表示向量的有向线段的始点和终点坐标,那么终点的坐标减去始点的坐标就是此向量的坐标,从而使得向量的坐标与点的坐标可以相互转化.可由学生自己完成.解:a+b=(2,1)+(-3,4)=(-1,5);a-b=(2,1)-(-3,4)=(5,-3);3a+4b=3(2,1)+4(-3,4)=(6,3)+(-12,16)=(-6,19).点评:本例是平面向量坐标运算的常规题,目的是熟悉平面向量的坐标运算公式.变式训练

131.(2007海南高考,4)已知平面向量a=(1,1),b=(1,-1),则向量ab

22等于()A.(-2,-1)

B.(-2,1)

C.(-1,0)D.(-1,2)答案:D 2.(2007全国高考,3)已知向量a=(-5,6),b=(6,5),则a与b„()

A.垂直

B.不垂直也不平行

C.平行且同向 D.平行且反向

答案:A 3

图2 例2 如图2,已知ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别是(-2,1)、(-1,3)、(3,4),试求顶点D的坐标.活动:本例的目的仍然是让学生熟悉平面向量的坐标运算.这里给出了两种解法:解法一利用“两个向量相等,则它们的坐标相等”,解题过程中应用了方程思想;解法二利用向量加法的平行四边形法则求得向量OD的坐标,进而得到点D的坐标.解题过程中,关键是充分利用图形中各线段的位置关系(主要是平行关系),数形结合地思考,将顶点D的坐标表示为已知点的坐标.解:方法一:如图2,设顶点D的坐标为(x,y).∵AB=(-1-(-2),3-1)=(1,2),DC=(3-x,4-y).由AB=DC,得13x,(1,2)=(3-x,4-y).∴

24x.x2,∴ y2.∴顶点D的坐标为(2,2).方法二:如图2,由向量加法的平行四边形法则,可知

BDBAADBABC=(-2-(-1),1-3)+(3-(-1),4-3)=(3,-1), 而OD=OB+BD=(-1,3)+(3,-1)=(2,2), ∴顶点D的坐标为(2,2).点评:本例的目的仍然是让学生熟悉平面向量的坐标运算.变式训练

图3 如图3,已知平面上三点的坐标分别为A(-2,1),B(-1,3),C(3,4),求点D的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点.解:当平行四边形为ABCD时,仿例二得:D1=(2,2);当平行四边形为ACDB时,仿例二得:D2=(4,6);当平行四边形为DACB时,仿上得:D3=(-6,0).例3 已知A(-1,-1),B(1,3),C(2,5),试判断A、B、C三点之间的位置关系.活动:教师引导学生利用向量的共线来判断.首先要探究三个点组合成两个向量,然后根据两个向量共线的充要条件来判断这两个向量是否共线从而来判断这三点是否共线.教师引导学生进一步理解并熟练地运用向量共线的坐标形式来判断向量之间的关系.让学生通过观察图象领悟先猜后证的思维方式.解:在平面直角坐标系中作出A、B、C三点,观察图形,我们猜想A、B、C三点共线.下面给出证明.∵AB=(1-(-1),3-(-1))=(2,4), AC=(2-(-1),5-(-1))=(3,6), 又2×6-3×4=0,∴AB∥AC,且直线AB、直线AC有公共点A, ∴A、B、C三点共线.点评:本例的解答给出了判断三点共线的一种常用方法,其实质是从同一点出发的两个向量共线,则这两个向量的三个顶点共线.这是从平面几何中判断三点共线的方法移植过来的.变式训练

已知a=(4,2),b=(6,y),且a∥b,求y. 解:∵a∥b,∴4y-2×6=0.∴y=3.思路2

例2 设点P是线段P1P2上的一点,P1、P2的坐标分别是(x1,y1)、(x2,y2).(1)当点P是线段P1P2的中点时,求点P的坐标;(2)当点P是线段P1P2的一个三等分点时,求点P的坐标.活动:教师充分让学生思考,并提出这一结论可以推广吗?即当

P1P=λPP2时,点P的坐标是什么?师生共同讨论,一起探究,可按照求中点坐标的解题思路类比推广,有学生可能提出如下推理方法: 由P1P=λPP2,知(x-x1,y-y1)=λ(x2-x,y2-y)，x1x2x,xx1(x2x)1即 yy1(y2y)yy1y2.1这就是线段的定比分点公式,教师要给予充分肯定,鼓励学生的这种积极探索,这是学习数学的重要品质.时间允许的话,可以探索λ的取值符号对P点位置的影响,也可鼓励学生课后探索.图4 解:(1)如图4,由向量的线性运算可知

xx2y1y21,.).OP=(OP1+OP2)=(1222所以点P的坐标是（x1x2y1y2,.)22(2)如图5,当点P是线段P1P2的一个三等分点时,有两种情况,即

P1P1=或PP22P1P=2.PP2如果P1P1=,那么 PP22

图5 PP=OPOP=OP1+11+

1P1P2 31=OP+(OP12-OP1)312=OP+OP12 33=(2x1x22y1y2,).332x1x22y1y2,).33即点P的坐标是(同理,如果

x2x2y12y2P1P,.=2,那么点P的坐标是133PP2点评:本例实际上给出了线段的中点坐标公式和线段的三等分点坐标公式.变式训练

在△ABC中,已知点A(3,7)、B(-2,5).若线段AC、BC的中点都在坐标轴上,求点C的坐标.解:(1)若AC的中点在y轴上,则BC的中点在x轴上, 设点C的坐标为(x,y),由中点坐标公式,得

3xy50,0, 22∴x=-3,y=-5, 即C点坐标为(-3,-5).(2)若AC的中点在x轴上,则BC的中点在y轴上,则同理可得C点坐标为(2,-7).综合(1)(2),知C点坐标为(-3,-5)或(2,-7).例2 已知点A(1,2),B(4,5),O为坐标原点,OP=OA+tAB.若点P在第二象限,求实数t的取值范围.活动:教师引导学生利用向量的坐标运算以及向量的相等,把已知条件转化为含参数的方程(组)或不等式(组)再进行求解.教师以提问的方式来了解学生组织步骤的能力,或者让学生到黑板上去板书解题过程,并对思路清晰过程正确的同学进行表扬,同时也要对组织步骤不完全的同学给与提示和鼓励.教师要让学生明白“化归”思想的利用.不等式求变量取值范围的基本观点是,将已知条件转化为关于变量的不等式(组),那么变量的取值范围就是这个不等式(组)的解集.解:由已知AB=(4,5)-(1,2)=(3,3).∴OP=(1,2)+t(3,3)=(3t+1,3t+2).3t1021若点P在第二象限,则t

333t2021,).33点评:此题通过向量的坐标运算,将点P的坐标用t表示,由点P在第二象限可得到一个关于t的不等式组,这个不等式组的解集就是t的取值范围.变式训练 故t的取值范围是(已知OA=(cosθ,sinθ),OB=(1+sinθ,1+cosθ),其中0≤θ≤π,求|AB|的取值范围.解:∵AB=OB-OA=(1+sinθ,1+cosθ)-(cosθ,sinθ)=(1+sinθ-cosθ,1+cosθ-sinθ).∴|AB|=(1+sinθ-cosθ)+(1+cosθ-sinθ)=［1+(sinθ-cosθ)］2+［1-(sinθ-cosθ)］2 =2+2(sinθ-cosθ)2 =2+2(1-2sinθcosθ)=4-4sinθcosθ=4-2sin2θ.∵0≤θ≤π,∴0≤2θ≤2π.从而-1≤sin2θ≤1.∴4-2sin2θ∈［2,6］.故|AB|的取值范围是［2,6］.222 7

（四）课堂小结

1.先由学生回顾本节都学习了哪些数学知识:平面向量的和、差、数乘的坐标运算,两个向量共线的坐标表示.2.教师与学生一起总结本节学习的数学方法,定义法、归纳、整理、概括的思想,强调在今后的学习中,要善于培养自己不断探索、善于发现、勇于创新的科学态度和求实开拓的精神,为将来的发展打下良好基础.（五）作业