07--12年浙江省高考数学平面向量题

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第一篇:07--12年浙江省高考数学平面向量题

2010(16)已知平面向量a,(a0,a)满足1,且a与a的夹角为120°则a。

2009(7)设向量a,b满足︱a︱=3,︱b︱=4,ab=0.以a,b,a-b的模为边长构成三角形,则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为

(A)3(B)4(C)5(D)6

2008(9)已知a、b是平面内两个互相垂直的单位向量,若向量c满足(ac)(bc)的最大值是

(A)1(B)2(C)0,则|c| 2(D)22

2007(7)若非零向量a,b满足abb,则()A.2aab B.2a2abC.2babD. 2ba2b

2012(5).设a,b是两个非零向量。

A.若|a+b|=|a|-|b|,则a⊥b

B.若a⊥b,则|a+b|=|a|-|b|

C.若|a+b|=|a|-|b|,则存在实数λ,使得b=λa

D.若存在实数λ,使得b=λa,则|a+b|=|a|-|b|

2012(15).在△ABC中,M是BC的中点,AM=3,BC=10,则

=________.

第二篇:2014高考数学复习:平面向量

高考数学内部交流资料【1--4】

2014高考数学复习:平面向量

一选择题(每题5分,共50分)

1.向量﹒化简后等于()

A.AMB.0C.0D.AC

2.下面给出的关系式中,正确的个数是()

10·=0○2 ·=·○

3○4○25ab a

A.0B.1C.2D.3 3.对于非零向量a.b,下列命题中正确的是()

A.ab0 a0或b0B//在上的投

影为。C.D.acbcab

4.已知=5,2,=4,3,=x,y.若-2+3=.则等于()A.1,B.28

3138134134,C.,D., 333333

1AB()25已知2,4,2,6,A.(0,5)B.(0,1)C.(2,5)D.(2,1)6e1.e2是平面内的一组基底,则下列四组向量中,不能作为一组基底的是()

A.e1 和e1e2B.e1—2e2和e22e1 C.e1—2e2和4e22e1 D.e1e2和e1—e2 7已知ABC中ABAC>0,则ABC的形状是()

A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不能确定 8已知1,0,1,1,且k恰好与垂直,则实数k的值是()

A.1B.—1C.1或—1D.以上都不对

9.已知=,2,3,5,且与的夹角是钝角,则的范围是()

A.10101010B.C.D. 3333

10.已知,是夹角为60的两个单位向量,则2,3的夹角是()A.30B.60C.120D.150

二.填空题(每题5分,共25分)

11.若a6,8,则与a平行的单位向量是12.若向量,12且与的夹角为13.

1

2,0,则与的夹角为

=3

14.设e1.e2为两个不共线的向量,若e1e2与2e13e2与共线,则15已知平面内三点A.B.C34

5,则的值等于三.解答题(共75分)

16(12分)已知向量a3e12e2,b4e1e2其中e11,0,e20,1求:(1),(2)与夹角的余弦值。

17(12分).已知向量3,4,2,x,2,y且//,求:(1)x,y的值;(2的值



18.(12分)已知向量sinx,1,cosx,1(1)当a//b时,求cosxsinxcosx的值;(2)求f(x)=的最小正周期及最值。

19.(12分)已知2,24,36(其中,是任意两个不共线

向量),证明:A.B.C三点共线。

20.(13分)已知ABC中,A5,1,B1,7,C1,2.求(1)BC边上的中线AM的长;(2)cosABC的值

21.(14

32,的夹角为60,c3a5b,dma3b;(1)当m为何值时,c与d垂直?(2)当m为何值时,c与d共线?

第三篇:数学平面向量课后题

数学的必修四便会学习到平面向量,这和物理必修一的内容也有一定的相关性,所以,我们更应该学好这一知识点。分享了数学平面向量的课后题及答案,一起来看看吧!

一、选择题

1.已知向量OA→=(3,-4),OB→=(6,-3),OC→=(2m,m+1).若AB→∥OC→,则实数m的值为()

A.-3 B.-17

C.-35 D.3

5解析 AB→=OB→-OA→=(3,1),因为AB→∥OC→,所以3(m+1)-2m=0,解得m=-3.答案 A

2.已知|a|=|b|=2,(a+2b)(a-b)=-2,则a与b的夹角为()

A.π6 B.π

3C.π2 D.2π3

解析 由(a+2b)(a-b)=|a|2+ ab-2|b|2=-2,得ab=2,即|a||b|cos〈a,b〉=2,cos〈a,b〉=12.故〈a,b〉=π3.答案 B

3.平面向量a=(1,2),b=(4,2),c=ma+b(m∈R),且c与a的夹角等于c与b的夹角,则m=()

A.-2 B.-

1C.1 D.

2解析 ∵a=(1,2),b=(4,2),∴c=m(1,2)+(4,2)=(m+4,2m+2).又∵c与a的夹角等于c与b的夹角,∴cos〈c,a〉=cos〈c,b〉.∴ca|c||a|=cb|c||b|.即5m+85|c|=8m+2025|c|,解得m=2.答案 D

4.)若向量a,b满足:|a|=1,(a+b)⊥a,(2a+b)⊥b,则|b|=()

A.2 B.2

C.1 D.22

解析 ∵(a+b)⊥a,|a|=1,∴(a+b)a=0,∴|a|2+ab=0,∴ab=-1.又∵(2a+b)⊥b,∴(2a+b)b= 0.∴2ab+|b|2=0.∴|b|2=2.∴|b|=2,选B.答案 B

5.设△ABC的三个内角为A,B,C,向量m=(3sinA,sinB),n=(cosB,3cosA),若mn=1+cos(A+B),则C=()

A.π6 B.π3

C.2π3 D.5π6

解析 依题意得 3sinAcosB+3cosAsinB=1+cos(A+B),3sin(A+B)=1+cos(A+B),3sinC+cosC=1,2sinC+π6=1,sinC+π6=12.又π6

6.在平面上,AB1→⊥AB2→,|OB1→|=|OB2→|=1,AP→=AB1→+AB2→.若|OP→|<12,则|OA→|的取值范围是()

A.0,52 B.52,72

C.52,2 D.72,2

解析 由题意得点B1,B2在以O为圆心,半径为1的圆上,点P在以O为圆心半径为12的圆内,又AB1→⊥AB2→,AP→=AB1→+AB2→,所以点A在以B1B2为直径的圆上,当P与O点重合时,|OA→|最大为2,当P在半径为12的圆周上,|OA→|最小为72.∵P在圆内,∴|OA→|∈72,2.答案 D

二、填空题

7.已知向量a,b满足|a|=1,b=(2,1),且λ a+b=0(λ∈R),则|λ|=________.解析 |b|=22+12=5,由λa+b=0,得b=-λa,故|b|=|-λa|=|λ||a|,所以|λ|=|b||a|=51=5.答案

58.在△ABC中,BO为边AC上的中线,BG→=2GO→,若CD→∥AG→,且AD→=15AB→+λAC→(λ∈R),则λ的值为________.

解析 因为CD→∥AG→,所以存在实数k,使得CD→=kAG→.CD→=AD→-AC→=15AB→+(λ-1)AC→,又由BO是△ABC的边AC上的中线,BG→=2GO→,得点G为△ABC的重心,所以AG→=13(AB→+AC→),所以15AB→+(λ-1)AC→=k3(AB→+AC→),由平面向量基本定理可得15=k3,λ-1=k3,解得λ=65.答案 65

9.在△ABC所在的平面上有一点P满足PA→+PB→+PC→=AB→,则△PBC与△ABC的面积之比是________.

解析 因为PA→+PB→+PC→=AB→,所以PA→+PB→+PC→+BA→=0,即PC→=2AP→,所以点P是CA边上靠近A点的一个三等分点,故S△PBCS△ABC=PCAC=23.答案 2

3三、解答题

10.已知向量AB→=(3,1),AC→=(-1,a),a∈R

(1)若D为BC中点,AD→=(m,2),求a,m的值;

(2)若△ABC是直角三角形,求a的值.

解(1)因为AB→=(3,1),AC→=(-1,a),所以AD→=12(AB→+AC→)=1,1+a2.又AD→=(m,2),所以m=1,1+a=2×2,解得a=3,m=1.(2)因为△ABC是直角三角形,所以A=90°或B=90°或C=90°.当A=90°时,由AB→⊥AC→,得3×(-1)+1a=0,所以a=3;

当B=90°时,因为BC→=AC→-AB→=(-4,a-1),所以由AB→⊥BC→,得3×(-4)+1(a-1)=0,所以a=13;

当C=90° 时,由BC→⊥AC→,得-1×(-4)+a(a-1)=0,即a2-a+4=0,因为a∈R,所以无解.

综上所述,a=3或a=13.11.在△ABC中,已知2AB→AC→=3|AB→||AC→|=3BC→2,求角A、B、C的大小.

解 设BC=a,AC=b,AB=c.由2AB→AC→=3|AB→||AC→|,得2bccosA=3bc,所以cosA=32.又A∈(0,π),因此A=π6.由3|AB→||AC→|=3BC→2,得cb=3a2.于是sinCsinB=3sin2A=34.所以sinCsin5π6-C=34.sinC12cosC+32sinC=34,因此2sinCcosC+23sin2C=3,sin2C-3cos2C=0,即2sin2C-π3=0.由A=π6知0

1.已知正三角形ABC的边长为1,点P是AB边上的动点,点Q是AC边上的动点,且AP→=λAB→,AQ→=(1-λ)AC→,λ∈R,则BQ→CP→的最大值为()

A.32 B.-32

C.38 D.-38

解析,BQ→CP→=(BA→+AQ→)(CA→+AP→)=[BA→+(1-λ)AC→](CA→+λAB→)=AB→AC→-λAB→ 2-(1-λ)AC→2+λ(1-λ)AB→AC→=(λ-λ2+1)×cos60°-λ+λ-1=-12λ-122-38,0≤λ≤1,所以当λ=12时,BQ→CP→的最大值为-38,选D.答案 D

2.已知两个不相等的非零向量a,b,两组向量x1,x2,x3,x4,x5和y1,y2,y3,y4,y5均由2个a和3个b排列而成.记S=x1y1+x2y2+x3y3+x4y4+x5y5,Smin表示S所有可能取值中的最小值. 则下列命题正确的是________(写出所有正确命题的编号).

①S有5个不同的值;

②若a⊥b,则Smin与|a|无关;

③若a∥b,则Smin与|b|无关;

④若|b|>4|a|,则Smin>0;

⑤若|b|=2|a|,Smin=8|a|2,则a与b的夹角为π4.解析 对于①,若a,b有0组对应乘积,则S1=2a2+3b2,若a,b有2组对应乘积,则S2=a2+2b2+2ab,若a,b有4组对应乘积,则S3=b2+4ab,所以S最多有3个不同的值,①错误;因为a,b是不等向量,所以S1-S3=2a2+2b2-4ab=2(a-b)2>0,S1-S2=a2 +b2-2ab=(a-b)2>0,S2-S3=(a-b)2>0,所以S30,④正确;对于⑤,|b|=2|a|,Smin=4|a|2+8|a|2cosθ=8|a|2,所以cosθ=12,又θ∈[0,π],所以θ=π3,⑤错误.因此正确命题是②④.答案 ②④

3.已知向量m=3sinx4,1,n=cosx4,cos2x4.(1)若mn=1,求cos2π3-x的值;

(2)记f(x)=mn,在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,且满足(2a-c)cosB=bcosC,求函数f(A)的取值范围.

解(1)mn=3sinx4cosx4+cos2x4

=32sin x2+12cosx2+12=sinx2+π6+12.又∵mn=1,∴sinx2+π6=12.cosx+π3=1-2sin2x2+π6=12,cos2π3-x=- cosx+π3=-12.(2)∵(2a-c)cosB=bcosC,由正弦定理得(2sinA-sinC)cosB=sinBcosC,∴2sinAcosB-sinCcosB=sinBcosC.∴2sinAcosB=sin(B+C).

∵A+B+C=π,∴sin(B+C)=sinA,且sinA≠0.∴cosB=12.又∵0

第四篇:近五年高考数学真题分类05平面向量

近五年(2017-2021)高考数学真题分类汇编

五、平面向量

一、多选题

1.(2021·全国新高考1)已知为坐标原点,点,,则()

A.

B.

C.

D.

二、单选题

2.(2021·浙江)已知非零向量,则“”是“”的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分又不必要条件

3.(2020·海南)在中,D是AB边上的中点,则=()

A.

B.

C.

D.

4.(2020·海南)已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点,则的取值范围是()

A.

B.

C.

D.

5.(2020·全国2(理))已知向量,满足,,则()

A.

B.

C.

D.

6.(2020·全国3(文))已知单位向量,的夹角为60°,则在下列向量中,与垂直的是()

A.

B.

C.

D.

7.(2019·全国2(文))已知向量,则

A.

B.2

C.5

D.50

8.(2019·全国1(文))已知非零向量满足,且,则与的夹角为

A.

B.

C.

D.

9.(2019·全国2(理))已知=(2,3),=(3,t),=1,则=

A.-3

B.-2

C.2

D.3

10.(2018·北京(理))设向量均为单位向量,则“”是“”的A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分又不必要条件

11.(2018·浙江)已知、、是平面向量,是单位向量.若非零向量与的夹角为,向量满足,则的最小值是

A.

B.

C.2

D.

12.(2018·天津(理))如图,在平面四边形ABCD中,若点E为边CD上的动点,则的最小值为

A.

B.

C.

D.

13.(2018·全国1(文))在△中,为边上的中线,为的中点,则

A.

B.

C.

D.

14.(2018·全国2(文))已知向量满足,则

A.4

B.3

C.2

D.0

15.(2018·天津(文))在如图的平面图形中,已知,则的值为

A.

B.

C.

D.0

16.(2017·浙江)如图,已知平面四边形ABCD,AB⊥BC,AB=BC=AD=2,CD=3,AC与BD交于点O,记,,则

A.I1

B.I1

C.I3<

I1

D.I2

17.(2017·全国2(理))已知是边长为2的等边三角形,为平面内一点,则的最小值是

A.

B.

C.

D.

18.(2017·北京(文))设m,n为非零向量,则“存在负数,使得”是“”的A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

19.(2017·全国2(文))设非零向量,满足,则

A.⊥

B.

C.∥

D.

三、填空题

20.(2021·浙江)已知平面向量满足.记向量在方向上的投影分别为x,y,在方向上的投影为z,则的最小值为___________.21.(2021·全国甲(文))若向量满足,则_________.22.(2021·全国甲(理))已知向量.若,则________.

23.(2021·全国乙(理))已知向量,若,则__________.

24.(2021·全国乙(文))已知向量,若,则_________.

25.(2020·浙江)设,为单位向量,满足,,设,的夹角为,则的最小值为_______.

26.(2020·江苏)在△ABC中,D在边BC上,延长AD到P,使得AP=9,若(m为常数),则CD的长度是________.

27.(2020·全国1(文))设向量,若,则__________.28.(2020·全国1(理))设为单位向量,且,则__________.29.(2020·全国1(理))已知单位向量,的夹角为45°,与垂直,则k=__________.30.(2019·江苏)如图,在中,D是BC的中点,E在边AB上,BE=2EA,AD与CE交于点.若,则的值是_____.31.(2019·北京(文))已知向量=(-4,3),=(6,m),且,则m=__________.32.(2019·全国3(文))已知向量,则___________.33.(2019·全国(理))已知为单位向量,且=0,若,则___________.34.(2019·天津(文))

在四边形中,,,点在线段的延长线上,且,则__________.35.(2019·上海)在椭圆上任意一点,与关于轴对称,若有,则与的夹角范围为____________

36.(2018·上海)已知实数、、、满足:,,则的最大值为______.

37.(2018·江苏)在平面直角坐标系中,为直线上在第一象限内的点,以为直径的圆与直线交于另一点.若,则点的横坐标为________.

38.(2018·北京(文))设向量

=(1,0),=(−1,m),若,则m=_________.39.(2018·全国3(理))已知向量,.若,则________.

40.(2017·上海)如图,用35个单位正方形拼成一个矩形,点、、、以及四个标记为“#”的点在正方形的顶点处,设集合,点,过作直线,使得不在上的“#”的点分布在的两侧.用和分别表示一侧和另一侧的“#”的点到的距离之和.若过的直线中有且只有一条满足,则中所有这样的为________

41.(2017·北京(文))已知点在圆上,点的坐标为,为原点,则的最大值为_________.

42.(2017·全国1(理))已知向量与的夹角为60°,||=2,||=1,则|

+2

|=

______

.43.(2017·天津(文))设抛物线的焦点为F,准线为l.已知点C在l上,以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A.若,则圆的方程为____________

.44.(2017·天津(文))在中,,.若,且,则的值为______________.45.(2017·山东(理))已知,是互相垂直的单位向量,若

与λ的夹角为60°,则实数λ的值是__.

46.(2017·全国3(文))已知向量,且,则_______.47.(2017·全国1(文))已知向量=(﹣1,2),=(m,1),若,则m=_________.

48.(2017·山东(文))已知向量a=(2,6),b=,若a∥b,则

____________.49.(2017·江苏)在同一个平面内,向量的模分别为与的夹角为,且与的夹角为,若,则_________.

50.(2020·天津)如图,在四边形中,,且,则实数的值为_________,若是线段上的动点,且,则的最小值为_________.

51.(2020·北京)已知正方形的边长为2,点P满足,则_________;_________.

52.(2019·浙江)已知正方形的边长为1,当每个取遍时,的最小值是________;最大值是_______.53.(2017·浙江)已知向量满足,则的最小值是___________,最大值是______.

四、解答题

54.(2017·江苏)已知向量.

(1)若,求x的值;

(2)记,求函数y=f(x)的最大值和最小值及对应的x的值.

近五年(2017-2021)高考数学真题分类汇编

五、平面向量(答案解析)

1.AC

【解析】

A:,所以,故,正确;

B:,所以同理,故不一定相等,错误;

C:由题意得:,正确;

D:由题意得:,故一般来说故错误;

2.B

【解析】

若,则,推不出;若,则必成立,故“”是“”的必要不充分条件

3.C

【解析】

4.A

【解析】的模为2,根据正六边形的特征,可以得到在方向上的投影的取值范围是,结合向量数量积的定义式,可知等于的模与在方向上的投影的乘积,所以的取值范围是,5.D

【解析】,,.,因此,.6.D

【解析】由已知可得:.A:因为,所以本选项不符合题意;

B:因为,所以本选项不符合题意;

C:因为,所以本选项不符合题意;

D:因为,所以本选项符合题意.7.A

【解析】由已知,所以,8.B

【解析】因为,所以=0,所以,所以=,所以与的夹角为,故选B.

9.C

【解析】由,得,则,.故选C.

10.C

【解析】因为向量均为单位向量

所以

所以“”是“”的充要条件

11.A

【解析】设,则由得,由得

因此,的最小值为圆心到直线的距离减去半径1,为选A.12.A

【解析】连接BD,取AD中点为O,可知为等腰三角形,而,所以为等边三角形。设

=

所以当时,上式取最小值,选A.点睛:本题考查的是平面向量基本定理与向量的拆分,需要选择合适的基底,再把其它向量都用基底表示。同时利用向量共线转化为函数求最值。

13.A

【解析】根据向量的运算法则,可得,所以,故选A.14.B

【解析】因为

15.C

【解析】如图所示,连结MN,由

可知点分别为线段上靠近点的三等分点,则,由题意可知:,结合数量积的运算法则可得:

.本题选择C选项.16.C

【解析】因为,,所以,故选C.

17.B

【解析】建立如图所示的坐标系,以中点为坐标原点,则,,设,则,,则

当,时,取得最小值,故选:.

18.A

【解析】若,使,则两向量反向,夹角是,那么;若,那么两向量的夹角为,并不一定反向,即不一定存在负数,使得,所以是充分而不必要条件,故选A.19.A

【解析】

由平方得,即,则

20.【解析】由题意,设,则,即,又向量在方向上的投影分别为x,y,所以,所以在方向上的投影,即,所以,当且仅当即时,等号成立,所以的最小值为.21.

【解析】∵

∴.22..【解析】,,解得,故答案为:.23.

【解析】因为,所以由可得,解得.故答案为:.

24.【解析】由题意结合向量平行的充分必要条件可得:,解方程可得:.25.

【解析】,,.26.或0

【解析】∵三点共线,∴可设,∵,∴,即,若且,则三点共线,∴,即,∵,∴,∵,,∴,设,则,.∴根据余弦定理可得,∵,∴,解得,∴的长度为.当时,重合,此时的长度为,当时,重合,此时,不合题意,舍去.27.5

【解析】由可得,又因为,所以,即,故答案为:5.28.

【解析】因为为单位向量,所以

所以,解得:

所以,故答案为:

29.【解析】由题意可得:,由向量垂直的充分必要条件可得:,即:,解得:.故答案为:.

30..【解析】如图,过点D作DF//CE,交AB于点F,由BE=2EA,D为BC中点,知BF=FE=EA,AO=OD.,得即故.31.8.【解析】向量则.32.

【解析】.

33..【解析】因为,所以,所以,所以

34..【解析】建立如图所示的直角坐标系,则,.

因为∥,所以,因为,所以,所以直线的斜率为,其方程为,直线的斜率为,其方程为.

由得,所以.

所以.

35.【解析】由题意:,设,因为,则

与结合,又

与结合,消去,可得:

所以

36.【解析】设A(x1,y1),B(x2,y2),=(x1,y1),=(x2,y2),由x12+y12=1,x22+y22=1,x1x2+y1y2=,可得A,B两点在圆x2+y2=1上,且•=1×1×cos∠AOB=,即有∠AOB=60°,即三角形OAB为等边三角形,AB=1,+的几何意义为点A,B两点到直线x+y﹣1=0的距离d1与d2之和,显然A,B在第三象限,AB所在直线与直线x+y=1平行,可设AB:x+y+t=0,(t>0),由圆心O到直线AB的距离d=,可得2=1,解得t=,即有两平行线的距离为=,即+的最大值为+,故答案为+.

37.3

【解析】设,则由圆心为中点得易得,与联立解得点的横坐标所以.所以,由得或,因为,所以

38.-1.【解析】,由得:,即.39.

【解析】由题可得,,即,故答案为

40.、、【解析】建立平面直角坐标系,如图所示;

则记为“▲”的四个点是A(0,3),B(1,0),C(7,1),D(4,4),线段AB,BC,CD,DA的中点分别为E,F,G,H,易知EFGH为平行四边形,如图所示;

设四边形重心为M(x,y),则,由此求得M(3,2),即为平行四边形EFGH的对角线交于点,则符合条件的直线一定经过点,且过点的直线有无数条;

由过点和的直线有且仅有1条,过点和的直线有且仅有1条,过点和的直线有且仅有1条,所以符合条件的点是、、.

41.6

【解析】所以最大值是6.42.

【解析】∵平面向量与的夹角为,∴.∴

故答案为.43.

【解析】设圆心坐标为,则,焦点,由于圆与轴得正半轴相切,则取,所求圆得圆心为,半径为1.44.

【解析】,则

.45.

【解析】由题意,设(1,0),(0,1),则(,﹣1),λ(1,λ);

又夹角为60°,∴()•(λ)λ=2cos60°,即λ,解得λ.

46.2

【解析】由题意可得解得.47.7

【解析】由题得,因为,所以,解得.

48.-3

【解析】由可得

49.【解析】以为轴,建立直角坐标系,则,由的模为与与的夹角为,且知,可得,由可得,故答案为.50.

【解析】,,解得,以点为坐标原点,所在直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系,,∵,∴的坐标为,∵又∵,则,设,则(其中),,所以,当时,取得最小值.51.

【解析】以点为坐标原点,、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系,则点、、、,则点,,因此,.52.0

【解析】正方形ABCD的边长为1,可得,•0,要使的最小,只需要,此时只需要取

此时

等号成立当且仅当均非负或者均非正,并且均非负或者均非正.

比如

则.53.4

【解析】

设向量的夹角为,由余弦定理有:,则:,令,则,据此可得:,即的最小值是4,最大值是.

54.【解析】

(1)∵向量.

由,可得:,即,∵x∈[0,π]∴.

(2)由

∵x∈[0,π],∴

∴当时,即x=0时f(x)max=3;

当,即时.

第五篇:平面向量复习题

平面 向 量

向量思想方法和平面向量问题是新考试大纲考查的重要部分,是新高考的热点问题。题型多为选择或填空题,数量为1-2题,均属容易题,但是向量作为中学数学中的一个重要工具在三角、函数、导数、解几、立几等问题解决中处处闪光。最近几年的考试中向量均出现在解析几何题中,在解析几何的框架中考查向量的概念和方法、考查向量的运算性质、考查向量几何意义的应用,并直接与距离问题、角度问题、轨迹问题等相联系。近年考纲又新增“平面向量在几何中的应用”试题进一步要求我们具备多角度、多方向地分析,去探索、去发现、去研究、去创新,而不是去做大量的模仿式的解题。一个问题解决后,不能匆匆而过,回顾与反思是非常有必要的,以充分发挥每一道题目的价值。除了要重视一题多解外,更要重视一题多变,主动探索:条件和结论换一种说法如何?变换一个条件如何?反过来又会怎么样?等等。只有这样才能做到举一反三,以不变应万变。

一、高考考纲要求

1.理解向量的概念,掌握向量的几何表示,了解共线向量的概念.

2.掌握向量的加法与减法.

3.掌握实数与向量的积,理解两个向量共线的充要条件.

4.了解平面向量的基本定理,理解平面向量的坐标的概念,掌握平面向量的坐标运算.

5.掌握平面向量的数量积及其几何意义,了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题,掌握向量垂直的条件.

6.掌握平面两点间的距离公式,掌握线段的定比分点和中点公式,并且能熟练运用;掌握平移公式.

二、高考热点分析

在高考试题中,对平面向量的考查主要有三个方面:

其一是主要考查平面向量的概念、性质和运算法则,理解和运用其直观的几何意义,并能正确地进行计算。其二考查向量坐标表示,向量的线性运算。

其三是和其他知识结合在一起,在知识的交汇点设计试题,考查向量与学科知识间综合运用能力。

数学高考命题注重知识的整体性和综合性,重视知识的交互渗透,在知识网络的交汇点设计试题.由于向量具有代数和几何的双重身份,使它成为中学数学知识的一个交汇点,成为联系多项知识的媒介.因此,平面向量与其他知识的结合特别是与解析几何的交汇、融合仍将是高考命题的一大趋势,同时它仍将是近几年高考的热点内容.

附Ⅰ、平面向量知识结构表

1.考查平面向量的基本概念和运算律

1此类题经常出现在选择题与填空题中,主要考查平面向量的有关概念与性质,要求考生深刻理解平面向量的相关概念,能熟练进行向量的各种运算,熟悉常用公式及结论,理解并掌握两向量共线、垂直的充要条件。1.(北京卷)| a |=1,| b |=2,c = a + b,且c⊥a,则向量a与b的夹角为

A.30°

B.60°

C.120°

D.150°

()

2.(江西卷)已知向量

A.30°

(1,2),(2,4),||

B.60°,若()

C.120°,则与的夹角为

2()

D.150°

3.(重庆卷)已知A(3,1),B(6,1),C(4,3),D为线段BC的中点,则

A.

与的夹角为()

444

4B.arccos C.arccos()D.-arccos()

2555

5

4.(浙江卷)已知向量a≠e,|e|=1,对任意t∈R,恒有|a-te|≥|a-e|,则

arccos

()

A.a⊥e B.a⊥(a-e)

C.e⊥(a-e)D.(a+e)⊥(a-e)

.(上海卷)在△ABC中,若C90,ACBC4,则BABC 2.考查向量的坐标运算

1.(湖北卷)已知向量a=(-2,2),b=(5,k).若|a+b|不超过5,则k的取值范围是

A.[-4,6]

2.(重庆卷)设向量a=(-1,2),b=(2,-1),则(a·b)(a+b)等于

A.(1,1)

B.(-4,-4)

C.-4

D.(-2,-2)

()

()

B.[-6,4]

C.[-6,2]

D.[-2,6]

()



3.(浙江卷)已知向量a=(x-5,3),b=(2,x),且a⊥b,则由x的值构成的集合是

A.{2,3}

B.{-1,6}

C.{2}

D.{6}

例4.(2005年高考·天津卷·理14)在直角坐标系xOy中,已知点A(0,1)和点B(-3,4),若点C在∠AOB的平分线上且||=2,则OC=。



5.(全国卷)已知向量OA(k,12),OB(4,5),OC(k,10),且A、B、C三点共线,则k=.6.(湖北卷)已知向量a7.(广东卷)已知向量a

(2,2),b(5,k).若|ab|不超过5,则k的取值范围是

(2,3),b(x,6),且a//b,则x.3.平面向量在平面几何中的应用



ABAC

),[0,),则1.O是平面上一定点,A,B,C是平面上不共线的三个点,动点P满足OPOA(|AB||AC|

P的轨迹一定通过△ABC

A.外心的()B.内心

C.重心

D.垂心



2.(辽宁卷)已知四边形ABCD是菱形,点P在对角线AC上(不包括端点A,C),则AP等于()

A.(ABAD),(0,1)

B.(ABBC),(0,C.(ABAD),(0,1)

D.(ABBC),(0,

3.已知有公共端点的向量a,b不共线,|a|=1,|b|=2,则与向量a,b的夹角平分线平行的单位向量是.

4.已知直角坐标系内有三个定点A(2,1)、B(0,10)、C(8,0),若动点P满足:OPOAt(ABAC),tR,则点P的轨迹方程。

4.平面向量与三角函数、函数等知识的结合当平面向量给出的形式中含有未知数时,由向量平行或垂直的充要条件可以得到关于该未知数的关系式。在此基础上,可以设计出有关函数、不等式、三角函数、数列的综合问题。此类题的解题思路是转化为代数运算,其转化途径主要有两种:

①利用向量平行或垂直的充要条件,②利用向量数量积的公式和性质.1.(江西卷)已知向量(2cos

xxxx,tan()),(2sin(),tan()),令f(x).224242

4求函数f(x)的最大值,最小正周期,并写出f(x)在[0,π]上的单调区间.2.(山东卷)已知向量



m(cos,sin)

n

sin,cos,,2

,且

mn求



cos的值.28

3.(上海卷)已知函数

f(x)kxb的图象与x,y轴分别相交于点

A、B,22(,分别是与x,y轴正半

轴同方向的单位向量),函数g(x)

x2x6.f(x)g(x)时,求函数

(1)求k,b的值;(2)当x满足

g(x)

1的最小值.f(x)

【反思】这类问题主要是以平面向量的模、数量积、夹角等公式和相互知识为纽带,促成与不等式知识的相互迁移,有效地考查平面向量有关知识、不等式的性质、不等式的解法、不等式的应用及综合解题能力。

5.平面向量与解析几何的交汇与融合由于向量既能体现“形”的直观位置特征,又具有“数”的良好运算性质,是数形结合与转换的桥梁和纽带。而解析几何也具有数形结合与转换的特征,所以在向量与解析几何知识的交汇处设计试题,已逐渐成为高考命题的一个新的亮点。

平面几何与解析几何的结合通常涉及到夹角、平行、垂直、共线、轨迹等问题的处理,解决此类问题基本思路是将几何问题坐标化、符号化、数量化,从而将推理转化为运算;或者考虑向量运算的几何意义,利用其几何意义解决有关问题。主要包括以下三种题型:

1、运用向量共线的充要条件处理解几中有关平行、共线等问题

运用向量共线的充要条件来处理解几中有关平行、共线等问题思路清晰,易于操作,比用斜率或定比分点公式研究这类问

题要简捷的多。

2、运用向量的数量积处理解几中有关长度、角度、垂直等问题

运用向量的数量积,可以把有关的长度、角度、垂直等几何关系迅速转化为数量关系,从而“计算”出所要求的结果。

3、运用平面向量综合知识,探求动点轨迹方程,还可再进一步探求曲线的性质。

1.(江西卷)以下同个关于圆锥曲线的命题中 ①设A、B为两个定点,k为非零常数,|

PA||PB|k,则动点P的轨迹为双曲线;

(),则动点P的轨迹为椭圆; 2

②设定圆C上一定点A作圆的动点弦AB,O为坐标原点,若③方程2x

5x20的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率;

x2y2x2

1与椭圆y21有相同的焦点.④双曲线

25935

其中真命题的序号为(写出所有真命题的序号)



2.平面直角坐标系中,O为坐标原点,已知A(3,1),B(1,3),若点C满足OC0AOB,其中,R,且

1,则点C的轨迹方程为()

A.C.3x2y110B.(x1)2(y2)25 2xy0D.x2y50

2.已知平面上一个定点C(-1,0)和一条定直线l:x=-4,P为该平面上一动点,作PQ⊥l,垂足为Q,

(PQ+2PC)(PQ-2PC)=0.(1)求点P的轨迹方程;



PC的取值范围.(2)求PQ·

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