2018年高考数学(理)母题题源系列(全国1专版)专题06 平面向量

第一篇：2018年高考数学(理)母题题源系列(全国1专版)专题06 平面向量

【母题来源一】【2018高考新课标1理数6】 【母题原题】在△A.B.C.D.【答案】A 中，为

边上的中线，为的中点，则

，所以，故选A.点睛：该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算.【母题来源二】【2017高考新课标1理数13】

【母题原题】已知向量a，b的夹角为60°，|a|=2，|b|=1，则| a +2 b |= ______.【答案】【解析】

点睛：(1)求向量的夹角主要是应用向量的数量积公式．(2)常用来求向量的模．

【母题来源三】【2016高考新课标1理数13】

【母题原题】设向量a=(m,1)，b=(1,2)，且|a+b|=|a|+|b|，则m=.【答案】2 【解析】

试题分析：由|ab|2|a|2|b|2，得ab，所以m1120，解得m2.【考点】向量的数量积及坐标运算

【名师点睛】全国卷中向量大多以客观题的形式出现,属于基础题.解决此类问题既要准确记忆公式,又要注意运算的准确性.本题所用到的主要公式是：若ax1,y1,bx2,y2,则abx1y1x2y2.2

2【考点一：平面向量基本定理】

1．平面向量基本定理中的基底必须是两个不共线的向量．

2．选定基底后，通过向量的加、减、数乘以及向量平行的充要条件，把相关向量用这一组基底 表示出来．

3．强调几何性质在向量运算中的作用，用基底表示未知向量，常借助图形的几何性质，如平行、相似等．

提醒：在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便． 【考点二：平面向量的坐标运算】

1．向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．

2．解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解．

3．两平面向量共线的充要条件有两种形式：(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2－x2y1＝0；(2)若a∥b(a≠0)，则b＝λa，应视题目条件灵活选择．

1．【重庆市第八中学2018届高考适应性月考

（六）】若在则（）

中，其外接圆圆心满足，A.B.C.D.【答案】A

点晴：注意区分向量三角形法则和平行四边形法则之间的关系，注意区分向量积运算俩公式的区别。2．【河南省信阳高级中学2019届高三第一次大考】已知P为椭圆上一个动点，过点P作圆两条切线，切点分别是A，B，则A.[-，＋∞）B.[-，] C.[2【答案】C 【解析】分析：利用圆的切线与圆心和切点连线垂直得到直角三角形，设三角形求出的长；利用向量的数量积公式表示出的夹角为2α，通过解直角的取值范围为 －3，] D.[

2－3，＋∞）的，再根据三角函数的二倍角公式化简函数，通过换元并结合基本不等式可求出最值． 详解：如图，则． 的夹角为2α，故选C．

点睛：解答解析几何中的最值问题时，可选取适当的变量，将目标函数表示为该变量的函数，然后根据所得函数的解析式的特征选择求最值的方法，常用的方法有单调性法和基本不等式法． 3．【河南省南阳市第一中学2018届高三第二十次考试】在，且A.B.C.D.【答案】B 【解析】分析：根据结果.详解：由因为，得，所以，，又得，利用

以及向量的数量积建立关于的等量关系式，从而求得，则的值为（）

中，，若，所以，解得，故选B.点睛：该题考查的是有关向量的数量积的问题，在解题的过程中，还可以有另一种解法，建立相应的坐标系，将向量坐标化，利用向量数量积的坐标公式求得结果.4．【黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2018届高三第三次模拟】非零向量则与夹角的大小为（）

满足;,A.135° B.120° C.60° D.45° 【答案】A

点睛：该题考查的是有关向量所成角的余弦值，方法就是应用公式求解：向量的数量积比上模的乘积即为结果，在求解的过程中，需要去判断式子中所涉及到的量的关系，应用题中的条件，求得两个向量的模之间的关系，从而最后求得结果.5．【山东、湖北部分重点中学2018年高考冲刺模拟试卷

（二）】在中点，将向量A.绕点按逆时针方向旋转

得向量，则向量

中，在向量，为

方向上的投影为（）的 B.C.D.【答案】C 【解析】如图，以则，且，为轴建立平面直角坐标系，所以向量在向量方向上的投影为.本题选择C选项.6．【陕西省咸阳市2018年高考5月信息专递】已知两个向量和的夹角为，向上的正射影的数量为（）A.B.【答案】D C.D.，则向量在方

点睛: 本题主要考查向量数量积的应用，利用向量投影的定义是解决本题的关键，属于基础题.7．【山东省潍坊市青州市2018届高三第三次高考模拟考试】设平面向量下列说法正确的是（）A.C.是的充分不必要条件 B.与的夹角为

与的夹角为，，则 D.【答案】D 中熟记向量的基本概念和基本的运算公式是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.8．【安徽省安庆市第一中学2018届高三热身考试】平行四边形则()

中，是的中点，若，A.B.2 C.D.【答案】D 【解析】分析：首先将图画出来，再分别将详解：因为所以，即，因此，解得，所以，故选D.，用

表示出来，建立等量关系，求解的值.点睛：该题主要考查平面向量基本定理，涉及到的知识点有平行四边形的对角线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示等问题，需要注意在解题推导过程中运算的准确性.9．【河南省安阳35中2018届高三核心押题卷一】向量，对，则（）A.B.C.D.【答案】C

因为因为对所以对所以因为所以，所以。，所以，所以，恒成立。，即。

。所以。

。

故选C。

点睛：本题考查平面向量数量积公式及一元二次方程根与系数的关系。对于一元二次方程根与系数的关系的题型常见解法由两种：一是对于未知量不做限制的题型，可以选择直接运用判别式解答；二是未知量在区间答。

10．【辽宁省凌源二中2018届高考三模】在直角坐标系中,已知三点,为坐标原点,若向上的题型，一般采取不等式组（开口方向、判别式、对称轴、区间端点函数值的正负）的方法解量与在向量方向上的投影相等,且,则=()

A.6 B.-6 C.-5 D.5 【答案】D

点睛：本题主要考查向量的投影及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是，二是，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角，（此时

向量垂直则

;(4)求向量

往往 的模用坐标形式求解）；（2）求投影，在 上的投影是；（3）（平方后需求）.11．【河南省信阳高级中学2019届高三第一次大考】已知向量与的夹角为30°，且则_________．

＝1，【答案】

点睛：本题考查向量数量积的运算和向量模的求法，解题的关键是根据数量积的运算律得到关于然后通过解方程可得所求．

12．【四川省成都市第七中学2018-2019高中毕业班零诊模拟考试】如图，在平面四边形，.若点为边

上的动点，则

中，的方程，的最小值为__________．

【答案】 【解析】分析：设，可得，利用平面向量数量积公式结合二次函数的性质可得结果.详解：如图，连接已知，，又，点睛：本题主要考查向量的模及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是，二是，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角，（此时

向量垂直则

;(4)求向量

往往用 的模（平坐标形式求解）；（2）求投影，在 上的投影是；（3）方后需求）.13．【河南省南阳市第一中学2018届高三第二十次考试】已知为锐角若__________． 【答案】，且，记的外心，则，的大小关系为【解析】分析：首先根据题中的条件，利用向量的平方，结合三角形外心所满足的条件，得到其对应的结果，利用向量的数量积的定义式，得到对应的式子，求得三角形外接圆的半径，结合正弦定理得到对应的结果.详解：若由于O为锐角，同样地，所以，所以所以有，从而得到，根据正弦定理，可得，从而得到，则的外心，所以D,E为边的中点，分别是两边的中垂线，进一步求得的单调性得到结果，从而可以求得.，从而可求得，之后借助于余弦函数点睛：该题考查的是有关向量的数量积的大小关系的问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有向量的数量积的定义式，正弦定理，余弦函数的单调性，正确应用结论，求得结果.14．【福建省三明市第一中学2018届高三模拟卷

（一）】平面向量与的夹角为则【答案】__________．.，，点睛：本题主要考查向量的模及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是，二是，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角，（此时

向量垂直则

;(4)求向量

往往用 的模（平坐标形式求解）；（2）求投影，在 上的投影是；（3）方后需求）.15．【辽宁省葫芦岛市2018年普通高中高三第二次模拟】如图，已知同侧作半圆，__________． 分别为两半圆上的动点，（不含端点)，且

为中点，以，则

为直径在的最大值为

【答案】

【解析】分析：以为坐标原点，所在直线为轴，建立如图所示的直角坐标系，求得的坐标，可得以为直径的半圆方程，以为直径的半圆方程，设出的坐标，由向量数量积的坐标表示，结合三角函数的恒等变换可得，再由余弦函数、二次函数的图象和性质，计算可得最大值．

详解：以为坐标原点，所在直线为轴，建立如图所示的直角坐标系，可得

故答案为．

点睛：本题考查向量的坐标运算，向量的数量积的坐标表示以及圆的参数方程的运用，三角函数的恒等变换，考查余弦函数的性质，考查运算能力，属于中档题．

第二篇：高考二轮复习数学理配套讲义2平面向量、复数

微专题2　平面向量、复数

命

题

者

说

考

题

统

计

考

情

点

击

2018·全国卷Ⅰ·T1·复数的运算

2018·全国卷Ⅰ·T6·平面向量的线性运算

2018·全国卷Ⅱ·T1·复数的运算

2018·全国卷Ⅱ·T4·平面向量的数量积运算

2018·全国卷Ⅲ·T2·复数的运算

2018·全国卷Ⅲ·T13·平面向量的坐标运算

高考对本部分内容的考查主要有以下几方面：①平面向量的运算。包括向量的线性运算及几何意义，坐标运算，利用数量积运算解决模、夹角、垂直的问题，常与函数、不等式、三角函数、解析几何等知识进行简单的结合；②复数的运算。包括复数的概念、几何意义及四则运算。以上考点难度不高，属送分题，只要掌握基础知识就能得满分。

考向一

平面向量

微考向1：平面向量的线性运算

【例1】(1)(2018·全国卷Ⅰ)在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则＝()

A.－

B.－

C.＋

D.＋

(2)(2018·重庆调研)已知Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，AC＝5，I是△ABC的内心，P是△IBC内部(不含边界)的动点，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ的取值范围是()

A.B.C.D．(2,3)

解析(1)解法一：如图所示，＝＋＝＋＝×(＋)＋(－)＝－，故选A。

解法二：＝－＝－＝－××(＋)＝－，故选A。

(2)以B为原点，BA，BC所在直线分别为x，y轴建立如图所示的平面直角坐标系，则B(0,0)，A(3,0)，C(0,4)。设△ABC的内切圆的半径为r，因为I是△ABC的内心，所以(5＋3＋4)×r＝4×3，解得r＝1，所以I(1,1)。设P(x，y)，因为点P在△IBC内部(不含边界)，所以0

所以λ＋μ＝1－x，又0

答案(1)A(2)A

解决以平面图形为载体的向量线性运算问题的方法

(1)充分利用平行四边形法则与三角形法则，结合平面向量基本定理、共线定理等知识进行解答。

(2)如果图形比较规则，向量比较明确，则可考虑建立平面直角坐标系，利用坐标运算来解决。

变|式|训|练

1．(2018·陕西检测)已知P为△ABC所在平面内一点，＋＋＝0，||＝||＝||＝2，则△ABC的面积等于()

A.B．2

C．3

D．4

解析　由||＝||得，△PBC是等腰三角形，取BC的中点为D，则PD⊥BC，又＋＋＝0，所以＝－(＋)＝－2，所以PD＝AB＝1，且PD∥AB，故AB⊥BC，即△ABC是直角三角形，由||＝2，|PD|＝1可得||＝，则||＝2，所以△ABC的面积为×2×2＝2。故选B。

答案　B

2．(2018·全国卷Ⅲ)已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－2)，c＝(1，λ)。若c∥(2a＋b)，则λ＝________。

解析　由题可得2a＋b＝(4,2)。因为c∥(2a＋b)，c＝(1，λ)，所以4λ－2＝0，即λ＝。

答案

微考向2：平面向量的数量积运算

【例2】(1)(2018·全国卷Ⅱ)已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)＝()

A．4

B．3

C．2

D．0

(2)圆O为△ABC的外接圆，半径为2，若＋＝2，且||＝||，则向量在向量方向上的投影为________。

(3)如图所示，在平行四边形ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°，E为CD的中点。若·＝1，则AB的长为______。

解析(1)因为a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2|a|2－(－1)＝2＋1＝3。故选B。

(2)因为＋＝2，所以O是BC的中点。所以△ABC为直角三角形。在△AOC中，有||＝||，所以∠B＝30°。由定义，得向量在向量方向上的投影为||cosB＝2×＝3。

(3)解法一：由题意可知＝＋，＝－＋。因为·＝1，所以(＋)·＝1，即2＋·－2＝1。①

因为||＝1，∠BAD＝60°，所以·＝||。因此①式可化为1＋||－2＝1，解得||＝0(舍去)或||＝。所以AB的长为。

解法二：以A为原点，AB所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，过点D作DM⊥AB于点M。由AD＝1，∠BAD＝60°，可知AM＝，DM＝。设|AB|＝m(m>0)，则B(m,0)，C，D。因为E是CD的中点，所以E。所以＝，＝。由·＝1可得＋＝1，即2m2－m＝0。所以m＝0(舍去)或m＝。故AB的长为。

答案(1)B(2)3(3)

解决以平面图形为载体的向量数量积问题的方法

(1)选择平面图形中的模与夹角确定的向量作为一组基底，用该基底表示构成数量积的两个向量，结合向量数量积运算律求解。

(2)若已知图形中有明显的适合建立直角坐标系的条件，可建立直角坐标系将向量数量积运算转化为代数运算来解决。

变|式|训|练

1．平面向量a与b的夹角为45°，a＝(1,1)，|b|＝2，则|3a＋b|＝()

A．13＋6

B．2

C.D.解析　依题意得|a|＝，a·b＝×2×cos45°＝2，则|3a＋b|＝＝＝＝。故选D。

答案　D

2．已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝120°，点E，F

分别在边BC，DC上，BC＝3BE，DC＝λDF

。若·＝1，则λ的值为________。

解析　解法一：如图，由题意可得·＝||·||cos120°＝2×2×＝－2。在菱形ABCD中，易知＝，＝，所以＝＋＝＋，＝＋＝＋，·＝·＝＋－2＝1，解得λ＝2。

解法二：以A为原点建立直角坐标系如图，则A(0,0)，B(2,0)，C(1，)，D(－1，)，E，设F

(x0，)，则·＝·(x0，)＝1，则x0＋1＝1，则x0＝0，所以F

为DC中点，所以DC＝2DF，即λ＝2。

答案　2

微考向3：平面向量的最值问题

【例3】(2018·浙江高考)已知a，b，e是平面向量，e是单位向量。若非零向量a与e的夹角为，向量b满足b2－4e·b＋3＝0，则|a－b|的最小值是()

A．－1

B．＋1

C．2

D．2－

解析　解法一：设O为坐标原点，a＝，b＝＝(x，y)，e＝(1,0)，由b2－4e·b＋3＝0得x2＋y2－4x＋3＝0，即(x－2)2＋y2＝1，所以点B的轨迹是以C(2,0)为圆心，1为半径的圆。因为a与e的夹角为，所以不妨令点A在射线y＝x(x>0)上，如图，数形结合可知|a－b|min＝||－||＝－1。故选A。

解法二：由b2－4e·b＋3＝0得b2－4e·b＋3e2＝(b－e)·(b－3e)＝0。设b＝，e＝，3e＝，所以b－e＝，b－3e＝，所以·＝0，取EF的中点为C，则B在以C为圆心，EF

为直径的圆上，如图。设a＝，作射线OA，使得∠AOE＝，所以|a－b|＝|(a－2e)＋(2e－b)|≥|a－2e|－|2e－b|＝||－||≥－1。故选A。

答案　A

平面向量的最值问题的两种解法

(1)坐标法：建立平面直角坐标系，计算有关向量的坐标，利用向量的坐标计算。

(2)几何法：根据向量的几何意义构造图形，通过分析图形得出结论。

变|式|训|练

已知A，B，C是圆O：x2＋y2＝1上的动点，且AC⊥BC，若点M的坐标是(1,1)，则|＋＋|的最大值为()

A．3

B．4

C．3－1

D．3＋1

解析　解法一：因为A，B，C是圆O：x2＋y2＝1上的动点，且AC⊥BC，所以设A(cosθ，sinθ)，B(－cosθ，－sinθ)，C(cosα，sinα)，其中0≤θ<2π，0≤α<2π，因为M(1,1)，所以＋＋＝(cosθ－1，sinθ－1)＋(－cosθ－1，－sinθ－1)＋(cosα－1，sinα－1)＝(cosα－3，sinα－3)，所以|＋＋|

＝

＝

＝，当且仅当sin＝－1时，|＋＋|取得最大值，最大值为＝3＋1。故选D。

解法二：连接AB，因为AC⊥BC，所以AB为圆O的直径，所以＋＝2，所以|＋＋|＝|2＋|≤|2|＋||＝2＋||，易知点M与圆上动点C的距离的最大值为＋1，所以||≤＋1，所以|＋＋|≤3＋1。故选D。

答案　D

考向二

复数的运算

【例4】(1)(2018·全国卷Ⅱ)＝()

A．－－i

B．－＋i

C．－－i

D．－＋i

(2)(2018·北京高考)在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于()

A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

解析(1)因为＝＝＝－＋i。故选D。

(2)＝＝＋i，其共轭复数为－i，对应的点为。故选D。

答案(1)D(2)D

复数问题的解题思路

(1)以复数的基本概念、几何意义、相等的条件为基础，结合四则运算，利用复数的代数形式列方程或方程组解决问题。

(2)若与其他知识结合考查，则要借助其他的相关知识解决问题。

变|式|训|练

1．设i是虚数单位，若复数a＋(a∈R)是纯虚数，则a＝()

A．－1

B．1

C．－2

D．2

解析　因为a＋＝a＋＝a－2＋i为纯虚数，所以a－2＝0，得a＝2。故选D。

答案　D

2．复数z＝(i为虚数单位)在复平面内对应点的坐标为()

A．(3,3)

B．(－1,3)

C．(3，－1)

D．(2,4)

解析　因为z＝＝＝＝－1＋3i，所以其在复平面内对应的点的坐标为(－1,3)。故选B。

答案　B

3．复数z满足＝i(i为虚数单位)，则＝()

A．1＋i　　　B．1－i

C.D.解析　因为＝i，所以z＝(z－i)i＝zi＋1，z＝＝，＝，故选D。

答案　D

1．(考向一)(2018·河北、河南、山西联考)如图，在等边△ABC中，O为△ABC的重心，点D为BC边上靠近B点的四等分点，若＝x＋y，则x＋y＝()

A.B.C.D.解析　设点E为BC的中点，连接AE，可知O在AE上，由＝＋＝＋＝(＋)＋(－)＝－，故x＝，y＝－，x＋y＝。故选B。

答案　B

2．(考向一)(2018·天津高考)如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD＝120°，AB＝AD＝1。若点E为边CD上的动点，则·的最小值为()

A．

B．

C．

D．3

解析　解法一：如图，以D为原点DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，则A(1,0)，B，C(0，)，令E(0，t)，t∈[0，]，所以·＝(－1，t)·＝t2－t＋，因为t∈[0，]，所以当t＝－＝时，·取得最小值，(·)min＝－×＋＝。故选A。

解法二：令＝λ(0≤λ≤1)，由已知可得DC＝，因为＝＋λ，所以＝＋＝＋＋λ，所以·＝(＋λ)·(＋＋λ)＝·＋2＋λ·＋2＝3λ2－λ＋。当λ＝－＝时，·取得最小值。故选A。

答案　A

3．(考向二)(2018·株洲二模)设i为虚数单位，1－i＝，则实数a＝()

A．2

B．1

C．0

D．－1

解析　因为1－i＝，所以2＋ai＝(1－i)(1＋i)＝2，所以a＝0。故选C。

答案　C

4．(考向二)已知复数z的共轭复数为，若(1－2i)＝5－i(i为虚数单位)，则在复平面内，复数z对应的点位于()

A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

解析　依题意，设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＋＝2a＋bi，故2a＋bi＝＝1＋i，故a＝，b＝，则在复平面内，复数z对应的点为，位于第一象限。故选A。

答案　A

第三篇：(天津卷)2016年高考英语母题题源系列 专题06 书面表达(含解析)

母题六书面表达

【母题来源】【2016·天津】 【母题原题】

【2016·天津】书面表达（满分25分）

假设你是晨光中学的学生会主席李津。一批来自英国的高中生与你校学生开展了为期两周的交流活动。现在，他们即将回国，你将在欢送会上致辞。请根据以下提示写一篇发言稿。（1）回顾双方的交流活动（如学习、生活、体育、文艺等方面）；（2）谈谈收获或感情；（3）表达祝愿语期望。注意：

（1）词数不少于100；

（2）可适当加入细节，是内容充实、行文连贯；（3）开头和结尾已给出，不计入总词数。Dear friends, How time flies!

Thank you.【答案】

One possible version:

Dear__friends,__ How__time__flies!Two weeks went by before we realized that our exchange activities ended.On behalf of our school, I would like to express my feelings.As scheduled, we took part in several instructive activities.We have learnt many Chinese characters and often took exercise together.We went to the restaurant to taste the Chinese traditional food.The food was extremely delicious and different from our food.While visiting the art exhibition, we discussed the great artists' works.As far as I'm concerned, everyone here is a member of our big family.And at last I sincerely wish you a pleasant trip to your country.I hope we'll get together again next year.Thank__you.【考点定位】考查提纲作文

【命题意图】本题考查了学生的语言的运用能力和发挥想象的能力。从微观上考查了学生写句子的能力。

【考试方向】把语言知识和能力结合起来，综合考查学生的语言运用能力和临场发挥的能力。【得分要点】这篇作文属于典型的提纲类作文。根据要求确定要点，适当对要点进行发挥。关键在于词汇和句式的选用，尽量使用简洁的语言。

【母题1】

【2016届襄阳五中、宜昌一中、龙泉中学高三上学期九月联考】假设你是李华，上个月去英国参加了一次夏令营活动，活动期间一直住在Mr.Smith家中。他们给你提供了很多帮助，请写一封感谢信表达对他们的感谢。内容要点：1.感谢Smith夫妇；

2.你的感受；

3.邀请Smith夫妇来华旅游。

注意: 1.词数：100字左右。开头和结尾已给出，不计入词数；

2.可以适当增加细节，以使行文连贯；

Dear Mr.and Mrs.Smith，How are you doing? ________________________________________________________________ Yours，345-

第四篇：07--12年浙江省高考数学平面向量题

2010（16）已知平面向量a,(a0,a)满足1,且a与a的夹角为120°则a。

2009（7）设向量a,b满足︱a︱=3,︱b︱=4,ab=0.以a,b,a-b的模为边长构成三角形，则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为

（A）3（B）4（C）5（D）6

2008（9）已知a、b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(ac)(bc)的最大值是

（A）1（B）2（C）0,则|c| 2（D）22

2007（7）若非零向量a，b满足abb，则（）Ａ．2aab Ｂ．2a2abＣ．2babＤ． 2ba2b

2012（5）.设a，b是两个非零向量。

A.若|a+b|=|a|-|b|，则a⊥b

B.若a⊥b，则|a+b|=|a|-|b|

C.若|a+b|=|a|-|b|，则存在实数λ，使得b=λa

D.若存在实数λ，使得b=λa，则|a+b|=|a|-|b|

2012（15）.在△ABC中，M是BC的中点，AM=3，BC=10，则

=________.

第五篇：2018年高考数学(理)母题题源系列(全国1专版)专题04 等差数列与等比数列

【母题原题1】【2018新课标1，理4】设为等差数列A.B.C.D.的前项和，若，则

【来源】2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标I卷）【答案】B

点睛：该题考查的是有关等差数列的求和公式和通项公式的应用，在解题的过程中，需要利用题中的条件，结合等差数列的求和公式，得到公差的值，之后利用等差数列的通项公式得到与得结果.【母题原题2】【2017新课标1，理12】几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发 大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的

答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是2，接下来的两项 是2，2，再接下来的三项是2，2，2，依此类推.求满足如下条件的最小整数N：N>100且该数列的前N项 和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是 A．440 【答案】A B．330

C．220

D．110 010

20的关系，从而求

【考点】等差数列、等比数列的求和.【名师点睛】本题非常巧妙的将实际问题和数列融合在一起，首先需要读懂题目所表达的具体含义，以及观察所给定数列的特征，进而判断出该数列的通项和求和.另外，本题的难点在于数列里面套数列，第一个数列的和又作为下一个数列的通项，而且最后几项并不能放在一个数列中，需要进行判断.?an的最大值【母题原题3】【2016新课标1，理15】设等比数列{an}满足a1+a3=10，a2+a4=5，则a1a2鬃为.【答案】64 【解析】

a182a1a310a1(1q)10试题分析：设等比数列an的公比为q(q0)，由得，解得1.所以2aa5q24a1q(1q)52a1a2anaqn12(n1)117n2n1n(n21)8()222，于是当n3或n4时，a1a22nan取得最大值2664.【考点】等比数列及其应用 【名师点睛】高考中数列客观题大多具有小、巧、活的特点,在解答时要注意方程思想及数列相关性

质的应用,尽量避免小题大做.【命题意图】1.熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式．2．掌握非等差、非等比数列求和的几种常见方法.【命题规律】从近三年高考情况来看，本讲一直是高考的热点，尤其是等差、等比数列的求和公式、错位相减求和及裂项相消求和为考查的重点，常与函数、方程、不等式等联系在一起综合考查，考查内容比较全面，多为解答题的形式呈现，解题时要注意基本运算、基本能力的运用，同时注意函数与方程、转化与化归等数学思想的应用.【方法总结】

1.求数列前n项和的常用方法 1）分组求和法

分组转化法求和的常见类型

(1)若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列，可采用分组求和法求{an}的前n项和.bn，n为奇数(2)通项公式为an＝cn，n为偶数的数列，其中数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和.提醒：某些数列的求和是将数列转化为若干个可求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和，注意在含有字母的数列中对字母的讨论.2）裂项相消法

把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项.如：an是公差为d的等差数列，求aak1kk1n11111解：由d0

ak·ak1akakddakak1n11111111111∴…… aadaadaaaaaak1kk1k1k123n1k2n1n111 da1an13）错位相减法 若an为等差数列，bn为等比数列，求数列anbn（差比数列）前n项和，可由SnqSn，求Sn，其中q为bn的公比.如：Sn12x3x24x3……nxn1

① ②

x·Snx2x23x34x4……n1xn1nxn ①—②1xSn1xx2……xn1nxn

x1时，Sn1xnxnn1x21x，x1时，Sn123……nnn1 24）倒序相加法

把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加.Sna1a2……an1an相加2Sna1ana2an1…a1an…

Snanan1……a2a12.数列与函数综合

（1）数列与函数的综合问题主要有以下两类：

①已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题；

②已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要充分利用数列的范围、公式、求和方法对式子化简变形．

（2）解题时要注意数列与函数的内在联系，灵活运用函数的思想方法求解，在问题的求解过程中往往会遇到递推数列，因此掌握递推数列的常用解法有助于该类问题的解决． 3.数列与不等式综合

与数列有关的不等式的命题常用的方法有：比较法(作差作商)、放缩法、利用函数的单调性、数学归纳法证明，其中利用不等式放缩证明是一个热点，常常出现在高考的压轴题中，是历年命题的热点．利用放缩法解决“数列+不等式”问题通常有两条途径：一是先放缩再求和，二是先求和再放缩． 4．以数列为背景的不等式恒成立问题，多与数列求和相联系，最后利用函数的单调性求解；

5.以数列为背景的不等式证明问题，多与数列求和有关，有时利用放缩法证明．1．【重庆市西南大学附中高2018级第四次月考】等比数列（）A.B.C.D.中，，则

【答案】A

点睛：本题考查等比数列的性质，本题可以用基本量法求解，即求出首项和公比后，再计算应用性质求解更应提倡．本题所用性质为：数列数）仍是等比数列．

2．【湖南省长沙市长郡中学2018届高考模拟卷

（二）】设,则A.B.的前

项和

()

是公差不为0的等差数列,满足

是等比数列，则，当然（为常 C.D.【答案】C 【解析】分析：根据题意变形可得：式求和公式及其性质即可得出． 详解: ：a4+a5=a6+a7，化简可得：即2d（a6+a4）+2d（a7+a5）=0，d≠0． ∴a6+a4+a7+a5=0，∵a5+a6=a4+a7，∴a5+a6=0，∴S10==5（a5+a6）=0，故选：C．

点睛：在处理等差数列问题时，记住以下性质，可减少运算量、提高解题速度：

若等差数列①若②、、的前项和为，且，则、成等差数列．

；，则 222

2，整理可得a5+a6=0，再利用等差数列通项公，3．【安徽省安庆市第一中学2018届高三热身考试】数列(且)，则此数列为()

中，已知，且，A.等差数列 B.等比数列

C.从第二项起为等差数列 D.从第二项起为等比数列 【答案】D

点睛：数列的通项an与前n项和Sn的关系是，当n＝1时，a1若适合Sn－Sn－1，则n＝1的情况可并入n≥2时的通项an；当n＝1时，a1若不适合Sn－Sn－1，则用分段函数的形式表示． 4．【福建省三明市第一中学2018届高三模拟卷

（一）】等比数列的前项和，前，则（）A.【答案】D 【解析】分析：由等比数列的性质，可知其第一个项和，第二个项和，第三个项和仍然构成等比数列，化简即可得结果.详解：由等比数列的性质可知，等比数列的第一个项和，第二个项和，第三个项和仍然构成等比数列，则有构成等比数列，B.C.D.项和，前

项和分别为，即，故选D.，点睛：本题考查了等比数列的性质，考查了等比数列前项和，意在考查灵活运用所学知识解决问题的能力，是基础题.5．【2018年天津市南开中学高三模拟考试】已知等比数列A.B.C.D.的前项和为，且，则（）

【答案】D

点睛：该题考查的是有关等比数列的问题，涉及到的知识点有等比数列项之间的关系，等比数列的通项公式和等比数列的求和公式的应用，在解题的过程中，注意认真运算.6．【宁夏回族自治区银川一中2018届高三考前适应性训练】已知数列公差为5的等差数列，若，则数列

为

是公差为3的等差数列，是A.公差为15的等差数列 B.公差为8的等差数列 C.公比为125的等比数列 D.公比为243的等比数列 【答案】A 【解析】分析：先根据等差数列定义求公差，即得结果.详解：因为数列所以因为是公差为3的等差数列，所以, 是公差为5的等差数列，, 因此选A.点睛：判断或证明(1)用定义证明：(2)用等差中项证明：(3)通项法： 为的一次函数；(4)前项和法： 为等差数列的方法：

为常数）；

；

7．【重庆市第八中学2018届高考适应性月考

（八）】公差与首项相等的等差数列记A.B.，其中表示不超过的最大整数，如 D.，的前项和为，且的前

.，则数列项和为（）

C.【答案】C

点睛：（1）本题主要考查等差数列的通项和前n项和，考查学生接受新定义及利用新定义解题的能力.(2)由于新数列的通项不方便求出，所以利用列举法比较恰当.的前项和满足，其中

． 8．【北京西城八中2017届高三上学期期中考试】已知数列（Ⅰ）求证：数列（Ⅱ）设，求数列为等比数列． 的前项和． 【答案】(1)见解析（2）

【解析】分析：（1）先根据和项与通项关系得项之间递推关系式，再根据等比数列定义证结论，（2）根据分组求和法（一个等比数列与一个等差数列和）求数列详解：解：（Ⅰ）∴当时，①，解得

； 的前项和

点睛：本题采用分组转化法求和，将原数列转化为一个等差数列与一个等比数列的和.分组转化法求和的常见类型主要有分段型（如），符号型（如），周期型（如）的前项和为，首项

且9．【福建省三明市第一中学2018届高三模拟卷

（一）】若数列（）.的通项公式；（），令，求数列或的前项和.（1）求数列（2）若【答案】(1)

.(2).【解析】分析：（1），详解：（1）当时，或

；(2)由，则，即，可得，利用裂项相消法求和即可.或当时，点睛：裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)；（2）；（3）；（4）；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.10．【辽宁省葫芦岛市2018年普通高中高三第二次模拟考试】设等差数列列，（1）求数列.的通项公式； 的前项和为，且成等差数（2）设，求数列的前项和.【答案】(1)an=2n-1(2)【解析】分析：设等差数列得：的首项为,公差为, 由成等差数列，可知，由此解得，即可得到数列的通项公式；

, 由令详解： 设等差数列，利用错位相减法可求数列的前项和.的首项为,公差为, 由成等差数列，可知 , 由得：，解得:因此:

(2)令∴① ② ①—②,得

所以.则，点睛：本题考查等差数列的公差及首项的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质、错位相减法的合理运用．

11．【山东省潍坊市青州市2018届高三第三次高考模拟考试】已知等比数列，(1)求(2)记【答案】(1)【解析】试题分析： 的通项公式；，数列的前项和为，求证：..的前项和为，满足；(2)证明见解析.点睛：使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的． 12．【四川省南充高级中学2018届高三考前模拟考试】已知数列

中，其前项和为，且满足．

（11）求证：数列（2）证明：当是等差数列； 时，．

【答案】（1）见解析；（2）见解析

点睛：本题考查数列递推式的应用，考查等差数列的判定，考查等价转化思想，突出裂项法、放缩法应用的考查.