2015高考数学三轮冲刺 平面向量课时提升训练(6)]

第一篇：2015高考数学三轮冲刺 平面向量课时提升训练(6)]

平面向量课时提升训练（6）1、2、设G是△ABC重心，且

3、给定两个长度为1的平面向量心的圆弧 上运动，若，它们的夹角为，则，如图所示，点C在的取值范围是_____．

4、已知△ABC所在平面内一点P（P与A、B、C都不重合），且满足，则△=___.为圆

ACP与△BCP的面积之比为.5、如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝1，D是边BC上一点，DC＝2BD，则＝________．

6、如下图，两块全等的等腰直角三角形拼在一起，若，则

7、OA、OB（O为原点）是圆x2+y2=2的两条互相垂直的半径，C是该圆上任意一点，且，则λ2+μ2=。

8、已知是边

延长线上一点，记在9、已知

上恰有两解，则实数

是底面

.若关于的方程的取值范围是 的中心，是平行六面体．设

设

10、设点则

11、若则为是线段，则的中点，点

在直线的值为___▲_______． 外，若，__________。, 的 心.12、如图，在若

中，则

于，为的中点，．

13、在中,若长度为，点，,则

分别在非负半轴和，.非负半轴上滑动，以线段的取值范围

为

14、如图，线段一边，在第一象限内作矩形为坐标原点，则

是.15、设，,，则的值为_________，16、如图，半径为1的圆O上有定点P和两动点A、B，AB=则的最大值为 ___________．

17、设V是全体平面向量构成的集合，若映射向量a=（x1，y1）∈V，b=（x2，y2）∈V，以及任意

满足：对任意∈R，均有

则称映射f具有性质P。现给出如下映射： ①

②③

其中，具有性质P的映射的序号为________。（写出所有具有性质P的映射的序号）

18、在△ABC中有如下结论：“若点M为△ABC的重心，则

”，设a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边，点M为△ABC的重心.如果则内角A的大小为 ；若a＝3，则△ABC的面积为。

19、已知圆点G在MP上，且满足，上的动点，点Q在NP上，.（I）求点G的轨迹C的方程；

（II）过点（2，0）作直线，与曲线C交于A、B两点，O是坐标原点，设是否存在这样的直线，使四边形OASB的对角线相等（即|OS|=|AB|）？若存在，求出直线的方程；若不存在，试说明理由.20、如图，以坐标原点

为圆心的单位圆与轴正半轴相交于

点，点在单位圆上，且

（1）求的值；

（2）设的面积为，求，四边形的最值及此时的值．

21、某同学用《几何画板》研究抛物线的性质：打开《几何画板》软件，绘制某抛物线，在抛物线上任意画一个点（Ⅰ）拖动点（Ⅱ）设抛物线造直线、，发现当的顶点为

时，焦点为、，度量点的坐标，如图．，试求抛物线，构造直线的方程；

于不同两点、，构，交抛物线、分别交准线于，恒有

两点，构造直线．经观察得：沿着抛物线无论怎样拖动点.请你证明这一结论．

（Ⅲ）为进一步研究该抛物线改变为其它“定点的性质，某同学进行了下面的尝试：在（Ⅱ）中，把“焦点

”，其余条件不变，发现“

与

”

不再平行”．是否

”

可以适当更改（Ⅱ）中的其它条件，使得仍有“

成立？如果可以，请写出相应的正确命题；否则，说明理由．

22、设，若，，则

A． B． C．

D．

23、已知△ABC所在平面上的动点M满足，则M点的轨迹过△ABC的（）

A．内心 B．垂心 C．重心 D．外心

24、已知非零向量、满足，那么向量

与向量的夹角为（）

A． B． C． D．

25、已知点是重心，若，则的最小值是()A.B.C.D.26、如图，在数中，是上的一点，若，则实的值为（）

27、对于非零向量，定义运算“”：，其中为的夹角，有两两不共线的三个向量，则 C．

28、若，下列结论正确的是（）A．若，则，取得最小值，上述三个点

中是 的最小值为（）B．

D．均为单位向量，且

C.1 D.A.2 B.29、①点在为是所在的平面内，且内的一点，且使得所在平面内的一点，且 ②点 ③点重心的有（）

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

30、定义：平面内两条相交但不垂直的数轴构成的坐标系（两条数轴的原点重合且单位长度相同）称为平面斜坐标系；在平面斜坐标系斜坐标系轴、轴正方向上的单位向量，称为点的斜坐标.如图所示,在平面斜坐标系，点

中，若

（其中、分别是，为坐标原点），则有序实数对中，若，点，为单位圆上一点，且在平面斜坐标系中的坐标是

A.B.C.D.31、已知A、B是直线上任意两点，O是外一点，若上一点C满足

D．

A．

B．

C．，则的最大值是（）

32、设向量（）满足，，则的最大值等于

A．2 B． D．1

33、设，，C．

是平面直角坐标系中两两不同的四点，若(λ∈R)，(μ∈R)，且,则称，调和分割，,已知点C(c，o),D(d，O)(c，d∈R)调和分割点A(0，0)，B(1，0)，则下面说法正确的是(A)C可能是线段AB的中点(B)D可能是线段AB的中点(C)C，D可能同时在线段AB上(D)C，D不可能同时在线段AB的延长线上

34、是所在平面内一点，动点P满足，则动点P的轨迹一定通过的A.内心 B.重心 C.外心 D.垂心

35、已知向量，满足，则对任意，的最小值

．若对每一确定的,的最大值和最小值分别为

是（）A． B． C． D．1

36、如图，在四边形ABCD中，则的值为，A．2 B．2．4 D．

C37、O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，则P的轨迹一定通过△ABC的A．外心 B．垂心 C．内心 D．重心

38、已知三点A，B，C的坐标分别为A(3，0)，B(0，3)C(cosα，sinα)，α≠若=-1，求的值．

．（Ⅰ）求函数，k∈Z，39、设函数增区间； 的最小正周期和单调递（Ⅱ）当程．

40、求函数f(x)=时，的最大值为2，求的值，并求出的对称轴方的最小正周期、最大值和最小值．

1、2、B=6003、4、25、6、过点D做连接BF，设AC=1，则

, 7、1

8、或9、10、2。如图，向量、满足

以、未变的平行四边形是正方形，则。

11、内

12、;13、14、15、4816、17、①③18、19、解：（1）Q为PN的中点且GQ⊥PN GQ为PN的中垂线|PG|=|GN|，∴|GN|+|GM|=|MP|=6，故G点的轨迹是以M、N为焦点的椭圆，其长半轴长半焦距，∴短半轴长b=2，∴点G的轨迹方程是，所以四边形OASB为平行四边形

（2）因为

若存在l使得||=||，则四边形OASB为矩形若l的斜率不存在，直线l的方程为x=2，由故l的斜率存在.设l的方程为

矛盾，①

② 把①、②代入

∴存在直线OASB的对角线相等.20、解：（1）依题

使得四边形

（2）由已知点为菱形 ∴ ∵

∴∴，∴的坐标为

又，∴四边形21、22、C

23、D

24、C

25、.C

26、D

27、D

28、D

29、D 30、A

31、C

32、A

33、【答案】D 【解析】由一条直线上，(λ∈R)，(μ∈R)知:四点，，在同因为C,D调和分割点A,B,所以A,B,C,D四点在同一直线上,且

34、B

35、A．如图： 垂足为D，D为OA中点．为点O到圆周上点的距离，的最大值和最小值 , 故选D.作

，即

分别为

36、C

37、D

38、解：由=（cosα-3,sinα）,，当BD重合时最小．

=(cosα,sinα-3)得(cosα-3)cosα+sinα(sinα-3)=-1 ∴sinα+cosα= ①又得1+2sinαcosα=,2sinαcosα=-∴

由①式两边平方

39、（Ⅰ）；（Ⅱ），的对称轴方程为．

第二篇：2014高考数学三轮冲刺平面向量课时提升训练(6)

2014高考数学三轮冲刺平面向量课时提升训练（6）1、2、设G是△ABC重心，且

3、给定两个长度为1的平面向量动，若，它们的夹角为，则，如图所示，点C在=___.为圆心的圆弧上运的取值范围是_____．

4、已知△ABC所在平面内一点P（P与A、B、C都不重合），且满足面积之比为.5、如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝1，D是边BC上一点，DC＝2BD，则

6、如下图，两块全等的等腰直角三角形拼在一起，若

7、OA、OB（O为原点）是圆x2+y2=2的两条互相垂直的半径，C是该圆上任意一点，且则λ2+μ2=。

8、已知是边延长线上一点，记在9、已知

上恰有两解，则实数

是底面

.若关于的方程的取值范围是 的中心，，则

＝________．，则△ACP与△BCP的是平行六面体．设 1

设

10、设点是线段，则的中点，点

在直线的值为___▲_______． 外，若，则

__________。

11、若则为的 心.12、如图，在中，则

于，为的中点，若，．

13、在中,若长度为，点，,则

分别在非负半轴和为坐标原点，则

.非负半轴上滑动，以线段

为一边，在第一象

14、如图，线段限内作矩形的取值范围是.15、设，,，则的值为_________，则的最大

16、如图，半径为1的圆O上有定点P和两动点A、B，AB=值为 ___________．

17、设V是全体平面向量构成的集合，若映射∈V，b=（x2，y2）∈V，以及任意

∈R，均有

满足：对任意向量a=（x1，y1）

则称映射f具有性质P。现给出如下映射： ①②

③

其中，具有性质P的映射的序号为________。（写出所有具有性质P的映射的序号）

18、在△ABC中有如下结论：“若点M为△ABC的重心，则”，设a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边，点M为△ABC的重心.如果＝3，则△ABC的面积为。

19、已知圆足.（I）求点G的轨迹C的方程；，则内角A的大小为 ；若a上的动点，点Q在NP上，点G在MP上，且满（II）过点（2，0）作直线，与曲线C交于A、B两点，O是坐标原点，设 是否存在这样的直线，使四边形OASB的对角线相等（即|OS|=|AB|）？若存在，求出直线的方程；若不存在，试说明理由.20、如图，以坐标原点为圆心的单位圆与轴正半轴相交于

点，点在单位圆上，且

（1）求的值；

（2）设，求的最值及此时的值．，四边形的面积为，21、某同学用《几何画板》研究抛物线的性质：打开《几何画板》软件，绘制某抛物线线上任意画一个点（Ⅰ）拖动点（Ⅱ）设抛物线分别交准线于，度量点的坐标时，焦点为，如图．，试求抛物线，构造直线、的方程；

于不同两点、，构造直线，恒有，在抛物，发现当的顶点为

交抛物线、.、两点，构造直线．经观察得：沿着抛物线，无论怎样拖动点请你证明这一结论．

（Ⅲ）为进一步研究该抛物线点的性质，某同学进行了下面的尝试：在（Ⅱ）中，把“焦点

与

”改变为其它“定”，其余条件不变，发现“使得仍有“不再平行”．是否可以适当更改（Ⅱ）中的其它条件，”成立？如果可以，请写出相应的正确命题；否则，说明理由．

22、设，若，，则A．

B． C．

D．

23、已知△ABC所在平面上的动点M满足，则M点的轨迹过△ABC的（）

A．内心 B．垂心 C．重心 D．外心

24、已知非零向量、满足，那么向量

与向量的夹角为（）

A． B．

C．

D．

25、已知点是重心，若, 则的最小值是()A.B.C.D.26、如图，在中，是上的一点，若，则实数的值为（）

27、对于非零向量个向量，定义运算“”：，其中为的夹角，有两两不共线的三，则，下列结论正确的是（）A．若，则，取得最小值 B． C．

28、若 D．均为单位向量，且的最小值为（）

A.2 B.29、①点在为是 C.1 D.所在的平面内，且内的一点，且使得所在平面内的一点，且

②点 ③点，上述三个点中是重心的有（）

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 30、定义：平面内两条相交但不垂直的数轴构成的坐标系（两条数轴的原点重合且单位长度相同）称为平面斜坐标系；在平面斜坐标系位向量，中，若中，若

（其中、分别是斜坐标系轴、轴正方向上的单，为坐标原点），则有序实数对，点，称为点的斜坐标.如图所示,在平面斜坐标系，点

在平面斜坐标系中的坐标是

为单位圆上一点，且A.B.C.D.，则

31、已知A、B是直线上任意两点，O是外一点，若上一点C满足的最大值是（）A． B． C．

D．

32、设向量满足，C．，则的最大值等于（）

A．2 B．

33、设，，D．1

(λ∈R)，(μ是平面直角坐标系中两两不同的四点，若∈R)，且,则称，调和分割，,已知点C(c，o),D(d，O)(c，d∈R)调和分割点A(0，0)，B(1，0)，则下面说法正确的是(A)C可能是线段AB的中点(B)D可能是线段AB的中点(C)C，D可能同时在线段AB上

(D)C，D不可能同时在线段AB的延长线上

34、是所在平面内一点，动点P满足的A.内心 B.重心 C.外，则动点P的轨迹一定通过心 D.垂心

35、已知向量,别为,则对任意,满足，,．若对每一确定的,的最大值和最小值分的最小值是

（）A． B． C． D．1

36、如图，在四边形ABCD中，则的值为，6

A．2 B．2 D．

C．4

37、O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，则P的轨迹一定通过△ABC的A．外心 B．垂心 C．内心 D．重心

38、已知三点A，B，C的坐标分别为A(3，0)，B(0，3)C(cosα，sinα)，α≠的值．

39、设函数

．（Ⅰ）求函数的最小正周期和单调递增区间；，k∈Z，若

=-1，求（Ⅱ）当时，的最大值为2，求的值，并求出的对称轴方程．

40、求函数f(x)=的最小正周期、最大值和最小值．

1、[－2,]

2、B=6003、4、25、6、过点D做连接BF，设AC=1，则

, 7、1

8、或9、10、2。

如图，向量、满足

以、未变的平行四边形是正方形，则。

11、内

12、;13、14、15、4816、17、①③18、19、解：（1）Q为PN的中点且GQ⊥PN GQ为PN的中垂线|PG|=|GN|，半焦距，∴ ∴|GN|+|GM|=|MP|=6，故G点的轨迹是以M、N为焦点的椭圆，其长半轴长短半轴长b=2，∴点G的轨迹方程是边形

若存在l使得||=|

（2）因为，所以四边形OASB为平行四|，则四边形OASB为矩形若l的斜率不存在，直线l的方程为x=2，由矛盾，故l的斜率存在.设l的方程为

①

② 把①、②代入线

使得四边形OASB的对角线相等.∴存在直 8

20、解：（1）依题

（2）由已知点∴的坐标为

又，∴四边形，∴

为菱形

∵

∴∴21、22、C

23、D

24、C

25、.C

26、D

27、D

28、D

29、D 30、A

31、C

32、A

33、【答案】 D

【解析】由(λ∈R)，(μ∈R)知:四点，，在同一条直线上, 因为C,D调和分割点A,B,所以A,B,C,D四点在同一直线上,且

34、B

35、A．如图： 垂足为D，D为OA中点．的距离，的最大值和最小值 , 故选D.作

，即为点O到圆周上点 分别为

36、C

37、D

38、解：由=（cosα-3,sinα）,，当BD重合时最小．

=(cosα,sinα-3)得(cosα-3)cosα+sinα(sinα-3)=-1 ∴sinα+cosα= ①又=,2sinαcosα=-∴

由①式两边平方得1+2sinαcosα

39、（Ⅰ）；（Ⅱ），的对称轴方程为．

第三篇：2014高考数学复习：平面向量

高考数学内部交流资料【1--4】

2014高考数学复习：平面向量

一选择题（每题5分，共50分）

1.向量﹒化简后等于（）

A.AMB.0C.0D.AC

2.下面给出的关系式中，正确的个数是（）

10·=0○2 ·=·○

3○4○25ab a

A.0B.1C.2D.3 3.对于非零向量a.b,下列命题中正确的是（）

A.ab0 a0或b0B//在上的投

影为。C.D.acbcab

4.已知=5,2,=4,3,=x,y.若-2+3=.则等于()A.1,B.28

3138134134,C.,D., 333333

1AB()25已知2,4,2,6,A.(0,5)B.(0,1)C.(2,5)D.(2,1)6e1.e2是平面内的一组基底，则下列四组向量中，不能作为一组基底的是（）

A.e1 和e1e2B.e1—2e2和e22e1 C.e1—2e2和4e22e1 D.e1e2和e1—e2 7已知ABC中ABAC>0,则ABC的形状是（）

A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不能确定 8已知1,0,1,1，且k恰好与垂直，则实数k的值是（）

A.1B.—1C.1或—1D.以上都不对

9.已知=,2,3,5，且与的夹角是钝角，则的范围是（）

A.10101010B.C.D. 3333

10.已知,是夹角为60的两个单位向量，则2,3的夹角是（）A.30B.60C.120D.150

二．填空题（每题5分,共25分）

11.若a6,8，则与a平行的单位向量是12.若向量,12且与的夹角为13.

1

2，0，则与的夹角为





=3

14．设e1.e2为两个不共线的向量，若e1e2与2e13e2与共线，则15已知平面内三点A.B.C34

5,则的值等于三．解答题（共75分）

16(12分)已知向量a3e12e2,b4e1e2其中e11,0,e20,1求：（1），（2）与夹角的余弦值。

17(12分).已知向量3,4,2,x,2,y且//,求：（1）x,y的值；（2的值



18.（12分）已知向量sinx,1,cosx,1（1）当a//b时，求cosxsinxcosx的值；（2）求f(x)=的最小正周期及最值。

19.（12分）已知2,24,36（其中,是任意两个不共线

向量），证明：A.B.C三点共线。

20．（13分）已知ABC中，A5,1，B1,7,C1,2.求（1）BC边上的中线AM的长;（2）cosABC的值

21.（14

32,的夹角为60，c3a5b,dma3b；（1）当m为何值时，c与d垂直？（2）当m为何值时，c与d共线？

第四篇：07--12年浙江省高考数学平面向量题

2010（16）已知平面向量a,(a0,a)满足1,且a与a的夹角为120°则a。

2009（7）设向量a,b满足︱a︱=3,︱b︱=4,ab=0.以a,b,a-b的模为边长构成三角形，则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为

（A）3（B）4（C）5（D）6

2008（9）已知a、b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(ac)(bc)的最大值是

（A）1（B）2（C）0,则|c| 2（D）22

2007（7）若非零向量a，b满足abb，则（）Ａ．2aab Ｂ．2a2abＣ．2babＤ． 2ba2b

2012（5）.设a，b是两个非零向量。

A.若|a+b|=|a|-|b|，则a⊥b

B.若a⊥b，则|a+b|=|a|-|b|

C.若|a+b|=|a|-|b|，则存在实数λ，使得b=λa

D.若存在实数λ，使得b=λa，则|a+b|=|a|-|b|

2012（15）.在△ABC中，M是BC的中点，AM=3，BC=10，则

=________.

第五篇：近五年高考数学真题分类05平面向量

近五年（2017-2021）高考数学真题分类汇编

五、平面向量

一、多选题

1．（2021·全国新高考1）已知为坐标原点，点，，则（）

A．

B．

C．

D．

二、单选题

2．（2021·浙江）已知非零向量，则“”是“”的（）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分又不必要条件

3．（2020·海南）在中，D是AB边上的中点，则=（）

A．

B．

C．

D．

4．（2020·海南）已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则的取值范围是（）

A．

B．

C．

D．

5．（2020·全国2（理））已知向量，满足，，则（）

A．

B．

C．

D．

6．（2020·全国3（文））已知单位向量，的夹角为60°，则在下列向量中，与垂直的是（）

A．

B．

C．

D．

7．（2019·全国2（文））已知向量，则

A．

B．2

C．5

D．50

8．（2019·全国1（文））已知非零向量满足，且，则与的夹角为

A．

B．

C．

D．

9．（2019·全国2（理））已知=(2,3)，=(3，t)，=1，则=

A．-3

B．-2

C．2

D．3

10．（2018·北京（理））设向量均为单位向量，则“”是“”的A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分又不必要条件

11．（2018·浙江）已知、、是平面向量，是单位向量．若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是

A．

B．

C．2

D．

12．（2018·天津（理））如图，在平面四边形ABCD中，若点E为边CD上的动点，则的最小值为

A．

B．

C．

D．

13．（2018·全国1（文））在△中，为边上的中线，为的中点，则

A．

B．

C．

D．

14．（2018·全国2（文））已知向量满足，则

A．4

B．3

C．2

D．0

15．（2018·天津（文））在如图的平面图形中，已知,则的值为

A．

B．

C．

D．0

16．（2017·浙江）如图，已知平面四边形ABCD，AB⊥BC，AB＝BC＝AD＝2，CD＝3，AC与BD交于点O，记，，则

A．I１

B．I１

C．I３<

I１

D．I２

17．（2017·全国2（理））已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是

A．

B．

C．

D．

18．（2017·北京（文））设m,n为非零向量，则“存在负数，使得”是“”的A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

19．（2017·全国2（文））设非零向量，满足，则

A．⊥

B．

C．∥

D．

三、填空题

20．（2021·浙江）已知平面向量满足.记向量在方向上的投影分别为x，y，在方向上的投影为z，则的最小值为___________.21．（2021·全国甲（文））若向量满足，则_________.22．（2021·全国甲（理））已知向量．若，则________．

23．（2021·全国乙（理））已知向量，若，则__________．

24．（2021·全国乙（文））已知向量，若，则_________．

25．（2020·浙江）设，为单位向量，满足，，设，的夹角为，则的最小值为_______．

26．（2020·江苏）在△ABC中，D在边BC上，延长AD到P，使得AP=9，若（m为常数），则CD的长度是________．

27．（2020·全国1（文））设向量，若，则__________.28．（2020·全国1（理））设为单位向量，且，则__________.29．（2020·全国1（理））已知单位向量,的夹角为45°，与垂直，则k=__________.30．（2019·江苏）如图，在中，D是BC的中点，E在边AB上，BE=2EA，AD与CE交于点.若，则的值是_____.31．（2019·北京（文））已知向量=（－4，3），=（6，m），且，则m=__________.32．（2019·全国3（文））已知向量，则___________.33．（2019·全国（理））已知为单位向量，且=0，若，则___________.34．（2019·天津（文））

在四边形中，，，点在线段的延长线上，且，则__________.35．（2019·上海）在椭圆上任意一点，与关于轴对称，若有，则与的夹角范围为____________

36．（2018·上海）已知实数、、、满足：，，则的最大值为______．

37．（2018·江苏）在平面直角坐标系中，为直线上在第一象限内的点，以为直径的圆与直线交于另一点．若，则点的横坐标为________．

38．（2018·北京（文））设向量

=（1,0），=（−1,m）,若，则m=_________.39．（2018·全国3（理））已知向量，．若，则________．

40．（2017·上海）如图，用35个单位正方形拼成一个矩形，点、、、以及四个标记为“#”的点在正方形的顶点处，设集合，点，过作直线，使得不在上的“#”的点分布在的两侧.用和分别表示一侧和另一侧的“#”的点到的距离之和.若过的直线中有且只有一条满足，则中所有这样的为________

41．（2017·北京（文））已知点在圆上，点的坐标为，为原点，则的最大值为_________．

42．（2017·全国1（理））已知向量与的夹角为60°，||=2，||=1，则|

+2

|=

______

.43．（2017·天津（文））设抛物线的焦点为F，准线为l.已知点C在l上，以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A.若，则圆的方程为____________

.44．（2017·天津（文））在中，，.若，且，则的值为______________.45．（2017·山东（理））已知，是互相垂直的单位向量，若

与λ的夹角为60°，则实数λ的值是__．

46．（2017·全国3（文））已知向量，且，则_______.47．（2017·全国1（文））已知向量=（﹣1，2），=（m，1），若，则m=_________．

48．（2017·山东（文））已知向量a=（2,6）,b=,若a∥b,则

____________.49．（2017·江苏）在同一个平面内，向量的模分别为与的夹角为，且与的夹角为，若，则_________．

50．（2020·天津）如图，在四边形中，，且，则实数的值为_________，若是线段上的动点，且，则的最小值为_________．

51．（2020·北京）已知正方形的边长为2，点P满足，则_________；_________．

52．（2019·浙江）已知正方形的边长为1，当每个取遍时，的最小值是________；最大值是_______.53．（2017·浙江）已知向量满足，则的最小值是___________，最大值是______．

四、解答题

54．（2017·江苏）已知向量．

（1）若，求x的值；

（2）记，求函数y＝f（x）的最大值和最小值及对应的x的值．

近五年（2017-2021）高考数学真题分类汇编

五、平面向量（答案解析）

1．AC

【解析】

A：，所以，故，正确；

B：，所以同理，故不一定相等，错误；

C：由题意得：，正确；

D：由题意得：，故一般来说故错误；

2．B

【解析】

若，则，推不出；若，则必成立，故“”是“”的必要不充分条件

3．C

【解析】

4．A

【解析】的模为2，根据正六边形的特征，可以得到在方向上的投影的取值范围是，结合向量数量积的定义式，可知等于的模与在方向上的投影的乘积，所以的取值范围是，5．D

【解析】，，.，因此，.6．D

【解析】由已知可得：.A：因为，所以本选项不符合题意；

B：因为，所以本选项不符合题意；

C：因为，所以本选项不符合题意；

D：因为，所以本选项符合题意.7．A

【解析】由已知，所以，8．B

【解析】因为，所以=0，所以，所以=，所以与的夹角为，故选B．

9．C

【解析】由，得，则，．故选C．

10．C

【解析】因为向量均为单位向量

所以

所以“”是“”的充要条件

11．A

【解析】设，则由得，由得

因此，的最小值为圆心到直线的距离减去半径1，为选A.12．A

【解析】连接BD,取AD中点为O,可知为等腰三角形，而，所以为等边三角形。设

=

所以当时，上式取最小值，选A.点睛：本题考查的是平面向量基本定理与向量的拆分，需要选择合适的基底，再把其它向量都用基底表示。同时利用向量共线转化为函数求最值。

13．A

【解析】根据向量的运算法则，可得，所以，故选A.14．B

【解析】因为

15．C

【解析】如图所示，连结MN，由

可知点分别为线段上靠近点的三等分点，则，由题意可知：，结合数量积的运算法则可得：

.本题选择C选项.16．C

【解析】因为，，所以，故选C．

17．B

【解析】建立如图所示的坐标系，以中点为坐标原点，则，，设，则，，则

当，时，取得最小值，故选：．

18．A

【解析】若，使，则两向量反向，夹角是，那么；若，那么两向量的夹角为，并不一定反向，即不一定存在负数，使得，所以是充分而不必要条件，故选A.19．A

【解析】

由平方得，即，则

20．【解析】由题意，设，则，即，又向量在方向上的投影分别为x，y，所以，所以在方向上的投影，即,所以，当且仅当即时，等号成立，所以的最小值为.21．

【解析】∵

∴

∴.22．.【解析】,，解得,故答案为：.23．

【解析】因为，所以由可得，解得．故答案为：．

24．【解析】由题意结合向量平行的充分必要条件可得：，解方程可得：.25．

【解析】，，.26．或0

【解析】∵三点共线，∴可设，∵，∴，即，若且，则三点共线，∴，即，∵，∴，∵，，∴，设，则，.∴根据余弦定理可得，∵，∴，解得，∴的长度为.当时，重合，此时的长度为，当时，重合，此时，不合题意，舍去.27．5

【解析】由可得，又因为，所以，即，故答案为：5.28．

【解析】因为为单位向量，所以

所以，解得：

所以，故答案为：

29．【解析】由题意可得：，由向量垂直的充分必要条件可得：，即：，解得：.故答案为：．

30．.【解析】如图，过点D作DF//CE，交AB于点F，由BE=2EA，D为BC中点，知BF=FE=EA,AO=OD.，得即故.31．8.【解析】向量则.32．

【解析】．

33．.【解析】因为，所以，所以，所以

．

34．.【解析】建立如图所示的直角坐标系，则，．

因为∥，所以，因为，所以，所以直线的斜率为，其方程为，直线的斜率为，其方程为．

由得，所以．

所以．

35．【解析】由题意：，设，因为，则

与结合，又

与结合，消去，可得：

所以

36．【解析】设A（x1，y1），B（x2，y2），=（x1，y1），=（x2，y2），由x12+y12=1，x22+y22=1，x1x2+y1y2=，可得A，B两点在圆x2+y2=1上，且•=1×1×cos∠AOB=，即有∠AOB=60°，即三角形OAB为等边三角形，AB=1，+的几何意义为点A，B两点到直线x+y﹣1=0的距离d1与d2之和，显然A，B在第三象限，AB所在直线与直线x+y=1平行，可设AB：x+y+t=0，（t＞0），由圆心O到直线AB的距离d=，可得2=1，解得t=，即有两平行线的距离为=，即+的最大值为+，故答案为+．

37．3

【解析】设，则由圆心为中点得易得，与联立解得点的横坐标所以.所以，由得或，因为，所以

38．-1.【解析】，由得：，即.39．

【解析】由题可得，,即，故答案为

40．、、【解析】建立平面直角坐标系，如图所示；

则记为“▲”的四个点是A（0，3），B（1，0），C（7，1），D（4，4），线段AB，BC，CD，DA的中点分别为E，F，G，H，易知EFGH为平行四边形，如图所示；

设四边形重心为M（x，y），则，由此求得M（3，2），即为平行四边形EFGH的对角线交于点，则符合条件的直线一定经过点，且过点的直线有无数条；

由过点和的直线有且仅有1条，过点和的直线有且仅有1条，过点和的直线有且仅有1条，所以符合条件的点是、、．

41．6

【解析】所以最大值是6.42．

【解析】∵平面向量与的夹角为，∴.∴

故答案为.43．

【解析】设圆心坐标为，则，焦点，由于圆与轴得正半轴相切，则取，所求圆得圆心为，半径为1.44．

【解析】,则

.45．

【解析】由题意，设（1，0），（0，1），则（，﹣1），λ（1，λ）；

又夹角为60°，∴（）•（λ）λ＝2cos60°，即λ，解得λ．

46．2

【解析】由题意可得解得.47．7

【解析】由题得，因为，所以，解得．

48．-3

【解析】由可得

49．【解析】以为轴，建立直角坐标系，则，由的模为与与的夹角为，且知，可得，由可得，故答案为.50．

【解析】，，解得，以点为坐标原点，所在直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系，,∵，∴的坐标为,∵又∵,则，设，则（其中），，所以，当时，取得最小值.51．

【解析】以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系，则点、、、，则点，，因此，.52．0

【解析】正方形ABCD的边长为1，可得，•0，要使的最小，只需要，此时只需要取

此时

等号成立当且仅当均非负或者均非正，并且均非负或者均非正．

比如

则.53．4

【解析】

设向量的夹角为，由余弦定理有：，则：，令，则，据此可得：，即的最小值是4，最大值是．

54．【解析】

（1）∵向量．

由，可得：，即，∵x∈[0，π]∴．

（2）由

∵x∈[0，π]，∴

∴当时，即x＝0时f（x）max＝3；

当，即时．