平面向量的数量积及运算律的教案说明

第一篇：平面向量的数量积及运算律的教案说明

《平面向量的数量积及运算律》的教案说明

新疆石河子第一中学曹丽梅

一、教学内容的本质：

本教案是人教版高中数学第一册（下）第五章平面向量的第六节内容，整个课题按照课程标准分两个课时，这是第一课时的教案。

平面向量数量积第一课时的教学，通常要求形成数量积的概念，得出数量积运算的公式，并把培养学生的探究精神和应用意识的目标，有机地融入知识学习和技能形成的过程之中。平面向量数量积是平面向量的重点内容之一，也是难点之一，这一节主要介绍两个向量的数量积是两个向量之间的一种乘法，是中学代数中从未遇到过的一种新的乘法，与数的乘法有区别，同时这一节与下一节平面向量的数量积的坐标表示有着紧密联系。由于向量既能体现“形”的直观位置特征，又具有“数”的良好运算性质，是数形结合和转换的桥梁。而这一切之所以能够实现，平面向量的数量积功不可没。通过对这一节的学习，既可以让学生掌握平面向量的数量积，几何意义，重要性质及运算律，又可使学生了解用平面向量的数量积可以处理有关长度，角度，和垂直问题，而且为平面向量的数量积的坐标表示的学习做了充分准备，对后面正，余弦定理的证明起到至关重要的作用，因此本节课的教学内容起着承前启后的作用。

根据“平面向量的数量积及运算律”在高中数学中的地位与作用，并且考虑到学生已有的认知结构心理特征，我认为本节课的教学目标应以人为本注重对学生自主能力的培养，启发引导学生发现问题，观察问题，进而得以解决问题，在这一过程中希望能充分调动学生的积极性，不断激发学生学数学的兴趣。

二、教学内容的应用及渗透

平面向量作为一种工具，重在应用，而且今后用向量方法特别便于研究空间里涉及直线和平面的各种问题；而平面向量的数量积作为一种特殊的运算也有它不可替代的作用，如：求向量的模长，夹角，推导正、余弦定理等。

由于向量来源于物理，并且兼具“数”和“形”的特点，所以它在物理和几何中具有广泛的应用，众所周知，物理与数学是密不可分的，而向量在物理中的应用比比皆是，举不胜举，反过来物理又可为某些数学知识作有效的解释。比如：本课时的引入就是以物体在力的作用下所做的功为模型，事实上这也就是平面向量数量积的物理意义，这样可以更贴近生活，使学生更容易理解平面向量数量积的概念，符合学生的认知习惯。同时解析几何也往往将向量作为有力的解题工具。

三、教学分析

《数学课程标准》中强调：“数学课程要实现：人人学有价值的数学；人人都获得必需的数学；不同的人在数学上得到不同的发展。”同时，她倡导的“关注过程”“强调本质”“体现数学的文化价值”“发展数学的应用意识”等都向我们昭示出高中数学课程的价值取向。

为使《数学课程标准》得以顺利实施，教师理应不断更新教学观念，努力成为数学学习活动的组织者、引导者、合作者。通过精心设计、实践与反思，不断改进教学方法和教学手段„„以优化课堂教学，提高课堂教学的效率。课程设计必须从学生的角度出发，要与学生的经历和经验相联系，关注学生的体验、感悟和实践过程。

基于以上认识，对于“平面向量数量积及运算律”引入，我进行了这样的教学设计： 首先演示一个外力作功的实验：W=|F| |S|cosθ，并揭示这个物理模型的实质，即：力与位移的数量积。

其次，具体分析平面向量的夹角，向量的数量积、重要性质等概念，并巩固练习。再者，基本概念均简明有效的给出，为之后学生深入学习、探究提供了时间上的保证，从定义出发推导运算律也变得简单易行。随后，从特殊到一般，得出数量积的几何表示。在教师为主导、学生为主体的教学模式中，学习活动进展顺利，学生们都显得游刃有余。在教学过程中，学生对平面向量数量积的定义及运算律的理解有些难度，总的感觉是：在核心问题上的处理不太容易把握，学生需要较多的时间去探究和体验。

结合多年教学发现学生对数量积的结果是数量重视不够，解题中往往忽略，学生容易忽略；书写中符号“”学生容易省略不写，教学和作业中发现问题教师应时常提醒学生及时纠正，避免重复错误；运算律中消去律和结合律不能乱用，要给学生讲清楚一定不能与实数的运算律混淆，这些地方应反复给学生强调。

最后，在有效落实教学目标的同时，如何让学生的“学”更轻松些，让教师的“教”更顺畅些，使“数量积”的概念形成更具一般性，更能揭示“数量积”的本质内含就显得尤为重要。

四、教法及教学反思

教学过程中采用启发引导式与讲练相结合，并借助多媒体教学手段，使学生理解平面向量数量积的定义，理解定义之后引导学生推导数量积的性质，通过例题和练习加深学生对平面向量数量积定义的认识，初步掌握平面向量数量积定义的运用。这一切主要是通过课堂教学来实现的，因此，要精于课堂教学设计，并在实践中进行反思和再设计，形成一系列适合学生认知、发展的教学方案。同时，在教学中要注意引导学生不断增强自主性、探索性、合作性和思辨性，促使他们成为学习的主人。而贯彻数形结合思想是克服难点的有效举措．通过例题、练习的分析讲评和学生积极主动的解题实践，运用知识解决问题的能力将得到提高。由于课堂教学准备的较充分，基本能达到预定目标。

教学反思，是教师对自身教学工作的检查与评定，是整理教学中的反馈信息，适时总结经验教训、找出教学的成功与不足的重要过程。因此教学后适时的反思有利于促进教学，以上就是我对本节课的理解和反思。

第二篇：12022-向量数量积的运算律

向量数量积的运算律

制作人：张明娟审核人：叶付国使用时间：2012-5-8编号：12022 学习目标：

1、掌握平面向量数量积的运算律及其运算；

2、通过向量数量积分配律的学习，体会类比、猜想、证明的探索性学习方法；

3、通过解题实践，体会向量数量积的运算方法.学习重点：向量数量积的运算律及其应用.学习难点：向量数量积分配律的证明.重点知识回顾：

1、两个向量的夹角的范围是：；

2、向量在轴上的正射影

正射影的数量为；



3、向量的数量积（内积）：a·b=；

4、两个向量的数量积的性质：

（1）ab；

（2）aaa

（3）cos=；

向量数量积的运算律

1（）abba;

(2)(

(3)(aa)ba(b)(ab)ab;b)cacbc平面向量数量积的常用公式

(1)(a

2(2)(ab)(a

证明：（1）

（2）

b)a2abbb)ab22

典例剖析：

例

1、已知a=6，b=4，a与b的夹角为600，求：（1）b在a方向上的投影；

（2）a在b方向上的投影；

（3）a 2ba3b

例02、已知a与b的夹角为120，a=2，b=3，求：（）ab；（2）a

b；（3）（2a

1（4

5 b）（a3b）

1,a与b夹角为120，问t取何值0

t

例

a3、已知=3，b=4，（且a与b不共线），当且仅当k为何值时，向量akb与akb 互相垂直？

变式：已知a=1, b=2, a与ab垂直.求a与b的夹角.练习题:求证菱形的对角线互相垂直.例

04、已知a=2，b=4，a,b120，求a与ab的夹角.课堂小结：

跟踪练习：

1、下列运算不正确的是（）

A.abcabcB.abcacbc

C.mabmambD.abcabc

2、设e、e，则2e

12是两个单位向量，它们的夹角为6001e23e12e2（A.99

2B.2C.8D.83、已知a7, b7，ab7，则a与b的夹角为（）；

4、已知：向量a与b的夹角为1200，且a4，b2，求：

（1）ab；（2）3a4b；（3）aba2b）

第三篇：平面向量的数量积教案

2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角

教学目标：

1、知识目标:推导并掌握平面向量数量积的坐标表达式，会利用数量积求解向量的模、夹角及判定垂直等问题.2、能力目标:通过自主互助探究式学习,培养学生的自学能力,启发学生用多角度去思考和解决问题的能力,促进学生对知识的掌握和灵活运用.3、情感目标:通过自主学习,增强学生的成就感,提高学生学习的积极性和自信心.教学重点:利用数量积的坐标表示解决模、夹角、垂直等问题.教学难点:平面向量数量积的坐标表达式的推导.教法:启发式教学,讲练结合 学法:自主互助探究式 教学用具:多媒体 教学过程设计:

一、复习引入

(教师提问,学生回答)

二、知识探究

1.平面向量数量积的坐标表示

b(x,y)abx1x2y1y2 a(x,y)已知非零向量,22,则11(找学生到黑板上推导)结论:两个向量数量积等于它们对应坐标的乘积的和.思考:向量数量积的坐标表示与前面所学的向量的坐标运算有什么联系和区别?

(学生讨论回答,教师归纳)例

1.已知a(2,3),b(2,4),c(1,2),求: (1)ab;(2)a(bc);(3)

(ab)(ab);(4)2(ab).(教师讲前两问,学生做后两问)

2.平面向量数量积的应用

(1)求模问题:

(让学生自己推导)i)a(x,y),axy22.(x2x1)(y2y1)22ii)A(x,y1),B(x2,y2)1,AB(平面上两点间距离公式).a1iii)求a的单位向量e,eaaa,其中e1.例2.(1)已知a(3,4),e是a的单位向量,求a,e.(2)已知A(1,2),B(3,4),求

巩固练习:P107练习1 已知a(3,4),b(5,2),求aAB.,b,ab

(2)判定向量的垂直关系:(让学生自己推导)abab0x1x2y1y20

a//bx1y2x2y10

(对比记忆)例3.已知A(1,2),B(2,3),C(-2,5),试判断ABC的形状,并给出证明.(3)求向量的夹角:(让学生自己推导)思考:i)的范围?

ii)由cos能确定吗?为什么?

(找学生回答)例4.巩固练习.P107 练习3

已知a(3,2),b(5,7),求a与b设a(5,7),b(6,4),求ababcosabx1x2y1y2xy2121xy222

2及a与b的夹角(精确到1).0的夹角(精确到1).0

思考:不使用计算器,结合上面的例题,能求出的值吗?(找学生回答)

三、能力提升

已知a(cos,sin),b(cos,sin),证明

(ab)(ab).四、小结

这节课咱们一起学习了: 1.平面向量数量积的坐标表示 2.平面向量数量积的应用(1)求模;(2)判定垂直;(3)求夹角.希望大家在掌握的基础上加以灵活应用.五、作业

P108 A组5(1),(2),(3)任选一个、9、11.六、课后探索题: 已知a(2,1),b(x,1)

(1)若a与b(2)若a与b(3)若a与b的夹角为45,则实数x的值是_____;

0的夹角为锐角,则实数x的取值范围是_____;的夹角为钝角,则实数x的取值范围是_____.

第四篇：高中数学重点中学 第9课时平面向量的数量积及运算律教案 湘教版必修2

平面向量的数量积及运算律（1）

教学目的：

1掌握平面向量的数量积及其几何意义； 2掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；

3了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题； 4掌握向量垂直的条件

教学重点：平面向量的数量积定义

教学难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用 授课类型：新授课 课时安排：1课时

教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析：

本节学习的关键是启发学生理解平面向量数量积的定义，理解定义之后便可引导学生推导数量积的运算律，然后通过概念辨析题加深学生对于平面向量数量积的认识主要知识点：平面向量数量积的定义及几何意义；平面向量数量积的5个重要性质；平面向量数量积的运算律

教学过程：

一、复习引入：

a1． 向量共线定理 向量b与非零向量共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b=λa

2．平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2使a=λ1e1+λ2e2

3．平面向量的坐标表示

分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底任作一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使得axiyj 把(x,y)叫做向量a的（直角）坐标，记作a(x,y)4．平面向量的坐标运算 若a(x1,y1)，b(x2,y2)，则ab(x1x2,y1y2)，ab(x1x2,y1y2)，a(x,y)若A(x1,y1)，B(x2,y2)，则ABx2x1,y2y1 5．a∥b(b0)的充要条件是x1y2-x2y1=0

6．线段的定比分点及λ

P1, P2是直线l上的两点，P是l上不同于P1, P2的任一点，存在实数λ，使 P1P=λ叫做点P分PPP2，λ1P2所成的比，有三种情况：

λ>0(内分)(外分)λ<0(λ<-1)(外分)λ<0(-1<λ<0)

7定比分点坐标公式：

若点P１(x1,y1)，Ｐ２(x2,y2)，λ为实数，且P1P＝λPP2，则点P的坐标为（x1x2y1y2,），我们称λ为点P分P1P2所成的比

118点P的位置与λ的范围的关系：

①当λ＞０时，P1P与PP2同向共线，这时称点P为P1P2的内分点

②当λ＜０(1)时，P1P与PP2反向共线，这时称点P为P1P2的外分点 9线段定比分点坐标公式的向量形式：

在平面内任取一点O，设OP1＝ａ，OP2＝ｂ，可得OP=ab1ab

11110．力做的功：W = |F||s|cos，是F与s的夹角

二、讲解新课：

1．两个非零向量夹角的概念

已知非零向量ａ与ｂ，作OA＝ａ，OB＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角 说明：（1）当θ＝０时，ａ与ｂ同向；

（2）当θ＝π时，ａ与ｂ反向；

（3）当θ＝时，ａ与ｂ垂直，记ａ⊥ｂ； 2≤≤180

（4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的范围0

2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a||b|cos叫ａ与ｂ的数量积，记作ab，即有ab = |a||b|cos，（０≤θ≤π）并规定0与任何向量的数量积为0 探究：两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别

C（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos的符号所决定

（2）两个向量的数量积称为内积，写成ab；今后要学到两个向量的外积a×b，而ab是两个向量的数量的积，书写时要严格区分符号“· ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替

（3）在实数中，若a0，且ab=0，则b=0；但是在数量积中，若a0，且ab=0，不能推出b=0因为其中cos有可能为0（4）已知实数a、b、c(b0)，则ab=bc  a=c但是ab = bc a = c

如右图：ab = |a||b|cos = |b||OA|，bc = |b||c|cos = |b||OA|  ab = bc 但a

c

(5)在实数中，有(ab)c = a(bc)，但是(ab)c

a(bc)显然，这是因为左端是与c共线的向量，而右端是与a共线的向量，而一般a与c不共线 3．“投影”的概念：作图

定义：|b|cos叫做向量b在a方向上的投影

投影也是一个数量，不是向量；当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为0；当 = 0时投影为 |b|；当 = 180时投影为 |b| 4．向量的数量积的几何意义：

数量积ab等于a的长度与b在a方向上投影|b|cos的乘积 5．两个向量的数量积的性质：

设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量 1ea = ae =|a|cos 2ab

ab = 0 3当a与b同向时，ab = |a||b|；当a与b反向时，ab = |a||b| 特别的aa = |a|或|a|aa 45cos =2ab

|a||b||ab| ≤ |a||b|

三、讲解范例：

例1 判断正误，并简要说明理由

①ａ·0＝0；②0·ａ＝０；③0－AB＝BA；④｜ａ·ｂ｜＝｜ａ｜｜ｂ｜；⑤若ａ≠0，则对任一非零ｂ有ａ·ｂ≠０；⑥ａ·ｂ＝０，则ａ与ｂ中至少有一个为0；⑦对任意向

２２量ａ，ｂ，с都有（ａ·ｂ）с＝ａ（ｂ·с）；⑧ａ与ｂ是两个单位向量，则ａ＝ｂ 解：上述8个命题中只有③⑧正确；

对于①：两个向量的数量积是一个实数，应有0·ａ＝０； 对于②：应有０·ａ＝0；

对于④：由数量积定义有｜ａ·ｂ｜＝｜ａ｜·｜ｂ｜·｜cosθ｜≤｜ａ｜｜ｂ｜，这里θ是ａ与ｂ的夹角，只有θ＝０或θ＝π时，才有｜ａ·ｂ｜＝｜ａ｜·｜ｂ｜；

对于⑤：若非零向量ａ、ｂ垂直，有ａ·ｂ＝０； 对于⑥：由ａ·ｂ＝０可知ａ⊥ｂ可以都非零； 对于⑦：若ａ与с共线，记ａ＝λс 则ａ·ｂ＝（λс）·ｂ＝λ（с·ｂ）＝λ（ｂ·с），∴（ａ·ｂ）·с＝λ（ｂ·с）с＝（ｂ·с）λс＝（ｂ·с）ａ 若ａ与с不共线，则(ａ·ｂ)с≠（ｂ·с）ａ

评述：这一类型题，要求学生确实把握好数量积的定义、性质、运算律

例2 已知｜ａ｜＝３，｜ｂ｜＝６，当①ａ∥ｂ，②ａ⊥ｂ，③ａ与ｂ的夹角是60°时，分别求ａ·ｂ

解：①当ａ∥ｂ时，若ａ与ｂ同向，则它们的夹角θ＝０°，∴ａ·ｂ＝｜ａ｜·｜ｂ｜cos0°＝3×6×1＝18； 若ａ与ｂ反向，则它们的夹角θ＝180°，∴ａ·ｂ＝｜ａ｜｜ｂ｜cos180°＝3×6×（-1）＝－18； ②当ａ⊥ｂ时，它们的夹角θ＝90°，∴ａ·ｂ＝０；

③当ａ与ｂ的夹角是60°时，有

ａ·ｂ＝｜ａ｜｜ｂ｜cos60°＝3×6×

1＝9 2评述：两个向量的数量积与它们的夹角有关，其范围是［0°，180°］，因此，当ａ∥ｂ时，有0°或180°两种可能

四、课堂练习：

五、小结 通过本节学习，要求大家掌握平面向量的数量积的定义、重要性质、运算律，并能运用它们解决相关的问题

六、课后作业：

七、板书设计（略）

八、课后记及备用资料：

1概念辨析：正确理解向量夹角定义

对于两向量夹角的定义，两向量的夹角指从同一点出发的两个所构成的较小的非负角，因对向量夹角定义理解不清而造成解题错一些易见的错误，如：

1已知△ABC中，ａ＝５，ｂ＝８，Ｃ＝６０°，求BC·CA

对此题，有同学求解如下：

解：如图，∵｜BC｜＝ａ＝５，｜CA｜＝ｂ＝８，Ｃ＝６０°，∴BC·CA＝｜BC｜·｜CA｜cosＣ＝5×8cos60°＝20 分析：上述解答，乍看正确，但事实上确实有错误，原因就在于没能正确理解向量夹角的定义，即上例中BC与CA两向量的起点并不同，因此，Ｃ并不是它们的夹角，而正确的夹角应当是C的补角120°

2向量的数量积不满足结合律 分析：若有（ａ·ｂ）с＝ａ·（ｂ·с），设ａ、ｂ夹角为α，ｂ、с夹角为β，则(ａ·ｂ)

向量

误是с＝｜ａ｜·｜ｂ｜cosα·с，ａ·(ｂ·с)＝ａ·｜ｂ｜｜с｜cosβ

∴若ａ＝с，α＝β，则｜ａ｜＝｜с｜，进而有：（ａ·ｂ）с＝ａ·(ｂ·с)这是一种特殊情形，一般情况则不成立举反例如下：

已知｜ａ｜＝１，｜ｂ｜＝１，｜с｜＝2，ａ与ｂ夹角是60°，ｂ与с夹角是45°，则：

(ａ·ｂ)·с＝（｜ａ｜·｜ｂ｜cos60°）с＝

1с，2ａ·(ｂ·с)＝（｜ｂ｜·｜с｜cos45°）ａ＝ａ

而1с≠ａ，故（ａ·ｂ）·с≠ａ·（ｂ·с）2

第五篇：平面向量的数量积及其应用教学设计说明

平面向量的数量积及其应用设计立意及思路

平面向量在教材中独立成章，它既反映了现实世界的数量关系，又体现了几何图形的位置关系，具有代数形式和几何形式的“双重身份”，它将数和形有机地结合起来，是中学数学知识网络的一个“交汇点”，成为联系众多知识内容的媒介。特别是在处理解析几何的有关度量、角度、平行、垂直、共线等问题时，运用向量知识，可以使几何问题直观化、符号化、数量化，从而把“定性”研究推向“定量”研究。

由于向量具有“双重性”，所以，向量成为了“在知识网络交汇处设计试题”的很好载体。而在知识交汇点处命题，既是当今高考的热点，又是重点。从近几年高考试卷来看，对向量的考查除了直接考查平面向量外，还将向量与解析几何、向量与三角等内容相结合，以平面向量的相关知识为载体，以数形转化思想为主线，在知识网络交汇点处设计创新力度大，综合性强的问题。因此，研究向量与其它内容的综合运用，对培养学生的综合能力（尤其是培养学生从学科整体的高度解决问题的综合能力）和数学素养，把握高考命题趋势，都有着重要的意义。，本节课复习目标是在回顾和梳理基础知识的基础上，突出平面向量的数量与其他知识的综合运用，渗透用向量解决问题的思想方法，从而提高学生分析问题与综合运用知识解决问题的能力，使学生站在新的高度来认识和理解向量。在知识点4.平面向量数量积运算律的回顾中安排“思考讨论：abac,乙:bc,则 以及在双基训练3．甲：(ab)c与a(bc)是否相等?”甲是乙的什么条件的判断。目的是让学生通过通讨论和练习，深刻认识到向量数量积运算中“结合律”及“消去律”是不成立的。

例

1、是以平面向量的知识为平台，与三角函数的有关运算综合。第（1）小题目的是让学生理解并掌握体向量垂直问题的多种证明方法，常用的方法有三种，一是根据数量积的定义证明，二是利用数量积的坐标运算来证明，三是利用

向量运算的几何意义来证。第（2）小题目的是让学生掌握ab|a||b|，但反之不成立，并将向量相等问题转化为模相等问题，建立等量关系。

例2是函数的最值与向量综合问题，用两种方法建立函数关系式，体现向量具有代数形式和几何形式“双重性”，培养学生的综合应用能力。