03 第三节 数量积 向量积 混合积

第一篇：03 第三节 数量积 向量积 混合积

第三节 数量积 向量积 混合积

内容分布图示

★ 两向量的数量积

★ 数量积的运算 ★ 例

2★ 例5

★ 例3

★ 例

1★ 例4

★ 引例

★ 向量积的运算

★ 向量积的定义 ★ 例7

★ 例10

★ 混合积的几何意义

★ 例13

★ 例8

★ 例6

★ 例9

★ 向量的混合积

★ 例11

★ 例12

★ 内容小结

★ 课堂练习

★习题7-3

★ 返回

内容要点：

一、两向量的数量积：

定义1设有向量a、b，它们的夹角为，乘积|a||b|cos称为向量a与b的数量积（或称为内积、点积），记为ab，即

ab|a||b|cos.根据数量积的定义，可以推得：



（1）ab|b|Prjba|a|Prjab;（2）aa|a|;（3）设a、b为两非零向量，则 ab的充分必要条件是 ab0.2数量积满足下列运算规律：

（1）交换律

abba;

（2）分配律

（3）结合律 (ab)cacbc;(ab)(a)ba(b),（为实数）.二、两向量的向量积

定义2 若由向量a与b所确定的一个向量c满足下列条件：

（1）c的方向既垂直于a又垂直于b, c的指向按右手规则从a转向b来确定（图7-3-5）；

（2）c的模 |c||a||b|sin，(其中为a与b的夹角)，则称向量c为向量a与b的向量积（或称外积、叉积），记为

cab.根据向量积的定义，即可推得

（1）aa0；

（2）设a、b为两非零向量，则 a//b的充分必要条件是 ab0.向量积满足下列运算规律: （1）abba;

（2）分配律(ab)cacbc;

（3）结合律 (ab)(a)ba(b),（为实数）.三、向量的混合积 例题选讲：

两向量的数量积

例1(讲义例1)已知a{1,1,4},b{1,2,2}, 求 (1)ab;

(2)a与b的夹角;(3)a与b上的投影.例2 证明向量c与向量(ac)b(bc)a垂直.例3(讲义例2)试用向量方法证明三角形的余弦定理.例4(讲义例3)设a3b与7a5b垂直, a4b与7a2b垂直, 求a与b之间的夹角.例5(讲义例4)设液体流过平面S上面积为A的一个区域, 液体在这区域上各点处的流速均为(常向量)v.设n为垂直于S的单位向量(图7-3-3a), 计算单位时间内经过这区域流向n所指一方的液体的质量P(液体的密度为).两向量的向量积

例6(讲义例5)求与a3i2j4k,bij2k都垂直的单位向量.例7(讲义例6)在顶点为A(1,1,2),B(5,6,2)和C(1,3,1)的三角形中, 求AC边上的高BD.例8 设向量m,n,p两两垂直, 伏隔右手规则, 且

m4, n2, p3, 计算(mn)p.例9(讲义例7)设刚体以等角速度绕l轴旋转, 计算刚体上一点M的线速度.例10 利用向量积证明三角形正弦定理.向量的混合积

例11(讲义例8)已知(ab)c2, 计算[(ab)(bc)](ca).例12(讲义例9)已知空间内不在同一平面上的四点

A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),C(x3,y3,z3),D(x4,y4,z4)

求四面体的体积.例13 已知ai,bj2k,c2i2jk, 求一单位向量, 使c, 且与a,b此同时共面.课堂练习

1.已知向量a0,b0, 证明

2222|ab||a||b|(ab).2.已知a,b,c两两垂直, 且|a|1,|b|2,|c|3,求sabc的长度与它和a,b,c的夹角.

第二篇：两个向量的数量积（推荐）

8、《两个向量的数量积》说课稿

尊敬的各位评委老师：

大家好！今天我说课的内容是《两个向量的数量积》。现代教育理论指出学生是教学的主体，教师的教应本着从学生的认知规律出发、以学生活动为主线、在原有认知结构基础上、建构新的知识体系。本节课的教学设计中，我将此理念贯穿于整个教学过程中。下面就从教材分析、教学目标分析、重难点分析、教法分析、学法分析、教学设计、板书设计及教学评价等方面进行说明。

一、教材分析

《两个向量的数量积》是现行人教版高中数学第二册下第九章第5节的内容。在本节之前，同学们已经学习了空间向量的一些知识，包括空间向量的坐标运算、共线向量和共面向量、空间向量基本定律，这些知识是学习本节的基础。

向量概念的引入是数学学习的一个捷径，同时也引入了一种新的解决数学问题的方法：坐标法，同时也引入了一种新的数学思想：数形结合的思想。同时，两个向量之间的位置关系可以通过数量积来表示。因此，研究两个向量的数量积是高中数学的一个重点知识。

二、教学目标

根据上述教材结构与内容分析，考虑到学生已有的认知结构心理特征，制定如下教学目标：

1．基础知识目标：掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法，掌握两个向量数量积的概念、性质、计算方法及运算律；

2．能力训练目标：掌握两个向量数量积的主要用途，会用它解决立体几何中的一些简单问题。

3．个性品质目标：训练学生分析问题、解决问题的能力，了解数量积在实际问题中的初步应用。

4．创新素质目标：培养学生数形结合的思想。

三、重难点分析

教学的重点是两个向量数量积的计算方法及其应用，在此基础上应该让学生理解两个向量数量积的几何意义，这也就是本节课的难点。

下面，为了讲清重点、难点，使学生能达到本节设定的教学目标，我将从教法和学法上进行讲解。

四、教法

教学过程是教师和学生共同参与的过程，启发学生自主性学习，充分调动学生的积极性、主动性；有效地渗透数学思想方法，提高学生素质。根据这样的原则和所要完成的教学目标，并为激发学生的学习兴趣，采用采用引导式、讲练结合法进行讲解。

五、学法

教给学生方法比教给学生知识更重要，本节课注重调动学生积极思考、主动探索，尽可能地增加学生参与教学活动的时间和空间，我进行了以下学法指导：

(1)联想法：要求学生联想学过的向量知识，特别加深理解数学知识之间的相互渗透性。

1(2)观察分析法：让学生要学会观察问题，分析问题和解决问题新。

(3)练习巩固法：让学生知道数学重在运用，从而检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其差距。

下面，我将具体谈谈这堂课的教学过程。

六、教学程序及设想

七、板书设计

板书要基本体现整堂课的内容与方法，体现课堂进程，能简明扼要反映知识结构及其相互联系；能指导教师的教学进程、引导学生探索知识；同时不完全按课本上的呈现方式来编

排板书。即体现系统性、程序性、概括性、指导性、启发性、创造性的原则；（原则性）

以上就是我说课的内容，希望各位老师对本堂课的说课提出宝贵的意见。谢谢。

第三篇：向量的数量积教学设计

平面向量数量积的物理背景及其含义

教学过程

（一）创设情境、引入新课

如图所示，一物体在力F的作用下产生位移S，力F所做的功为多少？

【师生活动】由全体学生共同回答。然后教师提问学生功、位移、力各是什么量，由此引入向量“数量积”的概念。【结论】

（二）讲授新课

1、向量的数量积

2、数量积的几何意义

3、向量数量积的性质

4、向量数量积的运算律

古典概型

教材分析

本节课是高中数学3（必修）第三章概率的第二节古典概型的第一课时，是在学习随机事件的概率之后，几何概型之前，尚未学习排列组合的情况下教学的。古典概型是一种特殊的数学模型，也是一种最基本的概率模型，在概率论中占有相当重要的地位。

学好古典概型可以为其它概率的学习奠定基础，同时有利于理解概率的概念，有利于计算一些简单事件的概率，有利于解释生活中的一些现象与问题。学情分析

学生在初中阶段已经了解了频率与概率的关系，会计算一些简单等可能事件发生的概率，这为学习古典概型提供了一定的基础。教学目标

1.知识与技能：

(1)通过试验理解基本事件的概念和特点；

(2)通过具体实例分析，抽离出古典概型的两个基本特征，并推导出古典概型下的概率计算公式；

(3)会求一些简单的古典概率问题。

2.过程与方法：经历探究古典概型的过程，体验由特殊到一般的数学思想方法。

3.情感、态度与价值观：通过具有现实意义的实例，激发学习兴趣，培养勇于探索，善于发现的创新思想。教学重、难点

重点：理解古典概型的概念，利用古典概型求解随机事件的概率。难点：如何判断一个试验是否为古典概型，弄清在一个古典概型中基本事件的总数和某随机事件包含的基本事件的个数。教学过程

（一）创设情境、引入新课

有一本好书，两位同学都想看。甲同学提议掷硬币：正面向上甲先看，反面向上乙先看。乙同学提议掷骰子：三点以下甲先看，三点以上乙先看。这两种方法是否公平？

【师生活动】由全体学生共同回答。教师提出公平与否实质上是概率大小问题，切入本堂课主题——利用古典概型求随机事件的概率。

（二）温故知新

回顾前几节课对概率求取的方法。

【师生活动】由全体学生共同回答，进而教师提出这种求概率的方法的不足之处，提出建立概率模型的必要性。【结论】大量重复试验。

（三）讲授新课

1、基本事件

问题1：（1）抛掷一枚质地均匀的硬币，会有哪几种可能结果？

（2）抛掷一枚质地均匀的骰子，会有哪几种可能结果？

【师生活动】由全体学生共同回答。教师提出基本事件的概念。【结论】

定义：一次试验中可能出现的每一个结果称为一个基本事件。

问题2：掷一枚质地均匀的骰子

(1)在一次试验中，会同时出现“1点”和“2点”这两个基本事件吗？

(2)随机事件“出现点数小于3”与“出现点数大于3”包含哪几个基本事件？

问题3：掷一枚质地均匀的硬币

(1)在一次试验中，会同时出现“正面向上”和“反面向上”这两个基本事件吗？

(2)“必然事件”包含哪几个基本事件？

【师生活动】由全体学生共同回答。教师引导学生发现基本事件的共同特征。基本事件的特点：(1)任何两个基本事件是互斥的;

(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和。

2、古典概型

思考:从基本事件角度来看,上述两个试验有何共同特征？ 【师生活动】由个别学生回答，教师辅助讲解，引出古典概型的概念。古典概型的特征：

(1)试验中所有可能出现的基本事件的个数有限；(2)每个基本事件出现的可能性相等。思考：能否列举出一些生活实例是符合古典概型的特征的？

3、求解古典概型

思考:古典概型下,每个基本事件出现的概率是多少?随机事件出现的概率又如何计算？(1)基本事件的概率 试验1:掷硬币

P(“正面向上”）= P(“反面向上”）=1/2 试验2:掷骰子

P（“1点”）=P（“2点”）=P（“3点”）=P（“4点”）=P（“5点”）=P（“6点”）=1/6 【师生活动】由全体学生共同回答，教师板书。

【结论】古典概型中,若基本事件总数有n个,则每一个基本事件出现的概率为1/n。(2)随机事件的概率

掷骰子试验中，记事件A为“出现点数小于3”，事件B为“出现点数大于3”，如何求解P(A)与P(B)？

【结论】古典概型中,若基本事件总数有n个，A事件所包含的基本事件个数为m，则P（A）=m/n。

正弦函数、余弦函数的图象

一、教材分析

本节课是在学生掌握了单位圆中的正弦函数线和诱导公式的基础上进行的，不仅是对前面所学知识应用的考察，也是后续学习正、余弦函数性质的基础。对函数图像清晰而准确的掌握也为学生在解题实践中提供了有力的工具。本小节内容是三角函数的图象与性质，是本章知识的重点，有着承前启后的作用。

二、学情分析

知识上，通过高一对函数的学习，学生已经具备了一定的绘图技能，能够类比推理画出图像，并通过观察图像，总结性质。心理上，具备了一定的分辨能力、语言表达能力，初步形成了辩证的思维方法。

三、教学目标

（一）知识与技能

1、会用单位圆中的线段画出正弦函数的图象；

2、结合正弦函数的图像，会用诱导公式画出余弦函数的图象；

3、会用“五点法”画正、余弦函数的图象。

（二）过程与方法

1、通过将单位圆12等分，过各分点做垂线，得到对应于0、π/6...2π等角的正弦线，将其向右平移，得到函数y=sinx ,x[0,2]的图象；

2、根据诱导公式，以正弦函数的图象为基础，通过适当的图形变换得到余弦函数的图象；

3、通过先描关键的五个点，再用光滑的曲线将其连接起来，得到正余弦函数的图象。

（三）情感、态度与价值观

1、通过作函数图象，感受数形结合的思想；

2、通过各函数图象之间的关系，学会用联系的观点看问题。

四、教学重、难点

重点：用“五点法”画正弦曲线、余弦曲线。

难点：利用单位圆中的正弦线画出函数y=sinx ,x[0,2]的图象；

利用正弦曲线和诱导公式画出余弦曲线。

五、教学过程

（一）复习引入

1、如何画函数的图象？有什么方法

2、回顾一下三角函数线的概念。

【师生活动】对于这两个问题，可由个别学生回答，教师根据学生的回答进行板书，进而引出本节课的主题——绘制正余弦函数的图象。

（二）讲授新课

1、正弦函数的图象

（1）提问：1）一般怎样得到函数图象上点的两个坐标数据？

2）由于一般角的三角函数值都是近似值，作图不够精确，我们如何得到任意角的三角函数值并用线段长（或有向线段数值）表示x角的三角函数值。即如何在直角坐标系中准确的描出此点（x,sinx）？

【师生活动】问题1可由学生回答，学生可能会回答描点法，进而教师指出三角函数值都是近似值，作图不够精确，抛出问题2。对于问题2，教师可自问自答，指出可利用单位圆中的正弦线来准确描点。之后教师板书利用正弦线作正弦函数图象的过程。（2）利用正弦线作正弦函数的图象： 1）作直角坐标系，并在直角坐标系中y轴左侧画单位圆 2）把单位圆分成12等分（等分越多，画出的图象越精确），可分别在单位圆中作出对应于x的0，,„„ ,2 的正弦函数线。

3）找横坐标：把x轴上从0到2(2≈6.28)这一段分成12等分。4）找纵坐标：将正弦线对应平移，即可得到相应12个点。

5）连线：用平滑的曲线将12个点依次从左至右连接起来，即得y=sinx，x∈[0,2]的图像。使学生明白作图方法的来由。

2、余弦函数的图象

思考：能根据诱导公式，以正弦函数的图象为基础，通过适当的图形变换得到余弦函数的图象？

【师生活动】教师引导学生利用诱导公式将正余弦函数联系起来，可由个别学生回答。【结论】

3、五点法作图

（1）提问：利用正弦线作图确实比较精确，但不太实用，我们该如何快捷地画出正弦函数的图象呢？

追问：请同学们仔细观察：是否可看出，在函数y=sinx，x∈[0,2]的图象上，起关键作用的点只有五个：（哪五个？）

【师生活动】由全体学生共同回答，进而教师指出在精确度不高的情况下，常常先找出这五个关键点，然后用光滑曲线将它们连接起来，就可以得到函数的简图。【结论】

（2）提问：类似于正弦函数图象的五个关键点，能否找出余弦函数的五个关键点？作出简图。

【师生活动】由学生自主探索用五点法作图，教师可请一位学生上来板演，之后进行一定的讲解。

（三）例题讲解

两角差的余弦公式

教材分析

三角恒等变换处于三角函数与数学变换的结合点和交汇点上，是前面所学三角函数知识的继续与发展，是培养学生推理能力和运算能力的重要素材．两角差的余弦公式是《三角恒等变换》这一章的基础和出发点，公式的发现和证明是本节课的重点，也是难点。由于和与差内在的联系性与统一性，我们可以在获得其中一个公式的基础上，通过角的变换得到另一个公式．我们可以用“随机、自然进入”的方式选择其中的一个作为突破口．教材选择两角差的余弦公式作为基础，其基本出发点是使公式的证明过程尽量简洁明了，易于学生理解和掌握，同时也有利于提高学生运用向量解决相关问题的意识和能力．

教材没有直接给出两角差的余弦公式，而是分探求结果、证明结果两步进行探究，并从简单情况入手得出结果．这样的安排不仅使探究更加真实，也有利于学生学会探究、思维发展。教学过程

（一）创设情境、引入新课 问题1：我们知道cos3013，cos60，cos30又可写成cos(60-30)，那么

22cos(60-30)是不是就等于cos60-cos30呢？

【师生活动】可由教师直接在黑板上板书，与学生共同验证结论的错误，进而引出本节课所要探讨的两角差的余弦公式。

（二）讲授新课

两角差的余弦公式：cos(-)coscossinsin 思考：如何证明上述公式？

追问：求一个角的余弦值的最原始的方法是什么？

【师生活动】教师引导学生从单位元上的三角函数出发，在单位元中构造直角三角形和角α、β，将cos、cos、sin、sin表示出来，找出它们之间的等量关系。可先考虑简单的情形，即α、β是锐角的情况。【结论】通过单位元中的三角函数线。【证明】

提问：对于α、β是任意角的情况，如何将公式进行推广呢？

【师生活动】此项推广工作比较繁难，教师在课堂上可提示有兴趣的学生回去自行研究一下。提问：上个单元我们学习了向量的知识，在证明两角差的余弦公式时能否利用向量的知识来证明呢？

【师生活动】教师提示学生可在单位元中取两个向量，通过计算向量的数量积得到公式，但要提醒学生注意考虑角的范围，通过观察讨论搞清-2k。【证明】

正弦定理

一、教材分析

正弦定理选自《普通高中课程标准实验教科书·数学必修5（人教A版）》，主要学习正弦定理及其应用。本节课作为本章的起始课，既是初中解直角三角形的延拓，也是对三角函数和平面向量等知识在三角形中的运用。本节内容是解任意三角形的基础，同时为后续学习余弦定理打下了一定的基础。

二、学情分析

学生在初中已经学习了解直角三角形的内容，这为学习正弦定理打下了良好的基础。但本节内容涉及代数推理，定理的推导和证明中可能涉及多方面的知识方法，综合性强，因此学生在学习过程中难免会有困难。

四、教学重点、难点

教学重点： 1.正弦定理的推导.2.正弦定理的运用

教学难点：1.正弦定理的推导.2.正弦定理的运用.五、教学过程

（一）创设情境、引入新课

我们知道，在任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系，我们是否能得到这个边、角关系的准确量化呢？

【师生活动】教师指出在一个ABC中，如果已知。。，我们要研究。。由此，引出本节课的主题——正弦定理。

（二）讲授新课

1、特殊入手，探究证明

直角三角形中角与边的等式关系：

【师生活动】教师引导学生根据正弦函数的定义，得到三边与对应的角的正弦值的关系。【证明】

2、推广拓展，探究证明

锐角三角形中角与边的等式关系：

问题1：在锐角三角形ABC中，如何构造、表示 “a与sinA、b与sinB”的关系呢？ 追问：能否构造直角三角形，将问题化归为已知问题？

【学情预设】此处，学生可能出现以下答案情形。学生对直角三角形中证明定理的方法记忆犹新，可能通过以下两种方法构造直角三角形。

生1：过 C作BC边上的线CD，交BA的延长线于D，得到直角三角形DBC。生2：过A作BC边上的高线AD，化归为两个直角三角形问题。【师生活动】可由个别学生回答，教师根据学生的回答进行板书证明。【证明】

问题3：钝角三角形中如何推导正弦定理？

【师生活动】教师引导学生对于钝角三角形的情况，类别锐角三角形，构造直角三角形，留给学生课后回去思考。

3、正弦定理的理解 正弦定理：

问题4：定理从结构上看有什么特征？有哪些变形式？

【师生活动】教师引导学生观察定理的结构，用方程的观点看问题，每个方程含有四个量，知三求一。

【结论】（1）从结构看：各边与其对角的正弦严格对应，成正比例，体现了数学的和谐美。

（2）从方程的观点看：每个方程含有四个量，知三求一。从而知正弦定理的基本作用为：

① 已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边；

②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值。

余弦定理

教材分析

余弦定理是初中勾股定理的直接延拓，也是解任意三角形的基础，是三角函数和平面向量知识在三角形中的具体运用，具有广泛的应用价值。同时，它也是学习后续知识的基础。【学情分析】

学生已经会用正弦定理解决三角形相关问题，了解三角形边角之间存在着一定的数量关系，这为本节课的学习奠定了基础。对于正弦定理解决已知两边及夹角问题学生有一定的求知欲，这就促使学生去探索如何求解该类问题。

【教学重点】 余弦定理推导

【教学难点】 余弦定理推导及应用 教学过程

（一）创设情境、引入新课

如果已知一个三角形的两边及其所夹的角，根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形。怎样在这样的已知三角形的两边及其夹角的条件下解三角形呢？

【师生活动】教师引导学生先用数学符号表示上述问题：如果已知三角形的两边a，b和角C，如何解出c，B，A？先考虑怎样计算出c的大小。即要研究如何用已知的两条边及其所夹的角来表示第三条边的问题，由此引出本节课的主题——余弦定理。

（二）讲授新课

1、余弦定理

问题1：联系所学过的知识，从什么途径来解决上述问题呢？

【师生活动】由于涉及到边长问题，教师引导学生从向量的角度出发考虑，利用向量的数量积求解。【证明】 余弦定理：

2、余弦定理的推论 问题2：

【师生活动】教师引导学生将余弦定理进行变形，可以通过三边计算出三角形的三个角。【结论】

3、余弦定理和勾股定理的关系

问题3：余弦定理与以前的关于三角形的什么定理在形式上非常接近？

【师生活动】由个别学生回答，教师由此引进就三种不同情形探究两个定理之间的联系。【结论】

（三）例题讲解

等差数列

（一）创设情境、引入新课

情境1：在现实生活中，我们经常这样数数，从0开始，每隔5数一次，可以得到数列：0，5，10,15,20...情境2： 情境3 情境4：

思考：同学们观察一下上面的这四个数列： 0，5，10，15，20，„„ ① 48，53，58，63 ②

18，15.5，13，10.5，8，5.5 ③ 072，10 144，10 216，10 288，10 360 ④ 看这些数列有什么共同特点呢？

【师生活动】教师引导学生观察每个数列相邻两项之间的关系，由此引出等差数列的概念。【结论】

（二）讲授新课

1、等差数列的概念

问题1：对于以上几组数列我们称它们为等差数列。请同学们根据我们刚才分析等差数列的特征，尝试着给等差数列下个定义。

【师生活动】由个别学生回答，教师辅助讲解。【结论】

问题2：如果在与中间插入一个数A，使a，A，b成等差数列，那么A应满足什么条件？ 【师生活动】由个别学生回答，教师由此引入等差中项的概念。【结论】

2、等差数列的通项公式

问题3：对于以上的等差数列，我们能不能用通项公式将它们表示出来呢？

【师生活动】教师引导学生根据等差数列的定义，先得到相邻两项之间的关系，再将每一项用首项及公差表示出来，即可发现一定的规律，得到通项公式。【结论】

等差数列的前n项和

教材分析

等差数列的前n项和是数列与等差数列的概念的延续，是进一步学习数列知识的重要基础和有力工具。同时，它也为后续学习等比数列的前n项和打下了一定的基础，与数学中的函数、三角函数、不等式等都有密切的联系。

（一）创设情境、引入新课

等差数列在现实生活中比较常见，因此等差数列求和就成为我们在实际生活中经常遇到的问题。在200多年前，历史上最伟大的数学家之一，被誉为“数学王子”的高斯就曾经上演了迅速求出等差数列这么一出好戏。那时，高斯的数学老师提出了下面的问题：1+2+3+„„+100=？当时，当其他同学忙于把100个数逐项相加时，10岁的高斯却用下面的方法迅速算出了正确答案：（1+100）+（2+99）+„„+（50+51）=101×50=5050。高斯的算法解决了1+2+3+„„+n中前100项之和的问题。

【师生活动】教师通过讲述这个故事，因此本节课的主题——等差数列的前n项和，并让学生思考高斯的算法妙在哪里。

（二）讲授新课

问题1：能否尝试用高斯的方法计算出1+2+3+„„+n的结果？ 【师生活动】先由学生自主思考，再请个别学生回答，教师辅助讲解。【结论】

问题2：有没有更巧妙的方法呢？

【师生活动】教师指出数学家们从高斯那里受到启发，于是用下面的这个方法计算1，2，3，„，n，„的前n项的和：

由 1 + 2 + „ + n-1 + n n + n-1 +„ + 2 + 1（n+1）+（n+1）+ „ +（n+1）+（n+1）

可知

这种方法叫“倒序相加法”。

问题3：对于一般的等差数列求和，能否用倒序相加法来求解？

【师生活动】教师设出一个一般的等差数列，引导学生用倒序相加法求和，将Sn用两种方式表示出来，同样将两式相加，得到等差数列前n项和的公式。【推导过程】

问题4：如果不知道末项，如何求前n项和？

【师生活动】教师引导学生可利用等差数列的通项公式，将an用首项及公差表示，得到公式2。【结论】

等比数列的前n项和

一、教学内容分析

本节课选自《普通高中课程标准数学教科书·数学（5）》（人教版）第二章第5节第一课时。从在教材中的地位与作用来：看《等比数列的前n项和》是数列这一章中的一个重要内容，它不仅在现实生活中有着广泛的实际应用，如储蓄、分期付款的有关计算等等，而且公式推导过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法，都是学生今后学习和工作中必备的数学素养。学情分析

从学生的思维特点看，很容易把本节内容与等差数列前n项和从公式的形成、特点等方面进行类比，这是积极因素，应因势利导。不利因素是：本节公式的推导与等差数列前n项和公式的推导有着本质的不同，这对学生的思维是一个突破，另外，对于q = 1这一特殊情况，学生往往容易忽视，尤其是在后面使用的过程中容易出错。教学对象是刚进入高中的学生，虽然具有一定的分析问题和解决问题的能力，逻辑思维能力也初步形成，但由于年龄的原因，思维尽管活跃、敏捷，却缺乏冷静、深刻，因此片面、不严谨。教学过程

（三）创设情境、引入新课

国际象棋起源于古代印度。相传国王要奖赏国际象棋的发明者，问他想要什么。发明者说：请在棋盘的第一个格子里放上1颗麦粒，第2个格子里放上2颗麦粒，第三格放4粒，往后每一格都是前一格的两倍，直至第64格。国王令宫廷数学家计算，结果出来后，国王大吃一惊。为什么呢？

【师生活动】教师引导学生将各格所放的麦粒数看成一个数列，可得到一个等比数列。该问题即是求这个等比数列前64项的和。提问：如何对上式进行求解呢？

【师生活动】教师引导学生对上式进行观察，进而发现后一项均是前一项的2倍，用2乘以上式，得到一个新的式子，再引导学生观察两个式子的关系，将两式相减，从而得到最终结果。【求解过程】

（四）讲授新课

问题1：对于一般的等比数列。，它的前n项和是。。，如何求前n项和呢？ 【师生活动】教师引导学生类比求麦粒的过程，自主探究等比数列的前n项和的公式，可请个别学生上来板演。【推导过程】 【注意点】q1

问题2：如果不知道数列总共有多少项，如何求第一项至最后一项的总和？

【师生活动】教师引导学生如果不知道n具体为多少时，该如何求解前n项和，引导学生回顾。，可将公式进行变化得到另一公式。【结论】

问题3：若q=1，则是什么数列？

【师生活动】由全体学生共同回答，教师进行板书，将特殊情况罗列出来。【结论】常数数列。

平行线的判定

1、教材分析

图形的判定与图形的性质，是研究图形时必须要解决的两类问题，判定两条直线平行，是指根据直线具备的某个条件，就可以得到这两条直线平行的结论。而性质是一种事物区别于其它事物的根本属性。研究平行线的性质，平行线是已知的前提条件。因此二者的不同之处在于平行线是条件还是结论。教科书通过学生已学过的平行线的画法中，有同位角相等画出的两直线就平行这一数学事实，得出“同位角相等，两直线平行”的判定方法。这一方法是判定两直线平行的基本方法，利用这一方法，通过对顶角和邻补角关系分别推出平行线的另外两种判定方法。教科书p36上端提出的问题可用反证法的思想加以说明。假设CD与EF不平行，那么CD与EF相交，设交点为O，那么过O点就可画两条直线与AB平行，这与“经过直线外一点能画并且只能画一条直线与已知直线平行”的已知事实矛盾，所以CD∥EF。在平行线判定的教学中，应充分体现一条主线索：“充分实验—仔细观察—形成猜想—实践检验—明确条件和结论．”

2、学生分析

以前学生接触的是一步推理，而且因果关系比较明显。判定定理的推导需要先通过角的关系，找符合判定公理的条件，涉及两步推理，学生需要思考的问题复杂了一些，可能一时适应不了问题的思考方法。教学时注意引导，随时归纳总给使学生逐渐学会思考和分析。根据以前经验，多数学生能积极思考、探究，敢于发表自己的见解；在前面的教学中，曾开展过探究实践活动，全班同学具有初步的小组合作交流的经验。

3、学习目标

知识与技能目标：经历观察、操作、推理、交流等活动，探索并掌握平行线的三个判定方法，并会正确识别图中的同位角、内错角和同旁内角。

能力与方法目标：经历探索直线平行的条件的过程，发展空间观念和有条理的表达能力。

情感与态度目标：在自己独立思考的基础上，积极参与小组活动对直线平行条件的讨论，敢于表达自已的观点，并从中受益。

重点难点分析：本节的重点是：平行线的判定公理及两个判定定理．一般的定义与第一个判定定理是等价的．都可以做判定的方法．但平行线的定义不好用来判定两直线相交还是不相交．这样，有必要借助两条直线被第三条直线截成的角来判定．因此，这一个判定公理和两个判定定理就显得尤为重要了．它们是判断两直线平行的依据，也为下一节，学习习近平行线的性质打下了基础．本节内容的难点是：理解由判定公理推出判定定理的过程．学生刚刚接触演绎推理方法，对几何说理还不太理解．有些同学甚至认为从直观图形即可辨认出的性质，没必要再进行证明．这些都使几何的入门教学困难重重．因此，教学中要有直观的演示和操作，也要有严格推理板书示范．创设情境，不断渗透，使学生初步理解说理的步骤和基本方法．

勾股定理

教材分析：

这节课是九年制义务教育初级中学教材浙教版八年级第二章第六节《探索勾股定理》第一课时，勾股定理是几何中几个重要定理之一，它揭示的是直角三角形中三边的数量关系。它在数学的发展中起到重要的作用，在现时世界中也有着广泛的作用。学生通过对勾股定理的学习，可以在原有的基础上对直角三角形有进一步的认识和理解。

学情分析

八年级学生已经具有了一定的几何图形的观察能力，同时他们的抽象思维能力、逻辑推理能力也有了一定的发展。学生已经学过了三角形，全等三角形，等腰三角形以及简单多边形的相关性质，对本节课的学习有很大帮助。本节内容思维量较大，对思维的严谨、归纳推理等能力有较高要求，学生学习起来有一定难度。

多边形的内角和

一、教材分析：

从教材的编排上，本节课作为第三章的第三节。从三角形的内角和到四边形的内角和至多边形的内角和，环环相扣。同时，对今后学习的镶嵌，正多边形和圆等都是非常重要的。知识的联系性比较强。因此，本节课具在承上启下的作用，符合学生的认知规律。再从本节的教学理念看，编者从简单的几何图形入手，蕴含了把复杂问题转化为简单问题，化未知为已知的思想。充分体现了人人学有价值的数学，这一新课程标准精神。

二、学情分析：

学生刚学完三角形的内角和，对内角和的问题有了一定的认识，加上七年级的学生具有好奇心，求知欲强，互相评价，互相提问的积极性高。因此对于学习本节课内容的知识条件已经成熟。学生参加探索活动的热情已经具备。因此把这节课设计成一节探索活动课是必要的。

三、教学目标的确定：

新课程标准注重教学内容与现实生活的联系，注重学生经历观察、操作、推理、想像等探索过程。根据学生现有的知识水平，依据课程标准的要求，我确定了以下的教学目标。

知识技能：掌握多边形的内角和公式

数学思考：

1、通过动手实践，自主探索，交流互 动，能够将多边形的问题转化为三角形的问题。从而深刻理解多边形的内角和，并会加以应用。

2、通过活动，发展学生的合情推理能力，积累数学活动经验，在探索中学会交流自己的思想和方法。

3、通过探索多边形内角和公式，让学生逐步从实验几何过渡到论证几何。

解决问题：通过探索多边形的内角和公式，使学生尝试从不同的角度寻求解决问题的方法并能有效的解决问题。

情感态度：让学生体验猜想得到证实的成功喜悦和成就感。在解题中感受数学就在我们身边。

四、重难点的确立：

既然是多边形内角和具有承上启下的作用。因此确定本节课的重点是探究多边形的内角和的公式。由于七年级学生初学几何，所以学生在几何的逻辑推理上感到有难度。所以我确定本节课的难点是探究多边形内角和公式推导的基本思想，而解决问题的关键是教师恰当的引导。

对数的概念

一、教材分析

本节课选自《普通高中课程标准实验教科书·数学必修一（人教A版）》第二章2.2.1，主要学习对数的概念及其运算。对数与对数运算是学生在学习了指数与指数幂后的又一重要运算，对数与指数的互化是对指数函数及其性质的巩固，也是后续学习对数函数的基础。因此，本节课起着承上启下的重要作用。

二、学情分析

本节内容面向高一学生，学生在此之前已经学习了指数与指数幂的运算及指数函数，而对数是由指数转化过来的，所以前面的学习为本节课的学习做了一定的铺垫。学生已经初步具备运用所学知识解决问题的能力，但本节内容的学习对学生的迁移转化能力有较高的要求。因此，教师要加以一定的指导。

三、教学目标

四、教学过程

（一）创设情境、引入新课

根据上一节的例8我们能从中，算出任意一个年头x的人口总数，那么哪一年的人口达到18亿，20亿，30亿？

【师生活动】由学生根据问题得出计算公式，进而教师引导学生观察3个式子，都是已知底数和幂的值，求指数。由此，教师引出本节课所要学习的对数问题。

（二）讲授新课

1、对数的定义

一般地。。

思考：利用对数写出上述3个问题的答案。

【师生活动】全体学生共同回答，教师根据学生的回答板书，帮助学生掌握对数的概念。【结论】

提问：为什么对数的定义中要求a>0且不等于1？

2、两个重要的对数

3、对数与指数间的关系

4、对数的性质

提问：是否所有实数都有对数？

【师生活动】教师引导学生将对数式先转化为指数式，再进行思考。【结论】

（三）课堂例题

直线的倾斜角与斜率

教材分析

本节内容选自《普通高中课程标准实验教科书·数学必修2（人教A版）》第三章3.1，主要学习直线的倾斜角与斜率。直线的倾斜角与斜率是解析几何的重要概念之一，是刻画直线倾斜程度的几何要素与代数表示，是平面直角坐标系内以坐标法的方式来研究直线及其几何性质的基础。本节课是第三章的第一节，该节是学生学习用坐标法研究图形，研究几何问题的初步知识，这些知识是初步渗透解析几何的基本思想和基本研究方法。本节也是后续学习直线的方程、圆锥曲线的基础。学情分析

学生在初中已经学习了一次函数，对直线的表示有一定的了解，这为本节内容的学习打下了一定的基础。由于这是学生第一次接触直线的倾斜角和斜率，对于两者之间的转换也有一定的难度，对学生的问题探究能力也有一定的要求。因此，在课堂中要让学生好好理解直线的倾斜角与斜率的概念。教学过程

（一）创设情境、引入新课

在平面直角坐标系中，点用坐标表示，直线如何表示呢？

（二）讲授新课

问题1：对于平面直角坐标系内的一条直线l，它的位置由哪些条件确定呢？ 【师生活动】教师引导学生发现两点可以确定一条直线，一点不能确定一条直线。问题2：如图，在直角坐标系中，过点P的不同直线的区别在哪里？ 【师生活动】教师引导学生发现过定点的不同直线，其倾斜程度不同。

圆的标准方程

教材分析

本节内容选自《普通高中课程标准实验教科书·数学必修2（人教A版）》第四章4.1.1，主要学习圆的标准方程。圆作为常见的简单几何图形，在实际生活和生产实践中有着广泛的应用。圆的方程属于解析几何学的基础知识，是研究二次曲线的开始，是后续学习直线与圆的位置关系、圆锥曲线等内容的基础。学情分析

学生在初中阶段已经学习了圆的概念和基本性质，在前一阶段的学习中又掌握了求直线方程的一般方法，为本节的学习打下了一定的基础。但由于学生以往更注重从几何的角度理解圆的性质，而且学习解析几何的时间还不长，尚未牢固建立数形结合的思想，对坐标法的运用还不够熟练，在学习过程中难免会出现困难。教学过程

（一）创设情境、引入新课

在初中，我们已经学习了圆的定义，圆是怎么定义的呢？确定一个圆需要哪些条件？ 【师生活动】教师引导学生回顾圆的定义，让学生明确确定一个圆的几何要素是半径和圆心。

（二）讲授新课

问题1：在平面直角坐标系中，圆心在原点，半径为r的圆如何表示呢？

【师生活动】教师引导学生利用圆的定义，设出圆上的任意点的坐标，利用圆上的任意点到圆心的距离等于半径的关系求出圆的方程。【结论】

问题2：在平面直角坐标系中，如果圆心不在原点，圆的方程应该如何表示呢？ 【师生活动】 【结论】

直线与平面平行的判定

教材分析

本节内容。。本节课是在前面学习点、线、面的位置关系基础上，进一步研究直线与平面的位置关系。平行关系是本章的重要内容，线面平行是平行关系的初步，也是面面平行判定的基础，还映射着线面垂直的关系。学情分析

学生通过对点、线、面位置关系的学习，初步理解了空间中点、线、面的位置关系，基本熟悉了直观感知、操作确认这一研究方法，但对学生的空间想象能力有一定的要求。

a，b，且a//ba//.证明：由a得

a//或者aA.下证aA不可能.若aA，由a//b，b，得

Ab.则过点A做c//b，则a//c.又acA，矛盾.a//.

第四篇：平面向量的数量积教案

2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角

教学目标：

1、知识目标:推导并掌握平面向量数量积的坐标表达式，会利用数量积求解向量的模、夹角及判定垂直等问题.2、能力目标:通过自主互助探究式学习,培养学生的自学能力,启发学生用多角度去思考和解决问题的能力,促进学生对知识的掌握和灵活运用.3、情感目标:通过自主学习,增强学生的成就感,提高学生学习的积极性和自信心.教学重点:利用数量积的坐标表示解决模、夹角、垂直等问题.教学难点:平面向量数量积的坐标表达式的推导.教法:启发式教学,讲练结合 学法:自主互助探究式 教学用具:多媒体 教学过程设计:

一、复习引入

(教师提问,学生回答)

二、知识探究

1.平面向量数量积的坐标表示

b(x,y)abx1x2y1y2 a(x,y)已知非零向量,22,则11(找学生到黑板上推导)结论:两个向量数量积等于它们对应坐标的乘积的和.思考:向量数量积的坐标表示与前面所学的向量的坐标运算有什么联系和区别?

(学生讨论回答,教师归纳)例

1.已知a(2,3),b(2,4),c(1,2),求: (1)ab;(2)a(bc);(3)

(ab)(ab);(4)2(ab).(教师讲前两问,学生做后两问)

2.平面向量数量积的应用

(1)求模问题:

(让学生自己推导)i)a(x,y),axy22.(x2x1)(y2y1)22ii)A(x,y1),B(x2,y2)1,AB(平面上两点间距离公式).a1iii)求a的单位向量e,eaaa,其中e1.例2.(1)已知a(3,4),e是a的单位向量,求a,e.(2)已知A(1,2),B(3,4),求

巩固练习:P107练习1 已知a(3,4),b(5,2),求aAB.,b,ab

(2)判定向量的垂直关系:(让学生自己推导)abab0x1x2y1y20

a//bx1y2x2y10

(对比记忆)例3.已知A(1,2),B(2,3),C(-2,5),试判断ABC的形状,并给出证明.(3)求向量的夹角:(让学生自己推导)思考:i)的范围?

ii)由cos能确定吗?为什么?

(找学生回答)例4.巩固练习.P107 练习3

已知a(3,2),b(5,7),求a与b设a(5,7),b(6,4),求ababcosabx1x2y1y2xy2121xy222

2及a与b的夹角(精确到1).0的夹角(精确到1).0

思考:不使用计算器,结合上面的例题,能求出的值吗?(找学生回答)

三、能力提升

已知a(cos,sin),b(cos,sin),证明

(ab)(ab).四、小结

这节课咱们一起学习了: 1.平面向量数量积的坐标表示 2.平面向量数量积的应用(1)求模;(2)判定垂直;(3)求夹角.希望大家在掌握的基础上加以灵活应用.五、作业

P108 A组5(1),(2),(3)任选一个、9、11.六、课后探索题: 已知a(2,1),b(x,1)

(1)若a与b(2)若a与b(3)若a与b的夹角为45,则实数x的值是_____;

0的夹角为锐角,则实数x的取值范围是_____;的夹角为钝角,则实数x的取值范围是_____.

第五篇：12022-向量数量积的运算律

向量数量积的运算律

制作人：张明娟审核人：叶付国使用时间：2012-5-8编号：12022 学习目标：

1、掌握平面向量数量积的运算律及其运算；

2、通过向量数量积分配律的学习，体会类比、猜想、证明的探索性学习方法；

3、通过解题实践，体会向量数量积的运算方法.学习重点：向量数量积的运算律及其应用.学习难点：向量数量积分配律的证明.重点知识回顾：

1、两个向量的夹角的范围是：；

2、向量在轴上的正射影

正射影的数量为；



3、向量的数量积（内积）：a·b=；

4、两个向量的数量积的性质：

（1）ab；

（2）aaa

（3）cos=；

向量数量积的运算律

1（）abba;

(2)(

(3)(aa)ba(b)(ab)ab;b)cacbc平面向量数量积的常用公式

(1)(a

2(2)(ab)(a

证明：（1）

（2）

b)a2abbb)ab22

典例剖析：

例

1、已知a=6，b=4，a与b的夹角为600，求：（1）b在a方向上的投影；

（2）a在b方向上的投影；

（3）a 2ba3b

例02、已知a与b的夹角为120，a=2，b=3，求：（）ab；（2）a

b；（3）（2a

1（4

5 b）（a3b）

1,a与b夹角为120，问t取何值0

t

例

a3、已知=3，b=4，（且a与b不共线），当且仅当k为何值时，向量akb与akb 互相垂直？

变式：已知a=1, b=2, a与ab垂直.求a与b的夹角.练习题:求证菱形的对角线互相垂直.例

04、已知a=2，b=4，a,b120，求a与ab的夹角.课堂小结：

跟踪练习：

1、下列运算不正确的是（）

A.abcabcB.abcacbc

C.mabmambD.abcabc

2、设e、e，则2e

12是两个单位向量，它们的夹角为6001e23e12e2（A.99

2B.2C.8D.83、已知a7, b7，ab7，则a与b的夹角为（）；

4、已知：向量a与b的夹角为1200，且a4，b2，求：

（1）ab；（2）3a4b；（3）aba2b）