2.3.1 向量数量积的物理背景及定义（共5篇）

第一篇：2.3.1 向量数量积的物理背景及定义

学案55必修四2.3.1 向量数量积的物理背景与定义姓名________________备课人：张华张晓梅审核人：王志祥

一、学习目标

1.记住向量的夹角，向量在轴上的正射影及向量的数量积定义；

2.会求向量在轴l上的正射影的数量，会利用定义求向量的数量积，两向量的夹角；会证明向量的数量积的性质。

二、自主学习：阅读课本107-109页，回答问题

问题1：给出以下向量a,b，作出a,

b



（1）a（2）b

b

（3）a（4）

abb

两个非零向量，夹角的范围为。问题2：已知向量a和轴l，作出向量

a在轴l上的正摄影，并证明a

lacos

a

l

问题3：a·b=________，由定义回答下列问题：

（1）a

b是向量还是实数？

（2）当a，b同向时，a,

b 此时a·b。

（3）当，反向时，a,b

此时·。

（4）当时，a,

b，此时·。

（5）证明向量内积的性质（1）--（5）

问题4 ：（1）已知a5,b4,a,b120,求ab

（2）已知ab5,ab10,求a,b

三、当堂练习

1、已知向量a、b，实数λ，则下列各式中计算结果为向量的有。

①＋②－③λ④·⑤· ⑥(a·b)·c⑦0·a

2.判断下列各题正确与否，并说明理由。

（1）若，则对任意向量，有·；（）（2）若，则对任意向量，有·0；（）（3）若，·0，则；（）

（4）若·0，则，中至少有一个为零；（）

（5）对任意向量a，有a2

||2；（）（6）|a·b|≤|a||b|。

3.已知OA8,OA,l135,则OA（）

在轴l上的正射影的数量为_________

4.设||=12，||=9，·=－542，则与的夹角



5.在ABC中，||=3, ||=4, ∠C=30°，则

·=______________。

6.在ABC中，AB=, =，且·>0，则ABC是 三角形。

7.在ABC中，已知|AB|=|AC|=4，且AB·AC=8，则这个三角形的形状为_________

8.在ABC中，三边长均为1，且=，=，=，求·+·+·的值。

第二篇：平面向量的数量积的物理背景及其含义教学反思

1.1 教材的地位与作用

本节课是在学生学习了向量的概念和向量的加法、减法、数乘向量等线性运算的基础上，探索向量的又一种新的运算，它既是前面所学知识和方法的延续，又是后继学习解三角形、解析几何以及空间向量等内容的基础，因此本节内容具有承上启下的重要作用.1.2 学情分析

（1）学生已经学习了任意角的三角函数、向量的概念和线性运算等知识.（2）学生对向量的物理背景有了一定的了解.如：力、位移、速度的合成与分解，力做功的有关知识.（3）学生已经具备了一定的数学建模能力，能从简单的物理背景及生活背景抽象出数学概念.2 教学目标分析

依据课程标准和以上分析，制定本节课的三维目标如下：

知识与技能目标

通过物理中“功”的实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义，掌握平面向量数量积的性质.过程与方法目标

经历从物理背景的分析，抽象概括出概念的过程，培养学生归纳概括，类比迁移的能力；经历通过不同的方式探究、发现平面向量数量积性质的过程，体会从特殊到一般、分类讨论、数形结合的数学思想方法.情感、态度、价值观目标

通过师生互动，生生互动的教学活动过程，形成学生的体验性认识，体会各学科之间的密切联系，感受知识的形成过程，提高数学学习的兴趣，形成独立自主的钻研精神和合作交流的科学态度.3 重点、难点分析

根据教学目标以及学情分析，确定本节课的教学重点、难点.重点：平面向量数量积的概念和性质.难点：向量在轴上的正射影的概念的理解和平面向量数量积的性质的发现.在教学中，注意遵循学生的认知规律.从学生感兴趣的物理实例入手，通过层层分析，形成数量积的概念，并经历概念辨析、深化理解、学以致用等过程，来突出重点.通过练习和探究问题的设计，将五个性质分散开来，通过课件动画、问题引领、自主探究、合作交流等手段，从理性认识到实践练习，再到应用，使性质自然呈现，既突出了重点，又突破了难点.教学策略分析

基于数量积的知识特点及学生的认知规律，采用启发式和问题探究相结合的教学方法.著名数学教育家波利亚指出：“学习任何东西，最好的途径是自己去发现”.因此，指导学生采用发现式学习法.在课堂上坚持以教师为主导，学生为主体，以抽象类比与问题探究为主线.同时，为了有效实现教学目标，采用多媒体和自编学案辅助教学.5 教学过程分析

本节课的教学流程如下：

具体分析如下：

5.1 创设情境 展示背景

教师录像展示“大力士拉车”的情境实例，提出物理问题.问题1 大力士拉车，沿着绳子方向上的力为F，车移动的位移是s，力和位移的夹角为θ，大力士所做的功为多少？

设计意图 从学生已有的认知水平出发，通过熟悉的生活实例，创设数量积的物理背景，激发学生的学习热情.5.2 分析背景 形成概念

该环节，依据本套教材的特点，以物理背景作为总的抓手，通过抽象、概括、归纳，形成了两个向量的夹角、向量在轴上的正射影和向量的数量积定义三个概念.第一步：背景的初次分析

问题2 决定功的大小的量有哪几个？它们是标量还是矢量？当力和位移的大小一定时，功的大小取决于那个量？

问题3 这个夹角抽象到我们数学中，就是今天我们要学习的两个向量的夹角，把力F、位移s换作数学中任意两个非零向量a与b，你能尝试着给出向量a与b夹角的概念吗？

设计意图 通过力做功的几个因素的分析，突出夹角在做功中的作用，形成两个向量夹角的概念.1.两个向量的夹角

已知非零向量a与b，作OA=a，OB=b，则∠AOB称作向量a与b的夹角，记作：〈a，b〉.问题4 下面几种情形中（锐角、钝角、直角、共线同向、共线反向），两向量的夹角分别是什么角？

设计意图 通过几种类型的夹角的给出，让学生直观感知夹角的范围，帮助学生理解夹角范围规定的合理性.规定： 0≤〈a，b〉≤π，且〈a，b〉=〈b，a〉.特别的：当〈a，b〉=π2时，叫做a与b垂直，记作a⊥b；

两向量的垂直符号同几何中的垂直符号是一致的.问题5 请回顾：0的方向是怎样规定的？

规定：0与任意向量垂直.前面曾规定：0与任意向量平行.设计意图 概念呈现后，注意与前面所学知识进行对比，便于学生理解，记忆.图

1练习： 如图1，正△ABC中，求

（1）AC与AB的夹角；

（2）AB与BC的夹角.注：确定两向量的夹角的关键是：通过平移使两向量共起点.设计意图 及时巩固所学概念，强调确定两向量夹角的一般方法.第二步：背景的再次分析

问题6 真正使汽车前进的力是什么？它的大小是多少？

设计意图 让学生借助已有的认知经验，类比物理背景中拉力F在位移方向上的分力，它的大小是Fcos θ，自然引出向量在轴上的正射影及其数量的概念.从特殊到一般，符合学生的认知规律，突破难点.2.向量在轴上的正射影

已知向量a和轴l，作OA=a，过点O、A分别作轴l的垂线，垂足分别为O1、A1，则向量O1A1叫做向量a在轴l上的正射影（简称射影）.向量在轴上的正射影的数量

该射影在轴l上的坐标，称作a在轴l上的数量或在轴l的方向上的数量.OA=a在轴l上正射影的坐标记作： al，若向量a的方向与轴l的正向所成的角为θ，则al=|a|cos θ.问题7 向量在轴上的正射影与向量在轴上的正射影的数量有什么区别？

问题8 向量在轴上的正射影的数量一定是正实数吗？

注： a在轴l上的正射影的数量是个实数，可正、可负、可为零.向量a在b方向上的正射影及数量

如果向量b在轴l上且与轴同向，那么，向量O1A1叫做向量a在向量b方向上的正射影，它的数量是acos.设计意图 让学生理解正射影及其数量的含义，并引申出向量a在向量b方向上的正射影及其数量，为数量积的概念的学习做准备

第三篇：平面向量数量积的物理背景及其含义教学设计

平面向量数量积的物理背景及其含义

一、教学设计

平面向量的数量积是继向量的线性运算之后的又一重要运算，也是高中数学的一个重要概念，在数学、物理等学科中应用十分广泛。本节内容教材共安排两课时，其中第一课时主要研究数量积的概念，第二课时主要研究数量积的坐标运算，本节课是第一课时。本节课的主要学习任务是通过物理中“功”的事例抽象出平面向量数量积的概念，在此基础上探究数量积的性质与运算律，使学生体会类比的思想方法，进一步培养学生的抽象概括和推理论证的能力。其中数量积的概念既是对物理背景的抽象，又是研究性质和运算律的基础。同时也因为在这个概念中，既有长度又有角度，既有形又有数，是代数、几何与三角的最佳结合点，不仅应用广泛，而且很好的体现了数形结合的数学思想，使得数量积的概念成为本节课的核心概念，自然也是本节课教学的重点。

二、教学目标

1知识与技能：阐明平面向量的数量积及其几何意义.会算一个向量在另一个上投影的概念，运用平面向量数量积的性质、运算律和几何意义.2过程与方法：以物体受力做功为背景引入向量数量积的概念，从数与形两方面引导学生对向量数量积定义进行探究，通过作图分析，使学生明确向量的数量积与数的乘法的联系与区别。

3情感态度与价值观：由具体的功的概念到向量的数量积，再到共线、垂直时的数量积，使学生学习从特殊到一般，再由一般到特殊的认知规律，体会数形结合思想，类比思想，体验法则学习研究的过程，培养学生学习数学的兴趣及良好的学习习惯。

三、学情分析

学生在学习本节内容之前，已熟知了实数的运算体系，掌握了向量的概念及其线性运算，具备了功等物理知识，并且初步体会了研究向量运算的一般方法：即先由特殊模型（主要是物理模型）抽象出概念，然后再从概念出发，在与实数运算类比的基础上研究性质和运算律。这为学生学习数量积做了很好的铺垫，使学生倍感亲切。但也正是这些干扰了学生对数量积概念的理解，一方面，相对于线性运算而言，数量积的结果发生了本质的变化，两个有形有数的向量经过数量积运算后，形却消失了，学生对这一点是很难接受的；另一方面，由于受实数乘法运算的影响，也会造成学生对数量积理解上的偏差，特别是对性质和运算律的理解。因而本节课教学的难点数量积的概念。

四、教学重难点

1、重点：平面向量数量积的定义。

2、难点：平面向量数量积的定义的理解。

五、教学准备

1、实验教具：计算机、黑板、粉笔

2、教学支持资源：制作高效实用的电脑多媒体课件，主要作用是改变相关内容的呈现方式，以此来节约课时，增加课堂容量。

六、教学导图

七、教学过程

（I）创设情境，引入课题（4min）

【问题】：如图所示，一辆小车，在力F的作用下，从A处到B处拉动的位移为S，那么请问力F在这个运动过程中所做的功？（1）力F所做的功W=。

（2）请同学们分析公式的特点：W（功）是

量，F（力）是

量，S（位移）是 量，α是。

(3)师生共同探讨矢量乘矢量以及引出向量乘以向量。

【设计意图】设计意图在于使学生了解数量积的物理背景，让学生知道，我们研究数量积绝不仅仅是为了数学自身的完善，而是有其客观背景和现实意义的，从而产生了进一步研究这种新运算的愿望。同时，也为抽象数量积的概念做好铺垫。

（II）步步探索，形成概念（20min）

1、概念的明晰

已知两个非零向量a 与b，它们的夹角为θ，我们把数量 ︱a︱·︱b︱cosθ 叫做 a与 b的数量积（或内积），记作：a ·b

【学生思考】：在平面向量的数量积定义中，它与两个向量的加减法有什么本质区别？ 【问题1】：向量的数量积运算与线性运算的结果有什么不同？影响数量积大小的因素有哪些？

【问题2】：数量积的几何意义是什么？ 并在此对向量积投影的讲解。

2、研究数量积的物理意义

数量积的概念是由物理中功的概念引出的，学习了数量积的概念后，学生就会明白功的数学本质就是力与位移的数量积。

【问题3】：请同学们用一句话来概括功的数学本质：功是力与位移的数量积。

【设计意图】：这样做不仅让学生从“形”的角度重新认识数量积的概念，从中体会数量积与向量投影的关系，同时也更符合知识的连贯性，而且也节约了课时。好铺垫。

我设计问题 一方面使学生尝试计算数量积，另一方面使学生理解数量积的物理意义，同时也为数量积的性质埋下伏笔。

4、性质的发现

教材中关于数量积的三条性质是以探究的形式出现的，为了很好地完成这一探究活动，在完成上述练习后，我不失时机地提出： 【问题4】：比较︱ a·b ︱与︱a ︱×︱b ︱的大小，你有什么结论？ 在学生讨论交流的基础上，教师进一步明晰数量积的性质，然后再由学生利用数量积的定义给予证明，完成探究活动。

5、明晰数量积的性质

【设计意图】：体现了教师只是教学活动的引领者，而学生才是学习活动的主体，让学生成为学习的研究者，不断地体验到成功的喜悦，激发学生参与学习活动的热情，不仅使学生获得了知识，更培养了学生由特殊到一般的思维品质.6、运算律的发现

关于运算律，教材仍然是以探究的形式出现，为此，首先提出问题9 【问题5】：我们学过了实数乘法的哪些运算律？这些运算律对向量是否也适用？ 学生可能会提出以下猜测： 猜测①的正确性是显而易见的。

关于猜测②的正确性，我提示学生思考下面的问题： 猜测②的左右两边的结果各是什么？它们一定相等吗？ 学生通过讨论不难发现，猜测②是不正确的。

这时教师在肯定猜测③的基础上明晰数量积的运算律：

9、明晰数量积的运算律

10、证明运算律

学生独立证明运算律（2）师生共同证明运算律（3）

运算律（3）的证明对学生来说是比较困难的，为了节约课时，这个证明由师生共同完成，我想这也是教材的本意。

【设计意图】：在这个环节中，我仍然是首先为学生创设情景，让学生在类比的基础上进行猜想归纳，然后教师明晰结论，最后再完成证明，这样做不仅培养了学生推理论证的能力，同时也增强了学生类比创新的意识，将知识的获得和能力的培养有机的结合在一起。

（III）课堂练习，巩固提高（15min）

例

1、（师生共同完成）已知︱a︱=6，︱b︱=4, a与b的夹角为60°，求（a+2b）·（a-3b），并思考此运算过程类似于哪种运算？

例

2、（学生独立完成）对任意向量a，b是否有以下结论：（1）(a+b)2= a2+2a ·b +b

2（2）(a+b)·(a-b)=a2—b2 例

3、（师生共同完成）已知︱︱=3，︱︱=4, 且 与不共线，k为何值时，向量+k 与-k互相垂直？并思考：通过本题你有什么收获？

【设计意图】：本节教材共安排了四道例题，我根据学生实际选择了其中的三道，并对例1和例3增加了题后反思。例1是数量积的性质和运算律的综合应用，教学时，我重点从对运算原理的分析和运算过程的规范书写两个方面加强示范。完成计算后，进一步提出问题：此运算过程类似于哪种运算？目的是想让学生在类比多项式乘法的基础上自己猜测提出例2给出的两个公式，再由学生独立完成证明，一方面这并不困难，另一方面培养了学生通过类比这一思维模式达到创新的目的。例3的主要作用是，在继续巩固性质和运算律的同时，教给学生如何利用数量积来判断两个向量的垂直，是平面向量数量积的基本应用之一，教学时重点给学生分析数与形的转化原理。

例

4、为了使学生更好的理解数量积的含义，熟练掌握性质及运算律，并能够应用数量积解决有关问题，再安排如下练习：

1、下列两个命题正确吗？为什么？

①、若≠0，则对任一非零向量，有·≠0． ②、若≠0，·＝·，则＝．

2、已知△ABC中，=，=，当· <0或·＝0时，试判断△ABC的形状。

【设计意图】：安排练习1的主要目的是，使学生在与实数乘法比较的基础上全面认识数量积这一重要运算，通过练习2使学生学会用数量积表示两个向量的夹角，进一步感受数量积的应用价值。

（IV）课堂小结，教学反思（4min）

1、本节课我们学习的主要内容是什么？

2、平面向量数量积的两个基本应用是什么？

3、我们是按照怎样的思维模式进行概念的归纳和性质的探究？在运算律的探究过程中，渗透了哪些数学思想？

4、类比向量的线性运算，我们还应该怎样研究数量积？

【设计意图】：通过上述问题，使学生不仅对本节课的知识、技能及方法有了更加全面深刻的认识，同时也为下一节做好铺垫，继续激发学生的求知欲。

八、课后练习

1、课本P121习题2.4A组1、2、3。

2、拓展与提高：

已知a与b都是非零向量，且a+3b与7a-5b垂直，a-4b与 7a-2b垂直 求a与b的夹角。

【设计意图】：在这个环节中，我首先考虑检测全体学生是否都达到了“课标”的基本要求，因此安排了一组教材中的习题，目的是让所有的学生继续加深对数量积概念的理解和应用，为后续学习打好基础。其次，为了能让不同的学生在数学领域得到不同的发展，我又安排了一道有一定难度的问题供学有余力的同学选做。

第四篇：22.4.1平面向量的数量积的物理背景及其含义(第二课时)

鄂旗高级中学高一数学必修4导学案§2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角（第二课时）2012年6月

2.4.1平面向量的数量积的物理背景及其含义（第二课时）

课前预习学案

一、预习目标：

平面向量数量积的重要性质及运算律；

二、预习内容：

1．两个向量的数量积的性质：

1ab_________2 cos =3当a与同向时，a=_______;当a与b反向时，a b =______

4特别的aa= ______________或︱a︱= _____________

5 |ab| __________ |a||b| 2.数量积的运算律:

已知向量a、、c和实数λ，则：

（1）交换律:a·=

（2）结合律:（λa）·b==c

（3）分配律:（a +）·=_

课内探究学案

一、学习目标

1.学会用平面向量数量积的重要性质及运算律；

2.了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题； 学习重难点：。平面向量的数量积及其几何意义

二、学习过程

例2.试证明：（1）(a+b)2

=a2

+2a·b+b2

（2）(a+b)·(a-b)= a2

—b

2例3.已知|a|=6，|b|=4，a与b的夹角为60o求(a+2b)·(a-3b)

变式训练

1.已知|a|=3，|b|=4，且a与b的夹角为150°，则(a+b)２

＝.2.已知|a|=2，|b|=5，a·b=-3，则|a+b|=______，|a-b|=.3.已知a5，b2，a与b的夹角为120，求(2a+)·(a-)的值.例4.已知|a|=3，||=4，且a与不共线，k为何值时，向量a+k与a-k互相垂直.变式训练：1.若a5，b4，且a与b夹角为60，则当k为何时，kab与a2b垂直?

2.已知|a|=1，||=2，(1)若a∥，求a·；

(2)若a、的夹角为６０°，求|a+|；(3)若a-与a垂直，求a与的夹角.课后练习与提高

1.已知|a|=1，||=2，且(a-)与a垂直，则a与的夹角是（）A.60°B.30°C.135°D.４５° 2.下列命题中正确的个数是_________________

①abab；②ab=0a0或b0；③a

a；④a0=0或a0 3.已知a4，

b3，当a//b时ab=_______；当ab时，ab=_______.4.已知正三角形ABC的边长为1，则ABAC;ABBC

=__________.5.已知向量a与b的夹角为120，且a4，b2，求：

(1)ab;(2)3a4

b;(3)(a+)·(a-2)

课后反思:

第五篇：两个向量的数量积（推荐）

8、《两个向量的数量积》说课稿

尊敬的各位评委老师：

大家好！今天我说课的内容是《两个向量的数量积》。现代教育理论指出学生是教学的主体，教师的教应本着从学生的认知规律出发、以学生活动为主线、在原有认知结构基础上、建构新的知识体系。本节课的教学设计中，我将此理念贯穿于整个教学过程中。下面就从教材分析、教学目标分析、重难点分析、教法分析、学法分析、教学设计、板书设计及教学评价等方面进行说明。

一、教材分析

《两个向量的数量积》是现行人教版高中数学第二册下第九章第5节的内容。在本节之前，同学们已经学习了空间向量的一些知识，包括空间向量的坐标运算、共线向量和共面向量、空间向量基本定律，这些知识是学习本节的基础。

向量概念的引入是数学学习的一个捷径，同时也引入了一种新的解决数学问题的方法：坐标法，同时也引入了一种新的数学思想：数形结合的思想。同时，两个向量之间的位置关系可以通过数量积来表示。因此，研究两个向量的数量积是高中数学的一个重点知识。

二、教学目标

根据上述教材结构与内容分析，考虑到学生已有的认知结构心理特征，制定如下教学目标：

1．基础知识目标：掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法，掌握两个向量数量积的概念、性质、计算方法及运算律；

2．能力训练目标：掌握两个向量数量积的主要用途，会用它解决立体几何中的一些简单问题。

3．个性品质目标：训练学生分析问题、解决问题的能力，了解数量积在实际问题中的初步应用。

4．创新素质目标：培养学生数形结合的思想。

三、重难点分析

教学的重点是两个向量数量积的计算方法及其应用，在此基础上应该让学生理解两个向量数量积的几何意义，这也就是本节课的难点。

下面，为了讲清重点、难点，使学生能达到本节设定的教学目标，我将从教法和学法上进行讲解。

四、教法

教学过程是教师和学生共同参与的过程，启发学生自主性学习，充分调动学生的积极性、主动性；有效地渗透数学思想方法，提高学生素质。根据这样的原则和所要完成的教学目标，并为激发学生的学习兴趣，采用采用引导式、讲练结合法进行讲解。

五、学法

教给学生方法比教给学生知识更重要，本节课注重调动学生积极思考、主动探索，尽可能地增加学生参与教学活动的时间和空间，我进行了以下学法指导：

(1)联想法：要求学生联想学过的向量知识，特别加深理解数学知识之间的相互渗透性。

1(2)观察分析法：让学生要学会观察问题，分析问题和解决问题新。

(3)练习巩固法：让学生知道数学重在运用，从而检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其差距。

下面，我将具体谈谈这堂课的教学过程。

六、教学程序及设想

七、板书设计

板书要基本体现整堂课的内容与方法，体现课堂进程，能简明扼要反映知识结构及其相互联系；能指导教师的教学进程、引导学生探索知识；同时不完全按课本上的呈现方式来编

排板书。即体现系统性、程序性、概括性、指导性、启发性、创造性的原则；（原则性）

以上就是我说课的内容，希望各位老师对本堂课的说课提出宝贵的意见。谢谢。