2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义(教学设计)（大全五篇）

第一篇：2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义(教学设计)

SCH高中数学（南极数学）同步教学设计（人教A版必修4第二章《平面向量》）

2.4.1平面向量的数量积的物理背景及其含义（教学设计）

[教学目标]

一、知识与能力：

1． 掌握平面向量的数量积的物理背景及几何意义； 2． 掌握平面向量数量积的运算律；

二、过程与方法：

渗透数形结合的数学思想方法，培养学生转化问题的能力；借助物理背景，感知数学问题，探究知识的来龙去脉；培养学生转化问题的能力.三、情感、态度与价值观：

培养对现实世界中的数学现象的好奇心，学习从数学角度发现和提出问题；树立学科之间相互联系、相互促进的辩证唯物主义观点.[教学重点] 向量的数量积的定义及性质． [教学难点]

对向量数量积的定义及性质的理解和应用．

一、复习回顾，新课引入

1． 向量共线定理

向量b与非零向量a共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b=λa.2．平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2使a=λ1e1+λ2e2 3．平面向量的坐标表示

分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底.任作一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使得axiyj，把(x,y)叫做向量a的（直角）坐标，记作a(x,y)4．平面向量的坐标运算

若a(x1,y1)，b(x2,y2)，则ab(x1x2,y1y2)，ab(x1x2,y1y2)，a(x,y).若A(x1,y1)，B(x2,y2)，则ABx2x1,y2y1

5．a∥b(b0)的充要条件是x1y2-x2y1=0 6．线段的定比分点及λ

P1，P2是直线l上的两点，P是l上不同于P1，P2的任一点，存在实数λ，使 =λP1PPP2，λ叫做点P分

P1P2所成的比，有三种情况：SCH高中数学（南极数学）同步教学设计（人教A版必修4第二章《平面向量》）

λ>0(内分)

(外分)λ<0(λ<-1)

(外分)λ<0(-1<λ<0)问题：如图一个力F作用于一个物体上，使该物体位移S，（1）如何计算这个力所做的功？W=|S||F|cos.（2）如何从数学的角度来理解这个公式呢？

1的意义是什么？ ○2|F|cos的意义是什么？○3|S|cos 的意义是什么？

○

二、师生互动，新课讲解：

1．两个非零向量夹角的概念

已知非零向量ａ与ｂ，作OA＝ａ，OB＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角.说明：（1）当θ＝０时，ａ与ｂ同向；

（2）当θ＝π时，ａ与ｂ反向；（3）当θ＝时，ａ与ｂ垂直，记ａ⊥ｂ； 2（4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的.范围0≤≤180

C

2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量a和b，它们的夹角为，我们把数量|a|·|b|·cos叫做a和b的数量积（或内积）。记作：a·b

即：a·b=|a|·|b|·cos

（０≤θ≤π）.并规定0与任何向量的数量积为0.探究：两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别

（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos的符号所决定.（2）两个向量的数量积称为内积，写成ab；今后要学到两个向量的外积a×b，而ab是两个向量的数量的积，书写时要严格区分.符号“· ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替.（3）在实数中，若a0，且ab=0，则b=0；但是在数量积中，若a0，且ab=0，不能推出b=0.因为其中cos有可能为0.（4）已知实数a、b、c(b0)，则ab=bc  a=c.但是ab = bc

如右图：ab = |a||b|cos = |b||OA|，bc = |b||c|cos = |b||OA|  ab = bc

但a  c

(5)在实数中，有(ab)c = a(bc)，但是(ab)c  a(bc)

a = c SCH高中数学（南极数学）同步教学设计（人教A版必修4第二章《平面向量》）

显然，这是因为左端是与c共线的向量，而右端是与a共线的向量，而一般a与c不共线.3．“投影”的概念：作图

定义：|b|cos叫做向量b在a方向上的投影.投影也是一个数量，不是向量；当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为0；当 = 0时投影为 |b|；当 = 180时投影为 |b|.4．向量的数量积的几何意义：

数量积ab等于a的长度与b在a方向上投影|b|cos的乘积.5．两个向量的数量积的性质：

设a，b都是非零向量，e是与b方向相同的单位向量，是a与e的夹角，则： 1）eaae|a|cos 2）abab0

3）当a与b同向时，a·b=|a|·|b|；当a与b反向时，a·b=-|a|·|b|.特别地，a·a=|a|2或|a|=aa 4）cosab|a||b| 5）|a·b||a|·|b| 例1（课本P104例1）已知|a|=5，|b|=4，a与b的夹角=120，求ab.解：ab=|a||b|cos=54cos120=-10.变式训练1：向量|a|=6，a与b的夹角为120，求a在b方向上的投影.（-3）

3． 数量积的运算律（1）ab= ba；

（2）(a)b=(ab)=a(b)；（3）(a+b)c=ac+bc

例2（课本P105例2）对于任意向量a，b证明（1）(a+b)2=a2+2 ab+b2；（2）(a+b)(a-b)=a2-b2.SCH高中数学（南极数学）同步教学设计（人教A版必修4第二章《平面向量》）

证明：（1）(a+b)2=(a+b)(a+b)

=aa+ab+ba+bb

=a2+2ab+b2；

（2）(a+b)(a-b)=aa-ab+ba-bb=a2-b2.变式训练2：判断下列说法是否正确：

（1）若a=0，则对于任一向量b，有ab=0.()（2）若a0，则对任一非零向量b，有ab0.()（3）若a0，ab=0，则b=0.()（4）若ab=0，则a，b至少有一个为零.()（5）若a0，ab=ac，则b=c.()（6）若ab=ac，则b=c，当且仅当a0时成立.()（7）对任意向量a、b、c，有(ab)ca(bc).()（8）对任意向量a，有a2=|a|2.()例3（课本P105例3）已知|a|=6，|b|=4，a与b的夹角为60，求(a+2b)(a-3b).解：(a+2b)(a-3b)=aa-ab-6bb

=|a|2-ab-6|b|

2=|a|2-|a||b|cos-6|b|2

=-72.变式训练3：已知｜ａ｜＝３，｜ｂ｜＝６，当①ａ∥ｂ，②ａ⊥ｂ，③ａ与ｂ的夹角是60°时，分别求ａ·ｂ.解：①当ａ∥ｂ时，若ａ与ｂ同向，则它们的夹角θ＝０°，∴ａ·ｂ＝｜ａ｜·｜ｂ｜cos0°＝3×6×1＝18； 若ａ与ｂ反向，则它们的夹角θ＝180°，∴ａ·ｂ＝｜ａ｜｜ｂ｜cos180°＝3×6×（-1）＝－18； ②当ａ⊥ｂ时，它们的夹角θ＝90°，∴ａ·ｂ＝０；

③当ａ与ｂ的夹角是60°时，有

ａ·ｂ＝｜ａ｜｜ｂ｜cos60°＝3×6×＝9 例4（课本P105例4）已知|a|=3，|b|=4，且a与b不共线，k为何值时，向量a+kb与a-kb互相垂直？ 解：a+kb与a-kb互相垂直的条件是(a+kb)(a-kb)=0，12SCH高中数学（南极数学）同步教学设计（人教A版必修4第二章《平面向量》）

即a2-k2b2=0，∵ a2=32=9，b2=42=16，∴ 9-16k2=9，∴k=.变式训练4：已知|a|=2，|b|=4，ka+b与ka-b垂直，求实数k的值.解：(ka+b)(ka-b)=0 k2a2-b2=0 k2|a|2-|b|2=0 4k2-16=0 k=2.课堂练习（课本P106练习NO：1；2；3）

三、课堂小结，巩固反思：

1．平面向量的数量积的物理背景及几何意义； 2．平面向量数量积的运算律.四、课时必记：

1、平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a||b|cos叫ａ与ｂ的数量积，记作ab，即有ab = |a||b|cos，2、|b|cos叫做向量b在a方向上的投影.3、设a，b都是非零向量，e是与b方向相同的单位向量，是a与e的夹角，则：

1）eaae|a|cos 2）abab0

3）当a与b同向时，a·b=|a|·|b|；当a与b反向时，a·b=-|a|·|b|.特别地，a·a=|a|2或|a|=aa 4）cosab|a||b| 5）|a·b||a|·|b|

五、分层作业： A组：

1、（课本P108习题2.4 A组：NO：2）

2、（课本P108习题2.4 A组：NO：6）SCH高中数学（南极数学）同步教学设计（人教A版必修4第二章《平面向量》）

3、（课本P108习题2.4 A组：NO：7）

4、.已知|a|=1，|b|=2，且(a-b)与a垂直，则a与b的夹角是（）

A.60°

B.30°

C.135°

D.４５°

5、已知a⊥b、c与a、b的夹角均为60°，且|a|=1，|b|=2，|c|=3，则(a+2b-c)＝______.B组：

1、已知|a|=1，|b|=2，(1)若a∥b，求a·b；(2)若a、b的夹角为６0°，求|a+b|；(3)若a-b与a垂直，求a与b的夹角.2、设m、n是两个单位向量，其夹角为６０°，求向量a=2m+n与b=2n-3m的夹角.C组：

1、(tb1225172)已知：(a3b)垂直于(7a5b)、(a4b)垂直于(7a2b)，求a与b的夹角。

（答：

２）

32、(tb1225577)设e1和e2是两个单位向量，其夹角为600，试求向量a=2e1+e2和b=-3e1+2e2的夹角。（答：1200）

第二篇：平面向量数量积的物理背景及其含义教学设计

平面向量数量积的物理背景及其含义

一、教学设计

平面向量的数量积是继向量的线性运算之后的又一重要运算，也是高中数学的一个重要概念，在数学、物理等学科中应用十分广泛。本节内容教材共安排两课时，其中第一课时主要研究数量积的概念，第二课时主要研究数量积的坐标运算，本节课是第一课时。本节课的主要学习任务是通过物理中“功”的事例抽象出平面向量数量积的概念，在此基础上探究数量积的性质与运算律，使学生体会类比的思想方法，进一步培养学生的抽象概括和推理论证的能力。其中数量积的概念既是对物理背景的抽象，又是研究性质和运算律的基础。同时也因为在这个概念中，既有长度又有角度，既有形又有数，是代数、几何与三角的最佳结合点，不仅应用广泛，而且很好的体现了数形结合的数学思想，使得数量积的概念成为本节课的核心概念，自然也是本节课教学的重点。

二、教学目标

1知识与技能：阐明平面向量的数量积及其几何意义.会算一个向量在另一个上投影的概念，运用平面向量数量积的性质、运算律和几何意义.2过程与方法：以物体受力做功为背景引入向量数量积的概念，从数与形两方面引导学生对向量数量积定义进行探究，通过作图分析，使学生明确向量的数量积与数的乘法的联系与区别。

3情感态度与价值观：由具体的功的概念到向量的数量积，再到共线、垂直时的数量积，使学生学习从特殊到一般，再由一般到特殊的认知规律，体会数形结合思想，类比思想，体验法则学习研究的过程，培养学生学习数学的兴趣及良好的学习习惯。

三、学情分析

学生在学习本节内容之前，已熟知了实数的运算体系，掌握了向量的概念及其线性运算，具备了功等物理知识，并且初步体会了研究向量运算的一般方法：即先由特殊模型（主要是物理模型）抽象出概念，然后再从概念出发，在与实数运算类比的基础上研究性质和运算律。这为学生学习数量积做了很好的铺垫，使学生倍感亲切。但也正是这些干扰了学生对数量积概念的理解，一方面，相对于线性运算而言，数量积的结果发生了本质的变化，两个有形有数的向量经过数量积运算后，形却消失了，学生对这一点是很难接受的；另一方面，由于受实数乘法运算的影响，也会造成学生对数量积理解上的偏差，特别是对性质和运算律的理解。因而本节课教学的难点数量积的概念。

四、教学重难点

1、重点：平面向量数量积的定义。

2、难点：平面向量数量积的定义的理解。

五、教学准备

1、实验教具：计算机、黑板、粉笔

2、教学支持资源：制作高效实用的电脑多媒体课件，主要作用是改变相关内容的呈现方式，以此来节约课时，增加课堂容量。

六、教学导图

七、教学过程

（I）创设情境，引入课题（4min）

【问题】：如图所示，一辆小车，在力F的作用下，从A处到B处拉动的位移为S，那么请问力F在这个运动过程中所做的功？（1）力F所做的功W=。

（2）请同学们分析公式的特点：W（功）是

量，F（力）是

量，S（位移）是 量，α是。

(3)师生共同探讨矢量乘矢量以及引出向量乘以向量。

【设计意图】设计意图在于使学生了解数量积的物理背景，让学生知道，我们研究数量积绝不仅仅是为了数学自身的完善，而是有其客观背景和现实意义的，从而产生了进一步研究这种新运算的愿望。同时，也为抽象数量积的概念做好铺垫。

（II）步步探索，形成概念（20min）

1、概念的明晰

已知两个非零向量a 与b，它们的夹角为θ，我们把数量 ︱a︱·︱b︱cosθ 叫做 a与 b的数量积（或内积），记作：a ·b

【学生思考】：在平面向量的数量积定义中，它与两个向量的加减法有什么本质区别？ 【问题1】：向量的数量积运算与线性运算的结果有什么不同？影响数量积大小的因素有哪些？

【问题2】：数量积的几何意义是什么？ 并在此对向量积投影的讲解。

2、研究数量积的物理意义

数量积的概念是由物理中功的概念引出的，学习了数量积的概念后，学生就会明白功的数学本质就是力与位移的数量积。

【问题3】：请同学们用一句话来概括功的数学本质：功是力与位移的数量积。

【设计意图】：这样做不仅让学生从“形”的角度重新认识数量积的概念，从中体会数量积与向量投影的关系，同时也更符合知识的连贯性，而且也节约了课时。好铺垫。

我设计问题 一方面使学生尝试计算数量积，另一方面使学生理解数量积的物理意义，同时也为数量积的性质埋下伏笔。

4、性质的发现

教材中关于数量积的三条性质是以探究的形式出现的，为了很好地完成这一探究活动，在完成上述练习后，我不失时机地提出： 【问题4】：比较︱ a·b ︱与︱a ︱×︱b ︱的大小，你有什么结论？ 在学生讨论交流的基础上，教师进一步明晰数量积的性质，然后再由学生利用数量积的定义给予证明，完成探究活动。

5、明晰数量积的性质

【设计意图】：体现了教师只是教学活动的引领者，而学生才是学习活动的主体，让学生成为学习的研究者，不断地体验到成功的喜悦，激发学生参与学习活动的热情，不仅使学生获得了知识，更培养了学生由特殊到一般的思维品质.6、运算律的发现

关于运算律，教材仍然是以探究的形式出现，为此，首先提出问题9 【问题5】：我们学过了实数乘法的哪些运算律？这些运算律对向量是否也适用？ 学生可能会提出以下猜测： 猜测①的正确性是显而易见的。

关于猜测②的正确性，我提示学生思考下面的问题： 猜测②的左右两边的结果各是什么？它们一定相等吗？ 学生通过讨论不难发现，猜测②是不正确的。

这时教师在肯定猜测③的基础上明晰数量积的运算律：

9、明晰数量积的运算律

10、证明运算律

学生独立证明运算律（2）师生共同证明运算律（3）

运算律（3）的证明对学生来说是比较困难的，为了节约课时，这个证明由师生共同完成，我想这也是教材的本意。

【设计意图】：在这个环节中，我仍然是首先为学生创设情景，让学生在类比的基础上进行猜想归纳，然后教师明晰结论，最后再完成证明，这样做不仅培养了学生推理论证的能力，同时也增强了学生类比创新的意识，将知识的获得和能力的培养有机的结合在一起。

（III）课堂练习，巩固提高（15min）

例

1、（师生共同完成）已知︱a︱=6，︱b︱=4, a与b的夹角为60°，求（a+2b）·（a-3b），并思考此运算过程类似于哪种运算？

例

2、（学生独立完成）对任意向量a，b是否有以下结论：（1）(a+b)2= a2+2a ·b +b

2（2）(a+b)·(a-b)=a2—b2 例

3、（师生共同完成）已知︱︱=3，︱︱=4, 且 与不共线，k为何值时，向量+k 与-k互相垂直？并思考：通过本题你有什么收获？

【设计意图】：本节教材共安排了四道例题，我根据学生实际选择了其中的三道，并对例1和例3增加了题后反思。例1是数量积的性质和运算律的综合应用，教学时，我重点从对运算原理的分析和运算过程的规范书写两个方面加强示范。完成计算后，进一步提出问题：此运算过程类似于哪种运算？目的是想让学生在类比多项式乘法的基础上自己猜测提出例2给出的两个公式，再由学生独立完成证明，一方面这并不困难，另一方面培养了学生通过类比这一思维模式达到创新的目的。例3的主要作用是，在继续巩固性质和运算律的同时，教给学生如何利用数量积来判断两个向量的垂直，是平面向量数量积的基本应用之一，教学时重点给学生分析数与形的转化原理。

例

4、为了使学生更好的理解数量积的含义，熟练掌握性质及运算律，并能够应用数量积解决有关问题，再安排如下练习：

1、下列两个命题正确吗？为什么？

①、若≠0，则对任一非零向量，有·≠0． ②、若≠0，·＝·，则＝．

2、已知△ABC中，=，=，当· <0或·＝0时，试判断△ABC的形状。

【设计意图】：安排练习1的主要目的是，使学生在与实数乘法比较的基础上全面认识数量积这一重要运算，通过练习2使学生学会用数量积表示两个向量的夹角，进一步感受数量积的应用价值。

（IV）课堂小结，教学反思（4min）

1、本节课我们学习的主要内容是什么？

2、平面向量数量积的两个基本应用是什么？

3、我们是按照怎样的思维模式进行概念的归纳和性质的探究？在运算律的探究过程中，渗透了哪些数学思想？

4、类比向量的线性运算，我们还应该怎样研究数量积？

【设计意图】：通过上述问题，使学生不仅对本节课的知识、技能及方法有了更加全面深刻的认识，同时也为下一节做好铺垫，继续激发学生的求知欲。

八、课后练习

1、课本P121习题2.4A组1、2、3。

2、拓展与提高：

已知a与b都是非零向量，且a+3b与7a-5b垂直，a-4b与 7a-2b垂直 求a与b的夹角。

【设计意图】：在这个环节中，我首先考虑检测全体学生是否都达到了“课标”的基本要求，因此安排了一组教材中的习题，目的是让所有的学生继续加深对数量积概念的理解和应用，为后续学习打好基础。其次，为了能让不同的学生在数学领域得到不同的发展，我又安排了一道有一定难度的问题供学有余力的同学选做。

第三篇：平面向量的数量积的物理背景及其含义教学反思

1.1 教材的地位与作用

本节课是在学生学习了向量的概念和向量的加法、减法、数乘向量等线性运算的基础上，探索向量的又一种新的运算，它既是前面所学知识和方法的延续，又是后继学习解三角形、解析几何以及空间向量等内容的基础，因此本节内容具有承上启下的重要作用.1.2 学情分析

（1）学生已经学习了任意角的三角函数、向量的概念和线性运算等知识.（2）学生对向量的物理背景有了一定的了解.如：力、位移、速度的合成与分解，力做功的有关知识.（3）学生已经具备了一定的数学建模能力，能从简单的物理背景及生活背景抽象出数学概念.2 教学目标分析

依据课程标准和以上分析，制定本节课的三维目标如下：

知识与技能目标

通过物理中“功”的实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义，掌握平面向量数量积的性质.过程与方法目标

经历从物理背景的分析，抽象概括出概念的过程，培养学生归纳概括，类比迁移的能力；经历通过不同的方式探究、发现平面向量数量积性质的过程，体会从特殊到一般、分类讨论、数形结合的数学思想方法.情感、态度、价值观目标

通过师生互动，生生互动的教学活动过程，形成学生的体验性认识，体会各学科之间的密切联系，感受知识的形成过程，提高数学学习的兴趣，形成独立自主的钻研精神和合作交流的科学态度.3 重点、难点分析

根据教学目标以及学情分析，确定本节课的教学重点、难点.重点：平面向量数量积的概念和性质.难点：向量在轴上的正射影的概念的理解和平面向量数量积的性质的发现.在教学中，注意遵循学生的认知规律.从学生感兴趣的物理实例入手，通过层层分析，形成数量积的概念，并经历概念辨析、深化理解、学以致用等过程，来突出重点.通过练习和探究问题的设计，将五个性质分散开来，通过课件动画、问题引领、自主探究、合作交流等手段，从理性认识到实践练习，再到应用，使性质自然呈现，既突出了重点，又突破了难点.教学策略分析

基于数量积的知识特点及学生的认知规律，采用启发式和问题探究相结合的教学方法.著名数学教育家波利亚指出：“学习任何东西，最好的途径是自己去发现”.因此，指导学生采用发现式学习法.在课堂上坚持以教师为主导，学生为主体，以抽象类比与问题探究为主线.同时，为了有效实现教学目标，采用多媒体和自编学案辅助教学.5 教学过程分析

本节课的教学流程如下：

具体分析如下：

5.1 创设情境 展示背景

教师录像展示“大力士拉车”的情境实例，提出物理问题.问题1 大力士拉车，沿着绳子方向上的力为F，车移动的位移是s，力和位移的夹角为θ，大力士所做的功为多少？

设计意图 从学生已有的认知水平出发，通过熟悉的生活实例，创设数量积的物理背景，激发学生的学习热情.5.2 分析背景 形成概念

该环节，依据本套教材的特点，以物理背景作为总的抓手，通过抽象、概括、归纳，形成了两个向量的夹角、向量在轴上的正射影和向量的数量积定义三个概念.第一步：背景的初次分析

问题2 决定功的大小的量有哪几个？它们是标量还是矢量？当力和位移的大小一定时，功的大小取决于那个量？

问题3 这个夹角抽象到我们数学中，就是今天我们要学习的两个向量的夹角，把力F、位移s换作数学中任意两个非零向量a与b，你能尝试着给出向量a与b夹角的概念吗？

设计意图 通过力做功的几个因素的分析，突出夹角在做功中的作用，形成两个向量夹角的概念.1.两个向量的夹角

已知非零向量a与b，作OA=a，OB=b，则∠AOB称作向量a与b的夹角，记作：〈a，b〉.问题4 下面几种情形中（锐角、钝角、直角、共线同向、共线反向），两向量的夹角分别是什么角？

设计意图 通过几种类型的夹角的给出，让学生直观感知夹角的范围，帮助学生理解夹角范围规定的合理性.规定： 0≤〈a，b〉≤π，且〈a，b〉=〈b，a〉.特别的：当〈a，b〉=π2时，叫做a与b垂直，记作a⊥b；

两向量的垂直符号同几何中的垂直符号是一致的.问题5 请回顾：0的方向是怎样规定的？

规定：0与任意向量垂直.前面曾规定：0与任意向量平行.设计意图 概念呈现后，注意与前面所学知识进行对比，便于学生理解，记忆.图

1练习： 如图1，正△ABC中，求

（1）AC与AB的夹角；

（2）AB与BC的夹角.注：确定两向量的夹角的关键是：通过平移使两向量共起点.设计意图 及时巩固所学概念，强调确定两向量夹角的一般方法.第二步：背景的再次分析

问题6 真正使汽车前进的力是什么？它的大小是多少？

设计意图 让学生借助已有的认知经验，类比物理背景中拉力F在位移方向上的分力，它的大小是Fcos θ，自然引出向量在轴上的正射影及其数量的概念.从特殊到一般，符合学生的认知规律，突破难点.2.向量在轴上的正射影

已知向量a和轴l，作OA=a，过点O、A分别作轴l的垂线，垂足分别为O1、A1，则向量O1A1叫做向量a在轴l上的正射影（简称射影）.向量在轴上的正射影的数量

该射影在轴l上的坐标，称作a在轴l上的数量或在轴l的方向上的数量.OA=a在轴l上正射影的坐标记作： al，若向量a的方向与轴l的正向所成的角为θ，则al=|a|cos θ.问题7 向量在轴上的正射影与向量在轴上的正射影的数量有什么区别？

问题8 向量在轴上的正射影的数量一定是正实数吗？

注： a在轴l上的正射影的数量是个实数，可正、可负、可为零.向量a在b方向上的正射影及数量

如果向量b在轴l上且与轴同向，那么，向量O1A1叫做向量a在向量b方向上的正射影，它的数量是acos.设计意图 让学生理解正射影及其数量的含义，并引申出向量a在向量b方向上的正射影及其数量，为数量积的概念的学习做准备

第四篇：22.4.1平面向量的数量积的物理背景及其含义(第二课时)

鄂旗高级中学高一数学必修4导学案§2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角（第二课时）2012年6月

2.4.1平面向量的数量积的物理背景及其含义（第二课时）

课前预习学案

一、预习目标：

平面向量数量积的重要性质及运算律；

二、预习内容：

1．两个向量的数量积的性质：

1ab_________2 cos =3当a与同向时，a=_______;当a与b反向时，a b =______

4特别的aa= ______________或︱a︱= _____________

5 |ab| __________ |a||b| 2.数量积的运算律:

已知向量a、、c和实数λ，则：

（1）交换律:a·=

（2）结合律:（λa）·b==c

（3）分配律:（a +）·=_

课内探究学案

一、学习目标

1.学会用平面向量数量积的重要性质及运算律；

2.了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题； 学习重难点：。平面向量的数量积及其几何意义

二、学习过程

例2.试证明：（1）(a+b)2

=a2

+2a·b+b2

（2）(a+b)·(a-b)= a2

—b

2例3.已知|a|=6，|b|=4，a与b的夹角为60o求(a+2b)·(a-3b)

变式训练

1.已知|a|=3，|b|=4，且a与b的夹角为150°，则(a+b)２

＝.2.已知|a|=2，|b|=5，a·b=-3，则|a+b|=______，|a-b|=.3.已知a5，b2，a与b的夹角为120，求(2a+)·(a-)的值.例4.已知|a|=3，||=4，且a与不共线，k为何值时，向量a+k与a-k互相垂直.变式训练：1.若a5，b4，且a与b夹角为60，则当k为何时，kab与a2b垂直?

2.已知|a|=1，||=2，(1)若a∥，求a·；

(2)若a、的夹角为６０°，求|a+|；(3)若a-与a垂直，求a与的夹角.课后练习与提高

1.已知|a|=1，||=2，且(a-)与a垂直，则a与的夹角是（）A.60°B.30°C.135°D.４５° 2.下列命题中正确的个数是_________________

①abab；②ab=0a0或b0；③a

a；④a0=0或a0 3.已知a4，

b3，当a//b时ab=_______；当ab时，ab=_______.4.已知正三角形ABC的边长为1，则ABAC;ABBC

=__________.5.已知向量a与b的夹角为120，且a4，b2，求：

(1)ab;(2)3a4

b;(3)(a+)·(a-2)

课后反思:

第五篇：平面向量的数量积及应用教学设计[推荐]

高效课堂教学模式探讨公开课

平面向量的数量积及应用教学设计

华罗庚中学 袁劲竹

一、教材分析

向量作为一种基本工具，在数学解题中有着极其重要的地位和作用。利用向量知识，可以解决不少复杂的的代数几何问题。《平面向量的数量积及应用》，计划安排两个课时，本节课是第2课时。也就是，在复习了平面向量数的有关概念，坐标表示，以及平面向量数量积的基础知识之后，本节课是进一步去认识、掌握平面向量数量积及平面向量的相关应用。

二、课标要求

1、平面向量的数量积

①通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义； ②体会平面向量的数量积与向量投影的关系；

③掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；

④能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。

2、向量的应用

经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题的过程，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具，发展运算能力和解决实际问题的能力。

三、命题走向及高考预测

通过对近几年广东高考试题的分析，向量的数量积及运算律一直是高考数学的热点内容之一，对向量的数量积及运算律的考查多为一个小题；另外作为工具在考查三角函数、立体几何、平面解析几何等内容时经常用到．整个命题过程紧扣课本，重点突出，有时考查单一知识点；有时通过知识的交汇与链接，全面考查向量的数量积及运算律等内容。

预测高考：

预测2012年广东高考仍将以向量的数量积的运算、向量的平行、垂直为主要考点，以与三角、解析几何知识交汇命题为考向。

四、学情分析

学生已复习了向量的相关概念、线性运算、数量积及初步应用，已较好地理解了向量的概念，比较熟练地掌握向量的运算和性质，已初步体会研究向量运算的一般方法，具有一定的观察、探究能力，这为学生进一步复习数量积数量积及应用做了铺垫。由于本班是普通班，受实数乘法运算的影响，造成不少学生对数量积理解上的偏差，从而出现错误。

五、教学目标

知识目标：

1、掌握平面向量的数量积公式及向量的夹角公式；

2、运用平面向量的知识解决有关问题。

能力目标：

1、通过本节课的学习培养学生观察、分析、化归转化的能力；

2、提高学生分析问题、解决问题的能力。

六、教学重点、难点

重点：平面向量数量积公式及平面向量的应用。

难点：如何将有关问题等价转化为向量问题。

七、教法、学法分析

教法：采取启发引导、反馈评价等方式；

学法：引导学生积极参与、自主探索，培养探究能力。

八、教学过程

【 基本知识点回顾 】

1、向量的数量积的概念

高效课堂教学模式探讨公开课

b的数量积。

2、数量积的性质(e是单位向量，〈a，e〉＝θ)已知两个非零向量a与b，它们的夹角为，则a·b=︱a︱·︱b︱cos叫做a与

(1)e·a＝a·e＝__________.(2)当a与b同向时，a·b＝_____；当a与b反向时，a·b＝__________.特别

地，有a·a＝_______或|a|＝________(3)a⊥b⇔__________.(4)cos〈a，b〉＝________.3、数量积的坐标运算(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝______________.2(2)若a＝(x，y)，则|a|＝_______，|a|＝________.→(3)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝|BA|＝____________________.(4)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔_____________________.4、向量的应用

（1）平面向量数量积的运算

（2）利用平面向量数量积解决平行与垂直问题（3）利用平面向量数量积解决夹角问题

（4）平面向量的综合运用

注：本节课是第2课时，重点学习（3）利用平面向量数量积解决夹角问题和（4）平面向量的综合运用，其中平面向量的综合运用主要是在三角函数中的应用，在立体几何、解析几何等方面的应用放在后面学习。

【典例剖析】

应用3：利用平面向量数量积解决夹角问题

11例

1、(2011年广州调研)已知a1，ab，(ab)(ab)，求： 22（1）a与b的夹角的大小;(2)ab与ab夹角的余弦值

思路分析（先提问学生，然后板演解题过程）：利用向量夹角的余弦公式求解

设计意图：让学生分析解题思路以培养学生的口头表达能力，归纳概括能力。让学生上台板演可以暴露学生存在的问题，老师及时予以纠正，并呈现标准的解答格式，促使学生自我反思，以加强学生答题的规范性，做到“会做的题目得满分，不会做的题目不得零分”。

【巩固练习】

（1）（09重庆理）已知A、6

a

1、b6且a(ba)2，则向量a与b的夹角是（）

 B、C、D、4322

高效课堂教学模式探讨公开课

(2（）2010年高考课标全国卷）则a，b夹角的余弦值等于（）816168 C、D、A、B、65656565a，b为平面向量，已知a(4,3)，2ab(3,18)，答案：（1）C；（2）C；

设计意图：选用的两道题中，一道题向量是非坐标形式的，另一道题向量是坐标形式的，通过练习，让学生学会选用适当的公式解题，巩固所学知识。同时，让学生多参与、多思考、多活动，改变教师大段讲解的倾向，使师生活动交替进行，调节学生的注意力，促进学生各方面的发展。

题后小结：

(1)当a，b是非坐标形式时，求a与b的夹角，需求得a·b及|a|，|b|或得出它们的关系．(2)若已知a与b的坐标，则可直接利用公式 x1x2＋y1y2cosθ＝.2222 x1＋y1·x2＋y2

应用四：平面向量的综合运用

sin)，c(1，例

2、(2009 湖北理)已知向量a(cos，b(cos，sin)，0)．（1）求向量b+c的长度的最大值；

（2）设 π4，且a⊥(bc)，求cos的值．

设计意图：通过典例精讲，一方面使学生加深对知识的认识，完善知识结构，另一方面使学生由简单地模仿和接受，变为对知识的主动认识，从而进一步提高分析、解决问题的能力。

【自主探究、共同提高】



1、(06天津理)设向量a与b的夹角为，a(3,3)，2ba(1,1)，则cos_____

02、已知两单位向量a与b的夹角为120，若c2ab，dba，试求c与d的夹角的余弦值

3、设02，已知两个向量则向量p1p2长度的最大值是op1(cos,sin)，op2(2sin,2cos)，______ 答案： 1、31010；

2、92142；

3、32

设计意图：要求每位学生自己先做练习，然后对照答案进行自主的学习、同座之间互相探讨，然后听老师或学生进行讲解。本环节尽量留出时间让学生充分地比较，互相学习，共同提高。

高效课堂教学模式探讨公开课

【课堂小结】：

1、向量知识，向量观点有着广泛的应用，本节课主要学习了两方面的应用： 利用平面向量数量积解决夹角问题和平面向量的综合应用（在三角函数中应用）

2、本节课主要学习了化归转化的思想方法

向量的数量积公式，沟通了向量与实数间的转化关系

设计意图：课堂小结由师生共同进行，以此培养学生的口头表达能力，归纳概括能力。同时要引导学生学会总结：做完一道题目的总结，学完一课、一章的总结，有总结才有提高，通过：练习—总结—再练习，提高学习效率。

【课堂小测】

A、300

1、(05北京)a1，b2，cab，且ca，则向量a与b的夹角为（）

2、已知a1，b

000 B、60 C、120 D、150

2，且a(ab)，则向量a与b的夹角是_______.

3、已知向量a(sin,1),b(1,cos)，且22（2）.求ab的最大值(1).若ab,求

答案：

1、C

2、4

3、（1）4，（2）21

设计意图：通过课堂小测快速反馈，既可以把学生取得的进步变成有形的事实，使之受到鼓励，乐于接受下一个任务，又可以及时发现学生存在的问题，及时矫正乃至调节教学的进度，从而有效地提高课堂教学的效率。

思考题、设向量m(cos,sin)和n(2sin,cos),(,2)82且mn,求cos()的值528

【课后作业，分层练习】

必做： 《课时作业本》第4章第3课时

选做：(2009·江苏)设向量a＝(4cos α，sin α)，b＝(sin β，4cos β)，c＝(cos β，－4sin β)．

(1)若a与b－2c垂直，求tan(α＋β)的值；

(2)求|b＋c|的最大值；

(3)若tan αtan β＝16，求证：a∥b.设计意图：出选做题的目的是注意分层教学和因材施教，为学有余力的学生提供思考空间。

【教学反思】 待写„„