向量积分配律的证明

第一篇：向量积分配律的证明

向量积分配律的证明

三维向量外积(即矢积、叉积)可以用几何方法证明;也可以借用外积的反对称性、内积的分配律和混合积性质，以代数方法证明。

下面把向量外积定义为：

a×b=|a|·|b|·Sin.分配律的几何证明方法很繁琐，大意是用作图的方法验证。有兴趣的话请自己参阅参考文献中的证明。

下面给出代数方法。我们假定已经知道了：

1)外积的反对称性：

a×b=-b×a.这由外积的定义是显然的。

2)内积(即数积、点积)的分配律：

a·(b+c)=a·b+a·c,(a+b)·c=a·c+b·c.这由内积的定义a·b=|a|·|b|·Cos，用投影的方法不难得到证明。

3)混合积的性质：

定义(a×b)·c为矢量a,b,c的混合积，容易证明：

i)(a×b)·c的绝对值正是以a,b,c为三条邻棱的平行六面体的体积，其正负号由a,b,c的定向决定(右手系为正，左手系为负)。

从而就推出：

ii)(a×b)·c=a·(b×c)

所以我们可以记a,b,c的混合积为(a,b,c).由i)还可以推出：

iii)(a,b,c)=(b,c,a)=(c,a,b)

我们还有下面的一条显然的结论：

iv)若一个矢量a同时垂直于三个不共面矢a1,a2,a3，则a必为零矢量。

下面我们就用上面的1)2)3)来证明外积的分配律。

设r为空间任意矢量，在r·(a×(b+c))里，交替两次利用3)的ii)、iii)和数积分配律2)，就有

r·(a×(b+c))

=(r×a)·(b+c)

=(r×a)·b+(r×a)·c

=r·(a×b)+r·(a×c)

=r·(a×b+a×c)

移项，再利用数积分配律，得

r·(a×(b+c)-(a×b+a×c))=0

这说明矢量a×(b+c)-(a×b+a×c)垂直于任意一个矢量。按3)的iv)，这个矢量必为零矢量，即

a×(b+c)-(a×b+a×c)=0

所以有

a×(b+c)=a×b+a×c.证毕。

三维向量外积(即矢积、叉积)可以用几何方法证明;也可以借用外积的反对称性、内积的分配律和混合积性质，以代数方法证明。

下面把向量外积定义为：

a×b=|a|·|b|·Sin.分配律的几何证明方法很繁琐，大意是用作图的方法验证。有兴趣的话请自己参阅参考文献中的证明。

下面给出代数方法。我们假定已经知道了：

1)外积的反对称性：

a×b=-b×a.这由外积的定义是显然的。

2)内积(即数积、点积)的分配律：

a·(b+c)=a·b+a·c,(a+b)·c=a·c+b·c.这由内积的定义a·b=|a|·|b|·Cos，用投影的方法不难得到证明。

3)混合积的性质：

定义(a×b)·c为矢量a,b,c的混合积，容易证明：

i)(a×b)·c的绝对值正是以a,b,c为三条邻棱的平行六面体的体积，其正负号由a,b,c的定向决定(右手系为正，左手系为负)。

从而就推出：

ii)(a×b)·c=a·(b×c)

所以我们可以记a,b,c的混合积为(a,b,c).由i)还可以推出：

iii)(a,b,c)=(b,c,a)=(c,a,b)

我们还有下面的一条显然的结论：

iv)若一个矢量a同时垂直于三个不共面矢a1,a2,a3，则a必为零矢量。

下面我们就用上面的1)2)3)来证明外积的分配律。

设r为空间任意矢量，在r·(a×(b+c))里，交替两次利用3)的ii)、iii)和数积分配律2)，就有

r·(a×(b+c))

=(r×a)·(b+c)

=(r×a)·b+(r×a)·c

=r·(a×b)+r·(a×c)

=r·(a×b+a×c)

移项，再利用数积分配律，得

r·(a×(b+c)-(a×b+a×c))=0

这说明矢量a×(b+c)-(a×b+a×c)垂直于任意一个矢量。按3)的iv)，这个矢量必为零矢量，即

a×(b+c)-(a×b+a×c)=0

所以有

a×(b+c)=a×b+a×c.证毕。

第二篇：用正弦定理证明三重向量积

用正弦定理证明三重向量积

作者：光信1002班 李立

内容：通过对问题的讨论和转化，最后用正弦定理来证明三重向量积的公式——(ab)c(cb)a(ca)b。

首先，根据叉乘的定义，a、b、ab可以构成一个右手系，而且对公式的观察与分析我们发现，在公式中，a与b是等价的，所以我们不妨把a、b、ab放在一个空间直角坐标系中，让a与b处于oxy面上，ab与z轴同向。如草图所示：

其中，向量c可以沿着z轴方向与平行于oxy平面的方向分解，即：

cczcxy

将式子带入三重向量积的公式中，发现，化简得：

（ab）cxy(cxyb)a(cxya)b这两个式子等价

现在我们考虑(ab)c刚好被a与b反向夹住的情况，其他的角度情况以此类推。

由图易得，(ab)c与a、b共面，a与b不共线，不妨设（ab)cxayb，a,cxy

（,),b,cxy

(0,)，所以：

在三角形中使用正弦定理，得

ab）cSin[-a,b]

Sin[

xa



yb

Sin[a,cxy

k]



b,cxy

又因为ab）cabcSina,b

所以，解得k=abc，于是解得：

x= bcxyCosb,cxyyacxyCosa,cxy

bcxy acxy

由图示和假定的条件，(ab)c在a和b方向上的投影皆为负值，所以x，y都取负值，所以，（ab）cxy(cxyb)a(cxya)b

其他的相对角度关系，以此类推，也能得到相同的答案，所以：

(ab)c(cb)a(ca)b，命题得证。

小结论：当直观解答有困难时，可以通过分析转化的方法来轻松地解决。

第三篇：两个向量的数量积（推荐）

8、《两个向量的数量积》说课稿

尊敬的各位评委老师：

大家好！今天我说课的内容是《两个向量的数量积》。现代教育理论指出学生是教学的主体，教师的教应本着从学生的认知规律出发、以学生活动为主线、在原有认知结构基础上、建构新的知识体系。本节课的教学设计中，我将此理念贯穿于整个教学过程中。下面就从教材分析、教学目标分析、重难点分析、教法分析、学法分析、教学设计、板书设计及教学评价等方面进行说明。

一、教材分析

《两个向量的数量积》是现行人教版高中数学第二册下第九章第5节的内容。在本节之前，同学们已经学习了空间向量的一些知识，包括空间向量的坐标运算、共线向量和共面向量、空间向量基本定律，这些知识是学习本节的基础。

向量概念的引入是数学学习的一个捷径，同时也引入了一种新的解决数学问题的方法：坐标法，同时也引入了一种新的数学思想：数形结合的思想。同时，两个向量之间的位置关系可以通过数量积来表示。因此，研究两个向量的数量积是高中数学的一个重点知识。

二、教学目标

根据上述教材结构与内容分析，考虑到学生已有的认知结构心理特征，制定如下教学目标：

1．基础知识目标：掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法，掌握两个向量数量积的概念、性质、计算方法及运算律；

2．能力训练目标：掌握两个向量数量积的主要用途，会用它解决立体几何中的一些简单问题。

3．个性品质目标：训练学生分析问题、解决问题的能力，了解数量积在实际问题中的初步应用。

4．创新素质目标：培养学生数形结合的思想。

三、重难点分析

教学的重点是两个向量数量积的计算方法及其应用，在此基础上应该让学生理解两个向量数量积的几何意义，这也就是本节课的难点。

下面，为了讲清重点、难点，使学生能达到本节设定的教学目标，我将从教法和学法上进行讲解。

四、教法

教学过程是教师和学生共同参与的过程，启发学生自主性学习，充分调动学生的积极性、主动性；有效地渗透数学思想方法，提高学生素质。根据这样的原则和所要完成的教学目标，并为激发学生的学习兴趣，采用采用引导式、讲练结合法进行讲解。

五、学法

教给学生方法比教给学生知识更重要，本节课注重调动学生积极思考、主动探索，尽可能地增加学生参与教学活动的时间和空间，我进行了以下学法指导：

(1)联想法：要求学生联想学过的向量知识，特别加深理解数学知识之间的相互渗透性。

1(2)观察分析法：让学生要学会观察问题，分析问题和解决问题新。

(3)练习巩固法：让学生知道数学重在运用，从而检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其差距。

下面，我将具体谈谈这堂课的教学过程。

六、教学程序及设想

七、板书设计

板书要基本体现整堂课的内容与方法，体现课堂进程，能简明扼要反映知识结构及其相互联系；能指导教师的教学进程、引导学生探索知识；同时不完全按课本上的呈现方式来编

排板书。即体现系统性、程序性、概括性、指导性、启发性、创造性的原则；（原则性）

以上就是我说课的内容，希望各位老师对本堂课的说课提出宝贵的意见。谢谢。

第四篇：证明向量共面

证明向量共面

已知O是空间任意一点,A.B.C.D四点满足任意三点均不共线,但四点共面,且O-A=2xB-O+3yC-O+4zD-O,则2x+3y+4z=?

写详细点怎么做谢谢了~明白后加分！!

我假定你的O-A表示向量OA。

由O的任意性，取一个不在ABCD所在平面的O，这时若OA=b*OB+c*OC+d*OD，那么b+c+d必定等于1。

(证明：设O在该平面上的投影为p，那么对平面上任何一点X，OX=Op+pX，然后取X=A、B、C、D代你给的关系式并比较Op分量即可。)

你给的右端向量都反向，所以2x+3y+4z=-1。

2充分不必要条件。

如果有三点共线，则第四点一定与这三点共面，因为线和直线外一点可以确定一个平面，如果第四点在这条线上，则四点共线，也一定是共面的。

而有四点共面，不一定就其中三点共线，比如四边形的四个顶点共面，但这四个顶点中没有三个是共线的。

“三点共线”可以推出“四点共面”，但“四点共面”不能推出“三点共线”。因此是充分不必要条件

任取3个点，如果这三点共线，那么四点共面;如果这三点不共线，那么它们确定一个平面，考虑第四点到这个平面的距离。方法二A、B、C、D四点共面的充要条件为向量AB、AC、AD的混合积(AB,AC,AD)=0。方法三A、B、C、D四点不共面的充要条件为向量AB、AC、AD线性无关。

3已知O是空间任意一点,A.B.C.D四点满足任意三点均不共线,但四点共面,且O-A=2xB-O+3yC-O+4zD-O,则2x+3y+4z=?

写详细点怎么做谢谢了我假定你的O-A表示向量OA。

由O的任意性，取一个不在ABCD所在平面的O，这时若OA=b*OB+c*OC+d*OD，那么b+c+d必定等于1。

(证明：设O在该平面上的投影为p，那么对平面上任何一点X，OX=Op+pX，然后取X=A、B、C、D代你给的关系式并比较Op分量即可。)

你给的右端向量都反向，所以2x+3y+4z=-1。

4Xa-Yb+Yb-Zc+Zc-Xa=0

∴Xa-Yb=-(Yb-Zc)-(Zc-Xa)

由共面判定定理知它们共面。

简单的说一个向量能够用另外两个向量表示，它们就共面。详细的看高中课本

41.若向量e1、e2、e3共面，(i)其中至少有两个不共线，不妨设e1,e2不共线，则e1,e2线性无关，e3可用e1,e2线性表示，即存在实数λ，μ，使得e3=λe1+μe2,于是

λe1+μe2-e3=0.即存在三个不全为零的实数λ，μ，υ=-1，使得

λe1+μe2+υe3=0”。

(ii)若e1,e2,e3都共线，则其中至少有一个不为0，不妨设e1≠0，则存在实数λ，使得e2=λe1.于是λe1-e2=0,即存在三个不全为零的实数λ，μ=-1，υ=0，使得λe1+μe2+υe3=0”.2.存在三个不全为零的实数λ，μ，υ，使得λe1+μe2+υe3=0”，不妨设λ≠0，就有e1=(-μ/λ)e2+(-υ/λ)e3,于是e1,e2,e3共面。

第五篇：向量空间证明

向量空间证明解题的基本方法：

1)在立体几何图形中，选择适当的点和直线方向建立空间直角坐标系 中 2)若问题中没有给出坐标计算单位，可选择合适的线段设置长度单位;3)计算有关点的坐标值，求出相关向量的坐标;4)求解给定问题

证明直线与平面垂直的方法是在平面中选择二个向量，分别与已知直线向量求数积，只要分别为零，即可说明结论。

证明直线与平面平行的关键是在平面中寻找一个与直线向量平行的向量。这样就转化为证明二个向量平行的问题，只要说明一个向量是另一向量的m(实数)倍，即可 只要多做些这方面的题，或看些这方面的例题，也会从中悟出经验和方法 2 解：

因为x+y+z=0 x=-y-z y=y+0*z z=0*y+z(x,y,z)=(-1，1，0)*y+(-1，0，1)*z y,z为任意实数

则：(-1，1，0);(-1，0，1)是它的一组基，维数为2(不用写为什么是2)步骤1 记向量i，使i垂直于AC于C，△ABC三边AB,BC,CA为向量a,b,c ∴a+b+c=0 则i(a+b+c)=i·a+i·b+i·c =a·cos(180-(C-90))+b·0+c·cos(90-A)=-asinC+csinA=0 接着得到正弦定理 其他 步骤2.在锐角△ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c。