苏教版高中数学必修2教案立体几何初步第21课时两个平面平行的判定和性质

第一篇：苏教版高中数学必修2教案立体几何初步第21课时两个平面平行的判定和性质

第21课时两个平面平行的判定和性质

教学目标：

使学生掌握两个平面的位置关系，两个平面平行的判定方法及性质，并利用性质证明问题；注意等价转化思想在解决问题中的运用，通过问题解决、提高空间想象能力；通过问题的证明，寻求事物的统一性，了解事物之间可以相互转化，通过证明问题、树立创新意识。

教学重点：

两个平面的位置关系，两个平面平行的判定和性质。

教学难点：

判定定理、例题的证明，性质定理的正确运用。

教学过程：

1．复习回顾：

师生共同复习回顾，线面垂直定义，判定定理.性质定理归纳小结线面距离问题求解方法，以及利用三垂线定理及其逆定理解决问题.立体几何的问题解决：一是如何将立体几何问题转化成平面几何问题，二是数学思想方法怎样得到充分利用、渗透，这些都需在实践中进一步体会.下面继续研究面面位置关系.2．讲授新课：

1.两个平面的位置关系

除教材上例子外，我们以所在教室为例，观察面与面之间关系.［师］观察教室前后两个面，左、右两个面及上下两个面都是平行的，而其相邻两个面是相交的.［师］打开教材一个是竖直放在桌上，其间有许多个面，它们共同点是都经过一条直线.观察教室的门与其所在墙面关系，随着门的开启，门所在面与墙面始终有一条公共线.结合生观察教室的结论、引导其寻找平面公共点，然后给出定义.定义：如果两个平面没有公共点，我们就说这两个平面互相平行.如果两个平面有公共点，它们相交于一条公共直线.两个平面的位置关系只有两种：

（1）两个平面平行——没有公共点；

（2）两个平面相交——有一条公共直线.［师］两个平面平行，如平面α和平面β平行，记作α∥β

2.两个平面平行的判定

判定两个平面平行可依定义，看它们的公共点如何.［师］由两个平面平行的定义可知：其中一个平面内的所有直线一定都和另一个平面平行.这是因为在这些直线中，如果有一条直线和另一平面有公共点，这点也必是这两

个平面的公共点，那么这两个平面就不可能平行了.另一方面，若一个平面内所有直线都和另一个平面平行，那么这两个平面平行，否则，这两个平面有公共点，那么在一个平面内通过这点的直线就不可能平行于另一个平面.由此将判定两个平面平行的问题转化为一个平面内的直线与另一个平面平行的问题，但事实上判定两个平面平行的条件不需要一个平面内的所有直线都平行于另一平面，到底要多少条直线（且直线与直线应具备什么位置关系）与另一面平

行，才能判定两个平面平行呢？

下面我们共同学习定理.两个平面平行的判定定理：

如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两

个平面平行.［师］以上是两个平面平行的文字语言，另外定理的符号语言为：

若aα，bα，a∩b=A,且a∥α,b∥β，则α∥β.利用判定定理证明两个平面平行，必须具备：

①有两条直线平行于另一个平面，②这两条直线必须相交.［师］再从转化的角度认识该定理就是：线线相交、线面平行面面平行.［生］在判断一个平面是否水平时，把水准器在这个平面内交叉地放两次，如果水准器的气泡都是居中的，就可以判定这个平面和水平面平行，实质上正是利用了面面平行的判定定理.例1：求证：垂直于同一直线的两个平面平行

已知：α⊥AA′,β⊥AA′

求证：α∥β.分析：要证两个平面平行，需设法证明一面内有两相交线

与另一面平行，那么由题如何找出这两条线成为关键.如果这样的线能找到问题也就解决啦.诱导学生思考怎样找线.［生］通过作图完成找线，利用转化解决问题、证明如下：

证明：设经过AA′的两个平面γ、θ分别与平面α、β相交于直线a、a′和b、b′

∵AA′⊥α，AA′⊥β

∴AA′⊥a,AA′⊥a′

又aγ,a′γ∴a∥a′,于是a′∥a

同理可证b′∥a又a′∩b′=A′∴α∥β.［师］这是一个重要的结论，主要用来判断空间的直线与平面具备条件：两个平面垂直于同一直线，则应有：这两个平面平行.用符号语言就可以表示为：

l⊥α，l⊥βα∥β.此题也告诉我们，空间的两个平面平行，其判定方法：1°定义.2°判定定理.3°例1结论

.［师］请同学思考：两个平面平行，那么其中一个平面内的直线与另一面具有什么关系？

［生］通过作图可以发现，若平面α和平面β平行，则两面无公共点，那么也就意味着平面α内任一直线a和平面β也无公共点，即直线a和平面β平行.用式子可表示为：α∥β，aαa∥β

用语言表述就是：

如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面.［师］归纳总结.此结论在以后的解决问题过程中可直接运用，既是面面平行的性质定理，又是线面平行的判定定理.［师］如图，设α∥β，α∩γ＝a,β∩γ＝b，我们研究两条交线a、b的位置关系.［生］观察、分析可发现

因为α∥β，所以a、b没有公共点，而a、b又同在平面γ内，于是有a∥b

［师］下面给出两个平面平行的性质定理.两个平面平行的性质定理：

如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行.已知：α∥β,α∩γ＝a,β∩γ＝b

求证：a∥b.分析：师生共同活动

通过前面的学习，我们知道判定两线平行的途径有：

（1）利用定义：在同一平面内没有公共点的两条直线平行.（2）运用公理：证明这两直线平行于同一直线.（3）依据性质定理：线面平行的性质定理，如果一条直线平行于一个平面、经过这条直线的平面与已知平面相交，那么这条直线和交线平行，线面垂直的性质定理，垂直于同一平面的两条直线平行.而题目中证明a∥b，a、b又同在平面γ内，且分别在两个平行平面内，因此本题的证明可利用方法（1）.证明：∵平面α∥平面β

∴平面α和平面β没有公共点

又aα，bβ

∴直线a、b没有公共点

又∵α∩γ＝a，β∩γ＝b

∴aγ，bγ

∴a∥b.［师］同学们接下来研究两个平行平面内的所有直线是否都平

行.已知两个平面平行，依据性质定理：

一个平面内的任何直线都平行另一平面

.依据性质定理：若有第三个平面和两个平行平面相交，那么它们的交线平行，但是，能不能说两个平行平面内的所有直线都是互相平行的呢？如上图，α∥β，aα，bβ，可以看出：只有当a、b确定平面时，依据性质定理，a与b才平行，否则就不平行，直线a与b能相交吗？

［生］不能.这是因为，若a∩b=A∵aα,∴A∈α

又bβ，∴A∈β∴α与β必相交

因此a、b不可能相交.由此在两个平行平面内的直线，它们可能是平行直线，也可能是异面直线.师引导学生得出结论：两个平行平面的判定定理与性质定理的作用，要害都集中在“平行”二字上，判定定理解决的问题是；在什么样的条件下两个平面平行，性质定理说明的问题是；在什么样的条件下两条直线平行，前者给出了判定两个平面平行的一种方法；后者给出了判定两条直线平行的一种方法.［师］下面以例题说明性质定理在解决问题时作用.例2：求证：如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面.已知:α∥β，l⊥α，l∩α＝A

求证：l⊥β.［设法创造条件，找到平面γ，使之与平面α和平面β相交，使

之可利用性质定理解决问题.］

证明：在平面β内任取一条直线b，平面γ是经过点A与直线b的平面，设γ∩α＝a

因为b是平面α内任意一条直线，所以根据直线与平面垂直的定义，可知l⊥β.［师］上述例2所证明的命题用符号表示就是α∥β,l⊥αl⊥β.用转化的思想可解释为

面面平行、线面垂直线面垂直

这是一个关于两个平面平行的性质的一个命题，可以用来判断直线与平面垂直.4.两个平行平面的距离

［师］由线面距离，进一步研究面面距离，请同学归纳表述.［生］（1）两个平行平面的公垂线、公垂线段的定义：

和两个平行平面同时垂直的直线，叫做这两个平行平面的公垂线，它夹在这两平面间的部分，叫做这两个平行平面的公垂线段.α∥β

如果AA′,BB′都是它们的公垂线段

那么AA′∥ΒΒ′

依两个平面平行的性质定理

有A′B′∥AB

那么四边形ABB′A′是平行四边形，AA′＝BB′

由此我们得到，两个平面平行，这两个平面的公垂线段都相等.（2）两个平行平面的距离：两个平行平面的公垂线段的长度叫做两个平行平面的距离.3．课堂练习：

课本P41练习1，2，3，44．课时小结：

本节课主要研究如何证明两个平面平行？其途径可以选择从公共点的角度考虑.但要说明两面没有公共点，是比较困难的，而要用定理判定的话，关键是线应具备“相交”“平行”要求.例1也可作为结论直接运用；两个平面平行，即面面平行，可得，其中一面内的线平行于另一个平面，即线面平行；两个平面平行，即面面平行，可得，两个平面与第三平面相交，交线平行，即线线平行；求面与面距离可转化为线面距离，进而转化为点面距离。

5．课后作业：

课本P47习题1、2、3、4、5.

第二篇：苏教版高中数学必修2教案立体几何初步第26课时 两个平面垂直的判定和性质习题课(二)

第26课时 两个平面垂直的判定和性质习题课

（二）教学目标：

通过本节教学提高学生解决问题能力；进一步提高学生认知图形能力、空间想象能力；从多角度解答问题过程中，感悟等价转化思想运用；创新精神，实践能力在数学中的体现、渗透。

教学重点：

两个平面所成二面角的棱寻求、角的求解。

教学难点：

找求问题解决的突破口，转化思想渗透。

教学过程：

1．复习回顾：

1）二面角的平面角找法依据.2）三垂线定理及逆定理.2．讲授新课：

［师］前面研究了如何找一个二面角的平面角，解决的途径有定义法、三垂线法、垂面法，除此外又给了面积射影法求二面角.本节主要研究无棱二面角的求解思路、方法.近几年的高考试题涉及无棱二面角问题的题目也较突出.找无棱二面角的棱依位置可分二类，例1：如图，在所给空间图形中ABCD是正方形，PD⊥面ABCD，PD=AD.求平面PAD和面PBC所成二面角的大小.［师］面PAD和面PBC图中只给出一个公共点，那么怎样找棱呢？请思考.［生］作线在面内进行，BC∥AD则经BC的平面与 面PAD的交线应平行，由此想到经P作BC或AD平行线，找到棱后的主要问题就是找平面角.解法如下：

解：经P在面PAD内作PE∥AD，AE⊥面ABCD，两线相交于E，连BE ∵BC∥AD 则BC∥面PAD

∴面PBC∩面PAD＝PE ∴BC∥PE

因PD⊥面ABCD，BC⊥CD 那么BC⊥PC，BC⊥面PDC 即有PE⊥面PDC PE⊥PD，PE⊥PC

∠CPD就是所求二面角的平面角 因PD＝AD，而AD＝DC

⊥面AC1，E∈BB1，AA1＝A1B1，求面A1EC与面ABC所成二面角的大小.［师］此题显然依上述方法去找平行线已不可能.由图B1C1与CE不平行.但与前两个问题的相同点还是两面从图形看到的只有一个公共点，依公理我们只有去找另一公共点，观察图我们可看到CE与B1C1是同一平面内线，突破口就选在面B1C1CB内，找到点后，二面角的棱也就找到.请同学思考并表述过程.解：∵A1是平面A1EC与平面A1B1C1的一个公共点，∴只需找到另一个公共点，即可.因AA1＝A1B1＝A1C1，连AC1 则AC1⊥A1C，AC1∩A1C＝O 取BB1的中点E，连EO

因面ABC是正三角形，则经B作BG⊥AC有 BG⊥面AC1，OE∥BG ∴OE⊥面AC1

因面A1EC⊥面AC1，故E是BB1中点

1那么EB1∥

CC1

＝2∴CE与B1C1延长后必交于一点F，即F为面A1EC，面A1B1C1的另一个公共点

连A1F，则A1F为面A1EC与面A1B1C1所成二面角的棱 因FB1＝B1C1＝A1B1，∠A1B1F＝120° ∴∠FA1B1＝30°

那么∠C1A1F＝90°即A1C1⊥A1F 那么CA1⊥A1F（三垂线定理）

∠CAC1为面A1EC与面A1B1C1所成二面角的平面角.∠CA1C1＝45°，因AA1∥ BB1∥ CC1

＝＝而面ABC∥面A1B1C1

∴面A1EC与面ABC所成二面角大小为45°.［师］找公共点F是解此题关键，例1、2是通过公共点作棱，例3是通过再找公共点而得棱.因题条件不同而采用不同作法.例1、2找棱的方法不妨叫“作平行线”，例3的方法叫“找公共点”.［师］问题的解决不一定就一种思路，一条途径，只要多去想条件涉及到的知识点，解决方法总会找到，“柳暗花明又一村”的境界一定能达到.3．课时小结：

依图形结构，对两类问题（例1、2为一类，例3为一类）分别用“作平行线”法及“找公共点”法完成，但一切问题都不是绝对的。4．课后作业：

第三篇：苏教版高中数学必修2教案立体几何初步第9课时平行直线(二)

第9课时平行直线

（二）教学目标：

使学生了解并掌握等角定理及其推论；通过对等角定理证题思路的分析，帮助同学进一步熟悉分析法、综合法，提高同学的解题能力；会应用等角定理及其推论证明简单的几何问题；使学生认识事物之间的相似性和变异性，培养学生科学的严谨态度。教学重点、难点：

等角定理及其推论.等角定理解决了角在空间中的平移问题，在平移变换下，角的大小不变.它是两条异面直线所成角的依据，也是以后研究二面角及与角有关的内容的理论基础，而且还提供了一个研究角之间关系的重要方法——平移法。

教学过程：

1．复习回顾：

［师］上节课我们讨论了空间两条直线的位置关系和平行公理，请同学们回忆一下，空间两条直线的位置关系有几种，其特征各是什么？平行公理的具体内容是怎样的？ ［生甲］空间两条直线的位置关系有三种，分别是相交、平行、异面，它们各自的特征是：相交直线——有且仅有一个公共点；平行直线——在同平面内，没有公共点；异面直线——不同在任何一个平面内或既不相交又不平行的两条直线.［生乙］平行公理是：平行于第三条直线的两条直线互相平行.［师］好！同学们的回答完全正确.我们来看这样一个问题：

（如图）在正方体AC1中，求证BC1 ∥ AD1.＝

分析：要想证明BC1 ∥ AD1，只要证明—— ＝

［生］只要证明四边形ABC1D1是平行四边形就

行了.（学生若答不出来，教师可做必要的提示、诱导）.［师］怎样证明四边形ABC1D1是平行四边形呢？

［生］只要证明C1D1 ∥ AB就行了.＝

［师］怎样证明C1D1 ∥ AB呢？ ＝

［生］因为C1D1 ∥ A1B1,AB ∥ A1B1，由平行公理C1D1 ∥ AB.＝＝＝

［师］至此，我们找到了证明的思路，请一位同学在黑板上写出证明过程，其余同学在下面自己整理，写出证明.A1B1 C1D1 ∥＝证明： C1D1 ∥ AB四边形ABC1D1是平行四边形BC1 ∥ ADAB ∥ A1B1＝＝＝

［师］通过刚才的分析与证明，我们是否可类似地说正方体中AB1 ∥ DC1呢？ ＝

［生］（观察，答）可以.［师］为什么？

［生］道理与刚才的证明相同.［师］可不可以说，正方体相对两个面上的同向或逆向的两条对角线平行且相等呢？ ［生］可以.［师］大家再观察一下，正方体上的哪些棱是平行且相等的呢？

［生］„„（让学生答一答是有好处的）.［师］到今天为止，我们学习立体几何已有好几天了，大家是否想过：直线有长短吗？平面有大小吗？

［生］直线没有长短，它是向两个方向无限伸长的，平面没有大小，它是向四面无限扩展的.［师］直线不仅没有长短，而且没有粗细；平面不仅没有大小，而且没有厚薄，同样的点没有大小.大家再考虑一下，确定一条直线的条件是什么？确定一个平面的条件是什么？

［生］两点确定一条直线；不在同一直线上的三点确定一个平面，直线与它外面的一点确定一个平面，两条相交直线确定一个平面，两条平行直线确定一个平面.［师］很好！平行的传递性在平面内是成立的，在空间也是成立的，这就是我们学习的平行公理，也可以说平行的传递性从平面推广到空间仍是成立的.在平面几何中，顺次连结四边形各边的中点，可以得到一个平行四边形，昨天我们做的一个作业题，顺次连结空间四边形各边的中点，同样也可以得到一个平行四边形，这个可不可以说也是从平面到空间的一个推广呢？

［生］可以.［师］从上面的这些例子可以看出，有些平面图形的性质，可以推广到空间图形中来，这种根据事物的特性，由已知性质推导出未知性质的方法叫类比法，类比法是人类发现真理的一种重要方法.［师］大家再来看这样一个问题：在平面几何中，我们学过这样一个定理：“如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等”，这个定理能不能推广到空间图形呢？

（学生不知该怎样回答）

［师］今天我们就来讨论这个问题.2．新课讨论：

［师］请大家先用竹签比试比试.看这两个角是否相等.（学生动手、观察）

［师］一艘大货轮与一只小船在大海中都向东北方向航行，他们前行的方位角怎样呢？

（学生思考，通过动手演示、观察，实例思考，不难从感性上对这个命题加以肯定）.［师］我们已观察到“如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，并且方向相

同，那么这两个角相等”，（板书定理）现在让我们从理论上对这个命题加以证明.已知：∠BAC和∠B′A′C′的边AB∥A′B′，AC∥A′C′，并且方向相同，（AB∥

A′B′且方向相同，即AB的方向相同，AC∥A′C′且方向相同，即 与AC的方向相同）.求证：∠BAC＝∠B′A′C′.分析：对于∠BAC和∠B′A′C′在同一平面内的情形，在初中平面几何中已作过证明，下面我们证明两个

角不在同一平面内的情形.［师］在平面几何中，要证明两个角相等，我们用过哪些方法？

（学生回忆、思考、发言）

［生］对顶角相等；

同腰三角形的两底角相等；

平行线中的同位角（或内错角）相等；

全等三角形的对应角相等；

相似三角形的对应角相等，等等.［师］现在∠BAC与∠B′A′C′是不在同一平面内的两个角，如何证明它们相等呢？

（同学们议论、发言）

［生］因为它们不是对顶角，也不是同一个三角形的两个角，因而不能用“对顶角相等”或“等腰三角形的两底角相等”来证明，它们不在同一平面内，因而也不可能是同位角或内错角，因此也就不能用平行线的性质去证明.考虑能不能用全等三角形或相似三角形的性质来证.［师］××同学的分析很好！要想用全等三角形或相似三角形的性质证.首先得有三角形，而现在的图中仅是两个角，为此需要以这两个角为基础，构造出两个三角形，既然是要构造三角形，干脆从全等考虑好了.在AB、A′B′、AC、A′C′上分别截取AD＝A′D′、AE＝A′E′，连结DE、D′E′，得到△ADE和△A′D′E′

我们来看这两个三角形是否全等.［生］这两个三角形已经有两条边对应相等（AD＝A′D′，AE＝A′E′，所作），再有一个条件两个三角形就能全等了.［师］再找个什么条件呢？找角虽然不可能.若能，我们的问题就解决了，还麻烦什么呢？那就只有集中精力证DE＝D′E′了.大家看怎样来证明DE＝D′E′呢？DE、D′E′孤零零的两条线段，没有联系，怎样证呢？

［生］（受到孤零零，找联系的启示）添辅助线将DE、D′E′联系起来，连结 DD′、EE′，若能证明DEE′D′是平行四边形就好了

［师］怎样证明四边形DEE′D′是平行四边形呢？大家再想想办法看.［生］只要证明DD′∥ EE′就行了.＝

［师］要想证明DD′∥ EE′，还得再找一个“媒介”.能否再找到一条线段，使＝

DD′、EE′都和它平行并且相等呢？

（同学们观察图形、思考分析）

［生］连结AA′.在四边形AA′E′E中，因为AE=A′E′，AE∥A′E′,所以四边形AA′E′E是平行四边形，所以EE′∥ AA′，同样道理 ＝

可得DD′∥ AA′，由平行公理DD′∥ EE′.＝＝

［师］至此，问题得到解决，请同学们再把思路理一理，写出定理的证明过程.（学生再看题，理顺思路，整理信息，请一位同学将证明过程板书于黑板上）

证明：在AB、A′B′、AC、A′C′上分别截取AD＝A′D′，AE＝A′E′，连DE、D′E′，连DD′、EE′、AA′

.［师］通过理论上的证明.我们说“如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，并且方向相同，那么这两个角相等”，无论在平面，还是在空间都是成立的.把上面两个角的两边都反向延长，可得出下面的推论：

推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行.那么这两组直线所成的锐角（或直

角）相等.［师］请同学们注意：这个定理及其推论对于平面图形是成立的，对于空间图形也是成立的.平面图形的性质可以推广到空间图形的例子，尽管我们举了数个，但并不是所有平面图形的性质都可以推广到空间图形中来.例如，在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行，但在空间，垂直于同一条直线的两直线可以平行，也可以相交，还可以是异面直线.以后当我们学习了更多的空间图形的性质就会发现，还有许多平面图形的性质不能推广到空间图形.由此可见，根据事物的相似性，我们可以用类比的方法推导出许多新的性质.但又不能滥用类比，若忽视了事物的变异性，就会产生错误的推理，这是在推理过程中需要特别注意的地方.一般地说，要把关于平面图形的结论推广到空间图形，必须经过证明，绝不能单凭自己的主观猜测。

3．课堂练习：

课本P26练习.4．课堂小结：

本节课我们讨论了等角定理及其推论，它是我们学习后续知识的基础.对于等角定理，5．课后作业：

1、E、F、G、H2＝a，AC·BD＝b，求EG＋

2、如图，已知棱长为a点。（1）求证：四边形MNA1C1（2）求四边形MNAC1

11.预习课本P26~P28

2.预习提纲

（1）异面直线的概念.（2（3（4）异面直线所成角的范围是怎样的？

（5）怎样的两条异面直线互相垂直？

（6）互相垂直的两异面直线怎样表示？

（7）两条异面直线的公垂线的定义是什么？

（8）两条异面直线的公垂线有什么特征？

（9）两条异面直线的公垂线有几条？

（10）两条异面直线的距离的定义是什么？

思考与练习：

1.如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，但方向都相反，这两个角关系怎样？试画图并证明.提示：证明方法与等角定理的证法相同.2.空间的两个角的两边分别平行，则这两个角的大小关系是_______.答案：相等或互补

3.在空间一个角的两边与另一个角的两边分别垂直相交，则这两个角的大小关系是_______.答案：不能确定

4.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，∠CBB1的两边与哪个角的两边平行且方向相同？

∠CBB1的两边与哪个角的两边平行且方向相反？∠CBB1的两边和哪个角的两边平行，且一边方向相同而另一边方向相反？

答案：∠CBB1与∠DAA1的两边平行且方向相同； ∠CBB1与∠DD1A1、∠CC1B1的两边平行且方向相反； ∠CBB1与∠ADD1、∠AA1D1的两边平行，且一边方向相同而另一边方向相反.5.如图，已知线段AA′、BB′、CC′相交于O，且OA

OAOBOC

OBOC.求证：△ABC∽△A′B′C′.OAOB

证明：OAOBAOB∽△AOB

AOBAOB

AB

ABOA

OA

同理BC

BCOBOB

CAOCAB

ABBC

BCCA

CAOCCA



OAOBO

OAOBC

OC

△ABC∽△A′B′C′.

第四篇：100测评网高中数学立体几何同步练习§9.5两个平面平行的判定和性质(二)

欢迎登录100测评网进行学习检测，有效提高学习成绩.§9.5两个平面平行的判定和性质

（二）1．选择题

（1）a∥，b∥，a∥b，则与的位置关系是（）

（A）平行（B）相交（C）平行或相交（D）一定垂直

（2）以下命题中正确的是（）

（A）在一个平面内有两个点，到另一个平面的距离都是d（d＞0），则这两个平面平行

（B）在一平面内有不共线的三个点，到另一个平面的距离都是d（d＞0），则这两个平面

平行

（C）在一平面内有无数个点，到另一个平面的距离都是d（d＞0），则这两个平面平行

（D）在一平面内的任意一点，到另一个平面的距离都是d（d＞0），则这两个平面平行

（3）已知直线a，b，平面，，①a，b，a∥b；

②a，b，a∥，b∥；

③a⊥，b⊥；

④a∥b，a⊥，b⊥.以上条件中能推出∥的是（）

（A）①②（B）②③（C）①④（D）③④

2．填空题

（1）当∥时l⊥，则l与的关系是；

（2）当∥，∥，则与的关系是

（3）a，b是异面直线，l是它们的公垂线，∥，则l与的关系是3．已知∥，a，b，且a，b是异面直线，A∈，B∈，AB=12cm，若AB与成60，求a，b之间的距离.4．a，b是异面直线.（1）求证：过a，b分别有平面，，使∥.（2）求证：a，b之间的距离等于，之间的距离.本卷由《100测评网》整理上传，专注于中小学生学业检测、练习与提升.

第五篇：苏教版高中数学必修2教案立体几何初步第16课时直线与平面垂直的判定(一)

第16课时直线与平面垂直的判定与性质

（一）教学目标：

使学生能够利用等价转化的思想证明立体几何问题，提高学生逻辑思维能力，培养学生由图形想象出位置关系的能力；利用所学知识解释生活现象，激发学生学习数学积极性，能辩证地看待问题，学会分析事物间关系，进而选择解决问题途径。教学重点：

直线和平面垂直的判定。

教学难点：

判定定理的证明。

教学过程：

1．复习回顾：

［师］直线和平面平行的判定方法有几种？

［生］可利用定义判断，也可依判定定理判断.2．讲授新课：

1.直线和平面垂直的定义

［师］该章的章图说明旗杆与其影子之间构成的几何图形，请同学思考，随着时间的变化，影子在移动，这是变的一面，那么不变的一面是什么呢？

［讨论、观察片刻，提醒学生从位置关系去分析，师可用电

筒照射一杆，让学生得出结论］进而提醒学生观察右图。

［生］由图形可知，旗杆与地面内任意一条径B的直线垂直

（若先回答射影，可引导其抽象为直线）

师进一步提出：那么旗杆所在线与平面内不经过B点的线

位置如何呢？依据是什么？

［生］垂直.依据是异面直线垂直定义.生在师的诱导下，尝试地给出直线和平面垂直的定义：

如果一条直线l和平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l和平面α互相垂直.可记作l⊥α

其中直线l叫平面α的垂线.平面α叫直线l的垂面.［师］“任意一条直线”，说明直线l必须和平面内的所有直线都具有垂直关系.不能理解成无数条线，必须是全部.同学可找一反例说明.［生］当一条直线和一平面内一组平行线垂直时，该直线不一定和平面垂直.（可举教材中每一行字看成平行线，当钢笔与其垂直时，不一定钢笔就与教材所在面垂直）［师］若l∥α或lα，则l此时不会和α内任意一条直线垂直，由此，当l与α具有l⊥α关系时，直线l一定和α相交.直线和平面垂直时，它们惟一的公共点，即交点叫垂足.师进一步给出直线与平面垂直时，直观图的画法

.（师生共同规范地画出直线与平面垂直关系）

画直线与水平平面垂直时，要把直线画成和表示平面的平行四边形的横边垂直 l⊥α点P是垂足

让学生观察投影片中所给四个图形，能得出什么结论.经师诱导，生得到结论.［生］图（1）、（2）说明经过空间一点P作α的垂线只有一条，图（3）、（4）说明，经过空间一点P作l的垂面只有一个.除定义外，直线和平面垂直的判定还有什么方法呢？

2.直线和平面垂直的判定

例1：求证：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面.已知：a∥b，a⊥α

求证：b⊥α

分析：要证b⊥α，需证b与α内任意一条直线m垂直.运用等价转化思想证明与b平行的线a垂直于m，则

需依题设直线m存在.进而运用线垂直于面

线垂直于面内线完成证明.学生依图，及分析写出证明过程

证明：设m是α内的任意一条直线

［此结论可以直接利用，判定直线和平面垂直］

给出判定定理，学生思考证明途径.直线和平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么

这条直线垂直于这个平面.已知：mα，nα，m∩n=B，l⊥m，l⊥n.求证：l⊥α.分析：此定理要证明，需达到l⊥α关系.而由定义知只要能设法证明l垂直于α内任一条直线

即可，不妨设此线为g，则需证l⊥g就可以.证明l⊥g较困难，同学可考虑线段垂直平分线性质.学生先思考，如何先确定线位置

.由于已知条件中有m∩n=B,所以可先从l、g都通过点B的情况证起，然后再推广到其他情形，也可看成是分类讨论思想渗透.证明过程学生可先表述，然后共同整理.证明：设g是平面α内任一直线.（1）当l、g都通过点B时，在l上点B的两侧分别取点A、A′，使AB=A′B，则由已知条件推出m、n都是线段AA′的垂直平分线.1°g与m（或n）重合那么依l⊥m（或l⊥n）可推出l⊥g.2°g与m（或n）不重合，那么在α内任作一线CD

m∩CD=C,n∩CD=D,g∩CD=E

连结AC、A′C、AD、A′D、AE、A′E.∵AC=A′C，AD=A′D，CD=CD，∴△ACD≌△A′CD,得∠ACE=∠A′CE

即△ACE≌△A′CE,那么AE=A′E

∴g是AA′的垂直平分线，于是l⊥g

（2）当l、g不都通过点B时

过点B作l′、g′，使l′∥l，g′∥g

同理可证l′⊥g′，因而l⊥g

综上所述，无论l、g是否通过点B，总有l⊥g.由于g是平面α内任一直线，因而得l⊥α

［l、g不都通过点B，可解释为：l、g之一过点B，l、g都不过点B］

［师］对于判定定理注意二点.一是判定定理的条件中，“平面内的两条相交直线”是关键性词语，一定要记准、用对.二是要判断一条已知直线和一个平面是否垂直，取决于在这个平面内能否找出两条相交直线和已知直线垂直，至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点，这是无关紧要的.3．课堂练习：

1.判断题

（1）l⊥αl与α相交（）

（2）mα，nα，l⊥m，l⊥nl⊥α（）

（3）l∥m，m∥n，l⊥αn⊥α（）

解：（1）√若不相交，则应有l∥α，或lα.（2）×m、n若是两条平行直线，则命题结论不一定正确.（3）√由例题结论可推得.2.已知三条共点直线两两垂直，求证：其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面.已知：m、l确定平面α，m⊥n,l⊥n，m∩l=o

求证：n⊥α.证明：因

3.求证：平面外一点与这个平面内各点连结而成的线段中，垂直于平面的线段最短.［连结平面α内的两点，Q和R，设PQ⊥α，则∠PQR=90°，在Rt△PQR中，PQ＜PR.4．课时小结：

1.定义中的“任何一条直线”这一词语，它与“所有直线”是同义语、定义是说这条直线和平面内所有直线垂直.2.和平面垂直的直线是直线和平面相交的一种特殊形式.3.注意两个结论：

过一点有且只有一条直线和已知平面垂直.过一点有且只有一个平面和已知直线垂直.4.判定直线和平面是否垂直，本节课给出了三种方法：

（1）定义强调“任何一条直线”；

（2）例1的结论符合“两条平行线中一条垂直于平面”特征；

（3）判定定理必须是“两条相交直线”.5．课后作业：

预习：

（1）性质定理主要是讲什么？条件、结论各是什么？

（2）直线到平面距离如何转化为点到平面距离？