三角函数与平面向量综合练习范文

第一篇：三角函数与平面向量综合练习范文

三角函数与平面向量综合练习

1等边ABC的边长为1,设ABa,BCb,ACC,则abbcca（）

3131B．C．D． 222

22.若是第三象限角，且sincossin，则是（）222A．

A．第二、四象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角

3.已知P是ABC所在平面内的一点，若,R。则点P一定在（）A．ABC内部B．AC边所在直线上

C．AB边所在直线上D．BC边所在直线上

4.已知ABC中,点D在BC边上,且2,rs,则rs的值()

24B．C．3D．0 3

35.已知平面向量a(1,2)，b(2,m)，且a//b，则2a3b＝（）A．

A、(5,10)B、(4,8)C、(3,6)D、(2,4)

6.已知向量a(1,2)，b(2,3)．若向量c满足(ca)//b，c(ab)，则c（）A．(,B．(77

93777777,C．(,)D．(,393993

7.函数y4sin(2x

3的单调减区间是_____________

8.在AOB中，(2cos,2sin),(5cos,5sin)，若5，则AOB的面积为__________

9.若|a|1,|b|2,cab，且ca，则向量a与b的夹角为．

010.若a1,b2，与的夹角为60，若(3a5b)(mab)，则m的值为．

11.已知O，A，M，B为平面上四点，则(1)，(1,2)，则（）

A．点M在线段AB上B．点B在线段AM上

C．点A在线段BM上D．O，A，M，B四点共线

12.如图，在ABC中，BAC120,AB2,AC1,D是边BC上一点，DC2BD,则A __________.B C

13.过ABC的重心G任作一直线分别交AB,AC于点D,E，若m,n(mn0)，求证：

14.记向量n()(cos,sin)

（1）求两向量的数量积()(0)113． mn

（2）令函数f(x)(2x)(0)4(x)()(xR)，求函数f(x)的最小值及相应的x 

15.已知函数f(x)x)cos(x)（0π，0）为偶函数，且函数yf(x)图象的两相邻对称轴间的距离为

π（2）将函数yf的值；

8π．（利用公式：sin()sincoscossin）（1）求2πf(x)的图象向右平移个单位后，得到函数yg(x)的图象，求g(x)6的单调递减区间．

16.利用向量证明：在△ABC中，a，b，c为A，B，C的对边，则有

a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝c2＋a2－2cacosB，c2＝a2＋b2－2abcosC.

第二篇：三角函数与平面向量的地位

.三角函数与平面向量的地位

二.考试内容与要求

(一)三角函数:三角函数有16个考点

(1)理解角的概念的推广.弧度制的意义.能正确的进行弧度与角度的计算.(2)掌握任意角的正弦,余弦,正切的定义,了解余切,正割,余割的定义,了解周期函数与最小正周期的意义.(3)掌握同角三角函数的基本关系式,掌握正弦、余弦的诱导公式,掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式,掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式,并能正确运用三角公式进行简单的三角函数的化简,求值以及恒等式证明

(4)理解正弦函数、余弦函数,正切函数的图象和性质,会用”五点法”画出正弦函数,余弦函数和正切函数的简图,理解的物理意义

(5)掌握正弦定理,余弦定理,并能初步运用它们解斜三角形.会由已知三角函数求角,并会用符号arcsinx,arccosx,arctanx表示角.

第三篇：5-平面向量与复数综合练习

5—平面向量与复数综合练习

11111．i为虚数单位，＋＋＝()iiiiA．0B．2iC．－2iD．4i

2．设i，j是不共线的单位向量，a＝5i＋3j，b＝3i－5j，则a⊥b是i⊥j的()

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既非充分又非必要条件

3．若复数z＝1＋i，i为虚数单位，则(1＋z)·z＝()

A．1＋3iB．3＋3iC．3－iD．

3→→→→→4．若四边形ABCD满足AB＋CD＝0，(AB－AD)·AC＝0，则该四边形一定是()

A．直角梯形B．菱形C．矩形D．正方形

5．平面向量a与b的夹角为60°，a＝(2,0)，|b|＝1，则|a＋2b|＝()

A.3B．23C．4D．1

22＋i6．数的共轭复数是()1－2i

33AB.C．－iD．i 5

57．已知向量a、b不共线，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b.如果c∥d，那么()

A．k＝1且c与d同向B．k＝1且c与d反向

C．k＝－1且c与d同向D．k＝－1且c与d反向

8．a，b为平面向量，已知a＝(4,3)，2a＋b＝(3,18)，则a，b夹角的余弦值等于()

881616A.B．－C.D．－ 6565656

5→→→→9．已知两点M(－2,0)，N(2,0)，点P为坐标平面内的动点，满足|MN|·|MP|＋MN·NP＝0，则动点P(x，y)的轨迹方程为()

A．y2＝8xB．y2＝－8x

C．y2＝4xD．y2＝－4x 110.在△ABC中，AB=a，AC=b，且BD=DC，则AD=()

241211412A．a-bB．a+bC． a-bD．a+b 3333333

311．若向量a＝(1,1)，b＝(2,5)，c＝(3，x)满足条件(8a－b)·c＝30，则x＝________.12．设复数z满足(1＋i)z＝2，其中i是虚数单位，则z＝________.13．|a|＝1，|b|＝2，且a⊥(a－b)，则向量a与向量b的夹角是________．

1→1→3→→→14．在四边形ABCD中，AB＝DC＝(1,1)BA＋BC＝BD，则四边形ABCD的面积为________． →→→|BA||BC||BD|

15．已知A(3,0)，B(0,3)，C(cos α，sin α)．

π→→→→→→(1)若AC·BC＝－1，求sin(α的值；(2)若|OA＋OC|＝13，且α∈(0，π)，求OB与OC的夹角．

4→→→→16．已知向量OP＝(2cos x＋1，cos 2x－sin x＋1)，OQ＝(cos x，－1)，定义f(x)＝OP·OQ.(1)求函数f(x)的最小正周期；

→→(2)若x∈(0,2π)，当OP·OQ＜－1时，求x的取值范围．

32→→17．设O为坐标原点，已知向量OZ1，OZ2分别对应复数z1，z2，且z1＝＋(10－a2)i，z2＝(2a－a＋51－a

→→5)i(其中a∈R)，若z1＋z2可以与任意实数比较大小，求OZ1·OZ2的值．

18．已知△ABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量m＝(a，b)，n＝(sin B，sin A)，p＝(b－2，a－2)．

(1)若m∥n，求证：△ABC为等腰三角形；

π(2)若m⊥p，边长c＝2，角C＝，求△ABC的面积． 3

→→→→→→19．已知两点M(－1,0)，N(1,0)，且点P使NM·NP，PM·PN，MP·MN成公差为非负的等差数列．

→→(1)求点P的轨迹方程；(2)若θ为PM与PN的夹角，求θ的最大值及此时点P的坐标．

答案及解析

1．【解析】 原式＝－i＋i＋(－i)＋i＝0.【答案】 A

2．【解析】 a·b＝(5i＋3j)·(3i－5j)

22＝15|i|－16i·j－15|j|＝－16i·j.∴a⊥b是i⊥j的充要条件．

【答案】 C

3．【解析】 ∵z＝1＋i，∴(1＋z)·z＝(2＋i)(1＋i)＝1＋3i.【答案】 A

→→→→4．【解析】 由AB＋CD＝0知，AB＝DC，∴四边形ABCD是平行四边形．

→→→又(AB－AD)·AC＝0，→→∴DB·AC＝0，即AC⊥BD，因此四边形ABCD是菱形．

【答案】 B

5．【解析】 ∵|a|＝2，且|b|＝1，∴|a＋2b|2＝(a＋2b)2＝a2＋4a·b＋4b2

＝4＋4×2×1×cos 60°＋4×12＝12.∴|a＋2b|＝23.【答案】 B

2＋i2＋i1＋2i2＋i＋4i－26．【解析】 ∵＝＝＝i，51－2i1－2i1＋2i2＋i∴i.1－2i

【答案】 C

7．【解析】 ∵c∥d且a，b不共线，∴存在唯一实数λ，使c＝λd.∴ka＋b＝λa－λb，k＝λ，k＝－1，∴∴ 1＝－λ，λ＝－1.

【答案】 D

8．【解析】 ∵a＝(4,3)，2a＋b＝(3,18)，∴b＝(3,18)－2(4,3)＝(－5,12)，5，1216a·b4，3·－∴cos〈a，b〉＝＝|a|·|b|5×1365

【答案】 C

→→→9．【解析】 ∵MN＝(4,0)，MP＝(x＋2，y)，NP＝(x－2，y)，→→→→∴|MN|·|MP|＋MN·NP

＝x＋2＋y＋4(x－2)＝0.x＋2＋y＝2－x，化简得y2＝－8x.【答案】 B

10.B

11．【解析】 由(8a－b)·c＝30，得18＋3x＝30，x＝4.【答案】 4

21－i212．【解析】 z＝＝1－i.1＋i1＋i1－i

【答案】 1－i

13．【解析】 设向量a与b的夹角为θ，由a⊥(a－b)，得

a·(a－b)＝0，即|a|2－a·b＝0，∴|a||b|cos θ＝|a|2，|a|

2π∴cos θ＝，故θ＝.|b|24

π【答案】 4

14.3

→→15．【解】(1)∵AC＝(cos α－3，sin α)，BC＝(cos α，sin α－3)，→→∴AC·BC＝(cos α－3)cos α＋sin α(sin α－3)＝－1，得cos2α＋sin2α－3(cos α＋sin α)＝－1，2∴cos α＋sin α 3

π2∴sin(α＋)＝.43

→→(2)∵|OA＋OC|＝13，1∴(3＋cos α)2＋sin2α＝13，∴cos α 2

π313∵α∈(0，π)，∴α＝，sin α＝C()，3222

→→33∴OB·OC＝，2

→→设OB与OC的夹角为θ，且θ∈[0，π]，3→→2OB·OC3π则cos θ＝.故θ＝为所求． →→326|OB|·|OC|

→→16．【解】(1)f(x)＝OP·OQ

＝2cos2x＋cos x－cos 2x＋sin x－1＝sin x＋cos x

π＝2sin(x＋)，4

则f(x)的最小正周期为T＝2π.π2→→(2)由OP·OQ＜－1，得sin(x＋＜－42

又x∈(0,2π)，5ππ7π3π则x＋π＜x＜.4442

3π故x的取值范围是(π，． 2317．【解】 依题意z1＋z2为实数，由z1－(10－a2)i，a＋5

32∴z1＋z2＝[(a2－10)＋(2a－5)]i的虚部为0，a＋51－a

∴a2＋2a－15＝0，解得a＝－5，或a＝3.又分母不为零，∴a＝3，3此时z1＝i，z2＝－1＋i，8

3→→即OZ1＝，1)，OZ2＝(－1,1)，8

5→→3∴OZ1·OZ2＝×(－1)＋1×1＝.88

18．【解】(1)证明 ∵m∥n，∴asin A＝bsin B，由正弦定理，得a2＝b2，∴a＝b.∴△ABC为等腰三角形．

(2)由题意可知m·p＝0，即a(b－2)＋b(a－2)＝0.∴a＋b＝ab.由余弦定理可知，4＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab，即(ab)2－3ab－4＝0，∴ab＝4(舍去ab＝－1)，11π∴S＝absin C＝×4×sin3.22319．【解】(1)设点P的坐标为(x，y)，又M(－1,0)，N(1,0)，→→→→→→则PM＝－MP＝(－1－x，－y)，PN＝－NP＝(1－x，－y)，MN＝－NM＝(2,0)． →→∴NM·NP＝2(1－x)，→→→→PM·PN＝x2＋y2－1，MP·MN＝2(1＋x)，依题意得

222x2＋y2－1＝21＋x＋21－x，x＋y＝3，⇔ x≥0.21＋x－21－x≥0

∴点P的轨迹方程为x2＋y2＝3(x≥0)．

→→(2)(2)∵PM·PN＝(－1－x，－y)·(1－x，－y)

＝x2＋y2－1＝2，→→|PM|·|PN|＝－1－x＋－y1－x＋－y

＝4－x.→→PM·PN1∴cos θ＝＝.→→4－x|PM|·|PN|

∵0≤x≤3，1π∴≤cos θ≤1，∴0≤θ23

π∴θ的最大值为x＝0，3

∴点P的坐标为(0，3)．

第四篇：复数+平面向量+三角函数(解析版)

【高中文科数学专题复习之___】

复数+平面向量+三角函数

一、要点梳理

1、复数的有关概念

（1）复数的概念

形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数，其中a,b分别是它的实部和虚部。若b=0,则a+bi为实数，若b≠0,则a+bi为虚数，若a=0且b≠0，则a+bi为纯虚数。

（2）复数相等：a+bi=c+dia=c且b=d(a,b,c,d∈R).（3）共轭复数：a+bi与c+di共轭a=c，b=-d(a,b,c,d∈R).。

（4）复平面

建立直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面。x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴。实轴上的点表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数；各象限内的点都表示非纯虚数。

（5）复数的模

向量OZ的模r叫做复数z=a+bi的模，记为|z|或|a+bi|，即

2、复数的几何意义 复平面内的点Z（a,b）(a,b∈R);（1）复数z=a+bi

平面向量OZ（a,b∈R）（2）复数z=a+bi。

3、复数的运算

（1）复数的加、减、乘、除运算法则

设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则

①加法：z1+ z2=（a+bi）+（c+di）=(a+c)+(b+d)i;

②减法：z1-z2=（a+bi）-（c+di）=(a-c)+(b-d)i;

③乘法：z1· z2=(a+bi)·(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i;④除法：一一对应一一对应z1abi(abi)(cdi)(acbd)(bcad)i(cdi0)z2cdi(cdi)(cdi)c2d

2(2)复数加法的运算定律

复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1、z2、z3∈C，有z1+z2=z2+z1，（z1+z2）+z3=z1+（z2+z3）。

注：任意两个复数不一定能比较大小，只有这两个复数全是实数时才能比较大小。

4.向量的坐标运算

（1）A(x1,y1)，B(x2,y2),则AB(x2x1,y2y1)

（2）设i,j为x,y轴正向单位向量，若ABxiyj，则记AB(x,y)

xxyyxxyy（3）若a(x1,y1)，b(x2,y2)则ab(1ab(1 2,12)2,12)

a(x1,y1)abx1x2y1y

2aa//b

二、习题精练

x1y

1x1y2x2y1abx1x2y1y20 x2y．（2013年新课标Ⅱ卷）设复数z满足(1i)z2i,则z

A．1i

B．1i

C．1i

D．1i

（A）．（2013年山东）若复数z满足(z3)(2i)5(i为虚数单位),则z的共轭复数为（D）

A．2i

B．2i

C．5i

D．5i

（C）．（2013年广东）若复数z满足iz24i,则在复平面内,z对应的点的坐标是

A.2,4 B．2,4 C．4,2 D．4,2

（B）．（2013年辽宁）复数的Z

模为 i1

CD．2

A．2

B

5．（2013年高考四川）如图,在复平面内,点A表示复数z,则图中表示z的共轭复数的点是（B）

A．A B．B C．C D．D 6 ．（2013年新课标1）若复数z满足(34i)z|43i|,则z的虚部为

A．

4B．

（D）

C．4 D．

5（B）

7．（2013年浙江）已知i是虚数单位,则(1i)(2i)

A．3i

B．13i

C．33i

D．1i

8.把函数y＝sin2x的图象按向量→a＝(－，－3)平移后，得到函数y＝Asin(ωx＋)(A＞0，ω＞0，||＝62的图象，则和B的值依次为



A．

312



C．3

（B）D．－3

B．，3

9.已知A、B、C为三个锐角，且A＋B＋C＝π.若向量→p＝(2－2sinA，cosA＋sinA)与向量→q＝(cosA－sinA，1＋sinA)是共线向量.（Ⅰ）求角A；

C－3B（Ⅱ）求函数y＝2sin2B＋cos的最大值.3→【解】（Ⅰ）∵p、→q共线，∴(2－2sinA)(1＋sinA)＝(cosA＋sinA)(cosA－sinA)，则sin2A＝，4又A为锐角，所以sinA＝

3A＝2

3

(π－B)－3B

3C－3B

（Ⅱ）y＝2sin2B＋cos＝2sin2B＋cos

213

＝2sin2B＋cos(2B)＝1－cos2B＋sin2B

322

31

＝＋1＝sin(2B－)＋1.226

5

∵B∈(0，)，∴2B－∈(－)，∴2B－＝B＝ymax＝2.2666623

3→10.已知向量→a＝(3sinα,cosα)，→b＝(2sinα，5sinα－4cosα)，α∈(，2π)，且→a⊥b． 2（Ⅰ）求tanα的值；

α（Ⅱ）求cos(＋的值．

23→→→→解：（Ⅰ）∵a⊥b，∴a·b＝0．而→a＝（3sinα，cosα），→b＝(2sinα, 5sinα－4cosα)，→故→a·b＝6sin2α＋5sinαcosα－4cos2α＝0．

41由于cosα≠0，∴6tan2α＋5tanα－4＝0．解之，得tanα＝－，或tanα

314

∵α∈，2π），tanα＜0，故tanα＝（舍去）．∴tanα＝－．

223

3α3

（Ⅱ）∵α∈（2π）∈（π）．

2244α1αα5α2

5由tanα，求得tan，tan＝2（舍去）．∴sincos，32222525

ααα25153

∴cos(＝cossinsin＝－

232323525210

→11.设函数f(x)＝→a·b.其中向量→a＝(m，cosx)，→b＝(1＋sinx，1)，x∈R，且f()＝2.2（Ⅰ）求实数m的值；（Ⅱ）求函数f(x)的最小值.→解：（Ⅰ）f(x)＝→a·b＝m(1＋sinx)＋cosx，由f(＝2，得m(1＋sin＋cos＝2，解得m＝1.222(Ⅱ)由（Ⅰ）得f(x)＝sinx＋cosx＋12sin(x＋)＋1，4

当sin(x＋)＝－1时，f(x)的最小值为12.AA→A

12.已知角A、B、C为△ABC的三个内角，其对边分别为a、b、c，若→m＝(－，sin)，n＝，222A1→sin，a＝23，且→m·n＝．

（Ⅰ）若△ABC的面积S＝3，求b＋c的值．（Ⅱ）求b＋c的取值范围．

AAAA1→→【解】（Ⅰ）∵m＝(－，sin)，→n＝(cos，sin，且→m·n＝ 22222

AA11

∴－cos2＋sin2，即－cosA＝

2222

2

又A∈(0，π)，∴A＝3

又由S△ABC＝bcsinA＝3，所以bc＝4，2

由余弦定理得：a2＝b2＋c2－2bc·cosb2＋c2＋bc，∴16＝(b＋c)2，故b＋c＝4.bca2

（Ⅱ）由正弦定理得：＝4，又B＋C＝－A＝

sinBsinCsinA32

sin3



∴b＋c＝4sinB＋4sinC＝4sinB＋4sin(B)＝4sin(B)，3332

∵0＜B＜，则＜B＋＜sin(B，即b＋c的取值范围是，4.333323

第五篇：平面向量基本定理及相关练习(含答案)

平面向量2 预习：

1.两个非零向量夹角的概念：已知非零向量a和b，作OAa,OBb，则AOB(0)叫做向量a和b的夹角。

（1）0时，a和b同向；（2）时，a和b反向；（3）时，ab； 2（4）注意两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的，范围是0。2.两向量共线的判定

设a(x1,y1),b(x2,y2)，其中b0。3.我们都学过向量有关的哪些运算？ 4.力做的功：

W|F||s|cos,是F与s的夹角。讲授新课：

1.平面向量的数量积（内积）的定义：

已知两个非零向量a和b，他们的夹角为，我们把数量|a||b|cos叫做a与b 的数量积（内积）。

记为：ab，即ab|a||b|cos

规定：零向量与任一向量的数量积为0，即a00。2.投影的概念：

|b|cos叫做b在a方向上的投影，投影也是一个数量，不是向量。3.向量数量积（内积）的几何意义：

数量积ab等于a的长度|a|与|b|在a方向上的投影|b|cos的乘积。4.两个向量数量积的性质：

设a、b为两个非零向量（1）abab=0（2）当a和b同向时，ab=|a||b|

当a和b反向时，ab=-|a||b|  1

特别地，aa|a|2或|a|aa（3）|ab||a||b|（4）cosab|a||b|（5）平面向量数量积的运算律：

已知向量a、b、c和实数，则

①ab=ba（交换律）

②(a)b(ab)a(b)(数乘结合律)

③(ab)cacbc(分配律)5.平面两向量数量积的坐标表示：

已知两个非零向量a(x1,y1)，b(x2,y2)

两个向量数量积等于他们对应坐标的乘积的和，即abx1y1x2y2。6.平面内两点间的距离公式：

（1）设a(x,y),则|a|2x2y2或|a|x2y2；

（2）如果表示向量a的有向线段的起点和终边的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2)，|a|(x21x2)2(y1y2)（平面间两点的距离公式）。

7.向量垂直的判定：

设a(x1,y1)，b(x2,y2)则abx1x2y1y20 8.两向量夹角的余弦：（0）

cosab1x2y1y2|a||b|=xx2y222

11x2y2例1.已知A(1,2),B(2,3),C(2,5),试判断ABC的形状，并给出证明。

那么：

例2.在ABC中，AB(2,3),AC(1,k)，且ABC的一个内角为直角，求k的值。

例3.已知a(1,3),b(31,31)，则a与b的夹角是多少？求与a垂直的单位向量的坐标是多少？

1例4.已知A(3,2),B(1,1),若点P(x,)在线段AB的中垂线上，则x

2例

5、已知a(2,1),b(m,m1),若a与b的夹角为锐角，求实数m的取值范围。

同步练习：

33

1、已知a3,b4,向量ab与ab的位置关系为（）

44A．平行 B．垂直 C．夹角为 D．不平行也不垂直

32、在ABC中，AB(1,1),AC(2,k)，若ABC为直角三角形，求实数k的值。



3、已知a1,b2,(1)若a∥b,求ab；(2)若a与b的夹角为60°，求ab；(3)若ab与a垂 3

直，求a与b的夹角．

4、已知a1,b2,(ab)a，则a与b的夹角是

3b)(4a33b),(2a3b)(a

5、已知(a

3b),a0,b0，求a与b的夹角。



6、已知四边形ABCD中AB=(6,1), BC=(x,y)，CD=(-2,-3), (1)若BC∥DA,试探究 x与y间的关系式；

(2)满足(1)问的同时又有AC⊥BD,试求x,y的值及四边形ABCD的面积.答案： 1.B 2.（-2或0）3.4.45度

5.(arccos66)6.（1）x2y0（2）16