高中数学知识复习要点掌握之平面向量

第一篇：高中数学知识复习要点掌握之平面向量

平面向量复习基本知识点及经典结论总结

1、向量有关概念：

（1）向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。如已知A（1,2），B（4,2），则把向量AB按向量a＝（－1,3）平移后得到的向量是_____（答：（3,0））

（2）零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：，注意零向量的方向是任意的；

（3）单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB共线的单位向量是AB)；

|AB|

（4）相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；

（5）平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量、叫做平行向量，记作：∥，规定零向量和任何向量平行。提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性！（因为有0)；④三点A、B、C共线AB、AC共线；

（6）相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。的相反向量是－。如下列命题：（1）若ab，则ab。（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。（3）若ABDC，则ABCD是平行四边形。（4）若ABCD是平行四边形，则ABDC。（5）若ab,bc，则ac。（6）若a//b,b//c，则a//c。其中正确的是_______（答：（4）（5））

2、向量的表示方法：（1）几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如AB，注意起点在前，终点在后；（2）符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如，等；（3）坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j为基底，则平面内的任一向量a可表示为axiyjx,y，称x,y为向量a的坐标，a＝x,y叫做向量a的坐标表示。如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。

3.平面向量的基本定理：如果e1和e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a，有且只有一对实数

1、2，使a=1e1＋2e2。如（1）若a(1,1),b

13；（2）下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是 A.ab）2

213；（3）e1(0,0),e2(1,2)B.e1(1,2),e2(5,7)C.e1(3,5),e2(6,10)D.e1(2,3),e2(,)（答：B）2

424已知AD,BE分别是ABC的边BC,AC上的中线,且ADa,BEb,则BC可用向量a,b表示为_____ab）；33(1,1),c(1,2)，则c______（答：

（4）已知ABC中，点D在BC边上，且CD2DB，CDrABsAC，则rs的值是___（答：0）

4、实数与向量的积：实数与向量a的积是一个向量，记作a，它的长度和方向规定如下：1aa,2当>0时，a的方向与a的方向相同，当<0时，a的方向与a的方向相反，当＝0时，a0，注意：a≠0。

5、平面向量的数量积：

（1）两个向量的夹角：对于非零向量，作OAa,OBb，AOB

0称为向量，的夹角，当＝0时，同向，当＝时，反向，当＝2时，垂直。

（2）平面向量的数量积：如果两个非零向量a，b，它们的夹角为，我们把数量|a||b|cos叫做a与b的数量积（或内积或点积），记作：，即＝abcos。规定：零向量与任一向量的数量积是0，注意数量积是一个实数，不再是一个向量。如（1）△ABC中，|AB|3，|AC|4，|BC|5，则ABBC_________（答：－

9）；（2）已知a(1,),b(0,),cakb,dab，c与d的夹角为12124，则

k等于____（答：1）；（3）已知a2,b5,ab3，则ab等于____；（4）已知a,b是两个非零向量，且abab，则a与ab的夹角为____（答：30）

（3）b在a上的投影为|b|cos，它是一个实数，但不一定大于0。如已知|a|3，|b|5，且ab12，则向量a在向量b上的投影为______（答：







12）

5（4）的几何意义：数量积等于的模|a|与在上的投影的积。（5）向量数量积的性质：设两个非零向量，其夹角为，则： ①abab0；

②当，同向时，

＝ab，特别地，aaaa,a；当与反向时，＝－ab；当为锐角时，＞0，且a、b不同向，ab0是为锐角的必要非充分条件；当为钝角时，＜0，且a、b不反向，ab0是为钝角的必要非充分条件；

③非零向量，夹角的计算公式：cos





22abab

；④|ab||a||b|。如（1）已知a(,2)，b(3,2)，

如果a与b的夹角为锐角，则的取值范围是______（答：



41或0且）；（2）已知OFQ的面积为S，3

3

13

且OFFQ1，若S，则OF,FQ夹角的取值范围是_________（答：(,)）；（3）已知

432

2a(cosx,sixnb),与b之间有关系式kabkb,其中k0，①用k表示ab；②求ab的最(cyos,ysain

1k21

(k0)；②最小值为，60）小值，并求此时a与b的夹角的大小（答：①ab4k26、向量的运算：（1）几何运算：

①向量加法：利用“平行四边形法则”进行，但“平行四边形法则”只适用于不共线的向量，如此之外，向量加

法还可利用“三角形法则”：设ABa,BCb，那么向量AC叫做a与b的和，即abABBCAC；

②向量的减法：用“三角形法则”：设ABa,ACb,那么abABACCA，由减向量的终点指向被减向量的终点。注意：此处减向量与被减向量的起点相同。如（1）化简：①ABBCCD___；②ABADDC____

；③(ABCD)(ACBD)_____（答：①AD；②CB；③0）；（2）若正方形ABCD的边长为1，；（3）若O是ABC所在平面内一点，且满足ABa,BCb,ACc，则|abc|＝_____（答：）

ABCOBOCOBOC2OA，则ABC的形状为____（答：直角三角形）；（4）若D为ABC的边BC的中点，|AP|

；（5）若点O是△ABC的外，则的值为___（答：2）

|PD|

心，且OAOBCO0，则△ABC的内角C为____（答：120）；

（2）坐标运算：设a(x1,y1),b(x2,y2)，则：

所在平面内有一点P，满足PABPCP0，设

①向量的加减法运算：ab(x1x2，y1y2)。如（1）已知点A(2,3),B(5,4)，C(7,10)，若

1；（2）已知APABAC(R)，则当＝____时，点P在第一、三象限的角平分线上（答：）21

；（3）已知作用在点A(1,1)A(2,3),B(1,4),且AB(sinx,cosy)，x,y(,)，则xy或）22226的三个力F1(3,4),F2(2,5),F3(3,1)，则合力FF1F2F3的终点坐标是（答：（9,1））

②实数与向量的积：ax1,y1x1,y1。

③若A(x1,y1),B(x2,y2)，则ABx2x1,y2y1，即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标。如设A(2,3),B(1,5)，且AC

AB，AD3AB，则C、D的坐标分别是__________（答：

3(1,1

1；),(7,9)）

④平面向量数量积：abx1x2y1y2。如已知向量a＝（sinx，cosx）, b＝（sinx，sinx）, c＝（－1，0）。（1）

311,]，求向量、的夹角；（2）若x∈[函数f(x)的最大值为，求的值（答：(1)150;(2)842

2或1）；

若x＝

⑤向量的模

：|a|_____；

⑥两点间的距离：若Ax

1,y1,Bx2y,a|a|2x2y2。如已知

a,b均为单位向量，它们的夹角为60，那么|a3b|＝

，则|AB|如如图，在平面斜坐标系xOy中，xOy60，平面上任一点P关于斜坐标系的斜坐标是这样定义的：若OPxe1ye2，其中

（1）若点P的斜坐标为（2，e1,e2分别为与x轴、y轴同方向的单位向量，则P点斜坐标为(x,y)。－2），求P到O的距离｜PO｜；（2）求以O为圆心，1为半径的圆在斜坐标系xOy中的方程。（答：（1）2；（2）x2y2xy10）；



baab律：abca,bcac，bcabab；（3）分配律：

aaa,abab，abcacbc。如下列命题中：① a(bc)abac；②

7、向量的运算律：（1）交换律：abba，aa，abba；(2)结合











a(bc)(ab)c；③(ab)|a|

2













2|a||b||b|；④ 若ab0，则a0或b0；⑤若abcb,则ac；⑥aa；⑦

aba



ba；

⑧(ab)2ab；⑨(ab)2a2abb。其中正确的是______（答：①⑥⑨）提醒：（1）向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量，切记两向量不能相除(相约)；（2）向量的“乘法”不满足结合律，即()()，为什么？

8、向量平行(共线)的充要条件：a//bab(ab)2(|a||b|)2x1y2y1x2＝0。如(1)若向量

ua2b，v2ab，当x＝_____时a与b共线且方向相同（答：2）；（2）已知a(1,1),b(4,x)，a(x,1),b(4,x)，且u//v，则x＝______（答：4）；（3）设PA(k,12),PB(4,5),PC(10,k)，则k＝_____时，A,B,C共线（答：－2或11）

9、向量垂直的充要条件：abab0|ab||ab|

x1x2y1y20.特别地

（ABAB



ACAC)（ABAB



AC

3；（2）)。如(1)已知OA(1,2),OB(3,m)，若OAOB，则m）2AC

以原点O和A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形OAB，B90，则点B的坐标是________（答：(1,3)或（3，－1））；（3）已知n(a,b),向量nm，且nm，则m的坐标是________（答：(b,a)或(b,a)）

10.线段的定比分点：

（1）定比分点的概念：设点P是直线P1P2上异于P1、P2的任意一点，若存在一个实数，使PPPP2，则

1叫做点P分有向线段PP的定比分点； 12所成的比，P点叫做有向线段PP12的以定比为

（2）的符号与分点P的位置之间的关系：当P点在线段 P1P2上时>0；当P点在线段 P1P2的延长线上，则点P分有时<－1；当P点在线段P2P1的延长线上时1

0；若点P分有向线段PP12所成的比为

向线段P2P1所成的比为



。如若点P分AB所成的比为

37，则A分BP所成的比为_______（答：）

43x

，（3）线段的定比分点公式：设P则x1,y1)、P2(x2,y2)，P(x,y)分有向线段PP1(12所成的比为

y

x1x

21，y1y21

x1x2x2特别地，当＝1时，就得到线段P1P2的中点公式。在使用定比分点的坐标公式时，应明确(x,y)，yy1y22(x1,y1)、(x2,y2)的意义，即分别为分点，起点，终点的坐标。在具体计算时应根据题设条件，灵活地确定起点，分

1

点和终点，并根据这些点确定对应的定比。如（1）若M（-3，-2），N（6，-1），且MPMN，则点P的坐标为

1_______（答：(6,)）；（2）已知A(a,0),B(3,2a)，直线yax与线段AB交于M，且AM2MB，则a等于

32_______（答：２或－４）

xxh

11.平移公式：如果点P(x,y)按向量ah,k平移至P(x,y)，则；曲线f(x,y)0按向量ah,k

kyy

平移得曲线f(xh,yk)0.注意：（1）函数按向量平移与平常“左加右减”有何联系？（2）向量平移具有坐标不

变性，可别忘了啊！如（1）按向量a把(2,3)平移到(1,2)，则按向量a把点(7,2)平移到点______（答：（－８，(３））；（2）函数ysin2x的图象按向量a平移后，所得函数的解析式是ycos2x1，则a＝________（答：

12、向量中一些常用的结论：

（1）一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用；

（2）||a||b|||ab||a||b|，特别地，当a、b同向或有0|ab||a||b|



,1)）

；当a、b反向或有0|ab||a b不共线||a||b|||ab|；当a、|b||a||b||a||b).|a||b||a||ba||(这些和实数比较类似b

xx2x3y1y2y3

（3）在ABC中，①若Ax1,y1,Bx2,y2,Cx3,y3，则其重心的坐标为G1,。如

33若⊿ABC的三边的中点分别为（2，1）、（-3，4）、（-1，-1），则⊿ABC的重心的坐标为_______（答：(

4,)）； 3

3②PG(PAPBPC)G为ABC的重心，特别地PAPBPC0P为ABC的重心；

③PAPBPBPCPCPAP为ABC的垂心；

④向量(ABAC)(0)所在直线过ABC的内心(是BAC的角平分线所在直线)；

|AB||AC|

⑤|AB|PC|BC|PA|CA|PB0PABC的内心；

，点M为平面内的任一点，则MPMP1MP2，特别地P为PP（3）若P分有向线段PP12的中12所成的比为

1

1MP2； 点MPMP

2（4）向量PA、PB、PC中三终点A、B、C共线存在实数、使得PAPBPC且1.如平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A(3,1),B(1,3),若点C满足OC



1OA2OB,其中1,2R且



121,则点C的轨迹是_______（答：直线AB）

第二篇：2014高考数学复习：平面向量

高考数学内部交流资料【1--4】

2014高考数学复习：平面向量

一选择题（每题5分，共50分）

1.向量﹒化简后等于（）

A.AMB.0C.0D.AC

2.下面给出的关系式中，正确的个数是（）

10·=0○2 ·=·○

3○4○25ab a

A.0B.1C.2D.3 3.对于非零向量a.b,下列命题中正确的是（）

A.ab0 a0或b0B//在上的投

影为。C.D.acbcab

4.已知=5,2,=4,3,=x,y.若-2+3=.则等于()A.1,B.28

3138134134,C.,D., 333333

1AB()25已知2,4,2,6,A.(0,5)B.(0,1)C.(2,5)D.(2,1)6e1.e2是平面内的一组基底，则下列四组向量中，不能作为一组基底的是（）

A.e1 和e1e2B.e1—2e2和e22e1 C.e1—2e2和4e22e1 D.e1e2和e1—e2 7已知ABC中ABAC>0,则ABC的形状是（）

A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不能确定 8已知1,0,1,1，且k恰好与垂直，则实数k的值是（）

A.1B.—1C.1或—1D.以上都不对

9.已知=,2,3,5，且与的夹角是钝角，则的范围是（）

A.10101010B.C.D. 3333

10.已知,是夹角为60的两个单位向量，则2,3的夹角是（）A.30B.60C.120D.150

二．填空题（每题5分,共25分）

11.若a6,8，则与a平行的单位向量是12.若向量,12且与的夹角为13.

1

2，0，则与的夹角为





=3

14．设e1.e2为两个不共线的向量，若e1e2与2e13e2与共线，则15已知平面内三点A.B.C34

5,则的值等于三．解答题（共75分）

16(12分)已知向量a3e12e2,b4e1e2其中e11,0,e20,1求：（1），（2）与夹角的余弦值。

17(12分).已知向量3,4,2,x,2,y且//,求：（1）x,y的值；（2的值



18.（12分）已知向量sinx,1,cosx,1（1）当a//b时，求cosxsinxcosx的值；（2）求f(x)=的最小正周期及最值。

19.（12分）已知2,24,36（其中,是任意两个不共线

向量），证明：A.B.C三点共线。

20．（13分）已知ABC中，A5,1，B1,7,C1,2.求（1）BC边上的中线AM的长;（2）cosABC的值

21.（14

32,的夹角为60，c3a5b,dma3b；（1）当m为何值时，c与d垂直？（2）当m为何值时，c与d共线？

第三篇：2013高中文科平面向量习题精选

2013高中文科平面向量习题精选

一、证明三点共线

例1 如图，在空间四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点，G、H分别在BC、CD上，且BG : GC＝DH: HC＝1: 2.设EG和HF交于点P，求证P、A、C三点共线.

解设DAa,DBb,DCc，则ACDCDAca, F PFEF

3，∴ PF3FH 1∴PA3FHDF3DHDFDF3DCDFDF

3

DC2DFDCDAca

∴ PAAC且A为PA、AC公共点，故P、A、C三点共线

∵



B G

二、证明直线平行平面

D

A

M

A1

向量a平行平面ABC的充要条件是axAByAC

例2 直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是AB1与BC1上的点，且

CN C

1AMBN，求证MN∥平面ABCD.

11AMBN解 设ABa,ADb,AA1c,，则

AB1BC1

∵ MNANAMABBNAMaBC1AB1



aBB1B1C1AA1A1B1acbca



1a1b，且a与b不共线





∴ MN∥平面ABCD，而MN平面ABCD，故MN∥平面ABCD.三、证明直线垂直直线（或直线垂直平面）abab0

例3 如图，在四面体ABCD中，M是AB的中点，N是CD的中点，求证：MN是异面直线AB，CD的公垂线的充要条件是：AC＝BD，BC＝AD.

证明 设AMa,MNb,CNc



b0,bc0 必要性 若MN是异面直线AB，CD的公垂线，则a

∵ACAMMCAMMNNCabc，N



同样的可得 BDabc，BCabc,ADabc 2∴ ACabc



2222

abc2ac，BDabc



222

abc2ac

因此，AC＝BD，同理BC＝AD.

充分性 由AC＝BD，得abc



abc



abbc ①



由BC＝AD，得abc



abc





abbc ②



b0 故MN⊥AM，同理MN⊥CN，即 MN是异面直线AB，CD的公垂①＋②得 a

线.四、求异面直线的夹角

例4 在正四面体ABCD中，M、P分别为棱AD、CD的中点，N、Q分别是面BCD、面ABC的中心，求MN与PQ的夹角.

解 设正四面体的棱长为2，O为BC中点，ABa,ACb,ADc，则

abc2，abbcca2，111

∵ MNANAMAOONADAOODAD

32112111 AOADAOADAOADabc

QB2111

PQAQAPAOACAD2abc

O

M





2112

∴ MNabc1，即|MN|＝|PQ|＝1，63





1111MNPQ1

1MNPQabc2abc，cosMN,PQ

66218183MNPQ



1因此，MN与PQ的夹角为arccos

18

空间向量的基底的应用恰恰是教学中的薄弱环节,如果不注意及时补上这一课,久而久之,应用向量的思维会钝化,甚至会缘木求鱼.向量回路与基底

例：如图1，在平行四边形ABCD中E，F分别为AD，CD中点，连接BE，BF交AC于点R，T，求证R，T分别为AC三等分点。

图1

基底法证明：第一步，建立平面几何与向量的关系，用向量表示问题中的几何元素，将平面



几何问题转化成向量问题：设ABa，ADb，ARr，ATt，则ACab。



第二步，通过向量运算，研究几何元素之间的关系：由于AR与AC共线，所以，我们设

1

rn(ab)，nR，又因为EBABAEab，ER与EB共线，所以我们设

111ERmEBm(ab)。因为ARAEE，R所以rbm(ab)。因此

222

11m1

n(ab)bm(ab)，即(nm)a(nb0。由于向量a，b不共线，要

222

nm0121

使上式为0，必须。解得nm。所以ARAC，ATAC。m1

333n02

第三步，把运算结果“翻译”成几何关系：ARRTTC。



回路法证明：由题意得ABDC2FC，即ATTB2FT2TC。根据平面向量的基

本定理，可得AT2TC，故点T为AC三等分点。同理点R为AC三等分点。

从学生已有的知识储备来考虑，学生已经学过三角形相似，很容易证明ATBCTF，从而

ATAB

2，而学了教材上的新方法反而更复杂了。CTCF

基底法常见的作法是：一上来就设基底，然后将其他向量用基底表示，接下来只要计算就行了。而回路法则是：先充分利用题目已知条件列出等式，再逐步转化。



譬如上面的例题，一遇到平行四边形ABCD，基底法马上就设“ABa，ADb”，根本

不管题目中的另外已知条件。这样设基底，用处不大，通过“ABa，ADb”连AB、

AD是平行四边形ABCD的两邻边都看不出来。而回路法的“ABDC2FC”，短短一行

式子，就将平行四边形、中点两个基本信息包含在内了。解题，是从已知条件出发，利用推理规则，到达结论的彼岸。

面对一个题目，可用的方法、定理、公式，何其多矣，并不一定要用向量法，把大把可用的方法、定理、公式排除在外，结果只会是自我束缚，难以施展。

即使确定要用向量法，也没必要一上来就设基底，因为平面上任意两个不共线的向量都可以选择成为基底，那么我们完全用不着事先设定，而是走着瞧，谁用着方便就选谁。而题目的已知条件则是必须用到的，一个题目如果不是条件冗余，那么解题者必须把每个

条件至少用上一遍，才有可能解答出来。既然已知条件是必须用上的，就好比我们在生活中的有些事是必须做的那样，我们何不把这件事摆在首位呢？

向量回路法先充分利用题目条件列出等式，而不确定谁为基底，有点打游击战的感觉；笔者承认，回路法是比基底法更灵活，但我们教学生学习数学，不就是要教给学生灵活运用的能力么？回路法的灵活会激发学生的思考，远胜过基底法的生搬硬套带来的繁琐计算。数学教学，绝不是培养死套公式的解题机器。

解题不从题目已知条件出发，而总想生搬硬套。即使题目被解出来了，也缺少灵气。

向量解题，选择基底是必须的，就好比坐标法需要建立坐标系一样，否则就没法用平面向量基本定理，但笔者认为向量法的好处就在于不必像坐标法那样首先建坐标系。稍有经验的解题者就知道：坐标系的选取不同很大程度上决定了接下来的运算是否轻松。

本文例题涉及交点分线段比例，解析法求交点相当于解联立方程，解题人思路往往被导向解方程，以致走向弯路。向量回路法处理涉及交点的问题，其诀窍在于从一个涉及解题目标的回路等式出发，利用题设条件和回路等式代换尽量把等式中的向量都化到相交的线段上，从而应用基本定理获取关键信息。心中只要有了这个主见，相当多的几何问题可以迎刃而解。

平面向量基本定理同步训练题

1．下面给出三种说法，其中正确的说法是()

①一个平面只有一对不共线的向量可作为表示该平面所有向量的基底；②一个平面内有无数对不共线的向量可作为表示该平面所有向量的基底；③零向量不能作为基底中的向量．

A．①②B．②③C．①③D．①②③

2．如果e1,e2是平面α内所有向量的一组基底，那么，下列命题中正确的是()

A、若实数1,2使e1e20，则120

B、空间任一向量a都可以表示为a1e12e2，其中

1、2R C、1e12e2一定不在平面内，

1、2R

D、对于平面内任一向量a,使a1e12e2的实数12有无数对

3、设点O是平行四边形ABCD的两对角线的交点，下列向量组：①AD与AB；②DA与BC；③CA与DC；④OD与OB，可作为该平面其他向量基底的是（）A、①②B、①③C、①④D、③④

4、已知e1,e2是平面内两不共线向量a3e12e2,b2e1e2，若c7e14e2，试用a和b表示c。

5、如图2—3—1，平行四边形ABCD中，M、N分别为DC、BC的中点，已知AMc,ANd，试用c、d表示AB和AD。

6、若OP1a,OP2b,P1PPP2，则OP（）

A、ab

B、ab

C、a(1)b

D、1ab 11

7、已知平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点E，O是平面内任意一点。

8、如图2—3—2，在△OAB中，延长BA到C，使AC=BA，在OB

上取

求证：OAOBOCOD4OE

点D，使DBOB,DC与OA交于E,设OAa,OBb，用a、b表示向量、。

9、已知a与b不共线，实数x、y满足等式3xa(10y)b(4y7)a2xb，则

3x__________，y=________。

10、如图2—3—3在△ABC中，点M是BC的中点，点N在边AC上，且AN=2NC，AM与BN相交于点P，求AP：PM的值。

【参考答案】

1、B2、A3、B4、解：∵a,b不共线，设cxayb，则

cx(3e12e2)y(2e1e2)

(3x2y)e1(2xy)e

2又∵c7e14e2，∴7e14e2(3x2y)e1(2xy)e2 ∵e1,e2不共线，3x2y7,∴

2xy4,x1∴,ca2b。

y2

5、解：设a,b，则由M、N分别为DC、BC的中点，可得BN

从△ABN和△ADM中可得，1abd①2 

1bac②2

1b，DMa。

2(2dc)。32

②2①，得b(2cd)。

即AB(2dc),AD(2cd)

3①2②，得a

OP1OP21

ab。

111

7、证明：∵在△OAC中，OE为中线，∴()

21同理OE(OBOD)

∴4。

8、解：∵A是BC中点，∴OA(OBOC)

即OC2OAOB2ab

5DCOCODOCOB2abb2ab。

3333x4y747169、点拨： ,10y2x1111

6、D 点拨：

10、解：设e1,e2，则3e2e1,2e1e2，∵A、P、M和B、P、N分别共线，∴存在实数、u，使APAMe13e2，u2ue1ue2，而BABPAP(2u)e1(3u)e2，又∵2e13e2，4

2u25∴ ,

3u33u

5

∴,AP:PM4:1

第四篇：平面向量复习课教案

平面向量复习课

一．考试要求：

1、理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念。

2、掌握向量的加法和减法。

3、掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件。

4、了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算。

5、掌握平面向量的数量积及其几何意义。了解用平面向量的数量积可以处理有关长度，角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件。二．知识梳理

1．向量的概念：

向量，零向量，单位向量，平行向量（共线向量），相等向量，向量的模等。

2．向量的基本运算（1）向量的加减运算

几何运算：向量的加减法按平行四边行法则或三角形法则进行。坐标运算：设a =(x1,y1), b =(x2,y2)则a+b=(x1+x2,y1+y2)a-b=(x1-x2,y1-y2)

(2)平面向量的数量积 ： ab=abcos

设a =(x1,y1), b =(x2,y2)则ab=x1x2+y1y2（3）两个向量平行的充要条件 ∥ 若 =(x1,y1), =(x2,y2)，则 ∥ 3．两个非零向量垂直的充要条件是 ⊥

=λ

x1y2-x2y1=0

· =0 设 =(x1,y1)，=(x2,y2)，则 ⊥ x1x2+y1y2=0 三．教学过程

（一）基础知识训练

1.下列命题正确的是（）

(A)单位向量都相等(B)任一向量与它的相反向量不相等(C)平行向量不一定是共线向量(D)模为0的向量与任意向量共线 2.已知正六边形ABCDEF中，若ABa，FAb，则BC（）

(A)12(ab)(B)12(ab)(C)ab(D)12ab

3.已知向量e10,R，ae1e2,b=2e1若向量a与b共线，则下列关系一定成立是（）

(A)0(B)e20(C)e1∥e2(D)e1∥e2或0 4.若向量a(1,x)，b(x,2)共线且方向相同，x=__________。

（二）．典例分析

例1：（1）设a与b为非零向量，下列命题：

 ①若a与b平行，则a与b向量的方向相同或相反；

 ②若ABa,CDb, a与b共线，则A、B、C、D四点必在一条直线上；

a③若a与b共线，则abab；④若a与b反向，则ab

b其中正确命题的个数有（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个

（2）下列结论正确的是（）

（A）abab（B）abab（C）若(ab)c(ca)b0

（D）若a与b都是非零向量，则ab的充要条件为abab

错解：（1）有学生认为①②③④全正确，答案为4；也有学生认为①或④是错的，答案为2或3；（2）A或B或C。

分析：学生对向量基础知识理解不正确、与实数有关性质运算相混淆，致使选择错误。

第（1）小题中，正确的应该是①④，答案为2。共线向量（a与b共

线）的充要条件中所存在的常数可看作为向量b作伸缩变换成为另一个向量a所作的伸缩量；若a，b为非零向量，则共线的a与b满足a与b同向时bbaa，a与b反向时aa。

bb第（2）小题中，正确答案为（D）。学生的错误多为与实数运算相混淆所致。选择支D同时要求学生明确向量垂直、两个向量的数量积、向量的模之间互化方法，并进行正确互化。

例2 设a、b是两个不共线向量。AB=2a+kb BC=a+b CD=a-2b A、B、D共线则k=_____(k∈R)解：BD=BC+CD=a+b+a-2b=2a-b 2a+kb=λ(2a-b)=2λa-λb

∴ 2=2λ且 k=-λ

∴ k=-1 例3 梯形ABCD，且|AB|=2|DC|,M、N分别为DC、AB中点。AB=a AD=b 用a，b来标DC、BC、MN。解：DC= 12AB=12a BC=BD+DC=(AD-AB)+DC =b-a+ a=b-a

2211MN=DN-DM=12a-b-a= a-b 4411例4 |a|=10 b=(3,-4)且a∥b求a

22解：设a=(x,y)则 x+y=100（1）

由a∥b得-4x-3y=0（2）

解（1）（2）得 x=6 y=-8。或 x=-6 y=8 ∴ a=(6,-8)或(-6,8)四． 归纳小结

1． 向量有代数与几何两种形式，要理解两者的内在联系，善于从图形中发现向量间的关系。

2． 对于相等向量，平行向量，共线向量等概念要区分清楚，特别注意零向量与任何向量共线这一情况。要善于运用待定系数法。

五．作业：

1、下列命题正确的是（）

A．若|a|0，则a0 B．若|a||b|，则ab或ab

C．若a||b，则|a||b| D．若a0，则a0

2、已知平行四边形ABCD的三个顶点A(2,1)、B(1,3)、C(3,4)，则顶点D的坐标为（）

A．(1,2)B．(2,2)C．(2,1)D．(2,2)

3、设|a|m(m0)，与a反向的单位向量是b0，则a用b0表示为

A．amb0 B．amb0 C．a1mb01m D．ab0

4、D、E、F分别为ABC的边BC、CA、AB上的中点，且BCa，CAb，下列命题中正确命题的个数是（）①AD12ab；②BEa12b；③CF12a12b；

④ADBECF0。

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

5、化简：CEACDEAD=__________。

aba3,b(1,2)

6、已知向量，且，则a的坐标_____________。

2

27、若a1,b2,aba0，则a与b的夹角为______________。



8、已知向量a3e12e2,b4e1e2,其中e1(1,0),e2(0,1)求（1）ab;ab的值；（2）a与b的夹角。

9、如果向量a与b，c的夹角都是60，而bc，且|a||b||c|1，求(a2c)(bc)的值。

PQBC10、如图，设O为ABC内一点，PQ∥BC，且OBbt，OAa，OCc，试用a，b，c表示OP,OQ．

答案

基础知识训练：D，C，D，2

达标练习： D，B，B，D，5，0； 6，（655655，—

355），（—，355）

102217，450，8，(1)ab=10, ab=52(2)=arccos9,-1 10,OP=(1-t)a+tb, OQ=(1-t)a+tb

第五篇：29-第二章平面向量小结与复习

第二章平面向量章末复习（第2课时）

教学目标

重点：平面向量数量积的定义及其坐标表示；数量积的几何意义、向量法在平面几何中的应用． 难点：用向量法解决平面几何问题时，如何建立平面几何与平面向量之间的联系．

能力点：在运用向量方法解决平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题过程中，进一步发展学生的运

算能力和解决实际问题的能力．

教育点：提高学生的认知水平，为学生塑造良好的数学认识结构．

自主探究点：例题及变式的解题思路的探寻．

易错点：(1)忽视两向量垂直的概念是针对两非零向量的而致错；

(2)对两向量夹角的定义理解不清致错；

(3)把数的乘法的消去律运用在向量的数量积运算上而致错；

(4)混淆点的坐标与向量的坐标致错．

学法与教具

1．学法：讲授法、讨论法．2．教具：投影仪．

二、【知识梳理】

1．平面向量的数量积

(1)数量积的定义

已知两个非零向量a与b，我们把数量abcos叫做a与b的数量积(inner product)（或内积），记作ab，即ab=abcos，其中是a与b的夹角．

(2)数量积的几何意义

数量积ab等于a的长度a与b在a方向上的投影bcos的乘积，或等于b的长度b与a在b方向上的投影acos的乘积．

(3)数量积的性质

b0． ①aba

②当a与b同向时，ab=ab；当a与b反向时，ab=ab；特别地，aa=a，所以

2a记作a2． aa

③abab

(4)数量积的运算律

已知向量a、b、c和实数，则：

bba； ①a

②(a)b(ab)a(b)； ③(ab)cacbc．(5)数量积的坐标表示

已知两个非零向量a(x1,y1)，b(x2,y2)，则abx1x2y1y2． 由此可得：

2①a

x1y1或a

②abx1x2y1y20； ③设为a、b的夹角，则cos

ab



|a||b|2．平面几何中的向量方法

用向量法解决平面几何问题的“三步曲”：(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；(3)把运算结果“翻译”成几何关系．

在上述步骤中，把平面几何问题转化为向量问题是解决问题的关键一步，转化方法大致有两种思路：第一，选取恰当的基向量；第二，建立坐标系．

3．向量法在物理中的应用

向量有丰富的物理背景，向量的物理背景是位移、力、速度等，向量的数量积的物理背景是力所做的功．因此，用向量可以解决一些物理问题．向量在物理中的应用，实际上是把物理问题转化为向量问题，然后通过向量运算解决向量问题，最后再用所获的结果解释物理现象．用向量法解决物理问题时，应作出相应的图形，以帮助我们建立数学模型．

三、【范例导航】



例1（2012•天津）在△ABC中，∠A=90°，AB=1，AC=2．设点P，Q满足 APAB，

CP2，则 AQ1AC,R.若BQ

2

2【分析】由题意可知ABAC0，根据BQCP(1)ACAB2，解方程可以求得的值.



c0，【解答】如图，设ABb，ACc，则b1，c2，b



又BQBAAQb(1)c，CPCAAPcb，由BQCP2得，[(1)]()(14(1)2，即32,所以

2.3【点评】本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积的运算，属于中档题.2

变式训练1(2011·江苏卷10)已知e1,e2是夹角为的两个单位向量，ae12e2,bke1e2, 若







ab0，则k的值为

答案：

4

2解析：abe12e2keeke12kee2ek12kcos0，12212

13

解得k

.4

例2(2012·江苏9)如图，在矩形ABCD

中，AB，BC2，点E为BC的中点，点F在边CD

上，若ABAFAEBF的值是．【分析】根据所给的图形，把已知向量用矩形的边所在的向量来表示，求出要用的向量的模，表示出要求得向量的数量积，注意应用垂直的向量的数量积等于0，得到结果.



【解答】因为AFADDF，

ABAFABADDFABADABDFABDF







DF1CF1.所以，AEBFABBEBCCFABCFBEBC1)12 所以





【点评】本题主要考查平面向量的数量积的运算.解题的关键是要把要用的向量表示成已知向量的和的形式.变式训练2(2012·湖南文15)如图4，在平行四边形ABCD中，AP⊥BD，垂足为P，AP3且APAC=

答案：18



解析：设ACBDO，则AC2ABBO，

所以，2

APACAP2ABBO2APAB2APBO2APAB2APAPPB2AP18



例3.证明：对于任意的a1、a2、b1、b2R，恒有不等式a1b1a2b2a1a

2

b

12b2．

【分析】此题形式对学生较为熟悉，在不等式证明部分常用比较法证明，若利用向量知识求证，则关

【解答】设a(a1,a2)，b

(b1,b2),222

则a，bb1b2 ba1b1a2b2，aa12a2

因为abab，ba所以a

b

所以a1b1a2b2a1a2



b

2b2.【点评】

变式训练3.如图，在平面直角坐标系中，以原点为圆心，单位长度为半径的圆上有两点A(cos,sin)，B(cos,sin)，试用A、B两点的坐标表示AOB的余弦值.答案：cosAOBcoscossinsin

解析：因为A(cos,sin),B(cos,sin),

所以OA(cos,sin)，OB(cos,sin)

OAOB

那么，cosAOBcoscossinsin.OAOB

四、【解法小结】

1．准确把握平面向量数量积的重要性质：设a(x1,y1)，b(x2,y2)

(1)aba b0x1x2y1y20，既可以用来证明两向量垂直，也可以由垂直进行有关计算；

a=a2a

与a(2)a

转化．

(3)cos

ab

a、b的夹角，也可用来求

|a||b|直线的夹角(向量的夹角与向量所在直线的夹角有区别)，还可利用夹角的取值情况建立方程或不等式

用于求参数的值或范围．

2．向量解决几何问题就是把点、线、平面等几何元素直接归纳为向量，对这些向量借助于它们之间的运算进行讨论，然后把这些计算的结果 翻译成关于点、线、平面的相应结果，可以简单表述为“形到向量向量的运算数到形”.3．明确和掌握用向量研究物理问题的相关知识：

(1)力、速度、加速度、位移的合成、力的分解就是向量的加减法，运动的叠加亦用到向量的合成；(2)动量mv是数乘向量；

(3)功即是力F与所产生的位移s的数量积.五、【布置作业】

必做题： 1．（2012·辽宁卷）已知两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则下面结论正确的是()A．a∥bB．a⊥bC．|a|＝|b|D．a＋b＝a－b

π2．（2012·上海卷）在平行四边形ABCD中，∠AAB、AD的长分别为2、1.若M、N

分别是边

→→|BM||CN|→→

BC、CD，则AM·AN的取值范围是________．

→→|BC||CD|

→→→→

3．（2012·北京卷）已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则DE·CB的值为__ __.DE·DC的最大值为________．

4．在边长为1的正三角形ABC中，则ABBCBCCACAAB________．.必做题答案：

1．因为|a＋b|＝|a－b|⇔(a＋b)2＝(a－b)2⇔a·b＝0，所以a⊥b，答案选B.点评：本小题主要考查向量的数量积以及性质．解题的突破口为对于模的理解，向量的模平方就等于向量的平方．

→→→→→→→→→

2．令BM＝nBC(0≤n≤1)，则DN＝(1－n)DC，在平行四边形ABCD中，AM＝AB＋nAD，AN＝AD＋(1－→→→→→→→n)AB，所以AM·AN＝(AB＋nAD)·[AD＋(1－n)AB]＝－n2－2n＋5，→→而函数f(n)＝－n2－2n＋5在[0,1]上是单调递减的，其值域为[2,5]，所以AM·AN的取值范围是[2,5]． →→3．以D为坐标原点，DC与DA所在直线分别为x，y轴建立平面直角坐标系，如图所示，可知E(x,1)，0≤x≤1，→→→→所以DE＝(x,1)，CB＝(0,1)，可得DE·CB＝x×0＋1×1＝1.→→→→→因为DC＝(1,0)，所以DE·DC＝x，因为1≥x≥0，所以(DE·DC)max＝1.

CACAAB= 4．ABBCBC

311100

ABBCcos120BCCAcos120CAABcos1200

2222

点评：利用数量积的定义求解时，务必要注意两向量夹角的大小.两向量夹角的定义前提是两向量的起

00

点要重合，对于本题要特别注意：向量AB与BC,BC与CA,CA与AB的夹角不是60，而是120.选做题：



1．已知向量a是以点A(3，－1)为起点，且与向量b＝（－3，4）垂直的单位向量，求a的终点坐标.2．如图，在ABC中，ADDB，AEEC，CD与BE交于F，证明：CF2FD.选做题答案：

1.设a的终点坐标为(m,n),则a＝(m,n),



3(m3)4(n1)0由题意 2

2(m3)(n1)

1由①得：ｎ＝

① ②

（3ｍ－13）代入②得25ｍ－15Oｍ＋2O9＝O

41911m,m,192118152

5或解得∴a的终点坐标是（,)或(,)

5555n2.n8.1255

点评：向量的坐标表示是终点坐标减去起始点的坐标，所以向量的坐标与点的坐标既有联系又有区别，2.本题选自《学生自主学习丛书·数学》P122，例2.

六、【教后反思】

1．本教案的亮点是：(1)用结构图呈现本章知识，直观简明；(2)知识梳理部分十分详实且分类明晰；(3)例题具有典型性且解法总结到位，变式练习有效，讲练结合教学效果明显；(4)在作业的布置上，选择了部分高考题，对学生理解、巩固知识能够起到良好的作用．

2．本教案的弱项是：(1)有关平面向量数量积的应用涉及题目较少，如夹角的计算、模的计算等；(2)向量法在物理中的应用没有涉及到，有待于进一步补充．