第一篇:人教版高中数学教案:第5章:平面向量,教案,课时第 (21)
第二十二教时
教材:复习一——向量、向量的加法与减法、实数与向量的积
目的:通过复习对上述内容作一次梳理,使学生对知识的理解与应用提高到一个
新的水平。
过程:
一、知识(概念)的梳理:
1.向量:定义、表示法、模、几种特殊向量 2.向量的加法与减法:法则(作图)、运算律
3.实数与向量的积:定义、运算律、向量共线的充要条件、平面向量的基本定义
二、例题:
1.若命题M:'=;命题N:四边形ABB’A’是平行四边形。则M是N的(C)(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件
(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件 解:若=,则 ||=||,且, 方向相同
∴AA’∥BB’从而ABB’A’是平行四边形,即:MN 若ABB’A’是平行四边形,则|AA’|=|BB’|,且AA’∥BB’ ∴|'|=|'|从而'=,即:NM 2.设A、B、C、D、O是平面上的任意五点,试化简:
1ABBCCD2DBACBD3OAOCOBCO 解:1 原式=()
2 原式=()
3 原式=()()() 3.a =“向东走5km”,b =“向西走12km”,试求a+b的长度与方向。解:如图:||5212213(km)
O
tanAOB =125 ,∴AOB = arctan12
a+b a
∴a + b的长为13km,方向与成arctan12
5的角。B
4.如图:1已知a、b、c、d,求作向量ab、cd。
b A
2已知a、b、c,求作a + b c b
bc
5.设x为未知向量,a、b2x(5a+3x4b)+
1a3b=0
解:原方程可化为:(2x 3x)+(5a +19
2a)+(4b3b)= 0∴x =2
a + b
6.设非零向量a、b不共线,c=ka+b,d=a+kb(kR),若c∥d,试求k。解:∵c∥d∴由向量共线的充要条件得:c =λd(λR)
即:ka+b=λ(a+kb)∴(kλ)a +(1λk)b = 0
又∵a、b不共线∴由平面向量的基本定理:k0
1k0k1
7.如图:已知在ABCD中,AH=HD,BF=MC=1
BC,设=a,=b,试用a、b分别表示、、。D F
M
C
解:∵ABCD中,BF=MC=
BC,a
∴FM=
12BC=
1AD=AH ∴FMAH A H b B
∴四边形AHMF也是平行四边形,∴AF=HM
又:BM34BC3311
4AD4a ,而FB4BC4
b
∴AMABBM= a +31
4b ,MHFAFBBA= 4b a
AFFA(11
4b a)= 4
b + a
三、作业: 《导学•创新》§5.1§5.2
第二篇:人教版高中数学教案:第5章:平面向量,教案,课时第 (18)
第十八教时
教材:余弦定理
目的:要求学生掌握余弦定理及其证明,并能应用余弦定理解斜三角形。过程:
一、复习正弦定理及正弦定理能够解决的两类问题。提出问题:1.已知两边和它们的夹角能否解三角形?
2.在Rt△ABC中(若C=90)有:c2a2b2在斜三角形中一边的平
方与其余两边平方和及其夹角还有什么关系呢?
二、提出课题:余弦定理1.余弦定理的向量证明:设△ABC三边长分别为a, b, c b
AC=AB+BC
A
B
•=(+)•(+)=2+2•+
2=| |2+2||•||cos(180-B)+||2=c22accosBa2
即:b2a2c22accosB
同理可得:a2b2c22bccosAc2a2b22abcosC
2.语言叙述:三角形任何一边的平方等于其它两边平方的和减去这两边与它
们夹角的余弦的积的两倍。
3.强调几个问题:1熟悉定理的结构,注意“平方”“夹角”“余弦”等2知三求一
3当夹角为90时,即三角形为直角三角形时即为勾股定理(特例)
4变形:cosAb2c2a2a2c2b2a2b2c2
2bccosB2accosC2ac
三、余弦定理的应用
能解决的问题:1.已知三边求角
2.已知三边和它们的夹角求第三边
例
一、(P130例4)在△ABC中,已知a=7, b=10, c=6求A,B,C(精确到期1)解略
例
二、(P131例5)在△ABC中,已知a=2.730, b=3.696, C=8228’解这个三角
形(边长保留四个有效数字,角度精确到期1’)解略
例
三、设a=(x=(x1, y1)b2, y2)a
与b的夹角为(0≤≤),求证:
x+ ya||b
121y2=||cos
证:如图:设a, b
起点在原点,终点为A,B
A
则A=(x=ba
1, y1)B=(x2, y2)在△ABC中,由余弦定理 B
a
|ba|2=|a|2+|b|22|a||b
| cos
b
O
∵|ba|2
=|AB|2=|(x2-x1, y2-y1)|2=(x2-x1)2+(y2-y1)2 |a|2=xb12+y12
||2= x22+y22 ∴(x2-x1)2
+(y2-y1)
= x2+ x
12+y122+y222|a
||b
| cos
∴xy
1x2+ y12=|a||b|cos即有a•b= x1x2+ y1y2=|a||b|cos
四、小结:余弦定理及其应用
五、作业:P131练习P132习题5.9余下部分
x
第三篇:人教版高中数学教案:第5章:平面向量,教案,课时第 (13)
第十三教时
教材:平面向量的数量积的坐标表示
目的:要求学生掌握平面向量数量积的坐标表示,掌握向量垂直的坐标表示的充要条件。
过程:
一、复习:
1.平面向量的坐标表示及加、减、实数与向量的乘积的坐标表示 2.平面向量数量积的运算 3.两平面向量垂直的充要条件 4.两向量共线的坐标表示:
二、课题:平面两向量数量积的坐标表示
1.设a =(x1, y1),b =(x2, y2),x轴上单位向量i,y轴上单位向量j,则:ii = 1,jj = 1,ij = ji = 0 2.推导坐标公式:
∵a = x1i + y1j,b = x2i + y2j
∴ab =(x1i + y1j)(x2i + y2j)= x1x2i2 + x1y1ij + x2y1ij + y1y2j2= x1x2 + y1y2
从而获得公式:ab = x1x2 + y1y2
例
一、设a =(5, 7),b =(6, 4),求ab
解:ab = 5×(6)+(7)×(4)= 30 + 28 = 2 3.长度、角度、垂直的坐标表示
1a =(x, y)|a|2 = x2 + y2|a| =x2y2
2若A =(x1, y1),B =(x2, y2),则=(x1x2)2(y1y22)
3 cos =
ab
x1x2y1y2|a||b|
x
21y1
x2
y2
4∵ab ab = 0 即x1x2 + y1y2 = 0(注意与向量共线的坐标表示原则)
4.例
二、已知A(1, 2),B(2, 3),C(2, 5),求证:△ABC是直角三角形。
证:∵=(21, 32)=(1, 1),=(21, 52)=(3, 3)∴=1×(3)+ 1×3 = 0∴
∴△ABC是直角三角形
三、补充例题:处理《教学与测试》P153第73课
例
三、已知a =(3, 1),b =(1, 2),求满足xa = 9与xb = 4的向量x。解:设x =(t, s),由xa = 9 3t s = 9由xa = 9 3t s = 9t =
2s = 3∴x =(2, 3)
例
四、如图,以原点和A(5, 2)为顶点作等腰直角△OAB,使B = 90,求点B和向量AB的坐标。
B
A
解:设B点坐标(x, y),则=(x, y),=(x5, y2)O∵∴x(x5)+ y(y2)= 0即:x2 + y2 5x 2y = 0又∵|| = ||∴x2 + y2 =(x5)2 +(y2)2即:10x + 4y = 29
由xy5x2y0x73110x4y292x或2327
y12y2
2∴B点坐标(72,32)或(32,7);=(32,7732)或(2,2)
例
五、在△ABC中,AB=(2, 3),AC=(1, k),且△ABC的一个内角为直角,求k值。
解:当A = 90时,= 0,∴2×1 +3×k = 0∴k =
3当B = 90时,ABBC= 0,BC=ACAB=(12, k3)=(1, k3)
∴2×(1)+3×(k3)= 0∴k =
113
当C = 90时,ACBC= 0,∴1 + k(k3)= 0∴k =32
四、小结:两向量数量积的坐标表示长度、夹角、垂直的坐标表示
五、作业: P121练习及习题5.7
《教学与测试》P1545、6、7、8,思考题
第四篇:人教版高中数学教案:第5章:平面向量,教案,课时第 (15)
第十五教时
教材:平面向量的数量积平移的综合练习课
目的:使学生对平面向量数量积的意义、运算有更深的理解,并能较熟练地处理
有关长度、角度、垂直的问题。
过程:
一、复习:
1.平面向量数量积的定义、运算、运算律
2.平面向量数量积的坐标表示,有关长度、角度、垂直的处理方法 3.平移的有关概念、公式
二、例题
例
一、a、b均为非零向量,则 |a+b| = |ab| 是 的………………(C)A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
解:若|a+b| = |ab| |a+b|2 = |ab|2 |a|2 + 2ab + |b|2 = |a|2 2ab + |b|2 ab = 0 ab
例
二、向量a与b夹角为
3,|a| = 2,|b| = 1,求|a+b||ab|的值。
解:|a+b|2 = |a|2 + 2ab + |b|2 = 4 + 2×2×1×cos
+ 1 = 7
∴|a+b| =7,同理:|ab|2 = 3, |ab| =3∴|a+b||ab| =21 中,= a,= b,= c,= d,且ab = bc = cd = da,问ABCD是怎样的四边形?解:由题设:|a||b|cosB = |b||c|cosC = |c||d|cosD = |d||a|cosA∵|a| = |c| , |b| = |d|∴cosA = cosB = cosC = cosD = 0是矩形 例
四、如图△ABC中,= c,BC= a,CA= b,则下列推导不正确的是……………(D)A.若a b < 0,则△ABC为钝角三角形。B.若a b = 0,则△ABC为直角三角形。
C.若a b = bc,则△ABC为等腰三角形。A D.若c(a + b + c)= 0,则△ABC为正三角形。
a
解:A.ab = |a||b|cos < 0,则cos < 0,为钝角B.显然成立
C.由题设:|a|cosC = |c|cosA,即a、c在b上的投影相等
D.∵a + b + c = 0, ∴上式必为0,∴不能说明△ABC为正三角形
例
五、已知:|a| =2,|b| = 3,a与b夹角为45,求使a+b与a+b夹
角为锐角的的取值范围。
解:由题设:ab = |a||b|cos = 3×2×
2= 3(a+b)(a+b)=|a|2 +|b|2 +(
2+ 1)ab = 32 + 11 + 3∵夹角为锐角∴必得32 + 11 + 3 > 0∴
11116或6
例
六、i、j是平面直角坐标系内x轴、y轴正方向上的两个单位向量,且AB= 4i + 2j,AC=3i + 4j,证明:△ABC是直角三角形,并求它的面积。
解:=(4, 2), =(3, 4), 则=(34, 42)=(1, 2), =(4, 2),∴BABC=(1)×(4)+(2)×2 = 0∴BABC即△ABC是直角三角形
|| =42222,|| =(1)2(2)2,且B = 90,∴S1△ABC = D 2
2555 例
七、用向量方法证明:菱形对角线互相垂直。证:设AB=DC= a , AD=BC= b A
C
∵ABCD为菱形∴|a| = |b|
a
∴ACBD=(b + a)(b a)= b2
a2
= |b|2
|a|2
b= 0
B
∴AC
例
八、已知a、b都是非零向量,且a + 3b与7a 5b垂直,a 4b与7a 2b垂直,求a与b的夹角。
解:由(a + 3b)(7a 5b)= 0 7a2 + 16ab 15b2 = 0①(a 4b)(7a 2b)= 0 7a2 30ab + 8b2 = 0②两式相减:2ab = b2代入①或②得:a2 = b2
设a、b的夹角为,则cos =abb21
|a||b|2|b|2
∴ = 60
三、作业: P150复习参考五A组19—26B组1—6
第五篇:人教版高中数学教案:第5章:平面向量,教案,课时第 (24)
第二十五教时
教材:复习四——平面向量的数量积及运算律
目的:要求学生对平面向量的数量积的概念理解更清晰,并能教熟练地应用于平
行、垂直等问题。
过程:
一、复习:
1.定义、其结果是一个数量。
2.a•b>00≤<90;a•b=0==90 即ab;a•b<090<≤180 3.性质1 —5 4.运算律
二、例题:
1.已知|a| = 5,|b| = 8,a 与b的夹角为60,求 |a + b |
解:a•b = |a||b|cos60 = 5×8×
1= 20
∴|a + b |2 =(a + b)2 = |a|2 + |b|2 + 2a•b = 129
∴|a + b | =
2.求证:|a + b |≤|a| + |b|
证:|a + b |2 =(a + b)2 = |a|2 + |b|2 + 2a•b = |a|2 + |b|2 + 2|a||b|cos
≤ |a|2 + |b|2 + 2|a||b| =(|a| + |b|)2
即:|a + b |≤|a| + |b|
3.设非零向量a、b、c、d,满足d =(a•c)b (a•b)c,求证:ad
证:内积a•c与a•b均为实数,∴a•d = a•[(a•c)b (a•b)c] = a•[(a•c)b] a•[(a•b)c]
=(a•b)(a•c)(a•c)(a•b)= 0
∴ad
4.已知非零向量a、b,满足a ±b,求证:ba垂直于a+b的充要条件是|a| = |b| 证:由题设:ba与a+b均为非零向量
必要性:设ba垂直于a+b,则(ba)(a+b)= 0
又:(ba)(a+b)= b2 a2 = |b|2 |a|2∴|b|2 |a|2 = 0即:|a| = |b|
充分性:设|a| = |b|,则(ba)(a+b)= b2 a2 = |b|2 |a|2 = 0
即:(ba)(a+b)= 0∴(ba)(a+b)
5.已知a、b都是非零向量,且a + 3b与7a 5b垂直,a 4b与7a 2b垂直,求a与b的夹角。
解:由(a + 3b)(7a 5b)= 0 7a2 + 16ab 15b2 = 0①(a 4b)(7a 2b)= 0 7a2 30ab + 8b2 = 0②两式相减:2ab = b2代入①或②得:a2 = b2
设a、b的夹角为,则cos =abb21
|a||b|2|b|2
2
∴ = 60
D
6.用向量方法证明:菱形对角线互相垂直。证:设== a , == b A
C
a
∵ABCD为菱形∴|a| = |b|
b B
∴ACBD=(b + a)(b a)= b2 a2 = |b|2 |a|2 = 0∴
7.如图,AD、BE、CF是△ABC的三条高,求证:AD、BE、CF相交于一点。证:设BE、CF交于一点H,A
= a, = b, = h,E
F
则BH= h a , CH= h b , BC= b aH
∵BHAC,CHAB B
D
C
∴
(ha)b0
(ha)a0
(ha)b(hb)ah(ba)0
∴AH
又∵点D在AH的延长线上,∴AD、BE、CF相交于一点
三、作业:《导学•创新》§5.6