2012高中数学教案 2.4 等比数列(第1课时)(人教A版必修5)

第一篇：2012高中数学教案 2.4 等比数列(第1课时)(人教A版必修5)

2.4等比数列教案

（一）授课类型：新授

教学目标

（一）知识与技能目标 1.等比数列的定义； 2.等比数列的通项公式．

（二）过程与能力目标 1.明确等比数列的定义；

2.掌握等比数列的通项公式，会解决知道an，a1，q，n中的三个，求另一个的问题．

教学重点

1.等比数列概念的理解与掌握；

2.等比数列的通项公式的推导及应用．

教学难点

等差数列＂等比＂的理解、把握和应用．

教学过程

一、情境导入：

下面我们来看这样几个数列，看其又有何共同特点?（教材上的P48面）

1，2，4，8，16，…，2;① 1，6

312，14，18，…； ②

1，20,202,203，…； ③ 1.0198,1.1098,1.1098......④

23对于数列①，an=2n1;

anan1 =2（n≥2）．对于数列②，an=

12n1；

anan112（n≥2）．

对于数列③，an=20n1;

anan1=20（n≥2）．

共同特点：从第二项起，第一项与前一项的比都等于同一个常数．

二、检查预习

1．等比数列的定义．

2.等比数列的通项公式: ana1qn1(a1,q0)，anamqnm(am,q0)，anAB(A,B0)

n3．｛an｝成等比数列an1anq(nN,q0)

4．求下面等比数列的第4项与第5项：

（1）5，－15，45，……；（2）1.2，2.4，4.8，……；（3）,.,;(4)2,1,32821322，…….三、合作探究

（1）等比数列中有为0的项吗？（2）公比为1的数列是什么数列？

（3）既是等差数列又是等比数列的数列存在吗？（4）常数列都是等比数列吗？ 四交流展示

1． 等比数列的定义：一般地，若一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数,这个数列就叫做等比数列.这个常数叫等比数列的公比，用字母q表示（q≠0），即：

anan1=q（q≠0）

注：(1)“从第二项起”与“前一项”之比为常数q； ｛an｝成等比数列an1an=q（nN，q≠0．）

(2)隐含：任一项an0且q0

(3)q=1时，{an}为常数数列．

（4）．既是等差又是等比数列的数列：非零常数列． 2.等比数列的通项公式1: ana1qn1(a1,q均不为0)

观察法：由等比数列的定义，有：a2a1q；

a3a2q(a1q)qa1q； a4a3q(a1q)qa1q；… … … … … … … anan1qa1qn1223(a1，q0)．

迭乘法：由等比数列的定义，有：

a2a1q；

a3a2q；

a4a3q；…；

anan1q

所以a2a1a3a4an1n1，即ana1q(a1，q0)nqa2a3an1nm(am，q0)等比数列的通项公式2: anamq五精讲精练

例1．一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18，求它的第1项与第2项.解：181232q32 a2a3q12238,a1a2q823163.点评：考察等比数列项和通项公式的理解 变式训练一：教材第52页第1 例2．求下列各等比数列的通项公式：

(1)a12,a38;(2)a15,且2an13an

2解：(1)a3a1qq4q2an(2)2n12或an(2)(2)nn1(2)

n

(2)qan1an32又：a15an5(32)n1

点评：求通项时，求首项和公比 变式训练二 ：教材第52页第2 例3．教材P50面的例1。

012n15例4． 已知无穷数列105,105,105,10 求证：（1）这个数列成等比数列； ,，110（2）这个数列中的任一项是它后面第五项的；

（3）这个数列的任意两项的积仍在这个数列中．

n1证：（1）anan110105n251105（常数）∴该数列成等比数列．

n1（2）anan510105n45101110，即：an110an5．

p1q1pq2（3）apaq105105105，∵p,qN，∴pq2．

∴pq11且pq1N，pq2∴10510n15（第pq1项）． ， 变式训练三：教材第53页第3、4题．

六、课堂小结：

1.等比数列的定义；

2.等比数列的通项公式及变形式

七、板书设计

八、课后作业

阅读教材第48～50页；

第二篇：高中数学必修5人教A教案2.4等比数列

2．4等比数列

（一）教学目标

1`．知识与技能：理解等比数列的概念；掌握等比数列的通项公式；理解这种数列的模型应用．

２．过程与方法：通过丰富实例抽象出等比数列模型，经历由发现几个具体数列的等比关系，归纳出等比数列的定义，通过与等差数列的通项公式的推导类比，探索等比数列的通项公式．

３．情态与价值：培养学生从实际问题中抽象出数列模型的能力．

（二）教学重、难点

重点：等比数列的定义和通项公式

难点：等比数列与指数函数的关系

（三）学法与教学用具

学法：首先由几个具体实例抽象出等比数列的模型，从而归纳出等比数列的定义；与等差数列通项公式的推导类比，推导等比数列通项公式。教学用具：投影仪

（四）教学设想

[创设情景] 分析书上的四个例子，各写出一个数列来表示 [探索研究] 四个数列分别是①1, 2, 4, 8, „

②1,111，，„ 248

23③1,20 ,20 ,20 ,„

④10000×1.0198,10000×1.0198,10000×1.0198

510000×1.0198,10000×1.0198

观察四个数列: 对于数列①,从第2项起,每一项与前一项的比都等于2 对于数列②,从第2项起,每一项与前一项的比都等于2对于数列③,从第2项起,每一项与前一项的比都等于20 对于数列④,从第2项起,每一项与前一项的比都等于1.0198 可知这些数列的共同特点:从第2项起, 每一项与前一项的比都等于同一常数.于是得到等比数列的定义: 一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一常数,那么这个数列叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比,通常用字母q表示(q≠0)因此,以上四个数列均是等比数列,公比分别是2，1,20,1.0198.2与等差中项类似,如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列,那么G叫做

2a与b的等差中项,这时,a,b一定同号,G=ab 在归纳等比数列公式时,让学生先回忆等差数列通项公式的归纳,类比这个过程,归纳如下:a2=a1q

2a3=a2q=(a1q)q=a1q a4=a3q=(a1q)q=a1q„ „

n-1 可得 an=a1q 1 上式可整理为an=a1naxaxq而y= 1q（q≠1）是一个不为0的常数1与指数函数q的乘积,qqqa1nax

q }中的各项的点是函数 y= 1q 的图象上的孤立点 qq从图象上看,表示数列 {[注意几点]

n① 不要把an错误地写成an=a1q

② 对于公比q,要强调它是“从第2项起,每一项与它的前一项的比”防止把相邻两项的比的次序颠倒

③ 公比q是任意常数,可正可负 ④ 首项和公比均不为0 [例题分析] 例1 某种放射性物质不断变化为其他物质,每经过一年剩留的这种物质是原来的84％.这种物质的半衰期为多长(精确到1年)? 评注:要帮助学生发现实际问题中数列的等比关系,抽象出数学模型;通项公式反映了数列的n-1 本质特征,因此关于等比数列的问题首先应想到它的通项公式an=a1q例2 根据图2.4-2中的框图,写出所打印数列的前5项,并建立数列的递推公式.这个数列是等比数列吗? 评注:要证明一个数列是等比数列,只需证明对于任意正整数n,an1是一个常数就行了 an例3 一个等比数列的第3项和第4项分别是12和18,求它的第1项和第2项.评注:帮助学生再次体会通项公式的作用及其与方程之间的联系 例4 已知{an}{bn}是项数相同的等比数列,仿照下表中的例子填写表格,从中你能得出什么结论?证明你的结论.评注:两个等比数列的积仍然是等比数列 [随堂练习]第1、2、3题 [课堂小结]（1）首项和公比都不为0（2）分别从定义、通项公式、相应图象的角度类比等差数列和等比数列

（五）评价设计

（1）课后思考：课本 [探究]（2）课后作业：第1、2、6题

第三篇：2012高中数学 2.4等比数列(第2课时)教案 新人教A版必修5

2.4等比数列教案

（二）教学目标

（一）知识与技能目标

进一步熟练掌握等比数列的定义及通项公式；

（二）过程与能力目标

利用等比数列通项公式寻找出等比数列的一些性质

（三）方法与价值观 培养学生应用意识． 教学重点，难点

（1）等比数列定义及通项公式的应用；

（2）灵活应用等比数列定义及通项公式解决一些相关问题． 教学过程

二．问题情境

221．情境：在等比数列{an}中，（1）a5a1a9是否成立？a5a3a7是否成立？ 2（2）anan2an2(n2)是否成立？

2．问题：由情境你能得到等比数列更一般的结论吗？ 三．学生活动

2822对于（1）∵a5a1q4，a9a1q8，∴a1a9a1，a5q(a1q4)2a5a1a9成立． 2同理 ：a5a3a7成立．

对于（2）ana1qn1，an2a1qn3，an2a1qn1，22n222∴an2an2a1qn3a1qn1a1，anq(a1qn1)2anan2an2(n2)成立．

一般地：若mnpq(m,n,q,pN)，则amanapaq． 四．建构数学

1．若{an}为等比数列，mnpq(m,n,q,pN)，则amanapaq． 由等比数列通项公式得：ama1qm1 , ana1qn1，apa1q故amana1q2mn22p1 ,aqa1qq1，且apaqa1qpq2，∵mnpq，∴amanapaq．

amqmn． ana由等比数列的通项公式知：，则mqmn ．

an2．若{an}为等比数列，则五．数学运用 1．例题：

2例1．（1）在等比数列{an}中，是否有anan1an1（n2）？（2）在数列{an}中，对于任意的正整数n（n2），都有anan1an1，那么数列{an}一定是等比数列．

解：（1）∵等比数列的定义和等比数列的通项公式数列{an}是等比数列，∴2即anan1an1（n2）成立．

an1an，anan1用心 爱心 专心 1

2（2）不一定．例如对于数列0,0,0,，总有anan1an1，但这个数列不是等比数列．

例2． 已知{an}为GP，且a58,a72，该数列的各项都为正数，求{an}的通项公式。解：设该数列的公比为q，由

211a7 q75得q2，又数列的各项都是正数，故q，842a5n5n8则an8()()． 1212例3．已知三个数成等比数列，它们的积为27，它们的平方和为91，求这三个数。解：由题意可以设这三个数分别为

a,a,aq，得： qaa3qaaq27 2122a(1q)91aa2a2q291q22q12∴9q482q290，即得q29或q，91∴q3或q，3故该三数为：1，3，9或1，3，9或9，3，1或9，3，1．

a说明：已知三数成等比数列，一般情况下设该三数为,a,aq．

q例4． 如图是一个边长为1的正三角形，将每边三等分，以中间一段为边向形外作正三角形，并擦去中间一段，得图形（2），如此继续下去，得图形（3）……求第n个图形的边长和周长．

解：设第n个图形的边长为an，周长为cn．

由题知，从第二个图形起，每一个图形的边长均为上一个图形的边长的等比数列，首项为1，公比为

1，∴数列{an}是31． 31n1∴an()．

3要计算第n个图形的周长，只要计算第n个图形的边数． 第一个图形的边数为3，从第二个图形起，每一个图形的边数均为上一个图形的边数的4倍，∴第n个图形的边数为34n1．

14cn()n1(34n1)3()n1．

332．练习：

1．已知{an}是等比数列且an0，a5a69，则log3a1log3a2log3a10 ．

2．已知{an}是等比数列，a4a7512，a3a8124，且公比为整数，则a10 ．

3．已知在等比数列中，a34，a654，则a9 ． 五．回顾小结：

1．等比数列的性质（要和等差数列的性质进行类比记忆）．

用心 爱心 专心

题，习题第6，8，9，10题． 用心 爱心 专心 3 六．课外作业：书练习第1，2七板书设计

第四篇：2.4第2课时 等比数列的性质教案(人教A版必修5)

§2.4等比数列

授课类型：新授课

（第２课时）

教学目标

知识与技能：灵活应用等比数列的定义及通项公式；深刻理解等比中项概念；熟悉等比数列的有关性质，并系统了解判断数列是否成等比数列的方法

过程与方法：通过自主探究、合作交流获得对等比数列的性质的认识。

情感态度与价值观：充分感受数列是反映现实生活的模型，体会数学是来源于现实生活，并应用于现实生活的，数学是丰富多彩的而不是枯燥无味的，提高学习的兴趣。

教学重点

等比中项的理解与应用

教学难点

灵活应用等比数列定义、通项公式、性质解决一些相关问题

教学过程 Ⅰ.课题导入

首先回忆一下上一节课所学主要内容：

1．等比数列：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q表示（q≠0），即：an=q（q≠0）an12.等比数列的通项公式: ana1qn1(a1q0)，anamqnm(amq0)3．｛an｝成等比数列列的必要非充分条件

4．既是等差又是等比数列的数列：非零常数列 Ⅱ.讲授新课

1．等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a,G，b成等比数列，那么称这个数G为a与b的等比中项.即G=±ab（a,b同号）

如果在a与b中间插入一个数G，使a,G，b成等比数列，则

an1=q（nN,q≠0）

“an≠0”是数列｛an｝成等比数anGbG2abGab，aG反之，若G=ab,则≠0）

[范例讲解] 课本P58例4 证明：设数列an的首项是a1，公比为q1;bn的首项为b1，公比为q2，那么数列anbn的第n项与第n+1项分别为： 2Gb2b，即a,G,b成等比数列。∴a,G,b成等比数列G=ab（a·

aGa1q1n1b1q2与a1q1b1q2即为a1b1(q1q2)n1与a1b1(q1q2)nn1nnan1bn1a1b1(q1q2)nq1q2.n1anbna1b1(q1q2)它是一个与n无关的常数，所以anbn是一个以q1q2为公比的等比数列 拓展探究：

对于例4中的等比数列{an}与{bn}，数列{

an}也一定是等比数列吗？ bnana，则cn1n1 bnbn1探究：设数列{an}与{bn}的公比分别为q1和q2，令cncn1bn1abaq(n1)(n1)1，所以，数列{n}也一定是等比数列。ancnanbnq2bnbnan1课本P59的练习4

22已知数列{an}是等比数列，（1）a5a3a7是否成立？a5a1a9成立吗？为什么？

2（2）anan1an1(n1)是否成立？你据此能得到什么结论？

2anankank(nk0)是否成立？你又能得到什么结论？

结论：2．等比数列的性质：若m+n=p+k，则amanapak 在等比数列中，m+n=p+q，am,an,ap,ak有什么关系呢？ 由定义得：ama1qm1 ana1qn

1apa1q2p1k1 a k a1qamana1qmn

2，apaka1qpk2则amanapak

Ⅲ.课堂练习

课本P59-60的练习3、5 Ⅳ.课时小结

1、若m+n=p+q，amanapaq

2、若an,bn是项数相同的等比数列，则anbn、{Ⅴ.课后作业

课本P60习题2.4A组的3、5题

2an}也是等比数列 bn

第五篇：高中数学《2.4等比数列》第1课时评估训练 新人教A版必修5

2.4 等比数列

第1课时

等比数列的概念及通项公式

双基达标 限时20分钟

1，3，63，则它的第四项是

A．1B.83C.93D.123解析 a＝aa2643q＝a3a＝3×＝＝30＝1.13

答案 A

2．已知等比数列{an}满足a1＋a2＝3，a2＋a3＝6，则a7等于

A．64B．81C．128D．243

解析 由a1＋a1q＝3，得a1＝1，aa2

1q＋1q＝6，q＝2，

∴a6

7＝a1q＝64，选A.答案 A

3．如果－1，a，b，c，－9成等比数列，那么

A．b＝3，ac＝9B．b＝－3，ac＝9

C．b＝3，ac＝－9D．b＝－3，ac＝－9

解析 ∵b2＝(－1)×(－9)＝9且b与首项－1同号，∴b＝－3，且a，c必同号．

∴ac＝b2＝9.答案 B

4．在等比数列{an}中，若2a4＝a6－a5，则公比q是________．

解析 法一 由已知得2a1q3＝a1q5－a1q4，即2＝q2－q，∴q＝－1或q＝2.法二 ∵a5＝a4q，a6＝a4q2，∴由已知条件得2a2

4＝a4q－a4q，即2＝q2－q，∴q＝－1或q＝2.答案 －1或2

5．已知等比数列{an}的前三项依次为a－1，a＋1，a＋4，则an＝________.()．)．()． 1（解析 由已知(a＋1)2＝(a－1)(a＋4)，633得a＝5，则a1＝4，qan＝4·n－1.422

3答案 4·n－1 2

6．设Sn为数列{an}的前n项和，Sn＝kn＋n，n∈N，其中k是常数．

(1)求a1及an；

(2)若对于任意的m∈N，am，a2m，a4m成等比数列，求k的值．

解(1)由Sn＝kn2＋n，得a1＝S1＝k＋1，*2*

an＝Sn－Sn－1＝2kn－k＋1(n≥2)．

a1＝k＋1也满足上式，所以an＝2kn－k＋1，n∈N.(2)由am，a2m，a4m成等比数列，得(4mk－k＋1)2＝(2km－k＋1)(8km－k＋1)，将上式化简，得2km(k－1)＝0，因为m∈N，所以m≠0，故k＝0或k＝1.综合提高

7．下列数列为等比数列的是

A．2,22,222，…限时25分钟()． **111B.23，… aaaC．s－1，(s－1)2，(s－1)3，…D．0,0,0，…

22211解析 A项中，≠2，∴A不是；B项是首项为C项中，当s22aa

＝1时，数列为0,0,0，…，∴不是；D项显然不是．

答案 B

8．设x∈R，记不超过x

()．

A．是等差数列但不是等比数列

B．是等比数列但不是等差数列

C．既是等差数列又是等比数列

D．既不是等差数列也不是等比数列

解析 可分别求得5＋1＝25＋15＋1＋1，的最大整数为[x]，令{x}＝x－[x]，则，22222－15＋1－15＋1，＝1，＝1，由等比中项易2222＋1＋15＋1，得，222 2

答案 B

9．数列{an}中，a1＝1且an＋1＝3an＋2，则an＝________.解析 由an＋1＝3an＋2得an＋1＋1＝3(an＋1)，令an＋1＝bn则bn＋1＝3bn且b1＝a1＋1＝2，∴{bn}是以2为首项，以3为公比的等比数列，∴bn＝2·3n－1，∴an＝bn－1＝2·3

－1 n－1－1.答案 2·3n－1

10．已知f(1,1)＝1，f(m，n)∈N*(m，n∈N*)，且对任何m，n∈N*，都有：①f(m，n＋1)＝

f(m，n)＋2，②f(m＋1,1)＝2f(m,1)，给出以下三个结论：(1)f(1,5)＝9；(2)f(5,1)＝16；(3)f(5,6)＝26，其中正确的个数是________个．

解析 ∵f(1,1)＝1且f(m＋1,1)＝2f(m,1)，∴数列{f(m,1)}构成以1为首项以2为公比的等比数列，∴f(5,1)＝1·2＝16，∴(2)正确；

当m＝1时，条件①变为f(1，n＋1)＝f(1，n)＋2，又f(1,1)＝1，∴数列{f(1，n)}是以1为首项，以2为公差的等差数列，∴f(1,5)＝f(1,1)＋4×2＝9.故(1)正确．

∵f(5,1)＝16，f(5，n＋1)＝f(5，n)＋2，∴{f(5，n)}也成等差数列．

∴f(5,6)＝16＋(6－1)·2＝26，∴(3)正确，故有3个正确．

答案 3

11．数列{an}满足a1＝－1，且an＝3an－1－2n＋3(n＝2,3，…)．

(1)求a2，a3，并证明数列{an－n}是等比数列；

(2)求an.解(1)a2＝3a1－2×2＋3＝－4，4

a3＝3a2－2×3＋3＝－15.下面证明{an－n}是等比数列：

证明

an＋1－n＋13an－2n＋1＋3－n＋1＝ an－nan－n3an－3n＝3(n＝1,2,3，…)． an－n

又a1－1＝－2，∴{an－n}是以－2为首项，以3为公比的等比数列．

(2)由(1)知an－n＝－2·3

∴an＝n－2·3n－1.n－1，12．(创新拓展)已知数列{an}的前n项之和为Sn，Sn与an满足关系Sn＝2(1)求an＋1与an的关系式，并求a1的值；

(2)证明：数列是等比数列，并求{an}的通项公式； nann＋2n(n∈N*)． n

(3)是否存在常数p使数列{an＋1－pan}为等比数列？若存在，请求出常数p的值；若不存在，请说明理由．

(1)解 ∵Sn＋2n＝2－nan①

∴Sn＋1＝2－n＋3n＋1an＋1②

②－①得an＋2n＋1＝nan＋3

n－n＋1an＋1，即2n＋2

n＋1n＋2n＋1＝nn，即2

n＋1a11＋21n＋1＝nn.而a1＝2－1a1，∴a12.(2)证明 由(1)知an＋1a

n＋1nn12，而a11＝12

∴an

n是以1122

∴an11n－11n

n22＝2，∴an

n2n.(3)解 ∵a＋1pn1－2pn＋1

n＋1－pann

2n＋12n＝2n＋1由等比数列的通项公式知若{an＋1－pan}是等比数列，则1－2p＝0，∴p＝12.