2012高中数学 2.5等比数列的前n项和(第1课时)教案 新人教A版必修5

第一篇：2012高中数学 2.5等比数列的前n项和(第1课时)教案 新人教A版必修5

等比数列前 项和(第一课时)

一、课标要求: 知识与技能：（1）通过教学使学生掌握等比数列前 项和公式的推导过程.（2）通过教学解决等比数列的a1，q，n，an，Sn 中知道三个数求另外两个数的一些简单问题.过程与方法：通过公式的推导过程，培养学生猜想、分析、综合能力，提高学生的数学素质.情感态度价值观：通过教学进一步渗透从特殊到一般，再从一般到特殊的辩证观点，培养学生严谨的学习态度.在学习过程中，使学生获得发现的成就感，培养学生学习数学的兴趣。

二、教学重点，难点: 重点:等比数列的前n项和公式的推导及运用

难点:等比数列的前n项和公式的推导．关键通过具体的例子发现一般规律

三、教学思路：

本课时要使学生熟悉等比数列前n项和的公式并知道求和公式的推导的方法：错位相减法。

与生活中的实例引入课题，用比较简单的数据引导学生发现并总结出等比数列的求和公式，并观察公式使用的条件：变量a1，n，qan，Sn中知道3个就可以求出其余2个变量。

四、教学过程: Ⅰ、课题的引入

引例：某企业拟给学校一批捐款，假如有以下两种方案：

方案1．第一次捐100万元，第二次捐200万元，第三次捐300万元„„全部捐款分64次到位；

方案2.第一次捐1元，第二次捐2元，第三次捐4元„„依此每一次的金额是前一次的两倍，全部捐款分64次到位。

试问：采纳哪一种方案，学校得到的捐款较多？（问题导出等比数列前n项求和的计算)学生建立数学模型：

方案1：求首项为a1=100，公差d=100的等差数列的前64项和； 计算 Snna1n(n1)d 2方案2：求首项为a1=1，公比q=2的等比数列的前64项和。那么怎样计算方案2的Sn呢？

设计意图：通过案例的引入，创设教学情境，在情境的暗示作用下，学生自觉不自觉地参与了情境中的角色，这样他们的学习积极性和思维活动就会极大的调动起来。Ⅱ、新课讲解：

1、数列前n项和的定义：

用心 爱心 专心

一般地，对于等比数列 a1,a2,a3,a4,an,，它的前 项和是 Sna1a2a3an

（通过简单数列的分析使学生自己发现总结等比数列求和公式）观察下列2个数列的特征：数列1： 1 2 4 8 16 32

数列2： 2 4 8 16 32 64 学生思考后：数列1，数列2都是公比为2的等比数列；

数列2中的每一项都是数列1中对应项的2倍； 数列2中第n项和数列1中的n+1项相等；

问题：数列1的和为S1，数列2的和为S2，那么S2与S1的关系，S2S1=？，学生回答：S2=2S1（q=2）； S2S1=64-1=63 思考过程分析：S2S1=2+4+8+16+32+64-1-2-4-8-16-32 S1 =（64-1）+（2-2）+（4-4）+（8-8）+（16-16）+（32-32）=63 这里我们可以知道S1的求和除了数列的每项相加之外，还可以利用一个新的数列的和S2（S2=qS1），通过做差的方式得到数列1的和。

设计意图：用比较简单的数据引导学生发现并总结出等比数列的求和公式。

2、公式的推导： 方法一：

对于一般的等比数列，其前 项和 构造新的数列的前n项和：①—②我们可以得到：

①

②

③

（提出问题通过③能否直接推出）

当 时，可知：

当 时，由③得.综上所述：等比数列的前n项和为

用心 爱心 专心 2

我们把这种数列求和的方法叫做“错位相减法” 公式简单的变化：方法二：

有等比数列的定义，时，a1(1qn)a1qan=

1q1qaa2a3nq a1a2an1a2a3anSna1q 根据等比的性质，有a1a2an1Snan即 Sna1q(1q)Sna1anq（结论同上）

Snan围绕基本概念，从等比数列的定义出发，运用等比定理，导出了公式．

3、应用举例：

学习了等你数列前n项和的公式，我们回头来看看开始引用的例题： 方案2：求首项为a1=1，公比q=2的等比数列的前64项和。

a1a1qn11264计算：Sn

1q12通过对比方案1我们就可以知道选取方案2学校得到的捐款更多。

（以一个例题来熟悉等比数列前n和的公式）板书： 例题1：求下列等比数列前8项的和，⑴、111，,； 2481,q0； 243⑵、a127,a9解答（略）

例题2：（课本64页例2）设计意图：(1)加强学生对公式的认识和记忆，突出教学重点；(2)帮助学生明确解题步骤，规范解题格式，提高运算能力；(3)重视课本例题，适当对题目进行引申，使学生对公式的应用达到举一反三的教学效果。

4、公式中的变量： 等比通项公式中ana1qn1变量为a1，q，n，an，他们四个中知道了3个就可以求出其另外一个，而前n项和中的变量是a1，q，n，an，Sn，这五个变量中最少知道几个就可以求出其余的？

假如：已知等比数列中的Sn，an，q 能不能求a1，n呢（学生讨论）

用心 爱心 专心 3

已知等比数列中的a1，n，Sn 能不能求q，an呢（学生讨论）总结学生的结论：5个变量中只需要知道其中任意的3个就可以知道其余的2个

Ⅲ、课堂练习： 课本66页练习1

Ⅳ、课堂小结：

1、等比数列前n项和公式

2、等比数列求和的方法：错位相减法

设计意图：使学生巩固所学知识，培养学生的归纳和概括能力。V、作业：

课本69页A组第1、2、3、5、题

B组第1题

选作题：等比数列前n项和公式有无其他推导方法

设计意图：针对学生素质的差异进行分层训练，达到巩固教学效果的目的。

用心 爱心 专心 4

第二篇：高中数学 2.5等比数列的前n项和教案 新人教B版必修5

2.5等比数列的前n项和（1）

教学目标

1．掌握等比数列的前n项和公式及公式证明思路．

2．会用等比数列的前n项和公式解决有关等比数列前n项和的一些简单问题.教学重点 1.等比数列的前n项和公式； 2.等比数列的前n项和公式推导.教学难点 灵活应用公式解决有关问题.教学方法 启发引导式教学法

教学过程(I)复习回顾(1)定义：(2)等比数列通项公式：(3)等差数列前n项和的推导思想：(4)在等比数列a中，公比为q，则aqankk1

II）探索与研究：你能计算出国际象棋盘中的麦粒数吗？

一．等比数列求和公式 1．公式推导 已知等比数列分析：先用a，公比为q，求前n项和Snna1a2an。

a1,n,q表示各项，每项的结构有何特点和联系？如何化简与求和？

2．公式与公式说明

a1(1qn)Sn(q1)1q

（1）公式推导方法：错位相减法 特点：在等式两端同时乘以公比（2）

q后两式相减。

q1时，Snna1(q1)

（3）另一种表示形式

a1anqSn1q

总结： a1(1qn)(q1)Sn1qna(q1)1 或

a1anq(q1)Sn1qna(q1)1

注意：每一种形式都要区别公比

q1和q1两种情况。

二．例题讲解

例1．课本63页例1 例2．某商场第1年销售计算机5000台，如果平均每年的销售量比上一年增加10％，那么从第1年起，约几年内可使总销量达到30000台（保留到个位）？

333，,例3．求等比数列248从第7项到第15项的和。

例4．已知等比数列比

qa2S1a2S1anS3243n例5 在等比数列中，表示前n项和，若，求公比

22nnaaaS21a的前n项和n2n的值。例6等比数列，求1nq与项数n。a中，a1an66，a2an1128，Sn126，求公n。

三．小结

四．作业

A 1 P69 页 2，3

n112422.求数列1，1＋2，1＋2＋4，…，…的前n项和。

B P70 页 2

ka1SSan2nn1，其中【探索】是否存在常数K和等差数列，使

n2S2n,Sn1是等差数列an的前2n和前n+1项和，若存在，求常数K，若不存在，请说明理由？

等比数列的前n项和

教学目标 1．进一步掌握等比数列的前n项和公式。

2．会用等比数列的前n项和公式及通项公式解决求基本元素

a1,q,n,an,Sn的有关问题。

教学重点： 等比数列的通项公式及前n项和公式的灵活应用。教学难点

灵活应用公式解决有关问题.教学方法： 启发引导式教学法 教学过程 I．设置情境

1．等比数列的通项公式是。

2．等比数列的前n项和公式的两种形式分别是 和。II．探索与研究

SS15S5a30。2010例1．在等比数列中，已知，求n例2．设等比数列a的前n项和Sn3a，求常数a的值。

nn781916Sna1ana中，144，求公比16，9，例3．已知等比数列nq与项数 n。

q(q0)a(a0)例4．设等比数列的首项为，公比为，前n项和为80，其中最大的一项为54，又它的前

2n项和为6560，求a和q。

2n Sx2xnxn例5．求例6．求数列1，1＋3，1＋3＋9，…，三小结 四．作业

1393n1，…的前n项和。

S13SSSS140a30101030A.1．在等比数列中，求20 n2．在等比数列an7a4,q5，求使Sn25最小的n的值。1中，1112n(x)(x2)(xn)(x0,x1,y1)yyyB．3．求和：

ana1,a2a1,aa,,a【探究】设数列中

32nan1,是首项为1，公比1为3的等比数列，求：

an（1）的通项公式。

（2）

数列综合应用1:

―――――――――数列求和

教学目的:使学生在理解等差,等比数列的前n 项和公式的基础上,加深对数列的前n 项和认识.能利用等差,等比数列的前n 项和公式解决一些特殊数列的求和问题 教学重点:（1）理解拆项求和、错位相减法求数列的和。（2）能求循环数列的和。（3）裂项求和。教学方法

启发式教学法，讲练相结合 一．知识回顾

1.等差数列的前n 项和公式： 2.等差数列的前n 项和公式： an的前n项和Sn。3.数列2,5,8,11,…(3n1)的前n 项和为: n34.数列3,9,27,81…的前n项和为: 二例题分析

n32n1的前n 项和 例1.求数列4,12,32…

1n{2()n}3练习: 求数列的前n 项和 n

归纳方法:拆项求和:如果一个数列的通项公式可以拆成几个等差或等比数列,则利用拆项组合的方法,借助等差或等比数列前n项和公式求和.n(3n1)2例2.求数列4,20,64, …的前n 项和

例3.求数列a,5a,9a2n(a0)(4n3)a …的前n项和

归纳:错位相减法: 如果一个数列的通项公式可以写成一个等差数列与一个等比数列的积,则利用错位相减法可以求和.例4.求数列9,99,999,…999…9的前n 项和

【变式】.求数列6,66,666,…666…66的前n 项和

归纳:循环数列问题以9,99,999,…999…9为基础,进行求和.1111，,n(n1)前n 项和 例5.求数列122334…

1111，,(2n1)(2n1)前n 项和 【变式】求数列133557

归纳:裂项求和:如果数列的通项公式可以写成一个等差数列的连续两项的积,则可以通过运算分裂成两个数列的差,即:

anbnbn1,则可以求和.三小结 四作业

A．1求下列数列的前n 项和

1n{(n2)3()}2(1)n(2)9,36,135 …(n2)3n

(3)5,55,555, 555…5 111，(3n1)(3n2)的前n项和 2求数列2558811…

1111，135(2n1)的前n项和 B．求数列.13135【探究】

数列（1）求数列aannS2a3nSnnn的前n 项和满足 的递推公式

（2）求数列ann的通项公式

（1）求数列

a的前n项和公式

数列专题2:数列应用2 教学目的:使学生在理解等差,等比数列的前n 项和公式的基础上,加深对数列的前n 项和认识.能利用等差,等比数列的前n 项和公式解决一些特殊数列的求和问题 教学重点:（1）理解循环数列求和、裂项求和。教学方法启发式教学法，讲练相结合 一知识回顾

1说出下列数列的求和方法: {41)n12n7n3()}n23 2)(4n3)a,a0

3{}(4n1)(4n3)3)3,33,333,333…33 4)二.问题推广

n个991求数列99,9999,999999,…9999的前n 项和

n个23【变式】求数列 23，2323，232323，…2323 的前n 项和

1{}n1n的前n 项和 2求数列1{}n(n1)(n2)的前n 项和 3.求数列

1111，,4.求数列112123 123n的前n 项和.三应用

1.某企业在减员增效中对部分人员实行分流,规定分流人员在第一年可以到原单位领取工

23资的百分之百,从第二年起以后每年只能在原单位按上一年的领取工资,该企业计划创办新的实体, 该实体预计第一年属于投资阶段,每有利润,第二年每人可收入b元, 从第三年起每人的收入在上一年的基础上递增50%,如果某人在分流前的工资为a元,分an元,(1)求an.(2)当流后的总收入为收入是多少? 2．课本76页 13 3．课本77页 5 二小结 三．作业

A 1课本69页 5 2课本76页 10 B3课本P77页 4

b8a27时,这人哪一年的收入最少?最少1{}(3n1)(3n2)(3n5)的 4.求【探究】

数列{an}满足a1=29,且an+1-an=2n-1,(1)求数列{an}的通项公式

(2)

an28nbn22n设，求数列{b}的前n 项和

n

数列综合应用3

----------------------数列应用题

教学目标：

1．通过对实际问题的分析，理解等差数列、等比数列知识在现实生活、生产中的应用。2．了解存款、贷款、投资等问题的数学原理。教学重点： 等差数列、等比数列知识在现实生活、生产中的应用。教学过程：

一问题提出与解决

随着人们生活水平的提高，我们与银行的关系越来越密切，你知道在银行存款时，银行是怎样计算利息的吗？（不考虑利息税）

【单利】单利的计算是仅在原有的本金上计算利息，对本金所产生的利息不再计算利息。其公式为：利息＝本金×利率×存期 【本息和】S=本金＋利息

【复利】把上期末的本利和作为下一期的本金，在计算时，每一期的本金数量不同。

【零存整取问题】每月定时存入一笔相同数目的现金，这是零存；到约定日期，可以取出全部本利，这是整取，规定每次存入的钱不计复利。（不考虑利息税）1． 某人到银行办理零存整取业务：

（1）若每月存入x元，月利率为r保持不变，存期为n个月，推导出整取时的本利和公式。（2）若每月初存入500元，月利率为0.3％，到第36个月末整取时的本利和为多少？ 【定期自动转存问题】

2．某人存入定期为1年的P元存款，定期年利率为r，连存n年后再取出本利和，求n年后的本利和公式。

【分期付款问题】

3某人买一套价值20万元的商品房,首期付5万元.其余部分向银行贷款,5年还清,每月从工资里还相同的款额,在贷款后的第一个月即还第一笔款额.又银行的贷款月利息为问每月应还多少元?

0.5%,4.某公司实行股份制，一投资人年初入股a万元，年利率为 25%，由于某种需要，从第二年起此投资人每年年初要从公司取出x万元.(1)分别写出第一年年底，第二年年底，第三年年底此投资人在该公司中的资产本利和；(2)写出第n年年底此投资人的本利之和bn与n的关系式（不必证明）；

(3)为实现第20年年底此投资人的本利和对于原始投资a万元恰好翻两番的目标，若a=395，则x的值应为多少？（在计算中可使用lg2=0.3）

5.容器A中有12%的食盐水300克, 容器B中有6%的食盐水300克.现约定完成下列工作程序为进行一次操作:从A、B两个容器中同时各取100克溶液,然后将A取出的溶液注入B中.将B取出的溶液注入A中,问:(1)经过n次操作后,设A、B中的食盐含量为为常数.an%,bn%,求证:anbna,bnn的通项公式.(2)分别求二．小结 三．作业

A.P76页 6 7 B.P76页 8 C．P70页 5 课本77页 5

第三篇：高中数学必修5人教A教案2.5等比数列的前n项和

2.5等比数列的前n项和

(一)教学目标

1、知识与技能：掌握等比数列的前n项和公式，并用公式解决实际问题

2、过程与方法：由研究等比数列的结构特点推导出等比数列的前n项和公式

3、情态与价值：从“错位相减法”这种算法中，体会“消除差别”，培养化简的能力

（二）教学重、难点

重点：使学生掌握等比数列的前n项和公式，用等比数列的前n项和公式解决实际问题 难点：由研究等比数列的结构特点推导出等比数列的前n项和公式

（三）学法与教学用具

学法：由等比数列的结构特点推导出前n项和公式，从而利用公式解决实际问题 教学用具：投影仪

（四）教学设想

教材开头的问题可以转化成求首项为1，公比为2的等比数列的前64项的和.类似于等差数列，我们有必要探讨等比数列的前n项和公式。一般地，对于等比数列

a1，a2，a3，．．．, an,．．． 它的前n项和是

Sn= a1+a2+a3+．．．+an

由等比数列的通项公式,上式可以写成

Sn= a1+a1q + a1q2 +．．．+a1qn-1

①

① 式两边同乘以公比q 得

qSn= a1q+ a1q2 +．．．+a1qn-1+ a1qn

② ①,②的右边有很多相同的项,用①的两边分别减去②的两边,得(1-q)Sn= a1－a1qn

当ｑ≠１时，a1(1qn)

Sn=

（q≠1）

1q又an =a1qn-1 所以上式也可写成 Sn=a1anq（q≠1）

1q推导出等比数列的前n项和公式，本节开头的问题就可以解决了 [相关问题] ①当q=1时，等比数列的前n项和公式为Sn=na1 a1(1qn)a1(qn1)② 公式可变形为Sn==（思考q>1和q<1时分别使用哪个方便）

1qq1③ 如果已知a1, an,q,n,Sn五个量中的任意三个就可以求出其余两个

[例题分析] 例1 求下列等比数列前8项的和:

(1)111，,．．．； 248 1

(2)a1=27, a9=1,q<0 243评注:第(2)题已知a1=27,n=8,还缺少一个已知条件,由题意显然可以通过解方程求得公比q,题设中要求q<0,一方面是为了简化计算,另一方面是想提醒学生q既可以为正数,又可以为负数.例2 某商场今年销售计算机5000台,如果平均每年的销售量比上一年的销售量增加10%,那么从今年起,大约几年可使总销售量达到30000台(结果保留到个位)? 评注:先根据等比数列的前n项和公式列方程,再用对数的知识解方程 [随堂练习]第1.2.3题 [课堂小结](1)等比数列的前n项和公式中要求q≠1;这个公式可以变形成几个等价的式子(2)如果已知a1, an,q,n,Sn五个量中的任意三个就可以求出其余两个(五)评价设计

(1)课后阅读: [阅读与思考](2)课后作业: 1,2,4题

第四篇：2012高中数学 2.5等比数列的前n项和(第2课时)教案 新人教A版必修5

2.5等比数列的前n项和(2)教案

教材分析：本节知识是必修5第二章第5节的学习内容，是在学习完等差数列前n项和的基础上再次学习的一种求和的思想与方法。本节课的求和思想为一般的数列求和作了准备。●教学目标

知识与技能：掌握等比数列的前n项和公式及公式证明思

教学目标：

知识与技能：会用等比数列的通项公式和前n项和公式解决有关等比数列的Sn,an,a1,n,q中知道三个数求另外两个数的一些简单问题；提高分析、解决问题能力

过程与方法：通过公式的灵活运用，进一步渗透方程的思想、分类讨论的思想、等价转化的思想.情感态度与价值观：通过公式推导的教学，对学生进行思维的严谨性的训练，培养他们实事求是的科学态度.●教学重点

进一步熟练掌握等比数列的通项公式和前n项和公式

●教学难点

灵活使用公式解决问题

学情分析：在学生学习完等比数列的前n项和公式的基础上，进一步加强前n项和的应用.在实际问题的应用中需要教师的指导。特别是分类讨论思想的进一步应用。●教学过程 一.课题导入

首先回忆一下前一节课所学主要内容：等比数列的前n项和公式：

aanqa1(1qn)Sn1Sn1q ② 1q ① 或当q1时，当q=1时，Snna1

当已知a1, q, n 时用公式①；当已知a1, q, an时，用公式②

二.讲授新课

1、等比数列前n项，前2n项，前3n项的和分别是Sn，S2n，S3n，22SSn2nSn(S2nS3n)求证：

2、设a为常数，求数列a，2a2，3a3，…，nan，…的前n项和；

（三．例题讲解

用心 爱心 专心 1

例1已知等比数列an中, S420,S81640,求S12.a1和q ？ 如何求？ 一定要求q吗？(基本量的确定)设问1:能否根据条件求设问2:等比数列中每隔4项的和组成什么数列？(探究等比数列内在的联系)设问3:若题变: 数列an是等比数列,且Sna,S2nb,(ab0)求S3n

S2nSnbabaa2abb2nnq,S3nS2n(S2nSn)qb(ba)Snaaa

nanSqn引导学生归纳:若是等比数列,公比为q,则每隔n项的和组成一个首项为,公比为的等比数列.(学生类比等差数列相关结论)[说明]解题首先考虑的是通法,先确定基本量

a1,q然后再求和，其次分析题目的特点、内在结构,探索规律,并从特殊向一般推广，注意培养学生思维的严谨性.例2．某商店采用分期付款元的方式促销一款价格每台为6000电的脑.商规店定，购买时先1支付货款的3，剩余部分在三年内按每月底等额还款的方式支付欠款，且结算欠款的利息.已知欠款的月利率为0.5% 到第一个月底，货主在第一次还款之前，他欠商店多少元？ 假设货主每月还商店a元，写出在第i(i=1,2,36)个月末还款后，货主对商店欠款数的表达式.每月的还款额为多少元（精确到0.01）？ 引导学生,认真阅读题目,理解题意, 月底等额还款,即每月末还款数一样，月底还款后的欠款数

yi与第i-1个月底还款后的欠款数yi1的关系是第yiyi1(10.05%)a,(学生分析)三年内还清转化为数学语言是:

y360

22解(1)因为购买电脑时,货主欠商店3的货款,即60003=4000(元),又按月利率0.5%到第一个月底的欠款数应为4000(1+0.5%)=4020(元).即到第一个月底,欠款余额为4020元.(2)设第i个月底还款后的欠款数为yi,则有 y1=4000(1+0.5%)-a y2=y1(1+0.5%)-a

用心 爱心 专心 2

=4000(1+0.5%)-a(1+0.5%)-a 2 y3=y2(1+0.5%)-a y3=y2(1+0.5%)-a

=4000(1+0.5%)-a(1+0.5%)-a(1+0.5%)-a 32 

yi=yi1(1+0.5%)-a=4000(1+0.5%)-a(1+0.5%)

ii1

-a(1+0.5%)整理得 i2--a，(10.5%)i1ai0.5% yi =4000(1+0.5%)-.(i=1,2,,36)(3)因为y36=0,所以

(10.5%)361a360.5% 4000(1+0.5%)-=0 即每月还款数

4000(10.5%)360.5%121.6936(10.5%)1 a=(元)所以每月的款额为121.69元.[说明] 解应用题先要认真阅读题目,一般分为粗读,细读,精读,准确理解题意,尤其是一些关键词:”等额还款”,”月利率”,”第i个月末还款后欠款表达式”等;理解题意后,引导学生将文字语言向数字语言转化,建立数学模型,再用数学知识解决问题,并使原问题得到尽可能圆满的解答.1112nyyy例3.求Sn=(x+)+(x2+)+…+(xn+)(y0)。

解：当x1,y1时，11(1)nnx(1x)yxxn11ynynn111111x1xyy1yyn)=ySn=(x+x2+…+xn)+(y+2

1ynnn1当x=1,y1时 Sn=n+yy

用心 爱心 专心 3

xxn1n当x1,y=1时 Sn=1x

当x=y=1时 Sn=2n

四 反思总结，当堂检测。

教师组织学生反思总结本节课的主要内容，并进行当堂检测：

1.如果将例4的还款期限从三年改为一年,其他条件不变,那么每次付款额a将是多少? 2.一套住房的建筑面积为100平方米,房价为9000元/平方米.买房者若先付房价的3,其余款进行商业贷款,次月开始还贷款,按每月等额还款的方式十年还清欠款,贷款十年的月利率是0.54%.按月结息,买房者每月应还款多少元?(精确到元)数学建模的方法；

关注学生解题的规范性,准确度及速度.五.课后小结(引导学生归纳,教师提炼)(1)主要内容:公式的灵活运用,求和公式解决应用问题;(2)数学思想方法:分类讨论、方程、转化与化归等.六．教学反思 ：

本课的设计采用了课前下发预习学案，学生预习本节内容，找出自己迷惑的地方。课堂上师生主要解决重点、难点、疑点、考点、探究点以及学生学习过程中易忘、易混点等，最后进行当堂检测，课后进行延伸拓展，以达到提高课堂效率的目的。

板书：略

用心 爱心 专心 4

第五篇：高中数学《等比数列的前n项和》教案6 新人教A版必修5

《等比数列的前n项和》

教 案

获嘉县第一中学

肖玉

等比数列的前n项和

教学目的：

1．掌握等比数列的前n项和公式及公式证明思路．

2．会用等比数列的前n项和公式解决有关等比数列的一些简单问题 教学重点：等比数列的前n项和公式推导 教学难点：灵活应用公式解决有关问题 授课类型：新授课 课时安排：1课时

教 具：多媒体、实物投影仪

教材分析：

本节是对公式的教学，要充分揭示公式之间的内在联系，掌握与理解公式的来龙去脉，掌握公式的导出方法，理解公式的成立条件．也就是让学生对本课要学习的新知识有一个清晰的、完整的认识、忽视公式的推导和条件，直接记忆公式的结论是降低教学要求，违背教学规律的做法 教学过程：

一、复习引入：

首先回忆一下前两节课所学主要内容：

1．等比数列：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公

比；公比通常用字母q表示（q≠0），即：2.等比数列的通项公式:

an=q（q≠0）an1ana1qn1(a1q0)，anamqnm(a1q0)

3．｛an｝成等比数列an1=q（nN,q≠0）an “an≠0”是数列｛an｝成等比数列的必要非充分条件 4．既是等差又是等比数列的数列：非零常数列． 5．等比中项：G为a与b的等比中项.即G=±6．性质：若m+n=p+q，amanapaq

7．判断等比数列的方法：定义法，中项法，通项公式法

8．等比数列的增减性：当q>1, a1>0或01, a1<0,或00时, {an}是递减数列;当q=1时, {an}是常数列;当q<0时, {an}是摆动数列;

二、讲授新课 一:求和公式: G.Pan的首项为a1,公比为q,前n项和Sn.则Sna1a2又ana1qn1

an

ab（a,b同号）.Sna1a1qa1q2a1qn1(1)

在(1)式的两边同时乘以q得: qSna1qa1q2a1qn1a1qn(2)

将上面两式相减,即(1)-(2)得:(1q)Sna1a1qn

接下来对q进行分类讨论

1当q1时,Sna1a1a1na1

2当q1时,S11qna1anqna1q1q na1S q=1na1(1qn)q1q1 另外：当q1时，Sa1a1qnn1q =a11qa11qqnAAqn 其中Aa11q

三、例题讲解: 例1:求等比数列1,1,1248, 的前8项和.解:由题知:a1112,q2

11 S212812558 1112562562例2:已知等比数列an中, Sn23na，求首项 解: Sn是等比数列得前n项和.a2

Sn23n2

a1S12324

例3:求和:2232522n3

a1。4

解：此式为首项为2,公比为4的等比数 列的前n+2项的和.S214n2n21234n241 或者:3S222n4n2142322n41

课堂练习: 求和:1qq2qn1

提示:对q进行分类讨论

解:(1)当q0时,S1;(2)当q1时,Sn;

(3)当q0且q1时,S1qn1q;综上: 1qnS1q,q1或S1,q1

四、课后小结: 本节课重点掌握等比数列的前n项和公式: Sa11qnn1a1anqq1q(q1)

及推导方法:错位相减法

作业: 习题3.5 1,3,6,7