等比数列前n项和公式教案

第一篇：等比数列前n项和公式教案

课题: §2.5等比数列的前Ⅱ.讲授新课

n项和

[分析问题]如果把各格所放的麦粒数看成是一个数列，我们可以得到一个等比数列，它的首项是1，公比是2，求第一个格子到第64个格子各格所放的麦粒数总合就是求这个等比数列的前64项的和。下面我们先来推导等比数列的前n项和公式。

1、等比数列的前n项和公式：

当q1时，Sna1(1q)1qn ①

或Sna1anq1q

②

当q=1时，Snna1

当已知a1, q, n 时用公式①；当已知a1, q, an时，用公式②.公式的推导方法一：

一般地，设等比数列a1,a2a3,an它的前n项和是

Sna1a2a3an

Sna1a2a3an由 n1aaq1n2n2n1a1qSna1a1qa1qa1q得

23n1na1qqSna1qa1qa1qa1qn(1q)Sna1a1q

∴当q1时，Sna1(1q)1qn ①

或Sna1anq1q

②

当q=1时，Snna1

公式的推导方法二：

有等比数列的定义，a2a1a3a2anan1q

根据等比的性质，有a2a3ana1a2an1Sna1Snanq

即 Sna1Snanq(1q)Sna1anq（结论同上）

围绕基本概念，从等比数列的定义出发，运用等比定理，导出了公式． 公式的推导方法三：

Sna1a2a3an＝a1q(a1a2a3an1)

＝a1qSn1＝a1q(Snan)

(1q)Sna1anq（结论同上）

课题: §2.5等比数列的前●教学过程 Ⅰ.课题导入

首先回忆一下前一节课所学主要内容： 等比数列的前n项和公式： 当q1时，Sna1(1q)1qnn项和

①

或Sna1anq1q

②

当q=1时，Snna1

当已知a1, q, n 时用公式①；当已知a1, q, an时，用公式②

课 题：数列复习小结

教学过程：

一、本章知识结构

二、知识纲要

(1)数列的概念，通项公式，数列的分类，从函数的观点看数列．(2)等差、等比数列的定义．(3)等差、等比数列的通项公式．(4)等差中项、等比中项．

(5)等差、等比数列的前n项和公式及其推导方法．

三、方法总结

1．数列是特殊的函数，有些题目可结合函数知识去解决，体现了函数思想、数形结合的思想．

2．等差、等比数列中，a1、an、n、d(q)、Sn “知三求二”，体现了方程(组)的思想、整体思想，有时用到换元法．

3．求等比数列的前n项和时要考虑公比是否等于1，公比是字母时要进行讨论，体现了分类讨论的思想． 4．数列求和的基本方法有：公式法，倒序相加法，错位相减法，拆项法，裂项法，累加法，等价转化等．

四、知识精要：

1、数列

[数列的通项公式] an2、等差数列 [等差数列的概念] [定义]如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。[等差数列的判定方法]

1． 定义法：对于数列an，若an1and(常数)，则数列an是等差数列。2．等差中项：对于数列an，若2an1anan2，则数列an是等差数列。[等差数列的通项公式]

如果等差数列an的首项是a1，公差是d，则等差数列的通项为ana1(n1)d。[说明]该公式整理后是关于n的一次函数。[等差数列的前n项和] 1．Snn(a1an)2a1S1(n1)SnSn1(n2)[数列的前n项和] Sna1a2a3an

2.Snna1n(n1)2d

[说明]对于公式2整理后是关于n的没有常数项的二次函数。[等差中项] 如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项。即：Aab2或2Aab

[说明]：在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷等差数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项；事实上等差数列中某一项是与其等距离的前后两项的等差中项。[等差数列的性质]

1．等差数列任意两项间的关系：如果an是等差数列的第n项，am是等差数列的第m项，且mn，公差为d，则有anam(nm)d

2.对于等差数列an，若nmpq，则anamapaq。

3．若数列an是等差数列，Sn是其前n项的和，kN*，那么Sk，S2kSk，S3kS2k成等差数列。

3、等比数列 [等比数列的概念] [定义]如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示（q0）。[等比中项] 如果在a与b之间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项。即G2ab。[等比数列的判定方法] 1． 定义法：对于数列an，若an1anq(q0)，则数列an是等比数列。

22．等比中项：对于数列an，若anan2an，则数列an是等比数列。1[等比数列的通项公式]

n1如果等比数列an的首项是a1，公比是q，则等比数列的通项为ana1q。

[等比数列的前n项和] Sna1(1q)1qn(q1)Sna1anq1q(q1)当q1时，Snna1

[等比数列的性质] 1．等比数列任意两项间的关系：anamqnm

2． 对于等比数列an，若nmuv，则anamauav

4．若数列an是等比数列，Sn是其前n项的和，kN*，那么Sk，S2kSk，S3kS2k成等比数列。如下图所示：

4、数列前n项和（1）重要公式：

123n123n222n(n1)22；

； n(n1)(2n1)612n333[121n(n1)] 2（2）裂项求和：

n(n1)1n1n1；

第二篇：等比数列前n项和教案[范文模版]

等比数列前n项和教案

导入：同学们，大家好！数学科学是一个不可分割的有机整体，它的生命力正在于各部分之间的联系，咱们在前边数列这一部分看到了很多有联系的数，排成一定顺序的数，我们重点研究了等差数列和等比数列，正是它们向我们展示了数与数之间美妙的联系，那么首先在等差数列当中，我们学习了等差数列的定义，通项公式和以及前n项求和公式，那么现在咱们一块回忆一下等差数列前n项求和公式的推导过程，在等差数列前n项求和公式的推导过程当中，我们注意到，等差数列的本质特征是从第二项起，每一项比前一项要多一个公差d，那么，再把对等的两项交换顺序后，我们又一次注意到等差数列从倒数第二项起，每一项比后一项少一个d，就是通过这样的本质特征，我们发现了等差数列各项之间的差异，那么我们通过什么样的方式来消除这样的差异呢？（停顿两秒，之后同学一起回答）把这两个式子相加，这样我们就可以得到等差数列前n项求和公式。先找差异，再消除差异，这样的方法我们称之为“倒序相加”的方法。

好，我们再来看等比数列，在等比数列中我们已经学习了它的定义，通项公式，那么接下来应该学习它的（在此停顿一秒，学生一起回答）前n项求和公式，好的，前n项求和公式。首先，我们来看这样一个问题情境，首先我们来做一个假设，假设在座的各位都是小小企业家，现在，你的公司在经营上遇到一些困难需要向银行贷款，银行和你商定，在三年内，公司每月向银行贷款一万元，为了还本付息，公司第一个月要向银行还款一元，第二个月还款2元，第三个月还款4元，„„，那么以此类推，也就是说公司每月还款的数量是前一个月的两倍。那么，你作为这个公司的负责人，你会在这个和约上签字吗？思考一下，和同桌之间讨论一下。

提问，怎么样会不会签约？那么请你吧这么一个在你的公司中遇到的问题给我们建立一个数学模型，我们可以把这个借款的过程（借款的过程也就是银行每月给你的过程，银行每月给的钱可以构成一个？）构成一个等比数列，（等比数列，好，an ,这个数列的首项？）首项是10000，（首项是10000元，）公比是1，（一共有多少项？）一共有36项。（好的，第二个，bn）首项是1元，（也就是你每个月给引港的还款也构成一个等比数列，他的首项是1，公比是？一共是多少项？）

那么你通过什么计算出我不会和银行签约，通过计算数列的和，好，首先我们来看看，在银行借给你的钱的和是？那么你还给银行的钱呢？非常好请坐

现在这位同学帮我们把这个实际问题概括成了数学问题，建立了数学模型，原来是两个等比数列的问题，我们在决定要不要和银行签约的过程也就是去比较一下银行借给我们的钱和我们还给银行的钱之间的差异，好，银行借给我们的前已经解决了，那么我们还给银行的钱又怎样计算呢，这实际上就是一个等比数列求和的问题，这也就是本节课我们要来研究的课题，等比数列前n项和，试想，如果我们掌握了这个方法，我们能精确的计算出我们还给银行的钱是多少，那么我们可以明确地做出判断我是否和银行签约，是不是？

接下来在这个36项求和的过程的当中，这个等比数列求和

等差数列求和的重要方法是倒序相加法，剖析倒序相加法的本质即整体设元，构造等式，利用方程的思想化繁为简，把不易求和的问题转化为易于求和的问题，从而求和的实质是减少了项.那现在用这种办法还行吗？若不行，那该怎样简化运算？能否类比倒序相加的本质，根据等比数列项之间的特点，也构造一个式子，通过两式运算来解决问题？

第三篇：等比数列前n项和公式教学设计（模版）

等比数列前n项和公式教学设计 1.复习:(1)等比数列的定义

(2)等比数列的通项公式: 2.引例：

一个穷人到富人那里去借钱,原以为富人不愿意，哪知富人一口答应了下来,但提出了如下条件：在30天中，富人第一天借给穷人1万元,第二天借给穷人2万元,以后每天所借的钱数都比上一天多1万;但借钱第一天,穷人还1分钱,第二天还2分钱,以后每天所还的钱数都是上一天的两倍,30天后互不相欠.穷人听后觉得挺划算,本想定下来,但又想到此富人是吝啬出了名的,怕上当受骗,所以很为难。”请在座的同学思考讨论一下,穷人能否向富人借钱?（1）启发引导学生数学地观察问题，构建数学模型。

学生直觉认为穷人可以向富人借钱，教师引导学生自主探求，得出：

S穷人30天借到的钱：

'301230229(130)302465（万元）

穷人需要还的钱：S301222?

29（2）教师紧接着把如何求S学生探究，3012222？的问题让S301222229

①若用公比2乘以上面等式的两边，得到

2S30222229230②

若②式减去①式，可以消去相同的项，得到：

S3023011073741823(分)≈1073(万元)＞ 465（万元）

由此得出穷人不能向富人借钱

（3）小组合作

仿照公比为2的等比数列求和方法，推倒等比数列前 项和公式：

等式两边应同乘以等比数列的公比，即（板书）

③两端同乘以，得 ④，③－④得

醒学生注意 的取值）当 当 时，由③可得 时，由⑤得

（不必导出④，但当时设想不到）.⑤，（提问学生如何处理，适时提于是

（4）教师：还有没有其他推导方法？

a2a1a3a2anan1q

a2a3ana1a2an1q

即

sna1snanqsna1anq1q(q1)。

学生B：

sna1a1qa1qa1qa1a1qa1qn2a1q1n1

n2aqsn1a1qsnana1qsnanqa1anq1q(q1)snqsna1anqsn

3．练习：

求下列等比数列的各项和：

(1)1，3，9，…，2187

（2）1,1,1,1,,2481512

2、根据下列条件求等比数列a的前n项和S

nn①a12,q2,n8

②a18,q2,an12

4．布置作业：

1、根据下列条件，求等比数列an的前n项和S

n①: a13,q2,n6

②: a18,q12,an12

0,n049 ③：a20.12,a50.0 ④: a1a310,a4a654，2、在等比数列an中，①:已知a12,S326，求q和Sn ②:已知S230,S3115，求Sn

第四篇：等比数列的前n项和公式的应用

第2课时等比数列前n项和公式的应用

学习目标

1.掌握等比数列 的 前n项和公式及有关性质，能熟练运用公式解决简单的相关问题。

2.自助学习，合作探究，掌握等比数列前n项和公式的推导与运用。

3.激情投入，全力以赴，享受学习成功的快乐，激励学生创新，勇于探索。重点：等比数列的前n项和公式及有关性质。

难点：等比数列的前n项和公式及有关性质的应用。

预习案

Ⅰ相关知识

等比数列的前n项和公式的推导方法；等比数列的前n项和公式。

Ⅱ教材助读

1.等比数列中的Sn与an具有什么关系？

2.等比数列{an}中，a2a3na(a1a2n表示)a用qnS，即1,Sna1_________q

3.等比数列{an}中，an1an2a2n(a1a2an)__

4.若某数列的前n项和公式为SnAqnA(A0,q0且q1,nN),此数列是等比数列，这个结论对吗？

5.若数列{an}是等比数列，则a1a2,a3a4,a5a6,a7a8,能构成一个等比数列吗？S3,S6S3,S9S6,Ⅲ预习自测 呢？

1.一个公比q为正数的等比数列{an}，若a1a220,a3a480,则a5a6=（）

A120B240C320D480

2.等比数列{an}中，S27,S691,则S4()

A28B32C35D49

探究案

导入新课

一个穷人到一个妇人那里去借钱，原以为妇人会不愿意

第五篇：《等比数列的前n项和公式》教学设计说明

《等比数列的前n项和公式》教学设计说明

河南省开封市第二十五中学 姜黎黎

《等比数列前n项和》是人教版必修5第二章数列中第五节第一课时的内容。下面，我从教材分析，情境创设、公式推导，公式应用，教学反思等几个方面,谈谈自己的管窥之见,与各位老师探讨。

教材分析

等比数列的前n项和是“等差数列的前n项和”与“等比数列”内容的延续、是进一步学习数列知识和解决一类求和问题的重要基础和有力工具。它不仅在现实生活中有着广泛的实际应用，如储蓄、分期付款的有关计算等等，而且公式推导过程中所蕴涵的类比、分类讨论、方程等思想方法，都是学生今后学习和工作中必备的数学素养。

学情分析

就学生而言，等差、等比数列的定义和通项公式，等差数列的前ｎ项和的公式是学生在学习之前已经具备的知识基础。学生具体研究学习了等差数列前n项和公式的推导方法，具备了一定的探究能力。基于此，学生会产生思考，等比数列前n项和公式应该如何推导，公式是从什么新的角度建构？其重要性和普遍性体现在哪里？应该说学生从内心来讲，有想探究等比数列前n项和公式的欲望和驱动力。

教学目标 在知识方面：理解等比数列的前n项和公式的推导方法，掌握等比数列的前n项和公式并能运用公式解决一些简单问题。

在能力方面：提高学生的建模意识，体会公式探求过程中从特殊到一般的思维方法，渗透方程思想、分类讨论思想，优化思维品质。

在情感方面：培养学生将数学学习放眼生活，用生活眼光看数学的思维品质。

重点难点

重点：使学生掌握等比数列的前项和公式，用等比数列的前n项和公式解决实际问题。

难点：由研究等比数列的结构特点推导等比数列的前ｎ项和公式。

情境创设

《数学课程标准》中明确指出:教材应注意创设情境,从具体实例出发,展现数学知识的发生、发展过程,使学生能够从中发现问题、提出问题,经历数学的发现和创造过程,了解知识的来龙去脉.是对课堂教学实践的要求.我选择的问题情景是国王赏麦的故事.国际象棋起源于古代印度,关于国际象棋有这样一个传说: 相传古印度宰相达依尔，发明了国际象棋。当时的国王大为赞赏，就问他想要什么。达依尔说：“请在棋盘的64个方格上，第一格放1颗麦粒，第二格放2颗麦粒，第三格放4颗麦粒，依次类推，每一格放的麦粒数都是前一格的两倍，直到第64格，请您给我足够的麦粒以实现上述要求。”选择这个故事作为问题情景首先是因为经典永远是经典,这正是基于数学教师对数学史知识的广泛认同.通过数学史料,可以扩展学生的数学视野,提高学生对数学的科学价值、应用价值、文化价值的认识.其次,将学生的角色设计成国王的谋士，更加激发了学生的探究热忱，同时也让学生明白数学和生活息息相关，把学以致用的思想渗透到课堂中。最后,通过让学生大胆预测麦粒的重量产生悬念,在公式推导后让学生运用公式解决问题,收尾呼应.在教师的引导下，学生根据自己掌握的知识和经验，很快建立起等比数列的数学模型。数列是以1为首项，2为公比的等比数列。当学生跃跃欲试要求这个数列的前64项和时，课题的引入水到渠成。

公式推导

丰富学生的学习方式,改进学生的学习方法是高中数学新课程的基本理念.《数学课程标准》明确指出:教学中,应鼓励学生积极参与教学活动,包括思维的参与和行为的参与.既要有教师的讲授和指导,也有学生的自主探索与合作交流.鼓励学生发现数学的规律和问题解决的途径,使他们经历知识形成的过程.公式推导是这节课的重难点突破的地方，是整节课的核心。我进行了深入的思考,以教学实践与经验为基础,设计的教学方案是通过复习类比等差数列求和方法寻求等比数列求和的突破，重点主要是为什么要在等比数列前n项和这一等式两边同乘以公比q。首先推导等差数列前n项和公式，形式上采用倒序相加法，本质上是根据等差数列的定义发，抓住倒序后两式中上下对应项的和均为，从公差为

这一特性出

这个特点，构造相同项，进而化繁为简，推得公式。由此学生自然会联想等比数列是不是也可以用倒序相加法求和?学生进行尝试发现时行不通的.在此情景下引领学生透过现象看本质，如何在等比数列前n项和中构造相同项，从而化繁为简是解决问题的关键。引导学生抓住等差数列求和是根据定义，由公差据定义，由公比来探究。

切入。自然，等比数列求和也应根关注等比数列的定义： 即等比数列中的每一项乘以，如果对其稍加变形，就会发现=

都等于其后项，由于这是每一项共有的特点，所

。这样一来，等式两边为何乘，迎以将这一特点应用在前n项和上，即刃而解。通过如上分析，学生也体会到：这两种数列求和公式的推导方法，从数学思想上来讲是一致的，将不同项转化为相同项，从而将不易求转化为易求，只是具体的处理形式略有差异。正是由于这些异同，学生数学思维深刻性、广阔性等品质就得到了提高，思维能力得到了锻炼。

下面如何对这一等式进一步的化简整理，由学生分析思考，合作完成。在整合的过程中，学生会出现两个问题。

第一： 由此，学生会发现②式中的前（n-1）项与①式中的后（n-1）项对应相同，这样一来就构造出了相同项。但是，在表征形式上的处理有差异。有些学生注意到如果将等式右边各项均往后错一位，那么两式中相同项的对应就更加清晰，在此基础上，用①式减②式，这些相同的（n-1）项立即抵消为0，得到,从而完美的达到了化繁为简的目的。因此，对于学生深入细致的思考应给予高度的肯定和赞赏。同时，强调指出，这样的处理方法被形象的喻为：错位相减法。

第二：进一步化简，有些学生容易忽视：等式两边同时除以（1—数要求不为0，因此要特别强调对1—数列为常数列，当1—

做分类讨论，当1—≠0即

=0即）时除=1时，≠1时，从而通过错位相减法推出公式。在此基础上，≠1时，引领学生由等比数列的通项公式推出求和公式的第二种形式：

在探究的过程中，学生还有其他的推导公式的想法，我们都给予了学生高度的肯定，并且让学生在课下整合自己的探究过程，在班级的学习园地中展示，同学们共享研究成果。同时，错位相减法是解决一类求和问题的重要基础和有力工具。要引起学生的高度重视。

数学探究是高中数学课程中引入的一种新的学习方式,它有利于学生形成功能良好的认知结构.在问题探究过程中,学生通过思考、操作、内化等学习过程,深化知识和方法的建构,同时也不断地促进学生主动参与学习,使课堂教学真正做到让学生“动起来”,让课堂“活起来”.公式应用

公式推出后,又通过对公式特征的分析帮助学生弄清公式形式和本质，明确其内涵和外延，为灵活运用公式打下基础。

首先回到国王赏麦的故事中，我给学生提供了相应的数据，让学生运用公式解决问题，从数据出发，用事实说话。同时再次使学生明确学习的意义在于学以致用。退去故事的外衣，就是等比数列求和的问题，所以在此基础上的变式练习就是公式的直接应用，目的是加强对公式的认识和记忆，帮助学生明确解题步骤，规范解题格式，提高运算能力。例2是关于“知三求二”的应用问题，目的是深化公式本质，渗透方程思想。

教学反思

结果因过程而精彩,现象因方法而生动.无论是情境创设,还是探究设计,都必须以学生为主体、教师为主导、训练为主线,设法从庞杂的知识中引导学生去寻找关系,挖掘书本背后的数学思想,建构基于学生发展的知识体系,教学生学会思考,让教学真正成为发展学生能力的课堂活动。因此，本课例在公式的推导及证明中舍得花大量时间，便是为了培养学生学会探究与创新，它就像一缕温暖的阳光，不一定能唤醒万物，却能催开人世间最绚丽的花朵。

整节课采取了“情境——问题”的教学模式，以实际问题作为背景创设教学情境。在具体问题上，抽象出解决一般问题的方法，由“特殊到一般，再由一般到特殊”，让学生亲历提出问题，解决问题，反思总结的全过程。在已有知识和经验的基础上主动建构新知识。同时，运用了学案，成果展示等新的教学理念。既保留了传统教学的优势，又增添了新式教学的辅助。新老结合，效果显著。

从学生的课堂积极性和学习成果来看，学生较好的完成了等比数列前n项和的学习，在获得知识的基础上提高了分析问题解决问题的能力。当然，一节课的知识与能力的提高时有限的，特别是数学思想的渗透。但是，我们能够从一节课中吸取精华，让一节又一节的课堂活动连贯起来，促进学生学习能力的提高，数学素养的提升。

在整个过程当中，从开始准备到此刻，我深刻的体会到了钻研教材的艰辛与快乐，解惑授业时的责任与幸福。学无止境，路漫漫其修远兮，吾将上下而求索。

本文转自“第五届全国高中数学青年教师观摩与评比活动”