第一篇:高中数学《2.4等比数列》第1课时评估训练 新人教A版必修5
2.4 等比数列
第1课时
等比数列的概念及通项公式
双基达标 限时20分钟
1,3,63,则它的第四项是
A.1B.83C.93D.123解析 a=aa2643q=a3a=3×==30=1.13
答案 A
2.已知等比数列{an}满足a1+a2=3,a2+a3=6,则a7等于
A.64B.81C.128D.243
解析 由a1+a1q=3,得a1=1,aa2
1q+1q=6,q=2,
∴a6
7=a1q=64,选A.答案 A
3.如果-1,a,b,c,-9成等比数列,那么
A.b=3,ac=9B.b=-3,ac=9
C.b=3,ac=-9D.b=-3,ac=-9
解析 ∵b2=(-1)×(-9)=9且b与首项-1同号,∴b=-3,且a,c必同号.
∴ac=b2=9.答案 B
4.在等比数列{an}中,若2a4=a6-a5,则公比q是________.
解析 法一 由已知得2a1q3=a1q5-a1q4,即2=q2-q,∴q=-1或q=2.法二 ∵a5=a4q,a6=a4q2,∴由已知条件得2a2
4=a4q-a4q,即2=q2-q,∴q=-1或q=2.答案 -1或2
5.已知等比数列{an}的前三项依次为a-1,a+1,a+4,则an=________.().).(). 1(解析 由已知(a+1)2=(a-1)(a+4),633得a=5,则a1=4,qan=4·n-1.422
3答案 4·n-1 2
6.设Sn为数列{an}的前n项和,Sn=kn+n,n∈N,其中k是常数.
(1)求a1及an;
(2)若对于任意的m∈N,am,a2m,a4m成等比数列,求k的值.
解(1)由Sn=kn2+n,得a1=S1=k+1,*2*
an=Sn-Sn-1=2kn-k+1(n≥2).
a1=k+1也满足上式,所以an=2kn-k+1,n∈N.(2)由am,a2m,a4m成等比数列,得(4mk-k+1)2=(2km-k+1)(8km-k+1),将上式化简,得2km(k-1)=0,因为m∈N,所以m≠0,故k=0或k=1.综合提高
7.下列数列为等比数列的是
A.2,22,222,…限时25分钟(). **111B.23,… aaaC.s-1,(s-1)2,(s-1)3,…D.0,0,0,…
22211解析 A项中,≠2,∴A不是;B项是首项为C项中,当s22aa
=1时,数列为0,0,0,…,∴不是;D项显然不是.
答案 B
8.设x∈R,记不超过x
().
A.是等差数列但不是等比数列
B.是等比数列但不是等差数列
C.既是等差数列又是等比数列
D.既不是等差数列也不是等比数列
解析 可分别求得5+1=25+15+1+1,的最大整数为[x],令{x}=x-[x],则,22222-15+1-15+1,=1,=1,由等比中项易2222+1+15+1,得,222 2
答案 B
9.数列{an}中,a1=1且an+1=3an+2,则an=________.解析 由an+1=3an+2得an+1+1=3(an+1),令an+1=bn则bn+1=3bn且b1=a1+1=2,∴{bn}是以2为首项,以3为公比的等比数列,∴bn=2·3n-1,∴an=bn-1=2·3
-1 n-1-1.答案 2·3n-1
10.已知f(1,1)=1,f(m,n)∈N*(m,n∈N*),且对任何m,n∈N*,都有:①f(m,n+1)=
f(m,n)+2,②f(m+1,1)=2f(m,1),给出以下三个结论:(1)f(1,5)=9;(2)f(5,1)=16;(3)f(5,6)=26,其中正确的个数是________个.
解析 ∵f(1,1)=1且f(m+1,1)=2f(m,1),∴数列{f(m,1)}构成以1为首项以2为公比的等比数列,∴f(5,1)=1·2=16,∴(2)正确;
当m=1时,条件①变为f(1,n+1)=f(1,n)+2,又f(1,1)=1,∴数列{f(1,n)}是以1为首项,以2为公差的等差数列,∴f(1,5)=f(1,1)+4×2=9.故(1)正确.
∵f(5,1)=16,f(5,n+1)=f(5,n)+2,∴{f(5,n)}也成等差数列.
∴f(5,6)=16+(6-1)·2=26,∴(3)正确,故有3个正确.
答案 3
11.数列{an}满足a1=-1,且an=3an-1-2n+3(n=2,3,…).
(1)求a2,a3,并证明数列{an-n}是等比数列;
(2)求an.解(1)a2=3a1-2×2+3=-4,4
a3=3a2-2×3+3=-15.下面证明{an-n}是等比数列:
证明
an+1-n+13an-2n+1+3-n+1= an-nan-n3an-3n=3(n=1,2,3,…). an-n
又a1-1=-2,∴{an-n}是以-2为首项,以3为公比的等比数列.
(2)由(1)知an-n=-2·3
∴an=n-2·3n-1.n-1,12.(创新拓展)已知数列{an}的前n项之和为Sn,Sn与an满足关系Sn=2(1)求an+1与an的关系式,并求a1的值;
(2)证明:数列是等比数列,并求{an}的通项公式; nann+2n(n∈N*). n
(3)是否存在常数p使数列{an+1-pan}为等比数列?若存在,请求出常数p的值;若不存在,请说明理由.
(1)解 ∵Sn+2n=2-nan①
∴Sn+1=2-n+3n+1an+1②
②-①得an+2n+1=nan+3
n-n+1an+1,即2n+2
n+1n+2n+1=nn,即2
n+1a11+21n+1=nn.而a1=2-1a1,∴a12.(2)证明 由(1)知an+1a
n+1nn12,而a11=12
∴an
n是以1122
∴an11n-11n
n22=2,∴an
n2n.(3)解 ∵a+1pn1-2pn+1
n+1-pann
2n+12n=2n+1由等比数列的通项公式知若{an+1-pan}是等比数列,则1-2p=0,∴p=12.
第二篇:2012高中数学 2.4等比数列(第2课时)教案 新人教A版必修5
2.4等比数列教案
(二)教学目标
(一)知识与技能目标
进一步熟练掌握等比数列的定义及通项公式;
(二)过程与能力目标
利用等比数列通项公式寻找出等比数列的一些性质
(三)方法与价值观 培养学生应用意识. 教学重点,难点
(1)等比数列定义及通项公式的应用;
(2)灵活应用等比数列定义及通项公式解决一些相关问题. 教学过程
二.问题情境
221.情境:在等比数列{an}中,(1)a5a1a9是否成立?a5a3a7是否成立? 2(2)anan2an2(n2)是否成立?
2.问题:由情境你能得到等比数列更一般的结论吗? 三.学生活动
2822对于(1)∵a5a1q4,a9a1q8,∴a1a9a1,a5q(a1q4)2a5a1a9成立. 2同理 :a5a3a7成立.
对于(2)ana1qn1,an2a1qn3,an2a1qn1,22n222∴an2an2a1qn3a1qn1a1,anq(a1qn1)2anan2an2(n2)成立.
一般地:若mnpq(m,n,q,pN),则amanapaq. 四.建构数学
1.若{an}为等比数列,mnpq(m,n,q,pN),则amanapaq. 由等比数列通项公式得:ama1qm1 , ana1qn1,apa1q故amana1q2mn22p1 ,aqa1qq1,且apaqa1qpq2,∵mnpq,∴amanapaq.
amqmn. ana由等比数列的通项公式知:,则mqmn .
an2.若{an}为等比数列,则五.数学运用 1.例题:
2例1.(1)在等比数列{an}中,是否有anan1an1(n2)?(2)在数列{an}中,对于任意的正整数n(n2),都有anan1an1,那么数列{an}一定是等比数列.
解:(1)∵等比数列的定义和等比数列的通项公式数列{an}是等比数列,∴2即anan1an1(n2)成立.
an1an,anan1用心 爱心 专心 1
2(2)不一定.例如对于数列0,0,0,,总有anan1an1,但这个数列不是等比数列.
例2. 已知{an}为GP,且a58,a72,该数列的各项都为正数,求{an}的通项公式。解:设该数列的公比为q,由
211a7 q75得q2,又数列的各项都是正数,故q,842a5n5n8则an8()(). 1212例3.已知三个数成等比数列,它们的积为27,它们的平方和为91,求这三个数。解:由题意可以设这三个数分别为
a,a,aq,得: qaa3qaaq27 2122a(1q)91aa2a2q291q22q12∴9q482q290,即得q29或q,91∴q3或q,3故该三数为:1,3,9或1,3,9或9,3,1或9,3,1.
a说明:已知三数成等比数列,一般情况下设该三数为,a,aq.
q例4. 如图是一个边长为1的正三角形,将每边三等分,以中间一段为边向形外作正三角形,并擦去中间一段,得图形(2),如此继续下去,得图形(3)……求第n个图形的边长和周长.
解:设第n个图形的边长为an,周长为cn.
由题知,从第二个图形起,每一个图形的边长均为上一个图形的边长的等比数列,首项为1,公比为
1,∴数列{an}是31. 31n1∴an().
3要计算第n个图形的周长,只要计算第n个图形的边数. 第一个图形的边数为3,从第二个图形起,每一个图形的边数均为上一个图形的边数的4倍,∴第n个图形的边数为34n1.
14cn()n1(34n1)3()n1.
332.练习:
1.已知{an}是等比数列且an0,a5a69,则log3a1log3a2log3a10 .
2.已知{an}是等比数列,a4a7512,a3a8124,且公比为整数,则a10 .
3.已知在等比数列中,a34,a654,则a9 . 五.回顾小结:
1.等比数列的性质(要和等差数列的性质进行类比记忆).
用心 爱心 专心
题,习题第6,8,9,10题. 用心 爱心 专心 3 六.课外作业:书练习第1,2七板书设计
第三篇:高中数学必修5人教A教案2.4等比数列
2.4等比数列
(一)教学目标
1`.知识与技能:理解等比数列的概念;掌握等比数列的通项公式;理解这种数列的模型应用.
2.过程与方法:通过丰富实例抽象出等比数列模型,经历由发现几个具体数列的等比关系,归纳出等比数列的定义,通过与等差数列的通项公式的推导类比,探索等比数列的通项公式.
3.情态与价值:培养学生从实际问题中抽象出数列模型的能力.
(二)教学重、难点
重点:等比数列的定义和通项公式
难点:等比数列与指数函数的关系
(三)学法与教学用具
学法:首先由几个具体实例抽象出等比数列的模型,从而归纳出等比数列的定义;与等差数列通项公式的推导类比,推导等比数列通项公式。教学用具:投影仪
(四)教学设想
[创设情景] 分析书上的四个例子,各写出一个数列来表示 [探索研究] 四个数列分别是①1, 2, 4, 8, „
②1,111,,„ 248
23③1,20 ,20 ,20 ,„
④10000×1.0198,10000×1.0198,10000×1.0198
510000×1.0198,10000×1.0198
观察四个数列: 对于数列①,从第2项起,每一项与前一项的比都等于2 对于数列②,从第2项起,每一项与前一项的比都等于2对于数列③,从第2项起,每一项与前一项的比都等于20 对于数列④,从第2项起,每一项与前一项的比都等于1.0198 可知这些数列的共同特点:从第2项起, 每一项与前一项的比都等于同一常数.于是得到等比数列的定义: 一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一常数,那么这个数列叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比,通常用字母q表示(q≠0)因此,以上四个数列均是等比数列,公比分别是2,1,20,1.0198.2与等差中项类似,如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列,那么G叫做
2a与b的等差中项,这时,a,b一定同号,G=ab 在归纳等比数列公式时,让学生先回忆等差数列通项公式的归纳,类比这个过程,归纳如下:a2=a1q
2a3=a2q=(a1q)q=a1q a4=a3q=(a1q)q=a1q„ „
n-1 可得 an=a1q 1 上式可整理为an=a1naxaxq而y= 1q(q≠1)是一个不为0的常数1与指数函数q的乘积,qqqa1nax
q }中的各项的点是函数 y= 1q 的图象上的孤立点 qq从图象上看,表示数列 {[注意几点]
n① 不要把an错误地写成an=a1q
② 对于公比q,要强调它是“从第2项起,每一项与它的前一项的比”防止把相邻两项的比的次序颠倒
③ 公比q是任意常数,可正可负 ④ 首项和公比均不为0 [例题分析] 例1 某种放射性物质不断变化为其他物质,每经过一年剩留的这种物质是原来的84%.这种物质的半衰期为多长(精确到1年)? 评注:要帮助学生发现实际问题中数列的等比关系,抽象出数学模型;通项公式反映了数列的n-1 本质特征,因此关于等比数列的问题首先应想到它的通项公式an=a1q例2 根据图2.4-2中的框图,写出所打印数列的前5项,并建立数列的递推公式.这个数列是等比数列吗? 评注:要证明一个数列是等比数列,只需证明对于任意正整数n,an1是一个常数就行了 an例3 一个等比数列的第3项和第4项分别是12和18,求它的第1项和第2项.评注:帮助学生再次体会通项公式的作用及其与方程之间的联系 例4 已知{an}{bn}是项数相同的等比数列,仿照下表中的例子填写表格,从中你能得出什么结论?证明你的结论.评注:两个等比数列的积仍然是等比数列 [随堂练习]第1、2、3题 [课堂小结](1)首项和公比都不为0(2)分别从定义、通项公式、相应图象的角度类比等差数列和等比数列
(五)评价设计
(1)课后思考:课本 [探究](2)课后作业:第1、2、6题
第四篇:高二数学 2.4《等比数列》(2课时)教案(新人教A版必修5)
课题: §2.4等比数列
授课类型:新授课
(第2课时)
●三维目标
知识与技能:灵活应用等比数列的定义及通项公式;深刻理解等比中项概念;熟悉等比数列的有关性质,并系统了解判断数列是否成等比数列的方法
过程与方法:通过自主探究、合作交流获得对等比数列的性质的认识。
情感态度与价值观:充分感受数列是反映现实生活的模型,体会数学是来源于现实生活,并应用于现实生活的,数学是丰富多彩的而不是枯燥无味的,提高学习的兴趣。●教学重点
等比中项的理解与应用 ●教学难点
灵活应用等比数列定义、通项公式、性质解决一些相关问题 ●教学过程 Ⅰ.课题导入
首先回忆一下上一节课所学主要内容:
1.等比数列:如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比;公比通常用字母q表示(q≠0),即:an=q(q≠0)an1n12.等比数列的通项公式: ana1q(a1q0),anamqnm(amq0)
an13.{an}成等比数列=q(nN,q≠0)
“an≠0”是数列{an}成等比数列
an的必要非充分条件
4.既是等差又是等比数列的数列:非零常数列 Ⅱ.讲授新课
1.等比中项:如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列,那么称这个数G为a与b的等比中项.即G=±ab(a,b同号)
如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列,则GbG2abGab,aG反之,若G=ab,则≠0)[范例讲解] 课本P58例4 证明:设数列an的首项是a1,公比为q1;bn的首项为b1,公比为q2,2Gb,即a,G,b成等比数列。∴a,G,b成等比数列G2=ab(a·baG
Ⅴ.课后作业 ●板书设计 ●授后记
第五篇:高中数学必修5教案 等比数列 第2课时
等比数列第2课时
授课类型:新授课
●教学目标
知识与技能:灵活应用等比数列的定义及通项公式;深刻理解等比中项概念;熟悉等比数列的有关性质,并系统了解判断数列是否成等比数列的方法
过程与方法:通过自主探究、合作交流获得对等比数列的性质的认识。
情感态度与价值观:充分感受数列是反映现实生活的模型,体会数学是来源于现实生活,并应用于现实生活的,数学是丰富多彩的而不是枯燥无味的,提高学习的兴趣。●教学重点
等比中项的理解与应用 ●教学难点
灵活应用等比数列定义、通项公式、性质解决一些相关问题 ●教学过程 Ⅰ.课题导入
首先回忆一下上一节课所学主要内容:
1.等比数列:如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比;公比通常用字母q表示(q≠an0),即:=q(q≠0)
an12.等比数列的通项公式:ana1q3.{an}成等比数列列的必要非充分条件
4.既是等差又是等比数列的数列:非零常数列 Ⅱ.讲授新课
1.等比中项:如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列,那么称这个数G为a与b的等比中项.即G=±ab(a,b同号)
如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列,则
n1(a1q0),anamqnm(amq0)
an1=q(nN,q≠0)
“an≠0”是数列{an}成等比数anGbG2abGab,aG反之,若G=ab,则≠0)
[范例讲解] 课本P58例4 证明:设数列an的首项是a1,公比为q1;bn的首项为b1,公比为q2,那么数列anbn的第n项与第n+1项分别为: 2Gb2,即a,G,b成等比数列。∴a,G,b成等比数列G=ab(a·baGa1q1n1b1q2与a1q1b1q2即为a1b1(q1q2)n1与a1b1(q1q2)nn1nnan1bn1a1b1(q1q2)nq1q2.n1anbna1b1(q1q2)它是一个与n无关的常数,所以anbn是一个以q1q2为公比的等比数列 拓展探究:
对于例4中的等比数列{an}与{bn},数列{
an}也一定是等比数列吗? bnana,则cn1n1 bnbn1探究:设数列{an}与{bn}的公比分别为q1和q2,令cncn1bn1abqa(n1)(n1)1,所以,数列{n}也一定是等比数列。ancnanbnq2bnbn22an1课本P59的练习4 已知数列{an}是等比数列,(1)a5a3a7是否成立?a5a1a9成立吗?为什么?
(2)anan1an1(n1)是否成立?你据此能得到什么结论?
2anankank(nk0)是否成立?你又能得到什么结2论?
结论:2.等比数列的性质:若m+n=p+k,则amanapak 在等比数列中,m+n=p+q,am,an,ap,ak有什么关系呢? 由定义得:ama1q2m1p1k1 ana1qn1apa1q aka1q
amana1qmn
2,apaka12qpk2则amanapak
Ⅲ.课堂练习
课本P59-60的练习3、5 Ⅳ.课时小结
1、若m+n=p+q,amanapaq
2、若an,bn是项数相同的等比数列,则anbn、{Ⅴ.课后作业
课本P60习题2.4A组的3、5题
an}也是等比数列 bn●板书设计 ●授后记