人教版高中数学教案：第4章：三角函数,教案,课时第 (21)

第一篇：人教版高中数学教案：第4章：三角函数,教案,课时第 (21)

第二十一教时

教材：二倍角的正弦、余弦、正切

目的：让学生自己由和角公式而导出倍角公式，领会从一般化归为特殊的数学思想，体会公式所蕴涵的和谐美，激发学生学数学的兴趣。过程：

一、复习两角和与差的正弦、余弦、正切公式：

二、提出问题：若，则得二倍角的正弦、余弦、正切公式。

让学生板演得下述二倍角公式：

sin22sincos

cos2cos2sin22cos2112sin2

tan2

2tan

1tan2

cot2cot21

2cot

剖析：1．每个公式的特点，嘱记：尤其是“倍角”的意义是相对的，如：

4是8的倍角。

2．熟悉“倍角”与“二次”的关系（升角—降次，降角—升次）3．特别注意这只公式的三角表达形式，且要善于变形：

cos21cos22,sin21cos22

这两个形式今后常用

三、例题：

例

一、（公式巩固性练习）求值：

1．sin2230’cos2230’=1sin452

24

2．2cos2

81cos2

42

3．sin2

28cos28cos42

4．8sin48

cos48

cos24

cos12

4sin24

cos24

cos12

2sin12

cos12

sin6

12

例

二、1．(sin

512cos512)(sin512cos5555312)sin212cos212cos62

2．cos4

2sin42(cos22sin22)(cos22sin2)cos3．

11tan11tan2tan

1tan2

tan2

4．12cos2cos212cos22cos212

例

三、若tan  = 3，求sin2  cos2 的值。

解：sin2  cos2 =

2sincossin2cos22tantan21sin2cos21tan2

7

5例

四、条件甲：sina，条件乙：sin2cos

a，那么甲是乙的什么条件？

解：sin(sin2cos

2)2a即|sin2cos2|a

当在第三象限时，甲乙；当a > 0时，乙甲

∴甲既不是乙的充分条件,也不是乙的必要条件。

例

五、（P43 例一）已知sin513,(,)，求sin2，cos2，tan2的值。解：∵sin513,(12

2,)∴cossin21

3∴sin2 = 2sincos = 120

169

cos2 = 12sin2119

169

tan2 = 120

119

四、小结：公式，应用

五、作业：课本P44练习

P47习题4.71，2

第二篇：人教版高中数学教案：第4章：三角函数,教案,课时第 (13)

第十三教时

教材：诱导公式(3)——综合练习

目的：通过复习与练习，要求学生能更熟练地运用诱导公式，化简三角函数式。过程：

一、复习：诱导公式

二、例

一、（《教学与测试》例一）计算：sin315sin(480)+cos(330)

解：原式 = sin(36045)+ sin(360+120)+ cos(360+30)

= sin45 + sin60 + cos30 =3

2小结：应用诱导公式化简三角函数的一般步骤：

1用“ ”公式化为正角的三角函数

2用“2k + ”公式化为[0，2]角的三角函数

3用“±”或“2  ”公式化为锐角的三角函数 例

二、已知cos（6)

33，求cos（56

)的值。（《教学与测试》例三）解： cos（556

)cos[（36

)]cos(6

)

3小结：此类角变换应熟悉 例

三、求证：

cos(k)cos(k)sin[(k1)]cos[(k1)]

1,kZ

证：若k是偶数，即k = 2 n(nZ)则：左边

cos(2n)cos(2n)sin[2n()]cos[2n()]



sincossin(cos)

1

若k是奇数，即k = 2 n + 1(nZ)则：

左边

cos[2n()]cos[2n()]sin(cos)sin[2(n1))]cos[2(n1))]



sincos

1

∴原式成立

小结：注意讨论

例

四、已知方程sin(  3)= 2cos(  4)，求

sin()5cos(2)的值。2sin（32

)sin()

（《精编》 38例五）

解： ∵sin(  3)= 2cos(  4)∴ sin(3  )= 2cos(4  )

∴ sin(  )= 2cos( )∴sin =  2cos且cos  0

∴原式

sin5cos2cos5cos3cos2cossin



2cos2cos



4cos



4例

五、已知tan()a2,|cos()|cos,求

1cos()的值。

（《精编》P40例八）

解：由题设： tana20,|cos|cos,即cos0由此：当a  0时，tan < 0,cos < 0,为第二象限角，原式

1cos

sec

tan2



1a

4当a = 0时，tan = 0, = k,∴cos = ±1，∵cos0∴cos = 1 ,原式1cos

1

a

(a0)

综上所述：

1cos()

a

例

六、若关于x的方程2cos2( + x) sinx + a = 0 有实根，求实数a的取值范

解：原方程变形为：2cos2x  sinx + a = 0即 2  2sin2x  sinx + a = 0∴a2sin2xsinx22(sinx1

174)2

8∵ 1≤sinx≤1

∴当sinx1

174时，amin

； 当sinx1时，amax1

∴a的取值范围是[

178,1]

三、作业：《教学与测试》P1085—8，思考题

《课课练》P46—4723，25，26

围。

第三篇：人教版高中数学教案：第4章：三角函数,教案,课时第 (20)

第二十教时

教材：两角和与差的正弦、余弦、正切的综合练习⑶

目的：进一步熟悉有关技巧，继续提高学生综合应用能力。（采用《精编》例题）

过程：

一、求值问题（续）

例一 若tan=3x，tan=3x, 且=6，求x的值。

解：tan()=tan=

363 ∵tan=3x，tan=3x

∴3tantantan3x3x13312(3x3x21tanxx)∴3•3x3•3x=23 即：3(3x)2233x30 ∴3x3或3x33(舍去)∴x12

例二 已知锐角, ,  满足sin+sin=sin, coscos=cos, 求的值。解： ∵sin+sin=sin ∴sin sin = sin <0 ①

∴sin

同理：∵coscos=cos ∴ cos cos = cos

②

①2+②2: 1+12cos（）=1 ∴cos（）=12 ∵02 02 ∴20 ∴=3

二、关于最值问题

例三 已知tan，tan是关于x的方程mx22x7m32m0的两个实根，求tan(+)的取值范围。

解：∵tan，tan是方程mx22x7m32m0的两个实根

∴△=4(7m-3)-8m2≥0 ∴2m2-7m+3≤0 解之：12≤m≤3

又：tantan27m3 ∴tan()27m3 tan2mtanm2 为求范围：tan()27111749m3(m)223(m)61

2∵1≤m≤3 ∴123≤m≤2 ∴当117m76时，3(m)6494912有最大值12 2 当1m2或1m13时，3(1m)764912有最小值2 2∴73323(1m)76491222 即：tan()73,223 ∴pq+1=0 例四 若2x2，求f(x)=3sinx+cosx的最大值和最小值，并求出此时的x值。

解： f(x)=3sinx+cosx=23sinx122cosx2sin(x)

6∵22x2 ∴3x63 ∴32sin(x6)1 32sin(x6)2

即：3f(x)2 当且仅当x63，x2时 f(x)min=3

当且仅当x62，x



3时 f(x)max=2

例五

已知f(x)=-acos2x-3asin2x+2a+b，其中a>0，x[0,≤1，设

]时，-5≤f(x)2g(t)=at2+bt-3，t[-1,0]，求g(t)的最小值。

13sin2x+cos2x]+2a+b 解： f(x)=-acos2x-3asin2x+2a+b=-2a[ =-2asin(2x+)+2a+b ∵x[0,671] ∴2x ∴sin(2x)1 266626 又： a>0 ∴-2a<0 ∴2a2asin(2x)a

6 ∴b2asin(2x)2ab3ab ∴bf(x)3ab

6 ∵-5≤f(x)≤1 ∴b5b5

3ab1a2 ∴g(t)=at2+bt-3=2t2-5t-3=2(t-)2-∴当t=0时，g(t)min=g(0)=-3

三、作业：《精编》 P61 6、7、11

P62 20、22、23、25 P63 30

5449 ∵t[-1,0] 8

第四篇：人教版高中数学教案：第4章：三角函数,教案,课时第 (16)

第十六教时

教材：两角和与差的正弦

目的：能由两角和的余弦公式推导出两角和的正弦公式，并进而推得两角和的正

弦公式，并运用进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等变形。过程：

一、复习：两角和与差的余弦练习：1．求cos75的值

解：cos75=cos(45+30)=cos45cos30sin45sin30

=

23222212

2

2．计算：1 cos65cos115cos25sin1152 cos70cos20+sin110sin20

解：原式= cos65cos115sin65sin115=cos(65+115)=cos180=1原式=cos70cos20+sin70sin20=cos(70+20)=0 3．已知锐角,满足cos=3cos(+)=5

求cos.解：∵cos=3

∴sin=45

又∵cos(+)=

513<0∴+为钝角∴sin(+)=12

∴cos=cos[(+)]=cos(+)cos+sin(+)sin

=

51335121345

（角变换技巧）

二、两角和与差的正弦

1．推导sin(+)=cos[2(+)]=cos[(

)]

=cos（2)cos+sin(

)sin=sincos+cossin 即：+)=sincos+cossin（S+）以代sin()=sincoscossin（S）2．公式的分析，结构解剖，嘱记 3．例一不查表，求下列各式的值：

1 sin752sin13cos17+cos13sin17 解：1原式= sin(30+45)= sin30cos45+cos30sin45

=1



232222

2原式= sin(13+17)=sin30=

1例二求证：cos+3sin=2sin（

+)证一：左边=2(12

cos+

sin)=2(sin6cos+cossin)

=2sin（

+)=右边（构造辅助角）证二：右边=2(sin

6cos+cos

sin)=2(12cos+2 sin)

= cos+sin=左边

例三〈精编〉P47-48例一 已知sin(+)=2,sin()=2 求tan3

tan的值

解： ∵sin(+)=2

∴sincos+cossin=23

①sin()=2∴sincoscossin=255

②①+②：sincos=

8

tansincos ①②：cossin=2

tan=

cossin152 1

515

4三、小结：两角和与差的正弦、余弦公式及一些技巧“辅助角”“角变换”

“逆向运用公式”

P38练习2中①②3中①5中①③

P40-41习题4.62中①③3中①②⑤⑦⑧7中①④⑤ 〈精编〉P60-612、3、4

四、作业：

第五篇：人教版高中数学教案：第4章：三角函数,教案,课时第 (8)

第八教时

教材：同角三角函数的基本关系

目的：要求学生能根据三角函数的定义，导出同角三角函数的基本关系，并能正确运

用进行三角函数式的求值运算。

过程：

一、复习任意角的三角函数的定义：

计算下列各式的值：

1.sin290cos2902.sin230cos2303.tan45cot245

sin

4.3si3

5.6.ta5co5cos

3

co366

4二、1．导入新课：引导学生观察上述题目的结果（并像公式“方向”引导）

引导猜想： sin2cos21

sin

cos

tantancot12．理论证明：（采用定义）

1x2y2r2

且sin

yr,cosxr

sin2

co2s12当ksin2(kZ)时，cosyrxryrrxy

x

tan

3当k且k2时,tancotyx

xy

1

3．推广：这种关系称为平方关系。类似的平方关系还有：sec2tan21cs2cco2t

1sin

costan这种关系称为商数关系。类似的商数关系还有：

cos

sin

cottancot1这种关系称为倒数关系。类似的倒数关系还有：cscsin1seccos1

4．点题：三种关系，八个公式，称为同角三角函数的基本关系。5．注意：

1“同角”的概念与角的表达形式无关，si

如： sin23cos231taco

2上述关系（公式）都必须在定义域允许的范围内成立。

3据此，由一个角的任一三角函数值可求出这个角的其余各三角函数值，且因为利用“平方关系”公式，最终需求平方根，会出现两解，因此应尽可能少用（实际上，至多只要用一次）。

三、例题：

例

一、（课本P25例一）略

注：已知角的象限，利用平方关系，也只可能是一解。例

二、（课本P25例二）略

注：根据已知的三角函数值可以分象限讨论。例

三、（课本P25例三）略

实际上：sec2tan21即cos2

11tan2





当为第一、四象限角

cos1

ta2n



当为第二、三象限角

ta2n

而sin

tancos 

当为第一、四象限角

costan

tan2



tan当tan2

为第二、三象限角

四、小结：三种关系，八个公式

五、作业：P27练习1—4

P27—28习题4．41—4