第一篇:人教版高中数学教案:第4章:三角函数,教案,课时第 (39)
第三十九教时
教材:复习二倍角的正弦、余弦、正切
目的:通过梳理,突出知识间的内在联系,培养学生综合运用知识,分析问题、解
决问题的能力。过程:
一、复习:1.倍角公式
2.延伸至半角、万能、积化和差、和差化积公式
二、例题:
1.化简:2sin822cos8
解:原式22sin4cos422(2cos241)2(sin4cos4)22cos24= 2|sin4 + cos4| +2|cos4|
∵4(,3)∴sin4 + cos4 < 0cos4 < 0
∴原式= 2(sin4 + cos4)2cos4 = 2sin4 4cos4
2.已知sin(4)sin(4)1
6,(2,),求sin4的值
解:∵sin(4)sin(11
4)6∴2sin(4)cos(4)3
∴sin[2(4)]13∴cos2 =1
又∵(,)∴2(, 2)
∴sin2 = cos22(122
3)23
∴sin4 = 2sin2cos2 = 2(
223)14239
3.已知3sin2 + 2sin2 = 1,3sin2 2sin2 = 0,且、都是锐角,求+2的值
解:由3sin2 + 2sin2 = 1得1 2sin2 = 3sin2∴cos2 = 3sin2
由3sin2 2sin2 = 0 得sin2 =
3sin2 = 3sincos
∴cos(+2)= coscos2 sinsin2 = cos3sin2 sin3sincos = 0 ∵0<<90,0<<90∴0< +2 <270∴+2 = 90
4.已知sin是sin与cos的等差中项,sin是sin、cos的等比中项,求证:cos22cos2(
)2cos2
证:由题意: 2sin = sin + cos①sin2 = sincos②
①22②:4sin2 2sin2 = 1
∴1 2sin2 = 2 4sin2∴cos2 = 2cos2由②:1 2sin2 = 1 2sincos
∴cos2 =(sin cos)2 = [2cos(
4)]22cos2(4
)
∴cos22cos2(
)2cos2原命题成立
5.(《教学与测试》P129备用题)奇函数f(x)在其定义域(
2,2)上是减函
数,并且f(1sin)+ f(1sin2)< 0,求角的取值范围。解:∵f(1sin)< f(sin2 1)∴1sin < sin2 1
1<1sin<122
12 解之得:(2k+34, 2k+2)∪(2k+ 2, 2k+4)(kZ) 6.已知sin = asin(+)(a>1),求证:tan() sin cosa 证:∵sin = sin[(+)] = sin(+)coscos(+)sin = asin(+) ∴sin(+)(cos a)= cos(+)sin ∴tan() sin cosa 三、作业:《导学 创新》印成讲义 课外作业 P88复习参考题19—22 第十三教时 教材:诱导公式(3)——综合练习 目的:通过复习与练习,要求学生能更熟练地运用诱导公式,化简三角函数式。过程: 一、复习:诱导公式 二、例 一、(《教学与测试》例一)计算:sin315sin(480)+cos(330) 解:原式 = sin(36045)+ sin(360+120)+ cos(360+30) = sin45 + sin60 + cos30 =3 2小结:应用诱导公式化简三角函数的一般步骤: 1用“ ”公式化为正角的三角函数 2用“2k + ”公式化为[0,2]角的三角函数 3用“±”或“2 ”公式化为锐角的三角函数 例 二、已知cos(6) 33,求cos(56 )的值。(《教学与测试》例三)解: cos(556 )cos[(36 )]cos(6 ) 3小结:此类角变换应熟悉 例 三、求证: cos(k)cos(k)sin[(k1)]cos[(k1)] 1,kZ 证:若k是偶数,即k = 2 n(nZ)则:左边 cos(2n)cos(2n)sin[2n()]cos[2n()] sincossin(cos) 1 若k是奇数,即k = 2 n + 1(nZ)则: 左边 cos[2n()]cos[2n()]sin(cos)sin[2(n1))]cos[2(n1))] sincos 1 ∴原式成立 小结:注意讨论 例 四、已知方程sin( 3)= 2cos( 4),求 sin()5cos(2)的值。2sin(32 )sin() (《精编》 38例五) 解: ∵sin( 3)= 2cos( 4)∴ sin(3 )= 2cos(4 ) ∴ sin( )= 2cos( )∴sin = 2cos且cos 0 ∴原式 sin5cos2cos5cos3cos2cossin 2cos2cos 4cos 4例 五、已知tan()a2,|cos()|cos,求 1cos()的值。 (《精编》P40例八) 解:由题设: tana20,|cos|cos,即cos0由此:当a 0时,tan < 0,cos < 0,为第二象限角,原式 1cos sec tan2 1a 4当a = 0时,tan = 0, = k,∴cos = ±1,∵cos0∴cos = 1 ,原式1cos 1 a (a0) 综上所述: 1cos() a 例 六、若关于x的方程2cos2( + x) sinx + a = 0 有实根,求实数a的取值范 解:原方程变形为:2cos2x sinx + a = 0即 2 2sin2x sinx + a = 0∴a2sin2xsinx22(sinx1 174)2 8∵ 1≤sinx≤1 ∴当sinx1 174时,amin ; 当sinx1时,amax1 ∴a的取值范围是[ 178,1] 三、作业:《教学与测试》P1085—8,思考题 《课课练》P46—4723,25,26 围。 第二十教时 教材:两角和与差的正弦、余弦、正切的综合练习⑶ 目的:进一步熟悉有关技巧,继续提高学生综合应用能力。(采用《精编》例题) 过程: 一、求值问题(续) 例一 若tan=3x,tan=3x, 且=6,求x的值。 解:tan()=tan= 363 ∵tan=3x,tan=3x ∴3tantantan3x3x13312(3x3x21tanxx)∴3•3x3•3x=23 即:3(3x)2233x30 ∴3x3或3x33(舍去)∴x12 例二 已知锐角, , 满足sin+sin=sin, coscos=cos, 求的值。解: ∵sin+sin=sin ∴sin sin = sin <0 ① ∴sin 同理:∵coscos=cos ∴ cos cos = cos ② ①2+②2: 1+12cos()=1 ∴cos()=12 ∵02 02 ∴20 ∴=3 二、关于最值问题 例三 已知tan,tan是关于x的方程mx22x7m32m0的两个实根,求tan(+)的取值范围。 解:∵tan,tan是方程mx22x7m32m0的两个实根 ∴△=4(7m-3)-8m2≥0 ∴2m2-7m+3≤0 解之:12≤m≤3 又:tantan27m3 ∴tan()27m3 tan2mtanm2 为求范围:tan()27111749m3(m)223(m)61 2∵1≤m≤3 ∴123≤m≤2 ∴当117m76时,3(m)6494912有最大值12 2 当1m2或1m13时,3(1m)764912有最小值2 2∴73323(1m)76491222 即:tan()73,223 ∴pq+1=0 例四 若2x2,求f(x)=3sinx+cosx的最大值和最小值,并求出此时的x值。 解: f(x)=3sinx+cosx=23sinx122cosx2sin(x) 6∵22x2 ∴3x63 ∴32sin(x6)1 32sin(x6)2 即:3f(x)2 当且仅当x63,x2时 f(x)min=3 当且仅当x62,x 3时 f(x)max=2 例五 已知f(x)=-acos2x-3asin2x+2a+b,其中a>0,x[0,≤1,设 ]时,-5≤f(x)2g(t)=at2+bt-3,t[-1,0],求g(t)的最小值。 13sin2x+cos2x]+2a+b 解: f(x)=-acos2x-3asin2x+2a+b=-2a[ =-2asin(2x+)+2a+b ∵x[0,671] ∴2x ∴sin(2x)1 266626 又: a>0 ∴-2a<0 ∴2a2asin(2x)a 6 ∴b2asin(2x)2ab3ab ∴bf(x)3ab 6 ∵-5≤f(x)≤1 ∴b5b5 3ab1a2 ∴g(t)=at2+bt-3=2t2-5t-3=2(t-)2-∴当t=0时,g(t)min=g(0)=-3 三、作业:《精编》 P61 6、7、11 P62 20、22、23、25 P63 30 5449 ∵t[-1,0] 8 第十六教时 教材:两角和与差的正弦 目的:能由两角和的余弦公式推导出两角和的正弦公式,并进而推得两角和的正 弦公式,并运用进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等变形。过程: 一、复习:两角和与差的余弦练习:1.求cos75的值 解:cos75=cos(45+30)=cos45cos30sin45sin30 = 23222212 2 2.计算:1 cos65cos115cos25sin1152 cos70cos20+sin110sin20 解:原式= cos65cos115sin65sin115=cos(65+115)=cos180=1原式=cos70cos20+sin70sin20=cos(70+20)=0 3.已知锐角,满足cos=3cos(+)=5 求cos.解:∵cos=3 ∴sin=45 又∵cos(+)= 513<0∴+为钝角∴sin(+)=12 ∴cos=cos[(+)]=cos(+)cos+sin(+)sin = 51335121345 (角变换技巧) 二、两角和与差的正弦 1.推导sin(+)=cos[2(+)]=cos[( )] =cos(2)cos+sin( )sin=sincos+cossin 即:+)=sincos+cossin(S+)以代sin()=sincoscossin(S)2.公式的分析,结构解剖,嘱记 3.例一不查表,求下列各式的值: 1 sin752sin13cos17+cos13sin17 解:1原式= sin(30+45)= sin30cos45+cos30sin45 =1 232222 2原式= sin(13+17)=sin30= 1例二求证:cos+3sin=2sin( +)证一:左边=2(12 cos+ sin)=2(sin6cos+cossin) =2sin( +)=右边(构造辅助角)证二:右边=2(sin 6cos+cos sin)=2(12cos+2 sin) = cos+sin=左边 例三〈精编〉P47-48例一 已知sin(+)=2,sin()=2 求tan3 tan的值 解: ∵sin(+)=2 ∴sincos+cossin=23 ①sin()=2∴sincoscossin=255 ②①+②:sincos= 8 tansincos ①②:cossin=2 tan= cossin152 1 515 4三、小结:两角和与差的正弦、余弦公式及一些技巧“辅助角”“角变换” “逆向运用公式” P38练习2中①②3中①5中①③ P40-41习题4.62中①③3中①②⑤⑦⑧7中①④⑤ 〈精编〉P60-612、3、4 四、作业: 第二十一教时 教材:二倍角的正弦、余弦、正切 目的:让学生自己由和角公式而导出倍角公式,领会从一般化归为特殊的数学思想,体会公式所蕴涵的和谐美,激发学生学数学的兴趣。过程: 一、复习两角和与差的正弦、余弦、正切公式: 二、提出问题:若,则得二倍角的正弦、余弦、正切公式。 让学生板演得下述二倍角公式: sin22sincos cos2cos2sin22cos2112sin2 tan2 2tan 1tan2 cot2cot21 2cot 剖析:1.每个公式的特点,嘱记:尤其是“倍角”的意义是相对的,如: 4是8的倍角。 2.熟悉“倍角”与“二次”的关系(升角—降次,降角—升次)3.特别注意这只公式的三角表达形式,且要善于变形: cos21cos22,sin21cos22 这两个形式今后常用 三、例题: 例 一、(公式巩固性练习)求值: 1.sin2230’cos2230’=1sin452 24 2.2cos2 81cos2 42 3.sin2 28cos28cos42 4.8sin48 cos48 cos24 cos12 4sin24 cos24 cos12 2sin12 cos12 sin6 12 例 二、1.(sin 512cos512)(sin512cos5555312)sin212cos212cos62 2.cos4 2sin42(cos22sin22)(cos22sin2)cos3. 11tan11tan2tan 1tan2 tan2 4.12cos2cos212cos22cos212 例 三、若tan = 3,求sin2 cos2 的值。 解:sin2 cos2 = 2sincossin2cos22tantan21sin2cos21tan2 7 5例 四、条件甲:sina,条件乙:sin2cos a,那么甲是乙的什么条件? 解:sin(sin2cos 2)2a即|sin2cos2|a 当在第三象限时,甲乙;当a > 0时,乙甲 ∴甲既不是乙的充分条件,也不是乙的必要条件。 例 五、(P43 例一)已知sin513,(,),求sin2,cos2,tan2的值。解:∵sin513,(12 2,)∴cossin21 3∴sin2 = 2sincos = 120 169 cos2 = 12sin2119 169 tan2 = 120 119 四、小结:公式,应用 五、作业:课本P44练习 P47习题4.71,2第二篇:人教版高中数学教案:第4章:三角函数,教案,课时第 (13)
第三篇:人教版高中数学教案:第4章:三角函数,教案,课时第 (20)
第四篇:人教版高中数学教案:第4章:三角函数,教案,课时第 (16)
第五篇:人教版高中数学教案:第4章:三角函数,教案,课时第 (21)