第一篇:人教版高中数学教案:第4章:三角函数,教案,课时第 (10)
第十教时
教材:同角三角函数的基本关系(3)——证明
《教学与测试》第50课 目的:运用同角三角函数的基本关系式进行三角函数恒等式的证明。过程:
一、复习同角的三角函数的基本关系:
例:(练习、《教学与测试》P25 例一)
已知sincos54,求sincos的值。
解:(sincos)22525916
即:12sincos16 sincos32
二、提出课题:利用同角的三角函数的基本关系证明三角恒等式(或化简)
例
一、(见P25 例四)化简:1sin2440
解:原式1sin2(36080)1sin280cos280cos80 例
二、已知是第三象限角,化简1sin1sin1sin1sin(《教学与测试》例二)解:原式(1sin)(1sin)(1sin)(1sin)(1sin)(1sin)(1sin)(1sin)
(1sin)21sin)2sin1sin1sin2(1sin21|cos||cos| 是第三象限角,cos0原式1sincos1sincos2tan(注意象限、符号)
例
三、求证:cos1sin1sincos
(课本P26
例5)证一:左边cos(1sin)cos(1sin)cos(1sin(1sin)(1sin)1sin2)cos2
1sincos右边
等式成立
(利用平方关系)证二:(1sin)(1sin)1sin2cos2且1sin0,cos0
cos1sin1sincos
(利用比例关系)证三:cos1sincos2(1sin)(1sin1sincos)(1sin)coscos2(1sin2)(1sin)cos
cos2cos2(1sin)cos0
cos1sin1sincos
(作差)例
三、已知方程2x2(31)xm0的两根分别是sin,cos,求
sincos1cot1tan的值。
(《教学与测试》 例三)
解:原式sin2cos2sin2cos2sincoscossinsincossincos 由韦达定理知:原式31(化弦法)例
四、已知asecctand,bsecdtanc,求证:a2b2c2d2
证:由题设:asecctand(1)bsecdtanc(2)
(1)2(2)2:(a2b2)se2c(c2d2)ta2nc2d2(a2b2)sec2(c2d2)sec2
a2b2c2d2
例
五、消去式子中的:xsincos(1)ytancot(2)
解:由(1):x212sincossincosx212(3)
由(2):ysincoscossin1sincossincos1y(4)
将(3)代入(4):y2x1(平方消去法)
例
六、(备用)已知sin2sin,tan3tan,求cos2 解:由题设:sin24sin2
①
tan29tan2
②
①/②:
9cos4cos
③
2①+③: sin29cos24
s9co2s
41co2
co2s3 8
三、小结:几种技巧
四、作业:课本P27
练习
5,6,P28
习题4.4
8,9
《教学与测试》P106
4,5,6,7,8,思考题
第二篇:人教版高中数学教案:第4章:三角函数,教案,课时第 (16)
第十六教时
教材:两角和与差的正弦
目的:能由两角和的余弦公式推导出两角和的正弦公式,并进而推得两角和的正
弦公式,并运用进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等变形。过程:
一、复习:两角和与差的余弦练习:1.求cos75的值
解:cos75=cos(45+30)=cos45cos30sin45sin30
=
23222212
2
2.计算:1 cos65cos115cos25sin1152 cos70cos20+sin110sin20
解:原式= cos65cos115sin65sin115=cos(65+115)=cos180=1原式=cos70cos20+sin70sin20=cos(70+20)=0 3.已知锐角,满足cos=3cos(+)=5
求cos.解:∵cos=3
∴sin=45
又∵cos(+)=
513<0∴+为钝角∴sin(+)=12
∴cos=cos[(+)]=cos(+)cos+sin(+)sin
=
51335121345
(角变换技巧)
二、两角和与差的正弦
1.推导sin(+)=cos[2(+)]=cos[(
)]
=cos(2)cos+sin(
)sin=sincos+cossin 即:+)=sincos+cossin(S+)以代sin()=sincoscossin(S)2.公式的分析,结构解剖,嘱记 3.例一不查表,求下列各式的值:
1 sin752sin13cos17+cos13sin17 解:1原式= sin(30+45)= sin30cos45+cos30sin45
=1
232222
2原式= sin(13+17)=sin30=
1例二求证:cos+3sin=2sin(
+)证一:左边=2(12
cos+
sin)=2(sin6cos+cossin)
=2sin(
+)=右边(构造辅助角)证二:右边=2(sin
6cos+cos
sin)=2(12cos+2 sin)
= cos+sin=左边
例三〈精编〉P47-48例一 已知sin(+)=2,sin()=2 求tan3
tan的值
解: ∵sin(+)=2
∴sincos+cossin=23
①sin()=2∴sincoscossin=255
②①+②:sincos=
8
tansincos ①②:cossin=2
tan=
cossin152 1
515
4三、小结:两角和与差的正弦、余弦公式及一些技巧“辅助角”“角变换”
“逆向运用公式”
P38练习2中①②3中①5中①③
P40-41习题4.62中①③3中①②⑤⑦⑧7中①④⑤ 〈精编〉P60-612、3、4
四、作业:
第三篇:人教版高中数学教案:第4章:三角函数,教案,课时第 (8)
第八教时
教材:同角三角函数的基本关系
目的:要求学生能根据三角函数的定义,导出同角三角函数的基本关系,并能正确运
用进行三角函数式的求值运算。
过程:
一、复习任意角的三角函数的定义:
计算下列各式的值:
1.sin290cos2902.sin230cos2303.tan45cot245
sin
4.3si3
5.6.ta5co5cos
3
co366
4二、1.导入新课:引导学生观察上述题目的结果(并像公式“方向”引导)
引导猜想: sin2cos21
sin
cos
tantancot12.理论证明:(采用定义)
1x2y2r2
且sin
yr,cosxr
sin2
co2s12当ksin2(kZ)时,cosyrxryrrxy
x
tan
3当k且k2时,tancotyx
xy
1
3.推广:这种关系称为平方关系。类似的平方关系还有:sec2tan21cs2cco2t
1sin
costan这种关系称为商数关系。类似的商数关系还有:
cos
sin
cottancot1这种关系称为倒数关系。类似的倒数关系还有:cscsin1seccos1
4.点题:三种关系,八个公式,称为同角三角函数的基本关系。5.注意:
1“同角”的概念与角的表达形式无关,si
如: sin23cos231taco
2上述关系(公式)都必须在定义域允许的范围内成立。
3据此,由一个角的任一三角函数值可求出这个角的其余各三角函数值,且因为利用“平方关系”公式,最终需求平方根,会出现两解,因此应尽可能少用(实际上,至多只要用一次)。
三、例题:
例
一、(课本P25例一)略
注:已知角的象限,利用平方关系,也只可能是一解。例
二、(课本P25例二)略
注:根据已知的三角函数值可以分象限讨论。例
三、(课本P25例三)略
实际上:sec2tan21即cos2
11tan2
当为第一、四象限角
cos1
ta2n
当为第二、三象限角
ta2n
而sin
tancos
当为第一、四象限角
costan
tan2
tan当tan2
为第二、三象限角
四、小结:三种关系,八个公式
五、作业:P27练习1—4
P27—28习题4.41—4
第四篇:人教版高中数学教案:第4章:三角函数,教案,课时第 (21)
第二十一教时
教材:二倍角的正弦、余弦、正切
目的:让学生自己由和角公式而导出倍角公式,领会从一般化归为特殊的数学思想,体会公式所蕴涵的和谐美,激发学生学数学的兴趣。过程:
一、复习两角和与差的正弦、余弦、正切公式:
二、提出问题:若,则得二倍角的正弦、余弦、正切公式。
让学生板演得下述二倍角公式:
sin22sincos
cos2cos2sin22cos2112sin2
tan2
2tan
1tan2
cot2cot21
2cot
剖析:1.每个公式的特点,嘱记:尤其是“倍角”的意义是相对的,如:
4是8的倍角。
2.熟悉“倍角”与“二次”的关系(升角—降次,降角—升次)3.特别注意这只公式的三角表达形式,且要善于变形:
cos21cos22,sin21cos22
这两个形式今后常用
三、例题:
例
一、(公式巩固性练习)求值:
1.sin2230’cos2230’=1sin452
24
2.2cos2
81cos2
42
3.sin2
28cos28cos42
4.8sin48
cos48
cos24
cos12
4sin24
cos24
cos12
2sin12
cos12
sin6
12
例
二、1.(sin
512cos512)(sin512cos5555312)sin212cos212cos62
2.cos4
2sin42(cos22sin22)(cos22sin2)cos3.
11tan11tan2tan
1tan2
tan2
4.12cos2cos212cos22cos212
例
三、若tan = 3,求sin2 cos2 的值。
解:sin2 cos2 =
2sincossin2cos22tantan21sin2cos21tan2
7
5例
四、条件甲:sina,条件乙:sin2cos
a,那么甲是乙的什么条件?
解:sin(sin2cos
2)2a即|sin2cos2|a
当在第三象限时,甲乙;当a > 0时,乙甲
∴甲既不是乙的充分条件,也不是乙的必要条件。
例
五、(P43 例一)已知sin513,(,),求sin2,cos2,tan2的值。解:∵sin513,(12
2,)∴cossin21
3∴sin2 = 2sincos = 120
169
cos2 = 12sin2119
169
tan2 = 120
119
四、小结:公式,应用
五、作业:课本P44练习
P47习题4.71,2
第五篇:人教版高中数学教案:第4章:三角函数,教案,课时第 (20)
第二十教时
教材:两角和与差的正弦、余弦、正切的综合练习⑶
目的:进一步熟悉有关技巧,继续提高学生综合应用能力。(采用《精编》例题)
过程:
一、求值问题(续)
例一 若tan=3x,tan=3x, 且=6,求x的值。
解:tan()=tan=
363 ∵tan=3x,tan=3x
∴3tantantan3x3x13312(3x3x21tanxx)∴3•3x3•3x=23 即:3(3x)2233x30 ∴3x3或3x33(舍去)∴x12
例二 已知锐角, , 满足sin+sin=sin, coscos=cos, 求的值。解: ∵sin+sin=sin ∴sin sin = sin <0 ①
∴sin 同理:∵coscos=cos ∴ cos cos = cos ② ①2+②2: 1+12cos()=1 ∴cos()=12 ∵02 02 ∴20 ∴=3 二、关于最值问题 例三 已知tan,tan是关于x的方程mx22x7m32m0的两个实根,求tan(+)的取值范围。 解:∵tan,tan是方程mx22x7m32m0的两个实根 ∴△=4(7m-3)-8m2≥0 ∴2m2-7m+3≤0 解之:12≤m≤3 又:tantan27m3 ∴tan()27m3 tan2mtanm2 为求范围:tan()27111749m3(m)223(m)61 2∵1≤m≤3 ∴123≤m≤2 ∴当117m76时,3(m)6494912有最大值12 2 当1m2或1m13时,3(1m)764912有最小值2 2∴73323(1m)76491222 即:tan()73,223 ∴pq+1=0 例四 若2x2,求f(x)=3sinx+cosx的最大值和最小值,并求出此时的x值。 解: f(x)=3sinx+cosx=23sinx122cosx2sin(x) 6∵22x2 ∴3x63 ∴32sin(x6)1 32sin(x6)2 即:3f(x)2 当且仅当x63,x2时 f(x)min=3 当且仅当x62,x 3时 f(x)max=2 例五 已知f(x)=-acos2x-3asin2x+2a+b,其中a>0,x[0,≤1,设 ]时,-5≤f(x)2g(t)=at2+bt-3,t[-1,0],求g(t)的最小值。 13sin2x+cos2x]+2a+b 解: f(x)=-acos2x-3asin2x+2a+b=-2a[ =-2asin(2x+)+2a+b ∵x[0,671] ∴2x ∴sin(2x)1 266626 又: a>0 ∴-2a<0 ∴2a2asin(2x)a 6 ∴b2asin(2x)2ab3ab ∴bf(x)3ab 6 ∵-5≤f(x)≤1 ∴b5b5 3ab1a2 ∴g(t)=at2+bt-3=2t2-5t-3=2(t-)2-∴当t=0时,g(t)min=g(0)=-3 三、作业:《精编》 P61 6、7、11 P62 20、22、23、25 P63 30 5449 ∵t[-1,0] 8