数学：2.4.1《向量在几何中的应用》教案1(新人教B版必修4)

第一篇：数学：2.4.1《向量在几何中的应用》教案1(新人教B版必修4)

向量的应用教案

向量在几何中的应用

（一）教学目标

1.知识与技能：

运用向量的有关知识，解决平面几何中线段的平行、垂直、相等等问题。

2.过程与方法：

通过应用举例，让学生体会用平面向量解决平面几何问题的两种方法——向量法和坐标法。

3.情感、态度与价值观：

通过本节的学习，让学生体验向量在解决平面几何问题中的工具作用，增强学生的探究意识，培养创新精神。

（二）教学重点、难点

重点：用向量知识解决平面几何问题。

难点：选择适当的方法，将几何问题转化为向量问题解决。

向量在物理中的应用

一、学习目标

（1）

（2）

（3）培养学生的探究意识和应用意识，体会向量的工具作用

力

二、重点难点

（1）

（2

（三）教学方法

本小节主要是例题教学，要让学生体会思路的形成过程，体会数学思想方法的运用。教学中，教师创设问题情景，引导学生发现解题方法，展示思路的形成过程，总结解题规律。指导学生搞好解题后的反思，从而提高学生综合运用知识分析和解决问题的能力。

（四）教学过程

第二篇：浅谈向量在几何中的应用

浅谈向量在几何中的应用

宁阳四中 271400 吕厚杰

解决立体几何问题“平移是手段，垂直是关键”，空间向量的方法是使用向量的代数方法去解决立体几何问题。两向量共线易解决平行，两向量的数量积则易解决垂直、两向量所成的角、线段的长度问题。合理地运用向量解决立体几何问题，在很大程度上避开了思维的高强度转换，避开了添加辅助线，代之以向量计算，使立体几何问题变得思路顺畅、运算简单。

1.证平行、证垂直

具体方法利用共线向量基本定理证明向量平行，再证线线、线面平行是证明平行问题的常用手段，由共面向量基本定理先证直线的方向向量与平面内不共线的两向量共面，再证方向向量上存在一点不属于平面，从而得到线面平行。证明线线、线面垂直则可通过向量垂直来实现。

例1 如图1，E、F分别为空间四边形ABCD中AB、CD的中点，证明AD、EF、BC平行于同一平面。

图1 证明：又

所以，且即

可知，与 共面，所以EF与AD、BC平行于同一平面。

例2.已知A（1，－2，11），B（4，2，3），C（6，－1，4），则ΔABC是___________。分析：显见：

（3，4，－8），（5，1，－7），（2，－3，1），故ΔABC为直角三角形。

2.求角、求距离

如果要想解决线面角、二面角以及距离问题就要增加平面法向量的知识。定义：如果n⊥α，那么向量n就叫平面α的法向量。

求解方法：

（1）异面直线所成的角α，利用它们所对应的向量转化为向量的夹角θ问题，但，所以

（2）直线与平面所成的角，利用直线的方向向量与平面的法向量夹角的余角（或补角的余角）。如图2：。

图

2（3）求二面角，转化为两平面法向量的夹角或夹角的补角，显见上述求法都避开了找角的繁琐，直接计算就可以了。

求点面距离，转化为此点与面内一点连线对应向量在法向量上投影的绝对值。例3.（2005年高考题）如图3，已知长方体ABCD�A1B1C1D1中，AB＝2，AA

1＝1，直线BD与平面AA1B1B所成的角为30°，AE垂直BD于E，F为A1B1的中点。（1）求异面直线AE与BF所成的角。

（2）求平面BDF与平面AA1B所成二面角（锐角）的大小。（3）求点A到平面BDF的距离。

图

3解：在长方体ABCD�A1B1C1D1中，以AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AA1所在直线为z轴，建立空间直角坐标系如图3，所以A（0，0，0），B（2，0，0），F（1，0，1），因为直线BD与平面AA1B1B所成的角为30°，所以∠DBA＝30°

又AB＝2，AE⊥BD，所以AE＝1，AD＝0），因为E（，0），D（0，（1）因为

所以

即异面直线AE、BF所成的角为

（2）易知平面AA1B的一个法向量m＝（0，1，0），设n＝（x，y，z）是平面BDF的一个法向量，由

所以取

所以

（3）点A到平面BDF的距离即

在平面BDF的法向量n上的投影的绝对值。

所以

例4.如图4，已知正四棱锥R�ABCD的底面边长为4，高为6，点P是高的中点，点Q是侧面RBC的重心。求直线PQ与底面ABCD所成的角。

图

4解：以O为原点，以OR所在直线为z轴，以过O与AB垂直的直线为x轴，与AB平行的直线为y轴建立空间直角坐标系。

因为底面边长为6，高为4，所以B（2，2，0），C（－2，2，0），R（0，0，6），所以Q（0，2），P（0，0，3），（0，－1），面ABCD的一个法向量为n＝（0，0，1），设PQ与底面ABCD所成的角为α，则。

空间向量在立体几何中的应用体现了数形结合的思想，培养了学生使用向量代数方法解决立体几何问题的能力。目的是将空间元素的位置关系转化为数量关系，将形式逻辑证明转化为数值计算，用数的规范性代替形的直观性、可操作性强，解决问题的方法具有普遍性，大大降低了立体几何对空间想象能力要求的难度。

第三篇：空间向量在几何中的应用

空间向量在立体几何中的应用

一.平行问题

（一）证明两直线平行

A,Ba;C,Db,a|| b

若知AB(x1,y1),CD(x2,y2),则有x1y2x2y1a||b

方法思路：在两直线上分别取不同的两点，得到两向量，转化为证明两向量平行。

(二)证明线面平行

线 a面,A,Ba,面 的法向 n，若ABn0ABnAB .方法思路：求面的法向量，在直线找不同两点得一

向量，证明这一向量与法向量垂直(即证

明数量积为0)，则可得线面平行。

(三)面面平行

不重合的两平面 与 的法向量分别是  m 和 n，mn||

方法思路：求两平面的法向量，转化为证明

两法向量平行,则两平面平行。

二.垂直问题

(一)证明两直线垂直

不重合的直线 a 和直线 b 的方向向量分别为 a 和 b，则有ab0ab

方法思路：找两直线的方向向量(分别在两直线上各取两点得两向量)，证明两向量的数量积为0,则可证两直线垂直。

(二)证明线面垂直  直线 l的方向向量为 a，e1,e2是平面 的一组基底（不共线的向量）, 则有 ae10且ae20a

方法思路：证明直线的方向向量(在两直线上取两点得一向量)与

平面内两不共线向量的数量积都为0（即都垂直），则可证线面垂直。

(三)证明面面垂直 不重合的平面 和 的法向量分别为m 和 n，则有 mn0

方法思路：找两平面的法向量，只需证明两向量

数量积为为0,则可证明两平面垂直。

三.处理角的问题

(一)求异面所成的角

a,b是两异面直线,A,Ba,C,Db,a,b所成的角为,则有cos|cosAB,CD| ABCD|AB||CD|

方法思路：找两异面直线的方向向量,转化为向量的夹角问题,套公式。

(但要理解异面直线所成的角与向量的夹角相等或互补)。

(二)求线面角

设平面 的斜线 l 与面所成的角为，若A,Bl,m是面的法向量，mAB 则有sin.mAB

方法思路：找直线的方向向量与平面的法向量，转化为

向量的夹角问题,再套公式。(注意线面角与两

向量所在直线夹角互余）

(三)求二面角

方法1.设二面角l 的大小为 ，若面， 的法向量分别为 m 与 n.mn(1)若二面角为锐二面角，即(0,)则有cos.2mn

(2)若二面角为钝二面角，即(,)2 mn则有cos.mn



四.处理距离问题

(一)点到面的距离d 任取一点Q 得 PQ, m是平面 的法向量，则有：点P到 PQm面 的距离d=PQcos(向量PQ在法向量m 的投影的长度)|m|

(二)求两异面直线的距离d

知a,b是两异面直线，A,Ba,C,Db，找一向量与两异面直线都垂直的向量m，ACm则两异面直线的距离 dACcos＝|m|

方法思路：求异面直线的距离，先找一向量与两异面直线都垂直的向量m,然后分别在两异面直线上各任取一点A,C,则其距 ACm离 d 就是AB在向量m上的投影的长度,距离d|m|

Ps：向量 m 与异面直线a、b 都垂直，可用方程组求出 m 的坐标.五.如何建立适当的坐标系

1.有公共顶点的不共面的三线两两互相垂直

例如正方体、长方体、底面是矩形的直棱柱、底面是直角三角形且过直角顶点的侧棱垂直于底面的三棱锥等等。

2.有一侧棱垂直底面

OC底面OAB

（）1OAB是等边三角形

（2）OAB是以OB为斜边的直角三角形

(1)(2)

(3)PA底面ABCD，且四边形ABCD是菱形

(4)PA底面ABCD，且四边形ABCD是ABC＝60的菱形

(3)

3.有一侧面垂直于底面

(4)

(1)在三棱锥S－ABC中,ABC是边长为4的正三角形，平面SAC底面ABC,且SASC(2)四棱锥P－ABCD中，侧面PCD是边长为 2 的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD是ADC60的菱形

.(1)(2)

两平面垂直的性质定理:若两面垂直,则在其中一面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一平面,转化为有一线垂直于底面的问题.4.直棱柱的底面是菱形正四棱锥正三棱锥

第四篇：向量在数学中的应用

向量在数学中的应用

一、向量知识

设a=（x，y），b=(x'，y')。

1、向量的加法

向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。

向量的加法

OB+OA=OC。

a+b=(x+x'，y+y')。

a+0=0+a=a。

向量加法的运算律：

交换律：a+b=b+a；

结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。

2、向量的减法

如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0.0的反向量为0

AB-AC=CB.即“共同起点，指向被

向量的减法

减”

a=(x,y)b=(x',y')则a-b=(x-x',y-y').3、数乘向量

实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣·∣a∣。

当λ>0时，λa与a同方向

当λ<0时，λa与a反方向；

向量的数乘

当λ=0时，λa=0，方向任意。

当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0。

注：按定义知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。

实数λ叫做向量a的系数，乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。

当λ>1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ>0）或反方向（λ<0）上伸长为原来的∣λ∣倍

当λ<1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ>0）或××反方向（λ<0）上缩短为原来的∣λ∣倍。

数与向量的乘法满足下面的运算律

结合律：(λa)·b=λ(a·b)=(a·λb)。

向量对于数的分配律（第一分配律）：(λ+μ)a=λa+μa.数对于向量的分配律（第二分配律）：λ(a+b)=λa+λb.数乘向量的消去律：① 如果实数λ≠0且λa=λb，那么a=b。② 如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ。

4、向量的数量积

定义：已知两个非零向量a,b。作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角，记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π

定义：两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量，记作a·b。若a、b不共线，则a·b=|a|·|b|·cos〈a，b〉；若a、b共线，则a·b=+-∣a∣∣b∣。

向量的数量积的坐标表示：a·b=x·x'+y·y'。

向量的数量积的运算律

a·b=b·a（交换律）

(λa)·b=λ(a·b)(关于数乘法的结合律)

（a+b)·c=a·c+b·c（分配律）

向量的数量积的性质

a·a=|a|的平方。

a⊥b 〈=〉a·b=0。

|a·b|≤|a|·|b|。（该公式证明如下：|a·b|=|a|·|b|·|cosα| 因为0≤|cosα|≤1，所以|a·b|≤|a|·|b|）

向量的数量积与实数运算的主要不同点

1．向量的数量积不满足结合律，即：(a·b)·c≠a·(b·c)；例如：(a·b)^2≠a^2·b^2。

2．向量的数量积不满足消去律，即：由 a·b=a·c(a≠0)，推不出 b=c。

3．|a·b|≠|a|·|b|

4．由 |a|=|b|，推不出 a=b或a=-b。

5、向量的向量积

定义：两个向量a和b的向量积（外积、叉积）是一个向量，记作a×b（这里并不是乘号，只是一种表示方法，与“·”不同，也可记做“∧”）。若a、b不共线，则a×b的模是：∣a×b∣=|a|·|b|·sin〈a，b〉；a×b的方向是：垂直于a和b，且a、b和a×b按这个次序构成右手系。若a、b共线，则a×b=0。

向量的向量积性质：

∣a×b∣是以a和b为边的平行四边形面积。

a×a=0。

a垂直b〈=〉a×b=|a||b|。

向量的向量积运算律

a×b=-b×a

（λa）×b=λ（a×b）=a×（λb）

a×（b+c）=a×b+a×c.注：向量没有除法，“向量AB/向量CD”是没有意义的。

6、三向量的混合积

定义：给定空间三向量a、b、c，向量a、b的向量积a×b，再和向量c作数量积(a×b)·c，向量的混合积

所得的数叫做三向量a、b、c的混合积，记作(a,b,c)或(abc)，即(abc)=(a,b,c)=(a×b)·c

混合积具有下列性质：

1．三个不共面向量a、b、c的混合积的绝对值等于以a、b、c为棱的平行六面体的体积V，并且当a、b、c构成右手系时混合积是正数；当a、b、c构成左手系时，混合积是负数，即(abc)=εV（当a、b、c构成右手系时ε=1；当a、b、c构成左手系时ε=-1）

2．上性质的推论：三向量a、b、c共面的充要条件是(abc)=0

3．(abc)=(bca)=(cab)=-(bac)=-(cba)=-(acb)

4．(a×b)·c=a·(b×c)

7、三向量的二重向量积

由于二重向量叉乘的计算较为复杂，于是直接给出了下列化简公式以及证明过程：

二重向量叉乘化简公式及证明

三角形不等式

1、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣

① 当且仅当a、b反向时，左边取等号

② 当且仅当a、b同向时，右边取等号。

2．∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a-b∣≤∣a∣+∣b∣。

① 当且仅当a、b同向时，左边取等号

② 当且仅当a、b反向时，右边取等号。定比分点

定比分点公式（向量P1P=λ·向量PP2）

设P1、P2是直线上的两点，P是l上不同于P1、P2的任意一点。则存在一个任意实数 λ且λ不等于-1，使 向量P1P=λ·向量PP2，λ叫做点P分有向线段P1P2所成的比。

若P1（x1,y1)，P2(x2,y2)，P(x,y)，则有

OP=(OP1+λOP2)/(1+λ)；（定比分点向量公式）

x=(x1+λx2)/(1+λ)，y=(y1+λy2)/(1+λ)。（定比分点坐标公式）

我们把上面的式子叫做有向线段P1P2的定比分点公式

三点共线定理

若OC=λOA +μOB ,且λ+μ=1 ,则A、B、C三点共线

三角形重心判断式

在△ABC中，若GA +GB +GC=O,则G为△ABC的重心 向量共线的条件

若b≠0，则a//b的重要条件是存在唯一实数λ，使a=λb。

若设a=（x1，y1），b=（x2，y2），则有x1y2=x2y1。

零向量0平行于任何向量。向量垂直的充要条件

a⊥b的充要条件是 a·b=0，即x1x2+y1y2=0。

零向量0垂直于任何向量。

平面向量的分解定理

平面向量分解定理：如果e1、e2是同一平面内的两个不平行向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1，λ2使a=λ1e1+λ2e2我们把不平行向量e1、e2叫做这一平面内所有向量的一基底．

二、应用(一)向量在函数中的应用 例1：求函数的值域。

解：函数的解析式可化为：，，说明：碰到此类问题，我们必须先模拟、联想、构造两个向量，然后利用向量的平等关系得出函数的值域或其最值。

(二)、向量在不等式问题中的应用

(三)、向量在三角问题中的应用

(四)、向量在平面几何问题中的应用

例4：用向量证明：三角形中位线平行于底边，且长度是底边长度的一半。

说明：向量与非零向量共线的充要条件是：有且只有一个实数使得，这是证明平行、共点、共线、共面的有力工具。

(五)、向量在解析几何问题中的应用

说明：在教材中增加向量内容之前，本题可用两种方法求解：一是利用余弦定理结合椭圆焦半径公式求解；二是利用直线的到角公式求解，但必须注意斜率是否存在的问题，应验证斜率不存在的情况。

(六)、向量在立体几何问题中的应用

第五篇：高中数学 2.2.2向量减法及其几何意义教学设计 新人教A版必修1

§2．2．2 向量减法运算及其几何意义

教学目标 1．通过探究活动，使学生掌握向量减法概念，理解两个向量的减法就是转化为加法来进行，掌握相反向量．

2．启发学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考，学会分析问题和创造地解决问题．能熟练地掌握用三角形法则和平行四边形法则作出两向量的差向量． 向量的减法运算及其几何意义 对向量减法定义的理解 教学重点 教学难点 教学过程

一、新课导入

思路1．(问题导入)上节课，我们定义了向量的加法概念，并给出了求作和向量的两种方法．由向量的加法运算自然联想到向量的减法运算：减去一个数等于加上这个数的相反数．向量的减法是否也有类似的法则呢?引导学生进一步探究，由此展开新课．

思路2．(直接导入)数的减法运算是加法运算的逆运算．本节课，我们继续学习向量加法的逆运算——减法．引导学生去探究、发现．

数的减法运算是数的加法运算的逆运算，数的减法定义即减去一个数等于加上这个数的相反数，因此定义数的减法运算，必须先引进一个相反数的概念．类似地，向量的减法运算也可定义为向量加法运算的逆运算．可类比数的减法运算，我们定义向量的减法运算，也应引进一个新的概念，这个概念又该如何定义?

二、新课导学

【探究1】相反向量

一个质点，先由A点作直线移动到B点，于是得到一个向量→AB，再由B点按相反方向移动到A点又得到一个向量→BA，如此移动的实际效果，等于没有移动，因此，→AB＋→BA＝0，这个等式就建议我们把向量→BA定→的负向量，并记作→→，于是我们有 义为向量ABBA＝－AB新知1：与向量a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作－a，并且规定，零向量的相反向量仍是零向量，于是，－(－a)＝a.性质：①－(－a)＝a；

②任一向量与它相反向量的和是零向量，即 a＋(－a)＝(－a)＋a＝0 ③如果a、b是互为相反的向量，则有 a＝－b，b＝－a，a＋b＝0.练习1：判断下列各命题的真假(1)─→AA＋─→AA＋…＋──→AA与──→AA是一对相反向量； 1223n﹣1n

n1(2)─→A1A2＋─→A2A3＋…＋──→Ai﹣1Ai与──→AiAi＋1＋───→Ai＋1Ai＋2＋──→AnA1是一对相反向量；(3)a＝－a的充要条件是a＝0；(4)─→AA＋─→AA＋──→AA的相反向量仍是它本身.1223n1解：(1)真命题.∵─→A1A2＋─→A2A3＋…＋──→An﹣1An＝─→A1An，而──→AnA1与─→A1An长度相等，方向相反，所以命题(1)是真命题.(2)真命题.∵─→AA＋─→AA＋…＋──→AA＝─→AA，而──→AA＋───→AA＋──→AA＝─→AA，由于─→AA与122

3i﹣1i

1i

ii＋

1i＋1i＋

2n1

i1

1i─→AiA1是一对相反向量，所以命题(2)是真命题.(3)真命题.∵当a≠0时，a≠－a；而当a＝0时，a＝－a，故命题(3)是真命题.(4)真命题.∵─→AA＋─→AA＋──→AA＝0，∴─→AA＋─→AA＋──→AA的相反向量仍是它本身.1223

n1

n1【探究2】向量减法

如图，设向量AB＝b，AC=a，则AD=-b，由向量减法的定义，知AE=a+(-b)=a-b．

又b＋BC＝a，所以BC＝a－b． 由此，我们得到a-b的作图方法．

如图2，已知a、b，在平面内任取一点O，作OA=a，则BA=aOB=b，－b，即a－b可以表示为从b的终点指向a的终点的向量，这是向量减法的几何意义．

新知2：（1）向量减法的定义：a-b=a+(-b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量．向量a加上b的相反向量，叫做a与b的差，即a－b＝a＋(－b),求两个向量差的运算，叫向量的减法．

（2）向量的减法运算也有平行四边形法则和三角形法则，这也正是向量的运算的几何意义所在，是数形结合思想的重要体现．

说明：①还可以这样定义：两个向量a与b的差，是这样一个向量x，它适合于等式x＋b＝a，并记作x＝a－b,并称a为被减向量，b为减向量，而x称为差向量．

②向量减法可以转化为向量加法，如图b与a－b首尾相接，根据向量加法的三角形法则有b＋(a－b)＝a,即a－b＝→CB． ③向量减法的实质是向量加法的逆运算.利用相反向量的意义，－→AB＝→BA，就可以把减法转化为加法，在用三角形法则作向量减法时，只要记住“连接两向量终点，箭头指向被减数”即可．

→＝a，→→＝a＋b，BD→＝b－a, DB→④以向量ABAD＝b，为邻边作平行四边形ABCD，则两条对角线的向量为AC＝a－b，这一结论在以后应用是非常广泛的．

【探究3】关于向量差的模的不等式

如果我们回忆向量加法的平行四边形法则，那么就可以知道，对于两向量a及b为边作成的平行四边

→＝a＋b，BA→＝a－b，利用图中的三角形OAB，形中，其两条对角线分别为a与b的和及差，如图所示，有OC并注意三角形中两边之差小于第三边，于是当a与b不共线时，有|a－b|>||a|－|b||，与向量和的模的不等式类似．

对于两任意两向量a与b差的长度不大小两向量长度之和，且又不小于两向量长度差的绝对值，即

||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b| 证明：由||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|知，||a|－|b||≤|a＋(－b)|≤|a|＋|－b|，亦即 ||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|.说明：在不等式||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|中，①当且仅当a、b同向或a、b中至少一个为0时，左边等号成立； ②当且仅当a、b反向或a、b中至少一个为0时，右边等号成立； ③当且仅当a、b中至少一个为0时，左右两边的等号同时成立.上述①、②及③三个结论在有关问题的求解中是十分有用的.新知3：||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b| 例1 如图，已知向量a、b、c、d，求作向量a-b，c-d．

分析：根据向量减法的三角形法则，需要选点平移作出两个同起点的向量．

作法：如图3(2)，在平面内任取一点O，作OA=a，OB=b，OC=c，OD=d．则BA=a-b，DC=c-d． 变式训练：在ABCD中，下列结论中错误的是（）A．AB=DC 答案：C 例2 如图4，B．AD+AB=AC C．AB-AD=BD

D．AD+BC=0 ABCD中，AB=a，AD=b，你能用a、b表示向量AC、DB吗? 解：由向量加法的平行四边形法则，我们知道AC=a+b，同样，由向量的减法，知DB=AB-AD=a-b． 变式训练

1．已知一点O到ABCD的3个顶点A、B、C的向量分别是a、b、c，则向量OD等于（）A．a+b+c

B．a-b+c C．a+b-c

D．a-b-c 解析：如图5，点O到平行四边形的三个顶点A、B、C的向量分别是a、b、c，结合图形有OD=OA+AD=OA+BC=OA+OC-OB=a-b+c．故选B．

2．若AC=a+b，DB=a-b．

①当a、b满足什么条件时，a+b与a-b垂直？ ②当a、b满足什么条件时，|a+b|=|a-b|？

③当a、b满足什么条件时，a+b平分a与b所夹的角？ ④a+b与a-b可能是相等向量吗？

解析：如图6，用向量构建平行四边形，其中向量AC、DB恰为平行四边形的对角线．由平行四边形法则，得AC=a+b，DB=AB-AD=a-b．由此问题就可转换为：

①当边AB、AD满足什么条件时，对角线互相垂直？(|a|=|b|)②当边AB、AD满足什么条件时，对角线相等？(a、b互相垂直)③当边AB、AD满足什么条件时，对角线平分内角？(a、b相等)④a+b与a-b可能是相等向量吗？(不可能，因为对角线方向不同例3 化简→AB－→AC＋→BD－→CD．

解：原式＝→CB＋→BD－→CD＝→CD－→CD＝0 变式训练：8．如图所示，DCDEAFBCFE＝________．答案：→AB →＝8，|AC|→＝5，则|BC|→的取值范围是（）例4 若|AB|A．［3，8］

B．（3，8）

C．［3，13］

D．（3，13）

→、AC→同向时，|→解析： ∵→BC＝→AC－→AB，当ABBC|＝8－5＝3；当→AB、→AC反向时，|→BC|＝8＋5＝13；当→AB、→不平行时，3＜|BC|→＜13，总上3≤|→ACBCBC|≤13，故选C．

变式训练：向量a．b满足|a|＝8，|b|＝12，则|a＋b|的最大值为________．答案：20

三、总结提升

1.通过本节学习，要求大家在理解向量减法定义的基础上，掌握向量减法的三角形法则，并能加以适当的应用.2.向量减法的三角形法则的式子内容是：两个向量相减，则表示两个向量起点的字母必须相同（否则无法相减），这样两个向量的差向量是以减向量的终点的字母为起点，以被减向量的终点的字母为终点.四、课后作业

课本第91页习题2.2A组第4、6、7、8题 1．已知｜AB｜＝6，｜CD｜＝9，求｜AB－CD｜的取值范围．答案：［3，15］ 2．已知：A．B．C是不共线的三点，O是△ABC内的一点，若→OA＋→OB＋→OC＝0，求证：点O是△ABC的重心． →＋OC)→，2．证明：如图，∵→OA＋→OB＋→OC＝0，∴→OA＝－(OB→＋OC→，长度相等，方向相反的向量，∴→OA是与OB以OB、OC为相邻两边作BOCD，则→OD＝→OB＋→OC，→，∴A、O、D三点共线． ∴→OD＝－OA

→＝EC→，OE→＝ED→，在□BOCD中，设BC交OD于点E，则BE

→＝2|→故AE是△ABC的边BC的中线，且|OA|OE|，∴点O是△ABC的重心．