向量方法在立体几何教学中的应用

第一篇：向量方法在立体几何教学中的应用

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向量方法在立体几何教学中的应用

作者：王龙生

摘 要： 在江苏省对口单招数学试卷中，立体几何这一章的知识点每年都作为重点考查的内容.每年我校考生在立体几何解答题上的得分情况都不太理想.向量是基本的数学概念之一，是沟通代数与几何的工具之一，体现了数形结合的思想.根据向量的数形特性，可以将几何图形数量化，从而通过运算解决立体几何中的平行、垂直等问题，能避免构图和推理的复杂过程，有利于降低解题难度.关键词： 向量 立体几何教学 数形结合在江苏省对口单招数学试卷中，立体几何这一章的知识点每年都是重点考查的内容.每年我校考生在立体几何解答题上的得分情况都不太理想.向量是基本的数学概念之一，是沟通代数与几何的工具之一，体现了数形结合的思想.根据向量的数形特性，可以将几何图形数量化，从而通过运算解决立体几何中的平行、垂直等问题，避免构图和推理的复杂过程，有利于降低解题难度.一、将立体几何中的平行问题转化为向量平行来证明

二、将立体几何中的垂直问题转化为向量垂直来证明

由于立体几何中的垂直问题图形比较复杂，加上学生的空间感比较薄弱，因此学生很难解决.把立体几何中的垂直问题转化为向量垂直，其优越性非常明显，具体体现在：两个向量垂直的充要条件可以把“垂直”体现在一个等式中变为纯粹的运算，所涉及的向量易于用坐标表示就足够了.立体几何中的线线、线面、面面垂直，都可以转化为空间两个向量的垂直问题解决.1.“线线垂直”化为“向量垂直”

华罗庚关于“数形结合”有一句名言：“数缺形时少直观，形离数时难入微.”向量是基本的数学概念之一，是沟通代数与几何的工具之一，体现了数形结合的思想.因此，充分掌握、运用好向量知识，可以提高学生的数形结合能力，培养学生发现问题的能力，帮助学生理清数形结合呈现的内在关系，把无形的解题思路形象化，有利于学生顺利地、高效率地解决数学问题.利用向量方法研究立体几何问题，能避免传统几何方法中繁琐的推理及论证，有效提高学生解决立体几何问题的能力.参考文献：

[1]单招生—相约在高校，数学：基础知识梳理.[2]单招零距离—数学：总复习方案.[3]吕林根，张紫霞，孙存金.立体几何学习指导书.

第二篇：空间向量在立体几何中的应用

【利用空间向量证明平行、垂直问题】

例.如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB于点F。

（1）证明：PA//平面EDB；（2）证明：PB⊥平面EFD；（3）求二面角C—PB—D的大小。

如图所示建立空间直角坐标系，D为坐标原点。设DC=a。

（1）证明：连接AC，AC交BD于G，连接EG。依题意得。

∵底面ABCD是正方形。∴G是此正方形的中心，故点G的坐标为，∴则而，∴PA//平面EDB。

（2）依题意得B（a，a，0），∴PB⊥DE由已知EF⊥PB，且

（3）解析：设点F的坐标为又，故，所以PB⊥平面EFD。，则

从而所以

由条件EF⊥PB知，即，解得

∴点F的坐标为，且∴

即PB⊥FD，故∠EFD是二面角C—PB—D的平面角。

∵，且

∴∴∠EFD=60°所以，二面角C—PB—D的大小为60°。

点评：（1）证明两条直线平行，只需证明这两条直线的方向向量是共线向量．

（2）证明线面平行的方法：①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；②证明能够在平面内找到一个向量与已知直线的方向向量共线；③利用共面向量定理，即证明直线的方向向量与平面内的两个不共线向量是共面向量．

（3）证明面面平行的方法：①转化为线线平行、线面平行处理；②证明这两个平面的法向量是共线向量．（4）证明线线垂直的方法是证明这两条直线的方向向量互相垂直．

（5）证明线面垂直的方法：①证明直线的方向向量与平面的法向量是共线向量；②证明直线与平面内的两个不共线的向量互相垂直．

（6）证明面面垂直的方法：①转化为线线垂直、线面垂直处理；②证明两个平面的法向量互相垂直．【用空间向量求空间角】例.正方形ABCD—

中，E、F分别是，的中点，求：

（1）异面直线AE与CF所成角的余弦值；（2）二面角C—AE—F的余弦值的大小。

解析：不妨设正方体棱长为2，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示空间直角坐标系，则 A（2，0，0），C（0，2，0），E（1，0，2），F（1，1，2）（1）由，得

又，∴，即所求值为。

（2）∵

∴

∴，过C作CM⊥AE于M，则二面角C—AE—F的大小等于，∵M在AE上，∴设则，∵

∴

又∴

∴二面角C—AE—F的余弦值的大小为点评：（1）两条异面直线所成的角（2）直线与平面所成的角

求得，即

求得，即。

或

可以借助这两条直线的方向向量的夹角

主要可以通过直线的方向向量与平面的法向量的夹角

（3）二面角的大小可以通过该二面角的两个面的法向量的夹角求得，它等于两法向量的夹角或其补角。【用空间向量求距离】例.长方体ABCD—求：

（1）异面直线AM与PQ所成角的余弦值；（2）M到直线PQ的距离；（3）M到平面AB1P的距离。解析：（1）方法一：

如图，建立空间直角坐标系B—xyz，则A（4，0，0），M（2，3，4），P（0，4，0），Q（4，6，2），∴，中，AB=4，AD=6，M是A1C1的中点，P在线段BC上，且|CP|=2，Q是DD1的中点，故异面直线AM与PQ所成角的余弦值为

方法二：，∴

故异面直线AM与PQ所成角的余弦值为

（2）∵，∴上的射影的模

故M到PQ的距离为（3）设

是平面的某一法向量，则，∵因此可取，由于

∴，那么点M到平面的距离为，故M到平面的距离为。

点评：本题用纯几何方法求解有一定难度，因此考虑建立空间直角坐标系，运用向量坐标法来解决。利用向量的模和夹角求空间的线段长和两直线的夹角，在新高考试题中已多次出现，但是利用向量的数量积来求空间的线与线之间的夹角和距离，线与面、面与面之间所成的角和距离还涉及不深，随着新教材的推广使用，这一系列问题必将成为高考命题的一个新的热点。现列出几类问题的解决方法，供大家参考。

（1）平面的法向量的求法：设联立后取其一组解。，利用n与平面内的两个向量a，b垂直，其数量积为零，列出两个三元一次方程，（2）线面角的求法：设n是平面的法向量，是直线l的方向向量，则直线l与平面所成角的正弦值为。

（3）二面角的求法：①AB，CD分别是二面角的两个面内与棱l垂直的异面直线，则二面角的大小为。

②设或其补角。

分别是二面角的两个平面的法向量，则就是二面角的平面角

（4）异面直线间距离的求法：

是两条异面直线，n是的公垂线段AB的方向向量，又C、D分别是

上的任意

两点，则。

（5）点面距离的求法：设n是平面的法向量，AB是平面的一条斜线，则点B到平面的距离为。

（6）线面距、面面距均可转化为点面距离再用（5）中方法求解。

第三篇：向量在立体几何中的应用导学案

课题：§2.4向量在立体几何中的应用

（一）编写：审核：时间—、教学目标 ：、复习近平面几何图形的性质。

2、理解用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”。

二、问题导学：

1、平面几何图形的性质

2、用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”。

建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将证明线段相

等，转化为证明向量的相等，求线段的长，转化为求向量的； 证明线段、直线平行，转化为证明向量；

证明线段、直线垂直，转化为证明向量；

几何中与角相关的问题，转化为向量的问题；

对于有关长方形、正方形、直角三角形等平面几何问题，通常以相互垂直的两边所在直线分别为x轴和y轴建立，通过代数（坐标）运算解决问题。典型例题

例

1、如图所示，若D是△ABC内的一点，且AB2-AC2=DB2-DC2。

求证：AD⊥BC。

例

2、已知A、B、C是坐标平面上的三点，其坐标分别为A（1，2），B（4，1），C（0，-1）

（1）求,和ACB的大小，并判断△ABC的形状；

（2）若M为BC边的中点，求||。

三、作业

ABCD中，错误的式子是（）

A、B、

C、ABBCACD、ADABAC2、已知A（2，1）、B（3，2）、C（-1，4），则△ABC是（）

A、等边三角形B、锐角三角形C、直角三角形D、钝角三角形 

3、△ABC是等边三角形，设a,b,当|atb|取最小值时，t=（）

13A、B、1C、2D、224、已知四边形ABCD的顶点坐标A（1，1），B（1，3），C（3，3），D（4，1），则

四边形ABCD为（）

A、直角梯形 B、等腰梯形C、矩形D、菱形

5、在平面上有A、B、C三点，设mABBC,nABBC,若m与n的长度恰好相等，则有（）

A、A、B、C三点必在同一条直线上B、△ABC必为等腰三角形且∠B为顶角C、△ABC必为直角三角形且∠B=90º D、△ABC必为等腰直角三角形





6、设向量a(1,3),b(2,4),c(1,2)若表示向量4a,4b2c,2(ac),d

的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量d为（）

A、（2，6）

B、（-2，6）

C、（2，-6）

D、（-2，-6）

7、已知点A(,1),B(0,0),C(3,0)，设∠BAC的平分线AE与BC相交于E，那么有,其等于（）A、2B、C、-

3D、

38、如果直线xyt与圆x2y24相交于A、B两点，O为原点，如果与的夹角为

，则t 的值为。

39、如图，已知AD，BE，CF分别是△ABC的三条高，求证：AD，BE，CF相交于同一点。

§2.4向量在解析几何中的应用

（二）执笔人：郑才红葛红时间—、自主学习例4—6填空：

（1）设直线l 的倾斜角为，斜率为k, 向量(a1,a2)平行于l，则称为l的，可以根据向量的知识得到向量（1，k）与向量共线，因此（1，k）也是l 的方向向量。

（2）已知直线l:AxByC0，则向量(A,B)一定和l，向量(A,B)

称为l 的。

（3）已知直线l1:A1xB1yC10，l1:A1xB2yC20，则n1(A1B1)与

l1垂直，n2(A2,B2)与l2 垂直，于是l1和l2的夹角便是n1与n2的夹角（或其

补

角）

设

l

1与

l

2的夹

角

是

，则

有



nn2

|cos|cosn1,n2||1|n1||n2|

二、典型例题：

已知点P（-3，0），点A在y轴上，点Q在x轴正半轴上，点M在直线AQ上，满足

PAAM0,，当点A在y轴上移动时，求动点M的轨迹方程。

三、作业：

1、已知点A，B的坐标为A（4，6），B（-3，）,与直线AB平行的向量的坐标可以

2是（）

①（14,3)

3②(7,)③(

921

4,3)④（-7，9）3

A、①②B、①③C、①②③D、①②③④

2、在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A（1，0），B（2，2），若点C满

足t(),其中tR，则点C的轨迹方程为（）

A、(x2)2(y2)22C、2xy10

B、xy10 D、2xy203、直线3x2y60与向量n(2,3)的位置关系为（）A、平行

B、相交

C、垂直

D、重合

4、若对n个向量a1,a2,......,an,存在n个不全为0的实数k1, k2,„„，kn，使得

，依此k1a1k2a2.....knan0成立，则称向量a1,a2,...,an为“线性相关”

规定，能说明a1(1,0)，a2(1,1),a3(2,2)“线性相关”的实数k1, k2, k3依次可以取。（写出一组数值即可，不必考虑所有情况）。

5、过点A（3，2）且与直线l:4x3y90平行的直线方程为，过点A且与l垂直的直线方程为。

2

6、已知向量a(x,x)与向量b(2x,3)的夹角为钝角，则实数x的取值范围

是



7、已知向量a,b的夹角为60º，|a|3,|b|2,若(3a5b)(mab)，则m的值为

8、直角坐标平面xoy中，若定点A（1，2）与动点P(x, y)满足OPOA4，则点P的轨迹方程是。

§2.4向量在物理中的应用

（三）执笔人：郑才红葛红时间

—、自主学习：

1、力向量包括大小、方向和作用点，如果大小和方向相同的两个力，作用点不同，它们是

2、同一平面上，作用于同一点的两个力f1,f2或三个力f1,f2,f3处于平衡状态，可分别用等式；来表示。

3、一质点在运动中每一时刻都有一个向量。

二、典型例题：

例

1、如图，一艘船从A点出发以2km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河

水的流速为2km/h，求船的实际航行速度的大小与方向（用与流速间的夹角表示）。

例

2、某人骑车以每小时a千米的速度向东行驶，感到风从正北方向吹来，而当速度为

2a时，感到风从东北方向吹来，试求实际风速和方向。

三、作业



1、当两人提起重量为|G|的书包时，夹角为，用力为||，则三者的关系式为（）



|G|

A、|F|

2cos|G|C、F

2cos

|G|B、|F|

2sin

|G|D、|F|

2cos2、已知作用在A点的三个力F1(3,4),F2(2,5),F3(3,1)且A（1，1），则合力F1F2F3的终点坐标为（）A、（9，1）

B、（1，9）

C、（9，0）

D、（0，9）

3、两个大小相等的共点力F1,F2，当它们夹角为90º时，合力大小为20N，则当它们的夹角为120º时，合力大小为（）A、40N

B、2N

C、2N

D、N4、一条河宽为400米，一船从A出发航行垂直到达河正对岸的 B处，船速为20km/h，水速为12km/h，则船到达B处所需的时间为（）A、1.5分钟B、1.8分钟C、2.2分钟D、3分钟

5、河水的流速为2m/s，一艘小船想以垂直于河岸方向10m/s的速度驶向对岸，则小船的静水速度大小为（）A、10m/s

B、226m/s

C、46m/s

D、12m/s6、一船从某河一岸驶向另一岸，船速为v1，水速为v2，已知垂直到达对岸，则（）A、|v1||v2|C、|v1||v2|



B、|v1||v2|

D、|v1||v2|

第四篇：28.空间向量在立体几何中的应用

高三数学一轮复习材料命题：王晓于杰审题：刘臻祥2007-8-2

2§5.3空间向量在立体几何中的应用

NO.28

【基础知识梳理】

1.直线的方向向量与直线的向量方程

⑴ 用向量表示直线或点在直线上的位置

① 给定一个定点A和一个向量a，再任给一个实数t，以A为起点作向量AP=_________（Ⅰ），这时点P的位置被完全确定.向量方程通常称作直线l的____________，向量a称为该直线的____________.② 对空间任一个确定的点O，点P在直线l上的充要条件是存在惟一的实数t，满足等式，如果在l上取，则（Ⅱ）式可化为 O=_________（Ⅱ）

OPOAtABOAt(OBOA)，即O=_________（Ⅲ）.（Ⅰ）或（Ⅱ）或（Ⅲ）都叫做空间直线的向量参数方程，它们都与平面的直线向量参数方程相同.③ 设点M是线段AB的中点，则O=_________.⑵ 用向量方法证明直线与直线平行，直线与平面平行，平面与平面平行

① 设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1∥l2或l1和l2重合__________.② 已知两个非零向量v1，v2与平面α共面，一条直线l的一个方向向量为v，则l∥α或 l在α内存在两个实数x，y，使v=__________.⑶ 用向量运算证明两条直线垂直或求两条直线所成的角

设直线l1和l2成的角为θ（锐角），方向向量分别为v1和v2，则有l1⊥l2__________，cosθ=__________.2.平面的法向量与平面的向量表示

⑴ 已知平面α，如果向量n的基线与平面α垂直，则向量n叫做平面α的________或说向量n与平面α________.⑵设A是空间任一点，n为空间任一非零向量，适合条件AMn0----①的点M的集合构成的图形是________.如果任取两点M1、M2（M1、M2和A三点不共线），且AM10，AM20，则n⊥平面AM1M2.在平面AM1M2内的任一点M都满足条件①式.满足条件①的所有

点M都在平面AM1M2内.①式称为一个平面的_____________.⑶ 共面向量定理的推论：如果A、B、C三点_____________，则点M在平面ABC内的充要条件是，存在一对实数x，y，使向量表达式=_________.⑷ 设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则α∥β或α，β重合_____，α⊥β______________

⑸ 三垂线定理：如果在平面___的一条直线与平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，则它也和____________垂直.三垂线定理的逆定理：如果在平面___的一条直线与平面的一条斜线垂直，则它也和

____________垂直.【基础知识检测】

1.两不重合直线l1和l2的方向向量分别为v1=（1，0，-1），v2=（-2，0，2），则l1与l2的位置关系是（）

A.平行B.相交C.垂直D.不确定

2.在下列四个正方体中，能得出AB⊥CD的是（）

ABCD

3.已知l∥α，且l的方向向量为（2，m，1），平面α的法向量为（1，-1m，2），则m=______.24.已知平面α和β的法向量分别为u1=（-1，x，4）和u2=（y，1，-2），若α∥β，则x+y=______.5.已知正方体ABCD－A1B1C1D1，则直线AC1与直线BC所成的角为_______.【典型例题探究】

题型1.（异面直线所成的角）在棱长均为a的正四面体ABCD中，M、N分别为边AB、CD的中点，求异面直线AN、CM所成的角的余弦值.D

变式训练：已知直三棱柱ABD-A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA=90°，棱AA1=2，M、N分别是A1B1和A1A的中点,（1）求异面直线BA1和CB1所成的角；（2）求证：A1B⊥C1M.题型2.（利用空间向量证明平行、垂直问题）已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，点M、N

分别是对角线A1B与面对角线A1C1的中点.求证：MN∥侧面AD1.变式训练：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为a，M、N分别为A1B和AC上的点，A1M=AN=2a，则MN与平面BB1C1C的位置关系是（）

3A.相交B.平行C.垂直D.不能确定

题型3（空间中点共线、点共面问题）已知平行四边形ABCD，从平面ABCD外一点O引射线OA，OB，OC，OD，在其上分别取E，F，G，H，并且使OEOFOGOHk（k OAOBOCOD

为常数）.求证：E，F，G，H四点共面.变式训练：求证：四点A（3，0，5），B（2，3，0），C（0，5，0），D（1，2，5）共面.【限时过关检测】班级学号姓名分数

选择、填空题每小题10分

1.对空间任意一点O，若311，则A、B、C、P四点（）488

A.一定不共面B.一定共面C.不一定共面D.无法判断

2.设P是△ABC所在平面外一点，且PA⊥BC,PB⊥AC,则 P在该平面内的射影是△ABC的（）

A.内心B.外心C.垂心D.重心

3.设l1的方向向量为=（1，2，-2），l2的方向向量为=（-2，3，m），若l1⊥l2，则m= ____.4.已知=（2，2，1），=（4，5，3），则平面ABC的单位法向量是_________.5.（20分）已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=1AB=1，2

M是PB的中点.（Ⅰ）证明：面PAD⊥面PCD；（Ⅱ）求AC与PB所成的角.6.（20分）直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是以∠ABC为直角的等腰直角三角形，AC=2a，BB1=3a，D为A1C1的中点，E为B1C的中点，⑴ 求直线BE与A1C所成的角；⑵ 在线段AA1上是否存在点F，使CF⊥平面B1DF，若存在，求出AF；若不存在，说明理由.【体验高考】(每小题10分)

1．（2007全国Ⅰ）正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1=2AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为

（）

A．1234B．C．D． 5555

2.（2007四川）ABCD-A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是（）．．

A．BD∥平面CB1D1B．AC1⊥BDC．AC1⊥平面CB1D1D．异面直线AD与CB1角为60°

第五篇：立体几何中的向量方法的教学设计

《立体几何中的向量方法》的教学设计

一、教材分析

本节课是坐标法与向量有效结合的典型范例，有利于培养学生利用向量解决立体几何问题的能力。

二、教学目标

通过类比平面内的点、线的位置可以由向量来确定，引导学生理解空间内的点、线、面的位置也可以由向量来表示，并进一步探究用空间向量的运算来表示空间线、面的位置关系。从应用其证明空间线面的平行与垂直问题中体会直线的方向向量与平面的法向量在解决立体几何中线面平行与垂直问题时的作用。从而树立学好用好向量法解决立体几何问题的兴趣和信心。

三、教学重点、难点

由于建系求点坐标是向量方法中最大的障碍，所以把坐标法与向量法结合作为重点，而适当地建立空间直角坐标系及添加辅助线作为难点。

四、教学手段

用几何画板直观展示图形给学生立体感，通过问题链让学生有效地进行数学思维。

五、教学流程

1、新课导入：

同学们，在前面的学习中，我们已经接触过一些用空间向量的运算方法，所以这节课我们将使用一些用空间向量知识证明点、线、面的位置关系。

为了运用向量来解决立体几何问题，首先要明确空间的点、线、面的位置是否可以用向量来确定？想一想平面内点、线的位置可以由向量来唯一确定吗？你能利用类比的方法，相应地得出空间点、线、面的位置也可以由向量来唯一确定的结论吗？

2、经典例题讲解：

<例一> 已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，C1CBC1CDBCD,求证：CC1BD.分析：题目是让我们求证CC1BD，我们可以利用向量垂直的方法来试着证明CC1.BD =0 <例二> 棱长都等于2的正三棱柱ABC-A1B1C1,D,E分别是AC,CC1的中点，求证：A1E⊥平面DBC1。

分析：该题主要是考察学生是否可以根据已知题目给出的信息将建立空间直角坐标系，本题以D为坐标原点，DC所在的直线为x轴，连接BD以BD为y轴，Z轴则平行与CC1建立了D-XYZ的空间直角坐标系。接着根据平面法向量的性质来求证出结果。

六、练习

用向量的方法证明“平面与平面垂直的判定定理”。

七、总结

将空间向量的方法引入到立体几何中，通常的方法不必添加繁杂的辅助线，只要建立适当的空间直角坐标系，写出相关点的坐标，利用向量运算解决立体几何问题，这样使问题坐标化、符号化、数量化，从而降低推理问题的思维难度。