用向量方法解立体几何题(老师用)（优秀范文五篇）

第一篇：用向量方法解立体几何题(老师用)

用向量方法求空间角和距离

在高考的立体几何试题中,求角与距离是常考查的问题,其传统的“三步曲”解法:“作图、证明、解三角形”,作辅助线多、技巧性强,是教学和学习的难点．向量进入高中教材,为立体几何增添了活力,新思想、新方法与时俱进,本专题将运用向量方法简捷地解决这些问题． 求空间角问题

空间的角主要有：异面直线所成的角；直线和平面所成的角；二面角．（１）求异面直线所成的角

设a、b分别为异面直线a、b的方向向量，ab则两异面直线所成的角=arccos||

|a||b|

（２）求线面角

设l是斜线

l的方向向量，n是平面的法向量，则斜线

（３）求二面角

lnl与平面所成的角=arcsin||

|l||n|法

一、在内al，在内bl，其方向如图，则二面角

abl的平面角=arccos|a||b| 1

法

二、设n1,n2,是二面角l的两个半平面的法向量，l其方向一个指向内侧，另一个指向外侧，则二面角nn2 的平面角=arccos1|n1||n2|2 求空间距离问题

构成空间的点、线、面之间有七种距离，这里着重介绍点面距离的求法，象异面直线间的距离、线面距离；面面距离都可化为点面距离来求．（１）求点面距离

法

一、设n是平面的法向量，在内取一点B, 则 A

|ABn|到的距离d|AB||cos||n|法

二、设AO于O,利用AO和点O在内的向量表示，可确定点O（２）求异面直线的距离

的位置，从而求出|AO|．

法

一、找平面使b且a，则异面直线a、b的距离就转化为直线a到平面的距离，又转化为点A到平面的距离．

法

二、在a上取一点A, 在b上取一点B, 为异面直线a、b异面直线a、b

的方向向量,求n（na设a、b分别

，nb），则

|ABn|的距离d|AB||cos|（此方法移植|n|于点面距离的求法）． 例１．如图，在棱长为２的正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是棱A1D1,A1B1的中点．

（Ⅰ）求异面直线DE与FC1所成的角；（II）求BC1和面EFBD所成的角；（III）求B1到面EFBD的距离

解：（Ⅰ）记异面直线DE与FC1所成的角为，则等于向量DE与FC1的夹角或其补角， cos|DEFC1|DE||FC|(DDD1|11E)(FB1B ||DE|1C1)||FC1| |2|2 555,arccos25（II）如图建立空间坐标系Dxyz，则DE(1,0,2)，DB(2,2,0)

设面EFBD的法向量为n(x,y,1)

由DEn

DB0n0得n(2,2,1)又BC1(2,0,2)

记BC1和面EFBD所成的角为 则 sin|cosBCBC1n21,n|||BC|

1||n|2∴ BC1和面EFBD所成的角为4．（III）点B1到面EFBD的距离ｄ等于

向量BB1在面EFBD的法向量上的投影的绝对值，2|BB1n|d3|n|设计说明：１．作为本专题的例１，首先选择以一个容易建立空间直角坐标系的多面体―――正方体为载体，来说明空间角和距离的向量求法易于学生理解． ２．解决(1)后，可让学生进一步求这两条异面直线的距离，并让学生体会一下：如果用传统方法恐怕很难（不必多讲，高考对公垂线的作法不作要求）． ３．完成这３道小题后，总结：对于易建立空间直角坐标系的立几题，无论求角、距离还是证明平行、垂直（是前者的特殊情况），都可用向量方法来解决，向量方法可以人人学会，它程序化，不需技巧．

例2．如图，三棱柱中，已知A BCD是边长为1的正方形，四边形

AABB 是矩形，平面AABB平面ABCD。

（Ⅰ）若AA＝１，求直线AB到面DA'C的距离．（II）试问：当AA的长度为多少时，二面角

DACA的大小为60？

解：（Ⅰ）如图建立空间坐标系Axyz，则 'DA(1,0,a)DC(0,1,0)'

'DAn10则 DCn10设面DAC的法向量为n1(x,y,1)得n1(a,0,1)直线AB到面DA'C的距离ｄ就等于点Ａ到面DA'C的距离，也等于向量AD在面DA'C的法向量上的投影的绝对值，|ADn1|2d2|n1|

(1,1,0)（II）易得面AA'C的法向量n2向量n1,n2的夹角为60 nn2由cosn1,n21|n1||n2|

aa1221

2得 a

1当AA＝１时，二面角DACA的大小为60．

设计说明：１．通过（Ⅰ），复习线面距离转化为点面距离再转化为一向量在一向量（法向量）投影的绝对值的解题思路与方法．

２．通过（II），复习面面角转化为两向量的夹角或其补角的方法，也可借此机会说明为什么这两个角相等或互补，就没有其他情况．

例３．正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长均为２，Ｐ是侧棱AA1上任意一点．（Ⅰ）求证： 直线B1P不可能与平面ACC1A1垂直；（II）当BC1B1P时，求二面角CB1PC1的大小．

a

证明：（Ⅰ）如图建立空间坐标系Oxyz，设AP则A,C,B1,P的坐标分别为(0,1,0),(0,1,0),(AC(0,2,0),B1P(3,1,a2)ACB1P20，B1P不垂直AC直线B1P

3,0,2)(0,1,a)

不可能与平面ACC1A1垂直． （II）BC1(3,1,2)，由BC1B1P，得BC1B1P0

即22(a2)0 又BC1B1Ca1

BC1面CB1P

BC1(3,1,2)是面CB1P的法向量

B1Pn0设面C1B1P的法向量为n(1,y,z)，由B1C1n0得n(1,3,23),设二面角CB1PC1的大小为BC1n6则cos4|BC1||n| 64二面角CB1PC1的大小为arccos．

设计说明：１．前面选择的两个题，可有现成的坐标轴，但本题ｘ、ｚ轴需要自己添加（也可不这样建立）．

２．第（１）小题是证明题，同样可用向量方法解答，是特殊情况；本小题也可证明这条直线与这个面的法向量不平行．

通过上面的例子，我们看到向量方法（更确切地讲，是用公式： ab|a||b|cos）解决空间角和距离的作用，当然，以上所举例子，用传统方法去做，也是可行的，甚至有的（例２）还较为简单，用向量法的好处在于克服传统立几以纯几何解决问题带来的高度的技巧性和随机性．向量法可操作性强―――运算过程公式化、程序化，有效地突破了立体几何教学和学习中的难点，是解决立体几何问题的重要工具．充分体现出新教材新思想、新方法的优越性．这是继解析几何后用又一次用代 数的方法研究几何形体的一块好内容，数形结合，在这里得到淋漓尽致地体现．

练习：

１．在正四面体SABC中，棱长为a，E,Ｆ分别为SA和BC的中点，求异面

23直线BE和SF所成的角．（arccos）

２．在边长为１的菱形ABCD中，ABC起后BD＝１，求二面角B３．在四棱锥PPDADABCDACD60，将菱形沿对角线AC折起，使

折

13的余弦值．（）

P中，底面ABCD为矩形，PD底D面，且Ca，问平面PBA与平面PBC能否垂直？试说明理由．（不垂直）

AB４．在直三棱柱ABCA1B1C1中，A90，O,O1,G 分别为BC,B1C1,AA1的中点，且AB（１）求O1到面A1CB1的距离；（22ACAA12．））（２）求BC到面GB1C1的距离．（263E ５.如图，在几何体ABCDE中，△ABC是等腰直角三角形，∠ABC ＝900，BE和CD都垂直于平面ABC，F

D B C A 且BE＝AB＝2，CD＝1，点F是AE的中点.（Ⅰ）求证：DF∥平面ABC；

（Ⅱ）求AB与平面BDF所成角的大小.（arcsin）

8

第二篇：空间向量方法解立体几何教案

空间向量方法解立体几何

【空间向量基本定理】

例1.已知矩形ABCD，P为平面ABCD外一点，且PA⊥平面ABCD，M、N分别为PC、PD上的点，且M分

数x、y、z的值。成定比2，N分PD成定比1，求满足的实

分析;结合图形，从向量

用、、出发，利用向量运算法则不断进行分解，直到全部向量都表示出来，即可求出x、y、z的值。

如图所示，取PC的中点E，连接NE，则

点评：选定空间不共面的三个向量作基向量，并用它们表示出指定的向量，是用向量解决立体几何问题的一项基本功，要结合已知和所求，观察图形，联想相关的运算法则和公式等，就近表示所需向量。再对照目标，将不符合目标要求的向量当作新的所需向量，如此继续下去，直到所有向量都符合目标要求为止，这就是向量的分解。有分解才有组合，组合是分解的表现形式。空间向量基本定理恰好说明，用空间三个不共面的向量组可以表示出空间任意一个向量，而且a,b,c的系数是惟一的。

【利用空间向量证明平行、垂直问题】

例2.如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB于点F。

（1）证明：PA//平面EDB；

（2）证明：PB⊥平面EFD；

（3）求二面角C—PB—D的大小。

点评：（1）证明两条直线平行，只需证明这两条直线的方向向量是共线向量．

（2）证明线面平行的方法：

①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；

②证明能够在平面内找到一个向量与已知直线的方向向量共线；

③利用共面向量定理，即证明直线的方向向量与平面内的两个不共线向量是共面向量．

（3）证明面面平行的方法：

①转化为线线平行、线面平行处理；

②证明这两个平面的法向量是共线向量．

（4）证明线线垂直的方法是证明这两条直线的方向向量互相垂直．

（5）证明线面垂直的方法：

①证明直线的方向向量与平面的法向量是共线向量；

②证明直线与平面内的两个不共线的向量互相垂直．（6）证明面面垂直的方法：

①转化为线线垂直、线面垂直处理；②证明两个平面的法向量互相垂直． 【用空间向量求空间角】

例3.正方形ABCD—中，E、F分别是

（1）异面直线AE与CF所成角的余弦值；（2）二面角C—AE—F的余弦值的大小。，的中点，求：

点评：（1）两条异面直线所成的角可以借助这两条直线的方向向量的夹角

求得，即。

（2）直线与平面所成的角主要可以通过直线的方向向量与平面的法向量的夹角求得，即或

（3）二面角的大小可以通过该二面角的两个面的法向量的夹角求得，它等于两法向量的夹角或其补角。

【用空间向量求距离】

例4.长方体ABCD—中，AB=4，AD=6，段BC上，且|CP|=2，Q是DD1的中点，求：

（1）异面直线AM与PQ所成角的余弦值；（2）M到直线PQ的距离；（3）M到平面AB1P的距离。，M是A1C1的中点，P在线

本题用纯几何方法求解有一定难度，因此考虑建立空间直角坐标系，运用向量坐标法来解决。利用向量的模和夹角求空间的线段长和两直线的夹角，在新高考试题中已多次出现，但是利用向量的数量积来求空间的线与线之间的夹角和距离，线与面、面与面之间所成的角和距离还涉及不深，随着新教材的推广使用，这一系列问题必将成为高考命题的一个新的热点。现列出几类问题的解决方法。

（1）平面的法向量的求法：设，利用n与平面内的两个向量a，b垂直，其数量积为零，列出两个三元一次方程，联立后取其一组解。

（2）线面角的求法：设n是平面

向量，则直线与平面的一个法向量，AB是平面的斜线l的一个方向

所成角为则sin

（3）二面角的求法：①AB，CD分别是二面角面直线，则二面角的大小为。的两个面内与棱l垂直的异

②设分别是二面角的两个平面的法向量，则

就是二面角的平面角或其补角。

（4）异面直线间距离的求法：向量，又C、D分别是

是两条异面直线，n是。的公垂线段AB的方向

上的任意两点，则

（5）点面距离的求法：设n是平面平面的距离为。的法向量，AB是平面的一条斜线，则点B到

（6）线面距、面面距均可转化为点面距离再用（5）中方法求解。

练习：

12

1.若等边ABC的边长

为，平面内一点M满足CMCBCA，则

MAMB_________

2．在空间直角坐标系中，已知点A（1，0，2），B(1，-3，1)，点M在y轴上，且M到A与到B的距离相等，则M的坐标是________。3.（本小题满分12分）

如图，在五面体ABCDEF中，FA 平面ABCD, AD//BC//FE，ABAD，M为EC的中点，AF=AB=BC=FE=

AD 2

(I)求异面直线BF与DE所成的角的大小；(II)证明平面AMD平面CDE；（III）求二面角A-CD-E的余弦值。

4．（本题满分15分）如图，平面PAC平面ABC，ABC

是以AC为斜边的等腰直角三角形，E,F,O分别为PA，PB，AC的中点，AC16，PAPC10．

（I）设G是OC的中点，证明：FG//平面BOE；

（II）证明：在ABO内存在一点M，使FM平面BOE，并求点M到OA，OB的距离．

5.如图，四棱锥PABCD的底面是正方形，PD底面ABCD，点E在棱PB上.（Ⅰ）求证：平面AEC平面PDB；

（Ⅱ）当PD且E为PB的中点时，求AE与

平面PDB所成的角的大小.

第三篇：用空间向量处理立体几何的问题

【专题】用空间向量处理立体几何的问题

一、用向量处理角的问题

例1在直三棱柱ABOA1B1O1中，OO14，OA4，OB3，AOB90，P是侧棱

BB1上的一点，D为A1B1的中点，若OPBD，求OP与底面AOB所成角的正切值。

B

1A1 P

B

A

平面OAB，OOB例2如图，三棱柱OABO1A1B1，平面OBBO60，AOB90，111

且OBOO1

2，OA 求：（1）二面角O1ABO的余弦值；（2）异面直线A与AO1所成角的余弦值。1B

B1

A

例3如图，已知ABCD是连长为4的正方形，E、F分别是AD、AB的中点，GC垂直于ABCD所在的平面，且GC=2，求点B到平面EFG的距离。

D

E

AB

AB4，AD3，AA12，M、N分别为DC、BB1例4在长方体ABCDA1BC11D1，的中点，求异面直线MN与A1B的距离。

三、用向量处理平行问题 例5如图，已知四边形ABCD，ABEF为两个正方形，MN分别在其对角线BF、AC上，且FM=AN。

求证：MN//平面EBC。

E

F

M

B A

D

C

例6 在正方体ABCDA1BC11D1中，求证：平面A1BD//平面CB1D1。

EFBD的中点，例7在正方体ABCDA求证： A1F平面BDE。1BC11D1中，、分别是CC1、例8如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，底面是以ABC为直角的等腰三角形，AC2，E为B1C的中点。BB12，D为AC11的中点，（1）求直线BE与DC所成的角；

（2）在线段AA1上是否存在点F，使CF平面B1DF，若存在，求出AF的长；若不存在，请说明理由；

（3）若F为AA1的中点，求C到平面B1DF的距离。

C

1A1

A

C

五、高考题回顾

1.(2003年全国高考题)如图在直三棱柱ABCA1B1C1,底面是等腰直角三角形,ACB900,侧棱AA12,D,E分别是CC1与A1B的中点,点E在平面ABD上的射影是ABD的重心G.()求A1B与平面ABD所成角的余弦值;()求点A1到平面AED的距离.A2.(2004年高考题)如图,直三棱柱ABCA1B1C1中,ACB900,AA11,侧面AA1B1B的两条对角线交点为D,B1C1的中点为M.()求证CD平面BDM;

()求面B1BD与面CBD所成二面角的余弦值.B

六、方法小结

1、求点到平面的距离



如图，已知点P（x0，y0，z0），A（x1，y1，z1），平面一个法向量n。

B

A

1C1

nAP由nAP|n||AP|cos，其中n,AP，可知|AP|cos

|n|



而|AP|cos的绝对值就是点P到平面的距离。

2、求异面直线的距离、夹角

ab|EFn|d；cosa,b

|n||a||b|

3、求二面角



如图:二面角l,平面的法向量为n1,平面的法向量为n2,若n1,n2,则二面角l为或.4、用空间向量证明“平行”，包括线面平行和面面平行。

nm0

nm

第四篇：浅谈用向量法证明立体几何中的几个定理

浅谈用向量法证明立体几何中的几个定理

15号

海南华侨中学（570206）王亚顺

摘要：向量是既有代数运算又有几何特征的工具，在高中数学的解题中起着很重要的作用。在立体几何中像直线与平面平行的判定，平面与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定等定理都没有给出证明，而用向量法很容易证明这些定理。

关键词：向量法直线平面平行垂直立体几何

在高中阶段我们学习了平面向量与空间向量的基本知识，而向量本身既可以进行代数运算又含有几何特征，这是很典型的知识，促使其在代数或几何方面都可以得到很好的应用，因此，在解题方面我们运用向量知识及本身含有的运算去解决问题的方法，我们称为向量法。即向量法既能解决代数问题也能解决几何问题。

立体几何是我们高中学习的一个难点，关键在于其抽象性及理解定理的基础上灵活运用，抽象性在此就不多言了，我们来谈下定理的问题。在高中人教A版的第二章《点、直线、平面之间的位置关系》中，对于直线与平面平行的判定，平面与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定等定理都没有给出证明，课本中只是探究说明，让学生体会而得到。如果能给出证明，就能够很好地体现定理的严密性，在此可以用向量法来证明。

下面我们就用向量法证明这些定理，先介绍一些向量知识及相关

定理。

定义1两个向量与的长度与他们之间的夹角的余弦的乘积

称为与的数量积。记为cos。特别地，若非零向量与

【1】 垂直，即，则0

定义2 空间任意两个向量与的向量积是一个向量，记为

。它的模为sin，其中为向量与之间的（或,）夹角，它的方向与和都垂直，并且按向量、、这个顺序

构成右手坐标系【2】。如图

1图1

【3】定理1两个向量与共线的充分必要条件是0。

定义3给定空间的三个向量、、，如果先做前两个向量与的向量积，再做所得向量与第三个向量的数量积，最后得

【4】 到的这个数叫做三个向量的混合积。记作,或者,,。

定理2轮换混合积的三个因子，并不改变的它的值，对调任何两个因子要改变混合积的符号，即

【5】 ,,,,,,,,,,,,。

下面我们用以上的向量知识证明立体几何的几个定理。

直线与平面平行的判定定理平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。

已知：如图2，a,b,且ab,证明：a。

图2图

3分析：在平面内找到一直线c，证明a,bc0即可。

证明：如图3，在平面内的直线b上取一点o，过o点作一直

线c与直线b交于o点；设直线a、b、c上分别有非零向量a、b、c。

aba与b共线即ab0.

根据定理2，有a,bcc,ab0，即a与bc垂直。

直线a与平面的垂线垂直，又直线a在平面外，a。证毕

平面与平面平行的判定定理一个平面内的两条相交直线与另一平面平行，则这两个平面平行。

已知：如图4，a,b,abP,a,b,证明：。

图4图

5分析：证明平面内任一条直线都平面平行即可。

证明：如图5，设直线m为平面内任一条直线，在平面内取两条相交直线c与d，又设直线a、b、c、d、m上分别有非零向

量a、b、c、d、m。由于a、b是平面内两条不共线的向量，则

由平面向量基本定理可知，mab。

a,ba,cdb,cd0 

m,cdab,cda,cdb,cd0 

即直线m与平面平行，又直线m为平面内任一条直线。

。证毕

直线与平面垂直的判定定理一条直线与一平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。

已知：如图6，l

证明：l。

a,lb,a,b,abP

分析：由线面垂直定义，直线l垂直于平面内任一条直线。证明：如图7，设直线c为平面内任一条直线，又设直线a、b、c、l上分别有非零向量a、b、c、l。由于a与b是平面内两个不

共线的向量，由平面向量基本定理，有c1a2b。

la,lbalbl0

cl1a2bl1al2bl0 

cl即直线l与直线c垂直，又直线c为平面内任一条

直线，由线面垂直定义可知l。证毕

用向量法证明立体几何中的直线与平面平行的判定、平面与平面平行的判定、直线与平面垂直的判定等定理，解题思路清晰、过程简洁。对立体几何的常见问题都可以起到化繁为简，化难为易的效果，体现了向量法解决几何问题的优越性。向量作为一种工具，在一定程度上可以使空间的几何学代数化，数量化，可以为学生提供全新的视角，使学生形成一种新的思维方式。

参考文献：

【1】 王仁发，编著，《代数与解析几何》东北师范大学出

版社，1999年9月，107；

【2】 王仁发，编著，《代数与解析几何》东北师范大学出

版社，1999年9月，110；

【3】 王仁发，编著，《代数与解析几何》东北师范大学出

版社，1999年9月，110；

【4】 王仁发，编著，《代数与解析几何》东北师范大学出

版社，1999年9月，116；

【5】

王仁发，编著，《代数与解析几何》东北师范大学出

版社，1999年9月，117；

第五篇：解立体几何方法总结

启迪教育

解立体几何方法总结

1坐标系的建立：

2空间向量的运算：

3求异面直线的夹角

4法向量的求法

5证明线面平行方法：

6求线和面的夹角

7求几何体的体积

8证明面和面垂直和线面垂直

9求点到面的距离（等体积法）

罗老师教案

1罗老师教案

6罗老师教案

1如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，PAAD4，AB2．以BD的中点O为球心、BD为直径的球面交PD于点M．

（1）求证：平面ABM⊥平面PCD；（2）求直线PC与平面ABM所成的角；（3）求点O到平面ABM的距离．

B

2如图3-2，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，已知AB＝AA1＝a，BC，M是AD的中点。(Ⅰ)求证：AD∥平面A1BC；(Ⅱ)求证：平面A1MC⊥平面A1BD1；(Ⅲ)求点A到平面A1MC的距离。

3如图，已知E,F分别是正方形ABCD边BC,CD的中点，EF与AC交于点O, PA,NC都垂直于平面ABCD，且PA=AB=4，NC=2, M是线段PA上一动点(1)求证：平面PAC⊥平面NEF；

(2)若PC∥平面MEF，试求PM∶MA的值；

(3)当M是PA中点时，求二面角M-EF-N的余弦值

MN

A

E

C

图3-2

罗老师教案