极限思想在解题中的应用

第一篇：极限思想在解题中的应用

Email:hb_yuerf@sohu.com个人简介：岳儒芳毕业于河北师范大学中学一级教师教育硕士

极限思想在解题中的应用

河北省石家庄市第十九中学岳儒芳

数学研究的对象可以是特殊的或一般的，可以是具体的或抽象的，可以是静止的或运动的，可以是有限的或无限的，它们之间都是矛盾的对立统一．正是由于对象之间的对立统一，为我们解决这些对立统一事物提供了研究的方法．有限与无限相比，有限显得具体，无限显得抽象，对有限的研究往往先于对无限的研究，对有限个对象的研究往往有章法可循，并积累了一定的经验．而对于无限个对象的研究，却往往不知如何下手，显得经验不足．于是将对无限的研究就转化成对有限的研究，就成了解决无限问题的毕经之路．反之当积累了解决无限问题的经验之后，可以将有限问题转化成无限问题来解决．这种无限化有限，有限化无限的解决数学问题的方法就是有限与无限的思想．

在数学教学过程中，虽然开始学习的数学都是有限的数学，但其中也包含有无限的成分，只不过没有进行深入的研究．在学习有关数及其运算的过程中，对自然数、整数、有理数、实数、复数的学习都是研究有限个数的运算，但实际上各数集内元素的个数都是无限的，以上数集都是无限集．对图形的研究，知道直线和平面都是可以无限延展的．在解析几何中，还学习过抛物线的渐进线，已经开始有极限的思想体现在其中．学习了数列的极限和函数的极限之后，使中学阶段对无限的研究又上了一个新台阶，集中体现了有限和无限的数学思想．使用极限的思想解决数学问题，比较明显的是立体几何中求球的体积和表面积，采用无限分割的方法来解决．实际上先进行有限次分割，然后再求和，求极限，我们认为，这是典型的有限与无限数学思想的应用．

函数是对运动变化的动态事物的描述，体现了变量数学在研究客观事物中的重要作用．导数是对事物变化快慢的一种描述，并由此可进一步处理和解决函数的增减、极大、极小、最大、最小等实际问题，是研究客观事物变化率和最优化问题的有力工具．通过学习和考查，可以体验研究和处理不同对象所用的不同数学概念和相关理论以及变量数学的力量．

例1．函数ylog2xlogx(2x)的值域是（）

（A）(,1]（B）[3,)（C）[1,3]（D）(,1][3,)

【分析】选D．

法1:用极限的思想．∵函数定义域为{x|x

当x

120且x1}．当x时，y，∴可排除B，C； 时，y1，∴可排除A．故选D．

log2x1

log2x1法2:函数变形为y

求出．

例2．过抛物线y

p，设tlog2x,则t0，再作出“对勾”函数的图象，数形结合即可ax2(a0)的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别是 和q，则

1p1

q等于（）

2a（A）4a（B）

【分析】选A．（C）2a（D）4a

（法1）取a2（不可取a1,否则，A，D两项的值均等于4），得焦点F(0,的直线PQ∥x轴，易知p

q

14,1p1q

84

218)，过F再作特殊位置，故选A．（选择图形的某一个特殊位置，可得到相关的数

或式的特殊关系，而特殊位置图形的选择往往又与选取适当的特殊值和特殊点有关．）

（法2）用极限的思想即：画出图形，使PQ绕点F旋转，使点P与点O重合即可求出． 例3．设A1、A2是椭圆

A2P

2x

9

y



1的长轴的两个端点，P1、P2是垂直于A1A2的弦的端点，则直线A1P1与

交点的轨迹方程为（）（A）

x

9

y



1（B）

y



x

1

（C）

x



y

1

（D）

y



x

1

【分析】选C．（法1）设p1(3cos,2sin),P2(3osc

,2nis)，由椭圆得A1(3,0),

A2(3,0)，直线A1P1为y



3tan



2x2tan

2，直线A2P2为y



cot



x2cot



3(cottantan

)，∴交点M中，x



cot

3cos

2tan



,y

22tan2tan

cos2，∴（x3)

（y2)

sec

tan

1,即

x



y

1

．选C．

0

(法2)利用极限的思想即当P1P2恰是短轴的两个端点时，则两直线无交点，即说明当x曲线方程无解．结合选项可判断选C．

例4．直三棱柱ABC

BAPQC

A1B1C1的体积为V

时，所求的，P、Q分别为侧棱AA,CC上的点，且AP

A

1CQ，则四棱锥

C1的体积是（）

12V

B1

（A）（B）

3V

（C）

4V

（D）

5V

P

Q

【分析】选B．

（法1）用极限的思想，即令点P与点A1重合，点Q与C重合，则四棱锥

BAPQC

A

B

C

就变成三棱锥B

APQ，再根据等体积法VBAPQ

VPABC

即可求出．

（法2）可分别取AA,CC的中点P，Q，同时令三棱柱中所有棱长为2，很容易就可算出．

例

5、已知1分析：令x

x10，则(lgx)2,lgx2,lg(lg

1，lgx

x)的大小关系为___________．

x)0

10，则(lgx)

22，lg(lg，大小关系为

lg(lgx)(lgx)

lgx

．

例6、2005年10月15日，我国成功发射神州五号载人航天飞船，若飞船的运行轨道是以地球的中心为一个焦点的椭圆，且其近地点距离地面为m千米，远地点距地面n千米，则该飞船运行轨道的短轴长为（）[已知地球半径为R千米]

（A）

(mR)(nR)

（B）

2(mR)(nR)

（C）mn（D）2mn

分析：选B．

考虑问题的极限情形，m

而将m

n0,n0,则符合题意的椭圆表现为圆，于是轨道的短轴长表现为圆的直径2R，代入各选择分支，仅有B适合，于是正确答案只能是B．

例

7、设n为自然数，求证不等式

19125



1(2n1)



．

时，不等式右边是一个常量，而左边从k变为

许多学生会利用数学归纳法证明，但是，当证明n

k1

k1

时却在不断增大，证明难度较大．然而，把

1(2n1)

1(2n1)1（看成数列{an}，则上述不等式可转化为数列求和，

12n119125)

因此想到利用数列极限进行求解．因为

12(1

131315

12n1



12n1)



22n1，所以有下式：



1(2n1)

1912



125lim



1(2n1)

，两边同时取极限，则

lim[

n

]

2n2n1



．

n

在上例中，将不等式的项与数列相联系，用极限求和的方法为解决不等式证明问题拓宽了思路，简便了计算过程．另外，极限思想与特殊化原则的结合，可对某些较复杂的问题极端化处理，使解题过程化难为易．因此，教师应该在课堂教学中帮助学生归纳和总结极限思想在解题中的运用，但不能把对极限的运用局限在解微积分的题目中，应该认识到，通过极限思想，能有效地将数学各部分内容系统地联系起来，有利于学生从整体上把握数学的本质．

高考中对有限与无限的考查才刚刚起步，并且往往是在考查其他数学思想和方法的过程中同时考查有限与无限的思想．例如，在使用由特殊到一般的归纳思想时，含有有限与无限的思想；在使用数学归纳法证明时，解决的是无限的问题，体现的是有限与无限的思想，等等．随着高中课程的改革，对新增内容的考查在逐步深入，必将加强对有限与无限思想的考查，设计出重点体现有限与无限思想的新颖试题．

第二篇：剖析守恒思想在中学化学解题中的应用

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剖析守恒思想在中学化学解题中的应用 作者：文丽娟 杨恩健

来源：《考试周刊》2013年第27期

摘 要： 本文以典型的、计算过程复杂的计算型选择题为例，剖析守恒思想在中学化学解题中的应用，提高解题速度，达到事半功倍的效果。

关键词： 中学化学教学 守恒思想 快速解题 应用

近年来高考第一卷中出现了很多计算较为复杂的选择题，常常需要利用守恒思想进行分析，这就需要我们牢牢抓住问题的本质，将复杂的问题简单化，使思路清晰明了。守恒思想贯穿于整个高中化学学习的始终，灵活运用守恒法，可以快速而准确地解题。守恒法是中学化学中典型的解题方法之一，即选择化学式中始终相等的某两数（如正负化合价数、阴阳离子所带的正负电荷数）或化学反应前后保持不变的某粒子数（如原子数、电子数等）作为解题依据。对学生而言，守恒思想的建立和守恒法的熟练应用是一大难点，因此，本文以典型的计算型选择题为例，剖析解题思路，达到快速正确解题的目的。

一、根据得失电子守恒

本题综合运用了质量守恒、电荷守恒、得失电子守恒等守恒方法。

在解题时，正确选择并应用上述方法对于正确快速解答题目十分关键。首先必须明确每种守恒法的特点，然后挖掘题目中存在的守恒关系，最后巧妙地选取方法，正确地解答题目。总之，掌握守恒思想并灵活运用，在解决化学问题会得心应手、游刃有余，既能使复杂的问题简单化，加快解题速度，提高解题效率，又能使我们思路清晰明了，有利于提高解题的正确率。

第三篇：分类讨论思想在解数学题中的应用

数学解题中的思考

------分类讨论思想的应用

【摘要】解数学问题往往可以有众多的思想方法，如转化化归，数形结合，分类讨论，数学建模等等，而在这些思想方法中分类讨论是一种重要的数学思想，学习数学的过程经常会遇到分类问题，如数的分类，图形的分类，代数式的分类等等，在研究数学问题中常常需要通过分类讨论解决问题，本文从渗透在教材中的分类思想出发，结合例题阐述了分类讨论的思想，分类的原则，分类讨论的应用，从而体现分类讨论思想在初中数学解题中的作用和地位。

【关键词】分类讨论的思想分类的原则分类讨论的应用

数学课程标准明确提出数学思想方法是数学基础知识的重要组成部分，数学教学中如何挖掘课本中所蕴含的数学思想方法，如何有效的进行数学思想方法教学，如何培养和发展学生的数学思想已经成为数学教育工作者普遍关注和潜心探索的一项重要课题。在新课程中，分类思想在教材中的体现是丰富多彩的，在整个初中阶段很多问题都用了分类的思想，将不同的事物分为不同的种类，寻找它们各自的共同点及内在的规律性。

一． 分类讨论的思想

所谓分类讨论就是分别归类再进行讨论的意思，数学中的分类过程就是对事物共性的抽象过程，解题时要使学生体会为什么要分类，如何分类，如何确定分类的标准，在分类的过程如何认识事物的属性，如何区分不同事物的不同属性，通过多次反复的思考和长时间的积累，使学生逐步感悟分类是一种重要的思想，它体现了化整为零，化零为整与归类整理的思想，它:揭示着数学事物之间的内在规律，学会分类有助于学生总结归纳所学的知识，使所学的知识条理化，提高思维的概括性，从而提高分析问题和解决问题的能力。

我们在运用分类讨论的思想解决问题时，首先要审清题意，认真分析可能产生的不同因素，进行讨论时要确定分类的标准，每一次分类只能按照一个标准来分，不能重复也不能遗漏，另外还要逐一认真解答。我们平时在解决问题时还经常碰到这样的情况，当问题解答到某一步骤后，需要按一定的标准来分为若干个子问题进行讨论，这样常常可以使问题化繁为简，更清楚地暴露事物的属性。

案例1：某服装厂生产一种西装和领带。西装每套定价200元，领带每条定价40元，厂方在开展促销活动期间向顾客提供两种优惠方案。方案一：买一套西装送一条领带，方案二：西装领带均按定价打9折（两种优惠方案不可同时采用）某店老板要去厂里购买20套西装和若干条领带（超过20条）请帮店老板选择一种较省钱的购买方案？

分析：因为已知条件中未明确购买领带的数量，因而较省钱的购买方案也是不确定的，而是由不同的领带购买数量决定的解：设店老板需购买领带x条

方案一购买需要付款200×20＋（x－20）×40＝40x＋3200（元）

方案二购买需要付款（200×20＋40x）×0.9＝36x＋3600（元）

假设 y＝(40x＋3200)－(36x＋3600)＝ 4x－400（元）

（1）当y＜0时,即20＜x＜100,方案一比方案二省钱

（2）当y＝0时,即x＝100,方案一和方案二同样省钱

（3）当y＞0时,即x＞100,方案二比方案一省钱

答：当购买领带超过20条而不到100条时，方案一省钱，当购买领带等于100条时，两种方案一样省钱，当购买领带超过100条时，方案二省钱

二． 分类的原则

分类讨论必须遵循一定的原则进行，在初中阶段我们经常用到以下几个原则

1.同一性原则

分类应该按照同一标准进行，即每次分类不能同时使用几个不同的分类依据，否则会出现重复的现象，例如有些同学认为三角形可以分为等腰三角形，等边三角形，锐角三角形，钝角三角形，直角三角形，这样的分类是错误的，不但以边来分类而且以角来分类，等腰三角形可以是锐角三角形，钝角三角形或直角三角形，这样的分类犯了标准不同的错误

2.互斥性原则

分类后的每一个子类应该具备互不相容的原则，即不能出现有一项既属于这一类又属于那一类。例如学校举行运动会，规定每个学生只能参加一项比赛，初一六班的6名同学报名参加100和200米的赛跑，其中有4人参加100米比赛，3人参加200米比赛，那么就有1人既参加100米又参加200米比赛，这道题目分类的互斥性原则

3.完整性原则

分类后的每一个子类合并起来应该等于总类，否则会出现遗漏的现象。例如某人把实数分为正实数和负实数，这样的分类是不完整的，因为零也是实数，但是零既不是正实数也不是负实数。

4.多层性原则

分类后的子类还可以继续再进一步分类，直到不能再分为止。例如实数可以分为有理数和无理数，有理数可以分为整数和分数，整数可以分为正整数，零和负整数

三． 分类讨论的应用

我们用分类讨论的思想解决问题的一般步骤是：

（1）先明确需讨论的事物及讨论事物的取值范围

（2）正确选择分类的标准，进行合理的分类

（3）逐类讨论解决

（4）归纳并作出结论

下面浅谈一下分类讨论在初中阶段的一些简单的应用：

1.分类讨论在应用题中的应用

案例2：学校建花坛余下24米漂亮的小围栏，经总务部门同意，初一五班的同学准备在自己教室后的空地上建一个一面靠墙，三面利用这些围栏的花圃，请你设计一下，使花圃的长比宽多3米，求出花圃的面积是多少？

分析：因为已知条件中并没有明确长和宽的位置,所以需要对长和宽的位置进行讨论 解：(1)假设平行于墙的一边为长x米，则宽为(x－3)米，依题意可列方程

x＋2(x－3)=24

解方程得x＝10

经检验，符合题意

长为10米，宽为7米，面积为70平方米

（2）假设垂直于墙的一边为长x米，则宽为(x－3)米，依题意可列方程

2x＋(x－3)=24

解方程得x＝9

经检验，符合题意

长为9米，宽为6米，面积为54平方米

答：当平行于墙的一边为花圃的长时花圃的面积是70平方米，当垂直于墙的一边为花圃的长时花圃的面积是54平方米。

学生在解此类题的错误往往是因为不认真审题，没有弄清已知条件中的各种可能情况

而急于解题所造成，只有审清了题意，全面系统地考虑问题，才可以确定出各种可能情况，解答此类问题就不会造成漏解

2.分类讨论在绝对值方程中的应用

关于绝对值的问题，往往要将绝对值符号内的代数式看成一个整体，将这个整体分为正数，负数，零三种，再分别进行讨论。

案例3：求方程 ︳x﹢2︳﹢︳3﹣x︳＝ 5的解

分析：本题应该对于代数式 ︳x﹢2︳应分为x＝﹣2,x﹥﹣2,x﹤﹣2，对于︳3﹣x︳应分为x＝3,x﹥3,x﹤3，把上述范围画在数轴上可见对这一问题应划分以下三种情况分别讨论

解：①当x≦﹣2时，原方程变为﹣﹙x﹣2﹚﹢3﹣x＝5，解得x＝0与x≦﹣2产生矛盾，故在x﹤﹣2时原方程无解

②当﹣2﹤x≦3时，原方程为x﹢2﹢3﹣x＝5恒成立，故满足2﹤x≦3的一切实数x都是此方程的解

③当x﹥3时，原方程为x﹢2﹣﹙3﹣x﹚＝5，解得x＝3这与x﹥3产生了矛盾，故在x﹥3时原方程无解

综上所述，原方程的解是满足2﹤x≦3的一切实数。

3．分类讨论在解含有参数问题中的应用

所有含有参数的问题都要进行分类讨论，而且要对参数的不同取值范围分类讨论，不能有重复和遗漏。

案例4：若关于x的分式方程xa31无解，求a的值 x1x

解：方程两边同乘以x﹙x﹣1﹚，得﹙x﹣a﹚x﹣3﹙x﹣1﹚＝x﹙x﹣1﹚

整理得﹙a﹢2﹚x＝3

①当a﹢2＝0即 a＝﹣2时，方程无解，则原方程也无解

②当x＝1时方程无解，此时a﹢2＝3，得a＝1

③当x＝0时方程无解，此时﹙a﹢2﹚×0＝3无解

综上所述，a的值为1或﹣2

4．分类讨论在解几何题中的应用

分类讨论思想在几何题中有广泛的应用，在有关点与线的位置关系，直线与直线的位置关系，直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系，等腰三角形等的题目中都需要进行分类讨论。案例5：等腰三角形中，有一个角是另一个角的4倍，求等腰三角形的一个底角的度数？ 分析：本题应该分为底角是顶角的4倍和顶角是底角的4倍两种情况进行讨论

解：（1）当一个底角的度数为x度，顶角是4x度时

依题意列方程x﹢x﹢4x＝180解得x＝30，底角等于30度

（2）当一个底角的度数为4x度，顶角是x度时

依题意列方程4x﹢4x﹢x＝180解得x＝20，底角等于80度

综上所述，等腰三角形的底角为30度或者80度。

5．分类讨论在解概率题中的应用

在求简单事件的概率时，我们通常会用“列表”或者是“画树状图”的方法来列举所有机会均等的结果，然后找出该事件所包含的结果，从而求出该事件发生的概率。事实上“列表”或者是“画树状图”的方法就是分类讨论的思想方法最直接的体现。

案例6：同时抛掷3枚普通的硬币一次，问得到“两正一反”的概率是多少

分析：每一个硬币都有正面和反面，我们可以用画树状图的方法分析先抛第一枚，再抛第二

枚，最后抛第三枚，可知共有8种机会均等的结果它们是（正正正）（正正反）（正反正）（反正正）（反反正）（反正反）（正反反）（反反反），其中两正一反的结果有3种，可以求得概率是八分之三。

6．分类讨论在解函数题中的应用

分类讨论的思想方法贯穿于初中阶段学过的所有的函数中，一次函数y＝kx﹢b﹙k≠0﹚要对k，b取值范围进行分类讨论，反比例y=

2k﹙k≠0﹚函数要对k的取值范围进行分类讨论，x二次函数y＝ax﹢bx﹢c﹙a≠0﹚要对a的取值范围进行分类讨论

案例7：求二次函数y＝ax﹢﹙3﹣a﹚x﹢1﹙a≠0﹚与x轴只有一个交点，求a的值与交点坐标

解：①当a＝0时，此函数为一次函数y＝3x﹢1与x轴只有一个交点，交点坐标是（－21，0）3

2②当a≠0时，此函数是二次函数，因二次函数与x轴只能有一个交点则判别式为零﹙3﹣a）﹣4a ＝ 0

解得a＝1或a＝9

当a＝1时,与x轴的交点坐标是（﹣1，0）

当a＝9时,与x轴的交点坐标是（【结语】分类讨论思想的应用非常广泛，涉及到初中的全部知识点，这里不能一一列举出来，分类讨论思想的关键是分清引起分类的原因，明确分类讨论的事物和标准，按可能出现的所有情况做出准确分类，再分门别类加以求解，最后将各类结论综合归纳，得出正确答案。数学中的分类思想是一种比较重要的数学思想，通过加强数学分类思想的训练，有利于提高学生对学习数学兴趣，培养学生思维的条理性，缜密性，科学性，这种优良的思维品质对学生的未来必将产生深刻和久远的影响。

参考文献：

（1）2011年版义务教育数学课程标准

（2）任百花：初中数学思想方法教学研究

（3）江国安：初中数学综合题的教学探索

（4）赵峰：浅谈分类讨论思想在解题中的应用

（5）王奎文：增强中学生的数学应用意识 1，0）3

第四篇：函数和不等式思想在极值点偏移问题中的应用

函数和不等式思想在极值点偏移问题中的应用

一、教材分析

1．教材的内容

选修

1-1

第三章，本节属于专题复习课.2.教材所处的地位和作用

微积分的创立是数学发展史中的里程碑，它的发展应用开创了向近代数学过渡的新时期，它为研究变量与函数提供了重要的方法和手段。导数的概念是微积分的核心概念之一，它有及其丰富的实际背景和广泛的应用。在选修模块中，学生将通过大量实例，经历由平均变化率到瞬时变化率刻画现实问题的过程，理解导数的含义，体会导数思想及其内涵；应用导数探索函数的单调，极值等性质在实际中的应用，感受导数在解决数学问题和实际问题中的作用，体会微积分的产生对人类文化发展的价值。

3.学情分析

①通过《数学必修》中函数，几何与代数，数学建模等内容的学习以及在《数学选修

1-1》中第二，三章内容的学习，学生已经具备了函数的基本知识和运算能力，这为本节我们讨论极值点偏移问题提供了很好的前提与基础。

②学生具体研究学习了数学必修中函数单调性的寻找，证明和应用及不等式的相关结论，具备了一定的探究能力。基于此，学生会产生思考，如何运用函数和不等式来解决高考试题中极值点偏移的问题，能否给出一般性的解决方法和步骤，如果能够得到这类问题较为简单的解题通法，这个常常出现在高考数学压轴题

题位置上的难点将不会再对我们造成太难的阻碍，甚至会成为部分同学新的得分点。

③教学对象是高三年级理科生，由于学生年龄和能力及题目本身思维要求高，过程繁，计算难度大等原因，学生的思维尽管活跃，敏捷，但却缺乏冷静深刻的数学思维和解难题的能力，因此所做的探索过于片面，结论不够严谨.4.教学的重点和难点

重点：函数构造法，对数平均不等式和极值点偏移的判定定理

难点：函数构造法的结题步骤，构造函数的选取，对数平均不等式的放缩和极值点偏移的判定定理的使用

二、教学目标分析

1．知识与技能

1.能运用函数和不等式解决导数应用中极值点偏移的问题

2.掌握函数和不等式解决这类题的一般步骤

3.极值点偏移的判定定理的使用

2、过程与方法

1.通过利用几何画板展现极值点偏移的过程，让学生直观认识感受极值点偏移的本

质原因，激发学生探究解决问题的激情，和培养学生认真观察事物变化过程，总结变化规律的习惯。同时在此处先不给出极值点偏移的判定定理，而是先用函数构造法和对数平均不等式这两种之前已经介绍过的方法来求解例一。重在感受极值偏移的现象，和复习归纳已经学习的知识方法。

2.结合例一的解题过程，重点回顾讨论解题的方法和步骤，展示这两种方法的易错点和难点的突破口，树立学生解难题的信心规范学生的解题过程。然后把时间向前推移六年到例

2（2010

天津）让学生自主模仿例一的解法尝试来解例二，通过例一的复习学生较容易使用其中的一种或两种方法得到题目的答案让学生体会到学以致用的成就感，同时也通过两题的比对了解到高考题目的变迁历史体会该知识点在高考中的地位清楚今后的复习和学习方向。

3.展示学生例二的解题过程并加以点评后提出更高的要求——有没有更好的方法，结合一开始的三张图片让学生再次重新审视极值点偏移的原因回归到数学本质上来，不用很精准只需要说出自己的直观感受即可，通过这一过程让学生锻炼自己的数学直观想象和数学运算分析等核心素养，同时也为后面介绍极值点偏移的判定定理做好铺垫，比较分析函数构造法和对数平均不等式的特点和优缺点，认识到具体问题具体分析，方法的选择要灵活有针对性，不能盲目模仿和生搬硬套，通过一题多解，和同法异题的求解加深解题方法的理解和应用能力的提高，由具体问题的多角度的思维得出不同方法的求解过程培养学生的探索精神和数学归纳的能力，数学抽象能力。

3、情感态度与价值观

通过经历对例一和例二高考真题的探索和解决，激发学生对数学的好奇心和求知欲，鼓励学生大胆尝试、勇于探索、敢于创新，磨练思维品质，从中获得成功的体验，感受数学思维的奇异美、结构的对称美、形式的简洁美、数学的严谨美．引导学生树立科学的世界观，提高学生的数学素养和综合素质。

三、教学方法与手段分析

1.教学方法

结合本节课的教学内容和学生的认知水平，在教法上，我采用“探究发现”模式的教学方法，整个教学过程以学生为主体，学生自主学习为中心的思想，同时运用多媒体课件教学等技术手段，同一题目不同方法的比对，相同方法不同题目的求解让学生由浅入深，循序渐进的参与这堂课的每个过程，自然而然的完成本节课的教学目标。

2.学法

观察分析→自主探究→

合作交流

→初步运用

→归纳小结

3.教学手段

利用计算机和实物投影等辅助教学，充分调动学生参与课堂教学的主动性与积极性.四、教学过程分析

教学是一个教师的“导”，学生的“学”以及教学过程中的“悟”构成的和谐整体.教师的“导”也就是教师启发、诱导、激励、评价等为学生的学习搭建支架，把学习的任务转移给学生，学生就是接受任务，探究问题、完成任务.如果在教学过程中把“教与学”完美的结合也就是以“问题”为核心，通过对知识的发生、发展和运用过程的演绎、解释和探究来组织和推动教学.Ⅰ.创设情境，提出问题

图

x

=

m

=

x1

+

x2

极值点无偏移

图

x

m

=

x1

+

x2

极值点左偏

0

图

x0

2

0

m

=

x1

+

x2

目的：①本例通过给出三张典型的凹函数图像，让学生从图像特征上去直观感受函数图像极值点发生偏移的原因，有助于调动学生学习积极性，同时上来通过图像让学生直观感受而非繁琐的计算来思考解决问题，有助于开拓学生视野回归数学问题本质，降低了学生对于该问题的为难情绪。

②通过学生观察后教师自然而然的给出极值点偏移的定义，并顺带给出极值点偏移的数学解释逐步让学生由感性认知上升到理论认知，当然老师在此可以对学生提出进一步要求，可不可以给出一般性的判定定理？这里我们只先提出问题，做下伏笔，但并不马上去求解，避免由于问题过难而挫伤学生的积极性，同时也为本节课最后的问题做好了铺垫。

Ⅱ.探究问题

例一（2016

全国卷一）已知函数

f

(x)=

(x

2)ex

+

a(x

-1)2

有两个零点。

（I）求

a的取值范围；（略）

（II）设

x1,x2

是

f

(x)的两个零点，证明：

x1

+

x2

目的：①发挥学生的主观能动性，先自己探求结果，检查学生前一阶段的复习成果和对于问题一的思考和联系；

②让学生对于零点偏移求解过程更加熟练，思路更加清晰；并为下一步对数平均不等式和极值点偏移的判定定理做好铺垫；

解法一：对称构造函数法由（1）知a

³

0

①

x1

x2

②构造函数

F

(x)

=

f

(x)

f

(2

x)，(x

1)

Þ

F

＇

(x)

=

f

＇

(x)

f

＇

(2

x)

=

(x

-1)(ex

+

2a)

+

(1-

x)(e2-x

+

2a)

=

(x

-1)(ex

e2-x)

x

1时

x

0

Þ

x

x

Þ

e2-

x

ex

0

＼

F

＇

(x)

0

Þ

F

(x)在(-

¥，1)上

­

③代入

x1

得

F

(x1)<

F

(1)=

0

Þ

f

(x2)

=

f

(x1)

f

(2

x1)

又Q

y

=

f

(x)在(1，+

¥)上

­

x2

Î

(1,+

¥),2

x1

Î

(1,+

¥)

＼

x2

x1

即

x1

+

x2

提问

1：学生解法一由哪些主要步骤，哪些步骤是你觉得难得地方，我们是如何解决这些困难的？

结合学生的回答对称化构造函数处理极值点偏移问题的基本步骤归纳如下：

＇

①求导获得

f

(x)的单调性，数形结合判断零点

x1,x2

和极值点

x0的范围

②构造辅助函数

F

(x)

=

性

f

(x)

f

(2x0

x)，判断函数

F

(x)的符号，确定函数

F

(x)的单调

③结合F

(x0)

=

0

限定

x的范围判定

F

(x)的符号得到不等式

④将

x1

(或x2)

代入上述不等式，利用

f

(x1)

=

f

(x2)

替换

f

(x1)

⑤结合①求得

f

(x)的单调性转化为

x1,x2的不等式，证明结束。提问

2；可不可以把流程继续简化？

其中主要的三步流程简化为“求导→构造→代入”。构造是难点，求导是关键，常用构

造要记清。

提问

3：还有其他解法吗？提醒学生从不等式构造上思考

学生有困难，则先回顾基本不等式内容，让学生从熟悉的，简单的问题入手

调和平均数£

几何平均数£

算术平均数£

£

平方平均数

A(a,b)

=

a

+

b,L(a,b)

=

a

b

ln

a

ln

b

,G(a,b)

=

ab,(a,b

0)

Þ

A

£

L

£

G

解法二：对数平均不等式（ALG）

f

(x)

=

f

(x)

=

0

Û

(x

2)ex1

+

a(x

-1)2

=

(x

2)ex2

+

a(x

-1)2

=

0

ìïa(x

-1)2

=

(2

x)ex1

Þ

í

ïîa(x

-1)2

=

(2

x)ex2，两式相减得a(x

+

x

-

2)(x

-

x)

=

(2

x)ex1

(2

x)ex2

ìx1

+

x2

³

0

（反证）假设

x

+

x

³

Þ

ïx

x

0

Þ

(2

x)ex

(2

x)ex

£

0

í

î

ïa

³

0

Þ

(2

x)ex1

£

(2

x)ex2

（左右两边同时取对数）

Þ

ln(2

x1)

+

x1

£

ln(2

x2)

+

x2

Þ

ln(2

x1)

ln(2

x2)

£

x2

x1

Þ

（x2

x1

³

Þ

(2

x1)

(2

x2)

³

（*）

ln

x1)-

ln(2

x2)

ln(2

x1)-

ln(2

x2)

由对数平均不等式（ALG）得

(2

x1)

(2

x2)

<

(2

x1)

+

(2

x2)

=

x1

+

x2

£

ln(2

x1)-

ln(2

x2)

显然与（*）相矛盾，假设不成立，原命题成立。

解题流程：实际问题→（数学抽象）数学模型→数学解→（解释与检验）实际问题引导学生体会数学思维的奇异美、结构的对称美、形式的简洁美、数学的严谨美．

提问

4：这类问题最早出现在那一年高考题中，当时的高中生如何解决这类问题，我们是否能在当年的高考题中取得满分？激发学生的动力积极性，检查学生的掌握情况。给出本节的例二

例二（2010

天津卷）已知函数

f

(x)=

xe-x

(x

Î

R)

（I）求函数

f

(x)的单调区间和极值；

（II）已知函数

y

=

g

(x)的图像与函数

y

=

时，f

(x)

g(x);

f

(x)的图像关于直线

x

=

对称，证明：当

x

（III）如果

x1

¹

x2，且

f

(x1)

=

f

(x2)，证明

x1

+

x2

2。

解法一：对称构造函数法（1）（2）略

①由（1）知

x1

x2

②构造函数

F

(x)

=

f

(x)

f

(2

x)，(x

1)

Þ

F

＇

(x)

=

f

＇

(x)

f

＇

(2

x)

=

e-x

(1-

x)

+

e-(2-x)

[1-

(2

x)]

=

e-x

(1-

x)

+

e-(2-x)

(x

-1)

=

(x

-1)(e-2+x

e-x)

其中

x

0

ü

Þ

F

＇

(x)

0

þ

x

Þ

ex-2

e-1

e-

x

ý

Þ

F

(x)在（-

¥,1）上

­

③代入

x1

得

F

(x1)<

F

(1)=

0

Þ

f

(x2)

=

f

(x1)

f

(2

x1)

又Q

y

=

f

(x)在(1，+

¥)上

¯

x2

Î

(1,+

¥),2

x1

Î

(1,+

¥)

＼

x2

x1

即

x1

+

x2

解法二：对数平均不等式（ALG）

f

(x)

=

f

(x)

Þ

x

e-x1

=

x

e-x2

（左右两边同时取对数）

Þ

ln

x1

x1

=

ln

x2

x2

Þ

x1

x2

=

ln

x1

ln

x2

Þ

x1

x2

ln

x1

ln

x2

=

（*）

由对数平均不等式（ALG）得

Þ

x1

+

x2

x1

x2

ln

x1

ln

x2

=

x1

+

x2

提问

5：显然这个问题对于现在的我们不是什么难题了，但作为新时代的我们能不能用给简洁的方法给出这两题的一般性解法，通法的探讨显然是我们要思考的问题。那么学生对于这个新的挑战自然就会萌生极大地兴趣，这时再回顾我们一开始观察三张直观图时提出的问题，解法三的出现也就是必需的了。即本节课的最后一个知识点——极值点偏移的判定定理。

III.按图索骥，回归本质

极值点偏移判定定理：在给定区间

D

上函数

y

=

f

(x)

可导

f

(x1)

=

f

(x2),(x1

x2)，若

x0

为

(x,x)

上的唯一极小值点，f

＇＇＇

(x)

0，则极小值点右偏Û

x1

+

x2

x；

0

f

＇＇＇

(x)

0，则极小值点左偏Û

x1

+

x2

x。

0

对于该定理作为高中生我们只需要了解，不需要完整严格的证明，（后附有泰勒展开的完整证明过程，可以开拓一部分自学高等数学的学生的视野）

那么我们怎么来理解该判定定理呢？我们又如何运用它来解决高中相关的数学问题呢？对此我们分两部分来讨论。

第一部分：我们主要结合导数的几何意义与

n

阶导数的运算来了解该定理的由来。首先

通过让学生再次观察一开始我们已展示的图一，二，三不，学生不难发现

y

=

f

(x)的图

像偏移的原因，即

y

=

f

(x)的图像在u(x0,¶)

内增减速度的不同而发生的。接着再进一步

引导学生思考发生的不同我们如何去用数学的语言来描述刻画它，提醒学生从导数的几

何意义来思考，以图

为例和学生一起做探讨：

y

=

f

(x)的图像的斜率一直在增加，但

增加的速度在变慢，（数学直观想象），如何用数学语言来表述这一变化？（数学抽象）

→

f

＇

(x)

0,f

＇

(x)

增加Þ

f

＇＇

(x)

0（速度变慢）Þ

f

＇＇

(x)的绝对值变小

Þ

y

=

f

＇＇＇

(x)

0。

完成图二的探讨后可让学生模仿独立的完成图

3的探索：

f

＇

(x)

0,f

＇

(x)

增加Þ

f

＇＇

(x)

0

（速度变快）

Þ

f

＇＇

(x)的绝对值变大

Þ

y

=

f

＇＇＇

(x)

0。

以上结论可简单记忆口诀（“小大小”，“小小大”），同时若

x0

是极大值点的话，结论相反，口诀为（“大大大”，“大小小”）

IV.给出定理，尝试新解

第二部分：运用新的判定定理重新去接例一和例二例一新解

极值点偏移判定定理

解法三：

f

(x)=

(x

2)ex

+

a(x

-1)2

Þ

f

＇

(x)

=

(x

-1)(ex

+

2a)

Þ

f

＇＇

(x)

=

(x

-1)ex

+

ex

+

2a

Þ

f

＇＇＇

(x)

=

ex

(x

+1)

分两段区间讨论

①若

x

Î

(-¥,1]，f

(2)

=

a

0

结合图像可知

x1

£

x2

a，则

x1

+

x2

②若

x

Î

(-1,+

¥)，f

＇＇＇

(x)

0，x

=

是极小值，符合“小大小”

Þ

x

+

x2

综上的x1

+

x2

例二新解

解法三：

f

(x)

=

xe-x

Þ



f

＇

(x)

=

e-x

xe-x

Þ



f

＇＇

(x)

=

e-x

(x

2)

Þ

f

＇＇＇

(x)

=

e-x

(3

x)

分两段区间讨论

①若

x

Î[3,+

¥)，可知

x1

+

x2

max{x1,x2}

³

2，则

x1

+

x2

②若

x

Î

(-

¥,3)，f

＇＇＇

(x)

0，x

=

是极大值，符合“大大大”

Þ

x



+

x2

综上知

x1

+

x2

至此我们回头再看例一和例二的三个解法，不知不觉中对于一开始极值点偏移的问题有

了更新的认知。

VI.课堂练习

巩固双基

练习

1（2011

辽宁卷）已知函数

f

(x)

=

ln

x

ax2

+

(2

a)x。

（I）讨论函数

f

(x)的单调性；

（II）设a

0，证明：当0

x

时，f

（1

+

x)

f

（1

x);

a

a

a

（III）若函数

y

=

f

(x0)

0。

f

(x)的图像与

x

轴交于

A,B

两点，线段

AB

中点的横坐标为

x0，证明

练习

2（2014

天津卷）设

f

(x)

=

x

aex

(a

Î

R),x

Î

R

已知函数

y

=

且

x1

x2

（1）求

a的取值范围

（2）证明

x2

随着

a的减小而增大

x1

（3）证明

x1

+

x2

随着

a的减小而增大

f

(x)

有两个零点

x1,x2，练习

已知函数

f

(x)

=

a

ln

x,a

Î

R.若函数

f

(x)

有两个零点

x,x。

x

求证：

x1

+

x2

练习

已知函数

f

(x)

=

ex

ax

有两个不同的零点

x,x，其极值点为

x

0

（I）求

a的取值范围

（II）求证：

x1

+

x2

2x0

（III）求证：

x1

+

x2

（IV）求证：

x1

x2

目的：①通过学生的主体参与，使学生深切体会到本节课的主要内容和思想方法，从而实现对知识的再次深化.②练习分层，有利于不同层次的学生培养。

VII.课堂小结

学生点评，老师引导:

①由图像直观到方法求解,由繁琐到简洁，由为结题而解题到回归数学本质，一再的追问和尝试思考有利于学生的知识迁移和能力提高；

②用三种方法解题的运用：函数构造法，对数平均不等式和极值点偏移的判定定理。对三种解法的对比的再认识．特别是方法的选择上要能尽可能适合题目适合自己；

③在理解方法的基础上,及时进行正反两方面的“短、平、快”填空和判断是非练习.通过总结、辨析和反思，强化解法的灵活性，促进学生主动建构，有助于学生形成知识模块，优化知识体系.体现知识目标。

五、教学评价

结果因过程而精彩,现象因方法而生动.无论是情境创设,还是探究设计,都必须以学生为主体、教师为主导、训练为主线,设法从庞杂的知识中引导学生去寻找关系,挖掘书本背后的数学思想,建构基于学生发展的知识体系,教学生学会思考,让教学真正成为发展学生能力的课堂活动。因此，本课例在具体问题的数学模型的建立和数学工具的选择上舍得花大量时间，便是为了培养学生学会探究与创新，它就像一缕温暖的阳光，不一定能唤醒万物，却能催开人世间最绚丽的花朵。

通过三种解题方法的研究，使学生从不同的思维角度掌握了极值点偏移的解决方法；从图像直观到理论总结和方法尝试，数学的解题方法拉近了知识之间的联系；由特殊到一般问题的推导不再让学生为解题而解题，展现了数学思维的魅力．学生从中深刻地领会到解题过程中所蕴含的数学思想，培养了学生思维的深刻性、敏锐性、广阔性、批判性．同时通过精讲一题，发散一串的变式教学，使学生既巩固了知识，又形成了技能．在此基础上，通过民主和谐的课堂氛围，培养了学生自主学习、合作交流的学习习惯，也培养了学生勇于探索、不断创新的思维品质．

第五篇：高等数学中极限思想在中学数学中的渗透

本科生毕业论文

题目：高等数学中极限思想在中学数学中的渗透

学生姓名：段锡朋

学 号：20121050225 专 业：数理基础科学 指导教师：葛瑜

2016年4月27日

目录

摘要...........................................................................................................................................3 绪论.......................................................................................................................................5 2.2 极限在抛物线上的应用.............................................................................................6 第三章 极限在数列中的应用...............................................................................................8 3.1 极限在等比数列中的应用.........................................................................................8 3.2 洛必达法则在等比数列中的应用.............................................................................9 第四章 极限在不等式中的应用.........................................................................................10 4.1 极限比较不等式的大小...........................................................................................11 4.2证明不等式..................................................................................................................12 第五章 极限在立体几何中的应用.....................................................................................13 5.1极限确定角度的大小...................................................................................................13 结论.........................................................................................................................................16 致谢.........................................................................................................................................17 参考文献.................................................................................................................................18

摘要

大学数学主要以极限为基础，中学数学主要锻炼人的形象思维，随着中学数学课程的改革，在中学数学中渗透入大学数学的基础内容已成为常态，因此，了解和应用一些简单的大学数学中极限方法对于中学生来说是非常有必要的。极限思想是大学数学中比较重要的一种思想，它从数量上描述了变量在运动过程中的变化趋势。极限思想不仅在高等数学中有广泛的应用，而且在中等数学中的应用也十分广泛，特别是在几何，函数，数列求解，三角函数，不等式等方面也有着密切的联系。因此，极限的方法在解决中学数学的部分问题时有着不可忽视的作用。对于有些较难的数学问题，通过对问题的极端状态的讨论和研究，运用极限思想求解，可以避开一些复杂的运算，优化了解题的过程，降低了问题的难度，达到事半功倍的效果。

关键字：大学数学，中等数学，极限，几何，数列，函数，不等式。

Abstract

College mathematics is based on the limit while the main purpose of mathematics teaching in middle school is to cultivate students’ ability of imaginal thinking.With the reform of math course in middle school, it has become normal state to infiltrate basic components of college mathematics into math teaching in middle school.Thus, it is necessary for middle school students to learn the limit method.The limit cognition which describes the variation tendency of variables in movement, is an important thinking in college math study.It has been widely applied not only in advanced mathematics but only in mathematical teaching in middle school, especially in geometry, function, sequence calculation, trigonometric function and inequation.That is to say, limit method is assignable in solving some problems of middle school mathematics.It is effective.Through the discussion and study of the extreme condition, the application of the limit cognition in solving intricate mathematical problems can simplify and optimize the concrete operations, ease the difficulty level and get twofold results with half the effort.key: College mathematics，limit，geometry, function, sequence calculation, trigonometric function and inequation

绪论

极限思想是近代数学发展中的一种比较重要的思想。所谓的极限思想就是指用极限的概念分析问题和解决问题的一种重要的数学思想。极限思想的核心就是极限，极限简单点来说就是永远接近的意思。极限思想解决问题的一般步骤分为：确定问题的未知量，再构造一个与它有关的变量，确认这变量通过无限过程的结果就是所求的未知量；最后用极限计算来得到这结果。随着中学课程的改革，中高考中逐渐加强对极限思想的考查，通过一些创新题，让学生感受其中蕴含的极限思想。所以这就对学生的要求越来越高，需要对大学数学中的极限初步掌握。在解决数学问题的过程中，有些题目虽然和极限无关，但若运用变化的观点，灵活地用极限思想来思考，往往可以降低解题难度。

本课题就从大学数学中极限思想在解决中学数学中的几类数学问题的应用进行了探究，用无限逼近的方式从有限中认识无限，从近似中认识精确，从量变中认识质变。

研究意义

极限思想作为一种重要思想，在大学数学中乃至整个数学发展史中都占有重要的地位。极限思想在大学数学和中学数学中都有着广泛的应用，这是由它本身固有的思维功能所决定的。极限思想揭示了变量与常量、无限与有限的对立统一关系。用极限思想解决问题，往往能突破思维上的禁锢，化繁为简。

本课题解决的主要问题

本文主要对大学数中的学极限思想在中学数学中函数、数列、立体几何、不等式中的应用进行分析，然后具体比较大学数学中的极限思想的解法和中学数学中的不同，进而体现出极限思想的优点。

极限的定义

极限是高等数学中比较重要的一个模块，内容涉及到了函数，数列，导数，定积分等多个领域，学习和掌握难度较大。而由于极限在中学中的渗透，且应用相对于高等数学来说，难度较小。所以，对于中学生来说，掌握一些简单的极限以及极限的应用是十分必要的。极限在中学中的渗透主要体现于函数极限和数列极限。下面就介绍函数极限的定义和数列极限的定义及其极限之间的简单运算。

函数极限的定义：设y=f(x)是一个函数，A是一个常数，x0 是一个点，f(x)在x0的一个去心邻域内有定义。如果当x越来越接近x0时，函数值越来越接近常数A，则称A为趋于x0的函数的极限。记为

或

数列极限的定义：设{}是一个数列，如果存在实数a，对于任意正数

|<ε(不论ε多么小)，总存在正整数N，使得当n>N时，均有不等式│ε成立，那么称常数a是数列{或

}的极限，记作

极限的四则运算

数列极限的四则运算法则：若{{}，{

}和{

}为收敛数列，则{

}，}也都是收敛数列，且有

第二章 极限思想在函数中的应用

2.2 极限在抛物线上的应用

例1.抛物线

与过焦点F的直线m交于两点P、Q，F分线段PQ为两个

等于（）线段，其长分别为p,q则A,4 B, C,8 D,2

图一

解：（1）中学数学解法：由题意可得抛物线的焦点F（0，）由直线的参数方程可得过点F的直线m的参数方程为

联立方程（1）和（2）并消去x和y得

韦达定理：一个一元二次方程

+根据韦达定理得方程的两个根

,的关系为

=

（3）的两个根为

（1）(2)

=

=

（2）极限的解法：因为F是抛物线的焦点，所以可以得出F的坐标为F（0,）

因为直线m是经过点F任意运动的。

所以利用极限的思想，我们可以让P点运动到顶点O点，此时点Q就是运动到无穷远点 所以可以得到q∝∞，即∝0 于是.即答案为C

解析：本题是探究抛物线的不动点问题，中学数学的解法是探求p，q之间的关系，中间还应用到了参数方程和韦达定理，其过程比较繁琐，计算比较复杂，不适合于解答选择题。而利用大学数学中极限的解法，只要能认识到动点的极限状态，借助于极限的思想就会使问题变得简单：将线段PQ绕点F运动到无穷远处，因为PF=OF=p=，QF=q→∞，所以很快就可以得到种解法充分的体现了思维的灵活性和敏捷性。

→∞。极限的这第三章 极限在数列中的应用

在大学数学中我们就学过了数列极限的四则运算法则，在中学阶段主要学习最基础的等差数列和等比数列。而在中学的解题过程中同意可以运用极限的思想来解决部分问题。

下面看一下极限在数列中的应用

3.1 极限在等比数列中的应用

例.已知数列{P 解：设数列{

}的公比为q，则 }，其中=,且数列{

}为等比数列，求常数

q===

对上式两边求极限 当p=3时，当p≠3时，q=q=

（1）

=

此时 即

整理得

即 4-2p=6-3p 所以p=2或p=3 解析：此题采用中学数学中的解法：根据等比数列的定义用后一项和前一项之比来表示公比q，经过运算后发现根据中学数学的常规计算很难得到公比q，而（1）式正好是大学数学中极限的简单运算，采用极限的运算很快得出公比q的值。这道题是中学数学解法与极限相辅相成的体现。并不能用两种方法单独解答，但是也很好的体现了极限思想在中学数学中的渗透。

3.2 洛必达法则在等比数列中的应用

例.解：中学数学解法：

已知一个公比为x的等比数列的前n项和为：

=

所以

所以

=

=

用极限的思想的解法：

洛必达法则是用于无穷比无穷或0/0型，分子分母同时求导，可以多次求导，在求导过程中不断寻找等价的无穷小，或削去无穷因子。此题符合洛必达法则。

解析：观察题目的分子分母可知分子分母符合等比数列的前项和公式，再通过极限的计算得出结果。而采用大学数学的极限的方法，我们可以看出整个式子符合运用洛必达法则的条件，所以通过洛必达法则对分子和分母同时求导就可以得出结果。此题是一道填空题，我们通过解答可以看出极限思想的优越性。中学数学解法过程比较繁琐和耗时，而极限的解法简单省时，甚至可以达到秒杀的效果，应当掌握

第四章 极限在不等式中的应用

不等式是中学数学中一个重要的模块，在大学数学中不等式的应用十分广泛，例如极限的证明，夹逼法则的应用等等。而极限同样也在不等式中有着十分广泛的应用。4.1 极限比较不等式的大小

例：已知的大小。，，比较，解：中学数学的解法：采用赋值法，已知假设p=3，q=6 则，=3

所以可得 极限的解法：当

时，，由

得

解析:中学数学的解法在比较不等式时最先想到的是赋值法，而本题采用赋值法的难点是p，q赋值的大小。我们看到根号里的分母是3，后两个式子又分别开3次幂和6次幂，这就时比较大小变得不容易，所以我们必须使p,q的值假设为3的倍数，为了减小计算量，设p=3，q=6，通过计算就可以比较出不等式的大小。采用极限的解法，假设其中的一个值，把不等式转化成与q有关的值，求出不等式的极限值就可以直接比较大小。赋值法在一般情况下简单实用，但是比较考察赋值的把握能力。本题采用极限法只是应用了极限的简单思想和进行了简单的计算，值得掌握。

4.2证明不等式

设n为自然数，求证：解：用数学归纳法

当 n=1时，不等式显然成立。设n=k（那么，当n=k+1时，)时，不等式成立，即

（1）

由于

所以，数学归纳法不可行

之所以用数学归纳法思路行不通，其原因在于是一个常数，从k 到(k+1)右边常量不变，而左边在增大，这样，无法使用归纳假设。当联想可以将题目转化为:

=

时，（2），不等式（2）成立，证明：①当n=1时，②设n=k(k1)时，不等式（2）成立，即

那么，当n=k+1时，+

<即当n=k+1时，不等式（2）成立 即原式

解析：中学数学的解法：采用数学归纳法，我们可以看出n=1时，不等式显然成立，假设n=k时不等式也成立，如果再证明出n=k+1时，不等式成立，则假设的n=k就成立，那么就可以用数学归纳法证明出不等式成立，但此题在证明n=k+1时，使不等式的左边的值增大了，所以就达不到证明不等式左边小于右边的效果。极限的方法使不等式的右边的常数值转化成了一个等价的变量，使在证明n=k+1时，不等式左右两边的值同时增大，通过比较不等式的大小就证明出了n=k+1时不等式成立，继而得出假设的n=k时的不等式也同样成立，所以不等式就成立了。此题如果一味的采用数学归纳法是证明不出不等式成立的，而引入极限的思想，用极限值来构造新的不等式就可以证明出了不等式成立，本题中引入的极限可以说是达到了一个四两拨千斤的效果，作用非常大，这也正是极限的思想在中学数学中的渗透的一个体现。

第五章 极限在立体几何中的应用

5.1极限确定角度的大小

立体几何作为中学数学中一个重要的模块，往往因为抽象而让学生感觉学习难度较大。极限思想也成为了解决这类问题重要的一种方法。

例。正三棱锥相邻两个侧面所成的角为α，则α的取值范围是（Ｄ）A．（0，π）B.(0,π/3)C.(π/3,π/2)D.(π/3,π)

解：利用中学数学的解法： 首先作SO⊥底面ABC于O点。

因为S—ABC为正三棱锥，所以△ABC为正三角形，O点为△ABC的中心。作AD⊥SC于D点，连接BD，则BD⊥SC 所以∟ADB为相邻的两个侧面A—SC-B的二面角 ∟ADB=α

设AB=AC=BC=m,∟SCB=β 所以AD=BD=m由余弦定理可得

=1-

所以α的余弦值与β的值有关。再由余弦定理得

cos∟BOC=

因为 所以 因为

cos∟BSC=

BO<ＢＳ

cos∟BOC< cos∟BSC

∟BＯC＝并且余弦函数在［0，π］上是减函数。

所以 ∟BSC<

在△ＳＣＢ中，由三角形的内角和定理 所以

2β＋∟BSC＝π

β>

所以

即 ＝1-

即<α<π

所以答案为Ｄ

利用极限的思想求解

如图所示，O为正三角形ABC的中心，SO为正三棱锥S-ABC的高，把O看作定点,S看作动点，当0→OS时，两相邻侧面趋向于一个平面，此时相邻两侧面的夹角α→π；当OS→∞时，正三棱锥无限趋向正三棱柱，两相邻侧面的夹角愈来愈小，趋向于底面三角形ABC的一个内角，即α→π/3 所以α∈（π/3,π），答案即为D 解析：中学数学的解法：首先构造出相邻两个侧面的二面角的平面角∟ADB，然后通过余弦定理来探求α和β之间的关系，由三角形的内角和定理确定β的取值范围，继而确定出了α的取值范围，就可以得出答案，思路比较简单明了，但是计算过程比较繁琐。采用极限的解法:通过动点S的移动，把相邻的两个侧面转化为一个平面，把二面角的平面角转化为三角形的内角，再根据动点的极限状态求出极限值这是一道选择题，采用中学数学的人解法步骤复杂，计算耗时较长，而采用极限的方法求解不仅简单省时，而且有利于锻炼学生的灵活性和创造性，此题充分体现了极限方法的优越性。

5.2极限在计算立体几何面积中的应用

例.设三棱柱ABC-DEF的体积为V，P、Q分别是侧棱AD、CF上的点，且PA=QF，则四棱锥B-APQC的体积为（）A.V B.V C.V D.V

结论

中学数学是大学数学的基础，许多中学数学的内容都是大学数学的模型。大学数学正是在中学数学的基础上发展起来的。所以说中学数学与大学数学之间存在着必然的联系，许多在中学数学中无法解决的问题在大学数学中得以解决，这就要求中学生在中学学习阶段必须掌握大学数学的一些基础知识。本文通过站在大学数学的角度，运用大学数学的知识、方法和思想，从不同角度重新去审视，分析和解决中学数学的问题。大学四年的学习对我来说是一个知识的储备过程。我在学习大学数学的同时，吸收了许多蕴含在数学知识中的数学思想，数学方法，正是这些数学思想和方法锻炼了我的思维的条理性和连贯性，加强了逻辑思维在分析问题和解决问题的能力。

通过对大学数学中的极限思想在中学数学中的渗透的研究，我发现大学数学极限思想能够化繁为简，具有较强的应用性，深受人们的喜爱。极限思想可以用在我们中学数学的方方面面。在解题过程中，它能化无限为有限，节省大量运算，提高解题速度和准确性。灵活巧妙、正确的运用数学极限思想能提高人们解题的正确率和策略意识，从而加深知识的理解和掌握。

对于中学生来说，能否熟练地应用和掌握极限的思想和方法就要看我们是否有去用它的意识，而且能否掌握其中的技巧，如果我们具备了就会使复杂问题简化，解题更加方便、快捷，收到事半功倍的效果。根据问题的不同条件和特点，合理选择运算途径是关键，而极限思想的灵活运用就成为减少运算量的一条重要途径。

致谢

四年的读书生活在这个季节即将划上一个句号，而于我的人生却只是一个逗号，我将面对又一次征程的开始。从开始进入课题到论文的顺利完成，有多少可敬的师长、同学、朋友给了我许多的帮助，通过对本课题的研究，我自己学到了许多东西。在此，我特别感谢爸爸妈妈在我四年的学习生活中对我的关爱和支持。感谢朋友帮助我使用几何画板画出数学图形。感谢舍友在查找和研究资料时对我的帮助。感谢学校提供的学习环境。更非常感谢导师对我的课题的指导。

参考文献

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5章建跃：《数学必修4》，人民教育出版社2007年版 6.李建华：《数学必修5》，人民教育出版社2007年版 7王申怀：《数学必修2》，人民教育出版社2007年版