高考数学解题中的通性通法

第一篇：高考数学解题中的通性通法

高考数学解题中的通性通法

对于中学阶段用于解答数学问题的方法，可将其分为三类：

（1）具有创立学科功能的方法.如公理化方法、模型化方法、结构化方法，以及集合论方法、极限方法、坐标方法、向量方法等.在具体的解题中，具有统帅全局的作用.（2）体现一般思维规律的方法.如观察、试验、比较、分类、猜想、类比、联想、归纳、演绎、分析、综合等.在具体的解题中，有通性通法、适应面广的特征，常用于思路的发现与探求.（3）具体进行论证演算的方法.这又可以依其适应面分为两个层次：第一层次是适应面较宽的求解方法，如消元法、换元法、降次法、待定系数法、反证法、同一法、数学归纳法（即递推法）、坐标法、三角法、数形结合法、构造法、配方法等等；第二层次是适应面较窄的求解技巧，如因式分解法以及因式分解里的“裂项法”、函数作图的“描点法”、以及三角函数作图的“五点法”、几何证明里的“截长补短法”、“补形法”、数列求和里的“裂项相消法”等.我们知道，数学是关于数与形的科学，数与形的有机结合是数学解题的基本思想.数学是关于模式的科学，这反映了在数学解题时，需要进行“模式识别”，需要构建标准的模型.往往遇到的问题是标准模型里的参数是需要待定的，这说明待定系数法属于解题的通性通法.数学是一种符号，引入符号可以将自然语言转换为符号语言，通过中间量的代换，就能将复杂问题简单化.数学解题就是一系列连续的化归与转化，将复杂问题简单化、陌生问题熟悉化，其消元、减少参变元的个数是常用的方法.在代数式的变形中，则往往要分离出非负的量，配方技术是经常使用且很奏效的方法.数形转换、待定系数、变量代换、消元、配方法等是中学数学解题的通性通法.把几何的直观推理、代数的有序推理、解题的通性通法与具体的案例结合起来，整体把握数学解题的通性通法，抓住通性通法的本质，科学有效地实施解题分析、解题思维链的形成、解题后的反思与优化，从而通过有限问题的训练来获得解答无限问题的解题智慧.

第二篇：法向量在立体几何解题中的应用

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法向量在立体几何解题中的应用

作者：魏庆鼎

来源：《理科考试研究·高中》2013年第08期

高中数学教材引进了向量知识以后，为我们解决数学问题提供了一套全新的方法——向量法.向量法在解决求立几中的角和距离两大问题中，是行之有效的方法，它解决了以前旧版教材立几中的这两个难点.在旧版教材中，运用几何法解决这两类问题，要通过“作”、“证”、“求”，既要有较强的空间想象能力，又要求学生对空间中，线、面之间的判定、性质等定理非常熟悉并能熟练应用，对学生，特别是中下水平的学生是一大难点.而现在向量法则很好解决了这个难点，所以它对人们研究立几问题有着普及的意义.同时向量法对立几中的线面平行和线面垂直、面面垂直和面面平行等位置关系的证明，也非常简便.空间向量的引入使立体几何的解题变得直观、易懂.而“法向量”的灵活应用，给解决空间问题提供了一个很方便、实用的工具，会使我们在高考中快捷地解决立体几何问题.以下是本人在教学过程中总结出来的关于“法向量”在立体几何中的一些应用.现把教学中得到的这些方法进行归类，供同行参考.4.用法向量求二面角平面角的大小

求二面角的平面角的大小可先求出两个平面的法向量；则两法向量的夹角与二面角的平面角相等或互补.此时，观察二面角的平面角为锐角还是钝角，视情况而定.（注：在证明面面平行或面面垂直时，也可采用此法.如两面的法向量共线，即两平面平行；如两平面的法向量垂直，即两平面垂直）从以上的一些例题中，我们不难看出“法向量”这一特殊工具在立体几何的解题中的优越性.但在具体做题中，我们还应对不同的题型选择更便捷的方法去做，视自己对知识掌握的情况而定.

第三篇：高中数学教学要注重通性通法,淡化特殊技巧

高中数学教学要注重通性通法，淡化特殊技巧

注重通性通法，淡化特殊技巧是新课标对于学生学习数学的基本要求。所谓的“通性通法”就是有着普遍性的数学思想方法，是对数学知识最高层次的概括与提炼，近几年来一直是高考考查的核心，因而在日常教学中我们一定要重视数学思想方法的渗透，让学生切实领悟数学思想方法的实质，会用数学思想方法解决问题。在新课程中强化通性通法教学，淡化特殊技巧用于的要求，因此高中数学新课程中，删减了繁琐的计算（或改为用计算器计算），淡化了人为技巧化的难题，突出对分析、解决问题能力的要求。

在旧大纲的考察中对于一些特殊殊技巧解答问题提出一定的要求，但是这类题目学生得分率较低。技巧性问题难度大，应用面窄，适合于数学竞赛，并不适合用于高考，对于特殊技巧，老师不补充或学生课外作业阅读未见过做过，想在考场这一特定环境内创造出来是不可能的，如果试题中常出现特殊技巧性问题，必定引起教师补充讲授各种解题技巧及技巧性强的数学题，加重教师学生的负担，导致题海战术；另一方面，由于信息社会要求我们具有较高的数学素养，科学技术的发展降低了对数学技巧的要求，综合上述原因，“淡化特技”成为高考数学命题的必然选择。

新课标对于“技巧”的要求明显淡化，在《课标》中涉及“技巧”的要求很少，对于必修部分的要求主要有：

1.在《课程的基本理念》中关于娇俏性的要求为：“应删减烦琐的计算、人为技巧化的难题和过分强调细枝末节的内容，克服‘双基异化’的倾向。”《教学建议》中“与时俱进地审视基础知识与基本技能”再次作了上面同样的要求论述。

2.必修课程中的描述为：“不同的是在保证打好基础的同时，进一步强调了这些知识的发生、发展过程和实际应用，而不在技巧与难度上做过高的要求。”

3.必修1的“说明与建议”中：“在教学中，应强调对函数概念本质的理解，避免在求函数定义域、值域及讨论函数性质时出现过于烦琐的技巧训练，避免人为地编制一些求定义域和值域的偏题。”

4.对于泵等式中的要求是“利用代数恒等变换以及放大、缩小方法是证明不等式的常用方法，例如，比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法等，在很多情况下需要一些前人为我们创造的技巧，对于专门从事某些数学领域研究的人们掌握这些技巧是极为重要的。但是，对大多数学习不等式的人来说，常常很难从这些复杂的代数恒等变换中看到数学的本质，对他们更为重要的是理解这些数学不等式的数学思想和背景。所以，本专题尽力使用几何或其他方法来证明这些不等式，使学生较好容易地理解这些不等式以及证明的数学思想，不对恒等变换的难度特别是一些技巧做更多的要求。”

5在评价建议中要求“正确评价学生的数学基础知识和基本技能”（P）中述：“评价要注重对数学本质的理解和思想方法的把握，避免片面强调机械记忆、模仿以及复杂技巧。”

从上面我们可以看到课标在理念上是淡化特技的，要求删减人为技巧的难题，在第三部分对许多具体数学内容（例如：求定义域、值域，复数，计数原理，不等式，数学归纳法等）都提出了避免出现繁琐的技巧性过高的数学问题。

综上所述在实际教学的过程中我们应该尽量淡化技巧的教学，强化学生通性通法的要求。要重视知识的生成的过程，尽量创设问题情境引导学生探究知识，培养学生分析问题、解决问题的能力。转变教学思想，变让学生学会到会学，真正提高学生的数学能力。

第四篇：职高高一学生在数学解题中的（最终版）

职高高一学生在数学解题中的

常见错误剖析

在职高学生的数学解题过程中，我们常见到一些错误的解法。引发这些错误的原因是什么？教学中应采取哪些措施减少或避免这些错误的发生？这是值得广大职高数学教师研究的一个问题。本文结合高一学生在解题过程中常见的错误解法，试举几个例子以剖析，并提出了相应的教学对策与广大职高数学教师探讨。

一、基本概念的模糊引起错解

数学基本概念的模糊是引起职高学生解题错误的一个重要原因。

例１．已知sinα=3，且α是第二象限角，求cosα

52错解：∵ cos2α=1－sin2α

3)=

∴ cosα=1sin2=1(54 5

又∵α是第二象限角，∴cosα＜0

∴ cosα= －

4，5剖析：引起本题解答错误的主要原因是混淆了平方根与算术平方根的概念，题目中要求的是符合一定条件的平方根，而学生求得的是算术平方根。最后一步得出的结论更反映了学生概念上的模糊。

教学对策：平方根和算术平方根这两个之间既有联系又有区别，职高学生虽然已经学过这两个概念，但不少职高学生对它们的理解还是比较模糊的。因此，在教学中要重视对这两个概念的复习。在具体解题教学中，对于求平方根的问题，可要求学生先出两个平方

2根，然后再根据题目条件得出符合题意的结论。对于求算术平方根的问题，先运用公式a＝｜a｜，然后再用绝对值的定义去掉绝对值符号。使学生养成良好的解题习惯，这样能大大减少错误的发生。

例２．解不等式 ｜x－1|＞3 错解：原不等式等价于

x13x1

3解得

x2x4

所以原不等式的解集为｛x｜x＜－2或x＞4｝

剖析：引起本题解答错误的主要原因是学生对逻辑连结词“或”和“且”的概念的混乱。解答中不等式x－1＜－3与x－1＞3之间本应该用逻辑联结“或” 来联结，而学生却用了“且”，最后的答案中联结词却又改成了“或”。说明学生对逻辑联结词“或”与“且” 的运用是非常随意的。

教学对策：逻辑连结词“或”与“且”的正确运用是职高数学教学上的一个难点。生活中经常用的“或”与逻辑中的“或”是有一定区别的，而职高学生却往往不加以区别，另外，学生在平时解题时对式子与式子之间的逻辑连结词的运用往往不太注意，甚至干脆不用。因此，在教学中要根据学生的实际认识水平，通过实际例子的分析，逐步引导学生对概念的理解，并且要求学生在平时解题中要重视对逻辑连结词的正确运用，逐步提高运用它们的水平。

二、忽略变形的等价性引起错解

忽略变形的等价性是引起职高学生解题错误的另一个重要原因。

2x1例3．解不等式 x3＞0

错解：不等式两边同乘以x－3，得

12x＋1＞0

得

x＞－

2∴原不等式的解集为｛x｜x＞－2｝

剖析：不等式两边同乘以一个代数式（值不为零）时应考虑代数式值的符号，不然容易导致非同解变形。引起本题解答错误的主要原因是学生没有考虑代数式x－3值的符号，错误地认为x－3是一个正数，使得出的不等式与原不等式不是同解不等式。

教学对策：在解分式不等式的教学中，教师要强调不等式两边同时乘以一个相同的代数式时，应首先判定代数式值的符号，符号为正时得出的不等式的方向不变，符号为负时得出的不等式方向改变，符号无法确定时不要随便在不等式两边乘代数式。应把不等式的一边化为零后，采用符号讨论的办法或化为同解的整式不等式求解，从而使学生养成解分式不等式的良好习惯。

三、忽视隐含条件引起错解

由于忽视题中的隐含条件而引起错解，在职高学生的解题中经常发生，例4．已知函数y＝mx2＋(m－1)x＋m的图像与x轴有两个不同的交点，求m的取值范围.错解：根据题意得 Δ＝（m－1）２－4m２＞0

整理得，（m＋1）（3m－1）＜0

解得

1－1＜m＜3

剖析：因为函数的图像与x轴有两个不同的交点，所以此函数必定是二次函数。引起本题解答错误的主要原因是学生在审题中忽视了题目中的隐含条件m≠0。同时只有当m≠0时，才有判别式的存在。所以本题解答的错误是双重的。

教学对策：在二次函数的教学中，首先要向学生强调二次函数的定义有两部分构成，①表达式为y＝ax２＋bx＋c，②二次项系数a≠0。其次要告诉学生在解形如y＝ax２＋bx＋c的函数问题时，一定要分a＝0和a≠0两种情况来考虑，当a＝0且b≠0时此函数为一次函数，当a≠0时此函数为二次函数。另外，在解题时要求学生要细阅读题中文字，搞清题中是否有隐含条件，如函数是否可以是一次函数？是二次函数时开口方向是否确定？等等。以逐步提高学生解题的正确率。

2008-7-1

第五篇：谈分类讨论方法在数学解题中的应用

谈分类讨论方法在数学解题中的应用

【摘要】分类讨论是贯穿整个中学数学的一种重要的解题方法，是对问题进行局部攻坚，再突破全局的解题策略。

【关键词】分类讨论；方法；解题；应用

【中图分类号】g623.5【文献标识码】a【文章编号】2095-3089（2012）12-0248-02

分类讨论是一种重要的数学思想方法，几乎涉及中学数学内容的各个部分，不仅在探索解题思路方面有着重要作用，而且在提高学生的素质，培养学生良好的数学思维品质方面也有重要的作用。分类讨论是在“合中分，分中合”的辩证思想指导下，运用各种数学手段，吧整体化为局部，把复杂问题化为简单问题，以便“分而治之”、“各个击破” 也就是是对问题进行局部攻坚，再突破全局的解题方法或策略。