第一篇:高考数学证明法高二
數學证明法(高二)
明确复习目标
1.理解不等式的性质和证明;
2.掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式。
建构知识网络
1.比较法证明不等式是最基本的方法也是最常用的方法。比较法的两种形式:
(1)比差法:步骤是:①作差;②分解因式或配方;③判断差式符号;
(2)比商法:要证a>b且b>0,只须证 a1。b
说明:①作差比较法证明不等式时,通常是进行通分、因式分解或配方,利用各因式的符号或非负数的性质进行判断;
②证幂、乘积的不等式时常用比商法,证对数不等式时常用比差法。运用比商法时必须确定两式的符号;
2.综合法:利用某些已经证明过的不等式(如均值不等式,常用不等式,函数单调性)作为基础,再运用不等式的性质推导出所要证的不等式的方法。
3.分析法:从求证的不等式出发,分析使这个不等式成立的充分条件,把证明这个不等式的问题转化为这些条件是否具备的问题,如果能够肯定这些条件都已具备,那么就可以判定所证的不等式成立。这种证明方法叫做分析法。要注意书写的格式, 综合法是分析法的逆过程
4.对较复杂的不等式先用分析法探求证明途径,再用综合法,或比较法加以证明。
5.要掌握证明不等式的常用方法,此外还要记住一些常用不等式的形式特点,运用条件,等号、不等号成立的条件等。
经典例题做一做
【例1】(1)已知a,b∈R,求证:a2+b2+1>ab+a
a
22b22(2)设a0,b0,求证()()a2b2.ba
【例2】已知a+b+c=0,求证:ab+bc+ca≤0.111
1【例3】已知ABC的三边长为a,b,c,且m为正数.求证:abc.ambmcm
【例4】设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0),方程f(x)-x=0的两根x1、x2满足1<x1<x2<1.a
(1)当x∈(0,x1)时,证明x<f(x)<x1;
(2)设函数f(x)的图象关于直线x=x0对称,求证x0<x1.2【研讨.欣赏】已知a>1,m>0,求证:loga(a+m)>loga+m(a+2m).提炼总结以为师
1.比较法是一种最重要的、常用的基本方法,其应用非常广泛,一定要熟练掌握.步骤是:作差→变形(分解因式或配方)→判断符号.对于积或幂的式子可以作商比较,作商比较必须弄清两式的符号.2.对较复杂的不等式需要用分析法,分析使不等式成立的充分条件,再证这个条件(不等式)成立.3.综合法是最简捷明快的方法,常需用分析法打前站,用分析法找路,综合法写出.有时也需要几种方法综合运用.4.要熟练掌握均值不等式、四种平均值之间的关系,记住一些常用的不等式,记住它们的形式特点、证明方法和内在联系。
【解答题】
y11x7.(1)已知a、b、x、y∈R+且>,x>y.求证:> abxayb
(2)若a>0,b>0,a3+b3=2.求证a+b≤2,ab≤1.
8.己知a,b,c都是正数,且a,b,c成等比数列,求证:a2b2c2(abc)2.9.设x>0,y>0且x≠y,求证xy3133x2y
附錄:不等式基本概念
一.考试要求:
(1)理解不等式的性质及其证明.(2)掌握两个(不扩展到三个)正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理,并会简单的应用.(3)掌握分析法、综合法、比较法证明简单不等式.(4)掌握简单不等式的解法.(5)理解│a│-│b│≤│a+b│≤│a│+│b│
【注意】不等式在数学的各个分支中都有广泛的应用,同时还是继续学习高等数学的基础.纵观历年试题,涉及不等式内容的考题大致可分为以下几类:①不等式的证明;②解不等式;③取值范围的问题;④应用题.三.基础知识:
1.常用不等式:
(1)a,bRab2ab(当且仅当a=b时取“=”号). 2
2ab(当且仅当a=b时取“=”号). 2
333(3)abc3abc(a0,b0,c0).(2)a,b
R
(4)柯西不等式
(a2b2)(c2d2)(acbd)2,a,b,c,dR.(5)ababab.2.极值定理
已知x,y都是正数,则有
(1)若积xy是定值p,则当xy时和xy有最小值2p;
(2)若和xy是定值s,则当xy时积xy有最大值
3.一元二次不等式axbxc0(或0)212s.4(a0,b24ac0),22如果a与axbxc同号,则其解集在两根之外;如果a与axbxc异号,则其解
集在两根之间.简言之:同号两根之外,异号两根之间.x1xx2(xx1)(xx2)0(x1x2);
xx1,或xx2(xx1)(xx2)0(x1x2).4.含有绝对值的不等式 当a> 0时,有
xax2aaxa.xax2a2xa或xa.5.指数不等式与对数不等式
(1)当a1时,af(x)ag(x)f(x)g(x);
f(x)0logaf(x)logag(x)g(x)0.f(x)g(x)
(2)当0a1时,af(x)ag(x)f(x)g(x);
f(x)0logaf(x)logag(x)g(x)0
f(x)g(x)
三.基本概念
1、不等式的性质:
(1)同向不等式可以相加;异向不等式可以相减:若ab,cd,则acbd(若ab,cd,则acbd),但异向不等式不可以相加;同向不等式不可以相减;
(2)左右同正不等式:同向的不等式可以相乘,但不能相除;异向不等式可以相除,但不能相乘:若ab0,cd0,则acbd
若ab0,0cd,则ab; cd
nn(3)左右同正不等式:两边可以同时乘方或开方:若ab0,则a
b
(4)若ab0,ab,则1111;若ab0,ab,则。abab
2.不等式大小比较的常用方法:(1)作差:作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果;(2)作商(常用于分数指数幂的代数式);(3)分析法;(4)平方法;(5)分子(或分母)有理化;(6)利用函数的单调性;(7)寻找中间量或放缩法 ;(8)图象法。其中比较法(作差、作商)是最基本的方法。
3.利用重要不等式求函数最值时,你是否注意到:“一正二定三相等,和定积最大,积定和最小”这17字方针。
4.常用不等式有:
(根据目标不等式左右的运算结构选用);(1222(2)a、b、cR,abcabbcca(当且仅当abc时,取等号);
bbm(3)若ab0,m0,则(糖水的浓度问题)。aam5、证明不等式的方法:比较法、分析法、综合法和放缩法(比较法的步骤是:作差(商)后通过分解因式、配方、通分等手段变形判断符号或与1的大小,然后作出结论。).常用的放缩技巧有:11111112 nn1n(n1)nn(n1)n1n
6.简单的一元高次不等式的解法:
标根法:(1)分解成若干个一次因式的积,并使每一个因式中最高次项的系数为正;
(2)将每一个一次因式的根标在数轴上,从最大根的右上方依次通过每一点画曲线;并注意奇穿过偶弹回;
(3)根据曲线显现f(x)的符号变化规律,写出不等式的解集。
7.分式不等式的解法:分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0,再通分并将分子分母分解因式,并使每一个因式中最高次项的系数为正,最后用标根法求解。解分式不等式时,一般不能去分母,但分母恒为正或恒为负时可去分母。
8.绝对值不等式的解法:
(1)分段讨论法(最后结果应取各段的并集):
(2)利用绝对值的定义;
(3)数形结合9、含参不等式的解法:求解的通法是“定义域为前提,函数增减性为基础,分类讨论是关键.”注意解完之后要写上:“综上,原不等式的解集是„”。注意:按参数讨论,最后应按参数取值分别说明其解集;但若按未知数讨论,最后应求并集.提醒:(1)解不等式是求不等式的解集,最后务必有集合的形式表示;
(2)不等式解集的端点值往往是不等式对应方程的根或不等式有意义范围的端点值。
11.含绝对值不等式的性质:
a、b同号或有
0|ab||a||b|||a||b|||ab|;
a、b异号或有
0|ab||a||b|||a||b|||ab|.12.不等式的恒成立,能成立,恰成立等问题:不等式恒成立问题的常规处理方式?(常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题,也可抓住所给不等式的结构特征,利用数形结合法)
1).恒成立问题
若不等式fxA在区间D上恒成立,则等价于在区间D上fxminA
若不等式fxB在区间D上恒成立,则等价于在区间D上fxmaxB
第二篇:数学证明法例题
例1 已知,p,q∈R’且p+q=2,求证:p+q≤
2证明用反证法
设
p+q>
2,则q>2-p,∴q>8-12p+6p-p
p+q>8-12p+6p=2+6(p-1)≥2
与题p+q=2,矛盾。
所以p+q>2不成立,只能是p+q≤2。
说明当用直接证法证明比较困难时可以用反证法。反证法的步骤首先是否定结论,要找准结论的反面,然后根据题设或定理公理推出矛盾,即结论的反面不成立。
例2 已知x+y=1,x,y∈R 223333223233
3证明∵x+y=1 22
由三角函数的有界性可得
换元法中应用三角函数,将代数式化成了三角式再结合三角公式以及三角函数中正、余弦函数的有界性,可以使证明简练。例2的证法四
例3 已知a,b,m∈R,且a<b,+
分析本题可以用比较法,综合法,分析法来证明,而且都比较容易,这里再介绍几种构造法证题。
证法一利用函数的性质来说明
证法二设点A(b,a),点B(-m,-m),其中m>0∵0<a<b,则(如图5-2)直线OA
∵B在第三象限角的平分线上,所以AB必与x轴的正半轴相交,
第三篇:2014年数学高考专题--用构造局部不等式法证明不等式[模版]
2014年数学高考专题--用构造局部不等式法证明不等式
有些不等式的证明,若从整体上考虑难以下手,可构造若干个结构完全相同的局部不等式,逐一证明后,再利用同向不等式相加的性质,即可得证。
例1.若a,bR,ab2,求证:a1*2b12
分析:由a,b在已知条件中的对称性可知,只有当ab1,即2a13时,等号才能成立,所以可构造局部不等式。证明:2a1332a13·(2a1)·3·(a2)3323
(b2)3
(a2)(b2)2 33同理,2b1∴a1
2b1
222x12x2xnxn1…x1x2 例2.设x1,x2,…,xn是n个正数,求证:x2x3xnx1
…xn。
证明:题中这些正数的对称性,只有当x1x2…xn时,等号才成立,构造局部不等式如下:
222x12x2xnxn1x22x1,x32x2,…,xn2xn1,x12xn。x2x3xnx1
将上述n个同向不等式相加,并整理得:
222x12x2xnxn1…x1x2…xn。x2x3xnx1
例3.已知a1,a2,…,an均为正数,且a1a2…an1,求证:
22a12a2an1…。a1a2a2a3ana12
a12aa21a1,证明:因a1,a2,…,an均为正数,故a1a24
22a2a2a3anaa1a2,…,nan。a2a34ana14
又∵a1a2a2a3aa111…n(a1a2…an),44422
∴把以上各个同向不等式相加,整理得:
22a12a2an1…a1a2…an1 a1a2a2a3ana12
22a12a2an1故…。a1a2a2a3ana12
例4.设a,b,cR,且abc1,求证:*3111。333a(bc)b(ca)c(ab)2证明:由a,b,c在条件中的对称性知,只有当abc1时,才有可能达到最小值31bc1,此时刚好3。所以,可构造如下局部不等式。2a(bc)4bc2
∵1bc11,233a(bc)4bc4abca
1ac11,2b3(ac)4ac4b3acb
1ab11,2c3(ab)4ab4c3abc
111a3(bc)b3(ca)c3(ab)1111bcacab()()abc4bcacab∴
1111313() 2abc2abc2
a2b2c2
1。例5.设a,b,cR,且abc2,求证:bccaab*
a2bc证明:由a,b,c在条件中的对称性知,只有,才可能达到最小值1,此时刚。所以,可构造如下局部不等式。bc4
a2bc。所以,可构造如下局部不等式。bc4
a2bcb2cac2ab∵a,b,c bc4ca4ab4a2b2c21∴(abc)abc bccaab2
a2b2c2
即1 bccaab
第四篇:高二数学构造函数法在不等式证明中运用
构造函数法在不等式证明中运用
作者:酒钢三中 樊等林
不等式的证明历来是高中数学的难点,也是考察学生数学能力的主要方面。不等式的证明方法多种多样,根据所给不等式的特征,巧妙的构造适当的函数,然后利用一元二次函数的判别式、函数的奇偶性、单调性、有界性等来证明不等式,统称为函数法。本文通过一些具体的例子来探讨一下怎样借助构造函数的方法证明不等式。
一、构造函数利用判别式证明不等式 ①构造函数正用判别式证明不等式
在含有两个或两个以上字母的不等式中,若使用其它方法不能解决,可将一边整理为零,而另一边为某个字母的二次式,这时可考虑用判别式法。一般对与一元二次函数有关或能通过等价转化为一元二次方程的,都可考虑使用判别式,但使用时要注意根的取值范围和题目本身条件的限制。
例1.设:a、b、c∈R,证明:a2acc23b(abc)0成立,并指出等号何时成立。
解析:令f(a)a2(3bc)ac23b23bc
⊿=(3bc)24(c23b23bc)3(bc)2 ∵b、c∈R,∴⊿≤0 即:f(a)0,∴a2acc23b(abc)0恒成立。
当⊿=0时,bc0,此时,f(a)a2acc23ab(ac)20,∴abc时,不等式取等号。
4例2.已知:a,b,cR且abc2,a2b2c22,求证: a,b,c0,。
3abc222解析:2 消去c得: a(b2)ab2b10,此方程恒成立,22abc2∴⊿=(b2)24(b22b1)3b24b0,即:0b4同理可求得a,c0,
34。3② 构造函数逆用判别式证明不等式
对某些不等式证明,若能根据其条件和结论,结合判别式的结构特征,通过构造二项平方和函数:f(x)(a1xb1)2(a2xb2)2(anxbn)2
由f(x)0,得⊿≤0,就可以使一些用一般方法处理较繁琐的问题,获得简捷明快的证明。
例3.设a,b,c,dR且abcd1,求证:4a14b14c14d1﹤6。解析:构造函数:
f(x)(4a1x1)2(4b1x1)2(4c1x1)2(4d1x1)
2=8x22(4a14b14c14d1)x4.(abcd1)由f(x)0,得⊿≤0,即⊿=4(4a14b14c14d1)21280.∴4a14b14c14d142﹤6.例4.设a,b,c,dR且abc1,求解析:构造函数f(x)(=(1axa)2(149的最小值。abc2bxb)2(3cxc)2
1492)x12x1,(abc1)abc111由f(x)0(当且仅当a,b,c时取等号),632149得⊿≤0,即⊿=144-4()≤0
abc111149
∴当a,b,c时,()min36
632abc
二、构造函数利用函数有界性证明不等式
例5.设a﹤1,b﹤1,c﹤1,求证:abbcac﹥-1.解析:令f(x)(bc)xbc1为一次函数。
由于f(1)(1b)(1c)﹥0,且f(x)(1b)(1c)﹥0,∴f(x)在x(1,1)时恒有f(x)﹥0.又∵a(1,1),∴f(a)﹥0,即:abbcac1﹥0 评注:考虑式中所给三个变量的有界性,可以视其为单元函数,转化为f(a)1。
三、构造函数利用单调性证明不等式
abab例6.设a,bR,求证:﹥ 1a1b1ab解析:设f(x)又x11,当x﹥0时,f(x)是增函数,1x1xabababab2abababf(abab),=﹥=1a1b(1a)(1b)(1a)(1b)1abab而a,bR,∴abab﹥ab,∴f(abab)﹥f(ab)故有: abab﹥ 1a1b1ab例7.求证:当x﹥0时,x ﹥ln(1x)。解析:令f(x)xln(x1),∵x﹥0,∴f/(x)11x ﹥0.x1x1又∵f(x)在x0处连续,∴f(x)在0,上是增函数,从而,当x﹥0时,f(x)xln(1x)﹥f(0)=0,即:x﹥ln(1x)成立。
评注:利用函数单调性证明不等式和比较大小是常见的方法,特别是在引入导数后,单调性的应用将更加普遍。
四、构造函数利用奇偶性证明不等式
xx(x0)。例8.求证:﹤x212xxxxx2xx=解析:设f(x)-(x0),f(x)=xxx221212212xxxxx1(12)x==f(x).212x212x所以f(x)是偶函数,其图象关于y轴对称。
当x﹥0时,12x﹤0,故f(x)﹤0;当x﹤0时,依图象关于y轴对称知f(x)﹤0。
xx(x0)﹤212x评注:这里实质上是根据函数奇偶性来证明的,如何构造恰当的函数充分利用其性质是关健。
由上述几种情况可以看出,能否顺利地构造函数利用其函数性质和使用数学思想来证明不等式,最重要的是要有扎实的基本功和多种思维品质,敢于打破常规,创造性地思维,才能独辟蹊径,使问题获得妙解。故当x0时,恒有f(x)﹤0,即
第五篇:高二数学不等式的证明
高二数学不等式的证明(二)
[本周学习内容]不等式证明中的综合证明方法:
1.换元法:通过适当的换元,使问题简单化,常用的有三角换元和代数换元。
2.放缩法:理论依据:a>b,b>ca.c,找到不等号的两边的中间量,从而使不等式成立。
3.反证法:理论依据:命题“p”与命题“非p”一真、一假,证明格式
[反证]:假设结论“p”错误,“非p”正确,开始倒推,推导出矛盾(与定义,定理、已知等等矛盾),从而得 到假设不正确,原命题正确。
4.数学归纳法:这是一种利用递推关系证明与非零自然数有关的命题,可以是等式、不等式、命题。
证明格式:
(1)当n=n0时,命题成立;
(2)假设当n=k时命题成立;
则当n=k+1时,证明出命题也成立。
由(1)(2)知:原命题都成立。
[本周教学例题]
一、换元法:
1.三角换元:
例1.求证:
证一:(综合法)
即:
证二:(换元法)∵-1≤x≤1 ∴令x=cos,[0,π]
则
∵-1≤sin2≤1
例2.已知x>0,y>0,2x+y=1,求证:
分析:由于条件给出了x>0,y>0,2x+y=1,故如何使用2x+y=1这一特点是解决问题的重要环节。由本题中x>0,y>0,2x+y=1的条件也可用三角代换。
证一:
证二:由x>0,y>0,2x+y=1,可设
则
例3.若x2+y2≤1,求证:
证:设
则
例4.若x>1,y>1,求证:
证:设
则
例5.已知:a>1,b>0,a-b=1,求证:
证:∵a>1,b>0,a-b=1,∴不妨设
则
小结:若0≤x≤1,则可令
若x2+y2=1,则可令x=cos,y=sin(0≤θ<2π)
若x2-y2=1,则可令x=sec,y=tan(0≤θ<2π)
若x≥1,则可令
2.代数换元:,若xR,则可令
例6:证明:若a>0,则
证:设
则
即
∴原式成立
小结:还有诸如“均值换元”“设差换元”的方法。
二、放缩法:
例7.若a,b,c,dR+,求证:
证:记
∵a,b,c,dR+
∴1 例8.当n>2时,求证:logn(n-1)logn(n+1)<1 证:∵n>2 ∴logn(n-1)>0,logn(n+1)>0 ∴n>2时,logn(n-1)logn(n+1)<1 例9.求证: 证: 三.反证法 例10.设0 证:设 则三式相乘: ①